力矩与角动量的关系
物理概念角动量与力矩
物理概念角动量与力矩物理概念：角动量与力矩角动量和力矩是物理学中重要的概念，在描述物体运动和力学性质时起着关键作用。
本文将详细介绍角动量和力矩的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、角动量的概念与计算方法角动量是描述物体绕某一轴旋转的性质，它与物体的质量、几何形状和旋转速度等因素有关。
角动量的定义如下：角动量L = Iω其中，L表示角动量，I代表物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
转动惯量是物体旋转惯性的度量，它与物体的质量分布和绕轴旋转的位置有关。
计算角动量的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向相同时，可以用数量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iω2. 矢量积方式计算角动量当物体的旋转轴与角速度方向不重合时，需要使用矢量积方式计算角动量。
此时，角动量的计算公式为：L = Iωn其中，n为物体旋转轴与角速度的法向量。
二、力矩的概念与计算方法力矩是描述物体受力产生转动效果的物理量。
当物体受力作用于某一点时，力就产生了力矩。
力矩的定义如下：力矩 M = r × F其中，M表示力矩，r表示力作用点到旋转轴的距离，F表示力的大小。
力矩的方向由右手定则给出，即拇指指向旋转轴，其余四指指向力的方向，手掌垂直于旋转平面内。
计算力矩的方法有两种常见的形式：数量积和矢量积。
1. 数数量积方式计算力矩当力和力臂的方向相同或者反向时，可以用数量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = rF2. 矢量积方式计算力矩当力和力臂的方向不重合时，需要使用矢量积方式计算力矩。
此时，力矩的计算公式为：M = r × F三、角动量与力矩的关系与应用角动量和力矩是密切相关的物理量，它们之间存在如下关系：L = r × p其中，L表示角动量，r表示物体到旋转轴的距离，p表示物体的动量。
这一关系表明，角动量和力矩可以通过动量和物体到旋转轴的距离相互转化。
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩是量度力对物体产生转动效应的物理量，可分为力对点的矩和力对轴的矩。
下面是小编为大家整理的力矩与角动量的关系，仅供参考，欢迎阅读。
力矩与角动量的关系
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L，就是角动量定理，M=dL/dt。
就是L对时间t的微分就是M，M和L都是有方向的。
力矩
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的'大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
L定义为r与p的矢积，并不是非常直观的物理量这就是为了研究转动而人为定义的力学量。
所以我觉得这是为了理论研究而人为定义的物理量，α是角加速度，形式上和牛顿第二定律完全一致，M定义为r与F的矢积;dt。
再定义转动惯量以后，转动方程就能写成M=Jα=dL
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L,就是角动量定理,M=dL/dt（就是L对时间t 的微分就是M,M和L都是有方向的,算式上标不出来）。
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理
力矩的时间累积效应刚体的角动量定理力矩是一个非常重要的概念，在物理学中有广泛的应用。
力矩是由施加在刚体上的力产生的，它对物体的角动量有直接的影响。
力矩的大小等于力在垂直于力的作用线上的距离与力的大小的乘积。
力矩既可以使物体转动，也可以改变物体的转动状态。
刚体的角动量定理描述了外力对刚体的角动量产生的影响。
角动量定理可以表示为：\[\frac{{\Delta L}}{{\Delta t}} = M_n\]其中，ΔL是物体在时间Δt内的角动量的变化，M_n是刚体的合外力矩。
这个方程说明了外力对刚体角动量的改变率是力矩。
角动量定理的解释是，当一个刚体受到一个力矩的作用时，其角动量将发生改变。
外力矩是由施加在物体上的所有力矩之和。
外力矩可以通过计算所有作用力的力矩之和得到。
外力矩越大，刚体的角动量变化越大。
重要的是要注意，这个角动量定理适用于刚体。
对于质点来说，可以将刚体看作是一个质点，并将其质量集中在一个点上。
因此，对于质点，角动量定理也适用。
力矩的时间累积效应是指力矩对刚体角动量的积累作用。
当外力施加在刚体上一段时间后，会导致角动量的累积变化。
这是因为力矩在一段时间内对刚体的作用会积累产生更大的角动量变化。
例如，我们将一根悬挂在一个轴上的刚体上施加一个力。
在一段时间内，力矩将会产生一个初始的角动量，并且随着时间的推移，角动量将不断积累。
这是因为力矩在每个时间间隔内的作用都会增加角动量的变化。
力矩的时间累积效应还可以通过另一个实例来说明。
考虑一个旋转的滚筒，在初始时刻没有任何外力矩作用在上面。
当我们施加一个外力矩时，滚筒将开始旋转。
如果我们保持外力矩的大小和方向不变，滚筒将继续旋转。
然而，如果我们改变外力矩的大小或方向，滚筒的角动量将发生变化。
角动量的变化是根据力矩的改变率来计算的。
这意味着力矩的时间累积效应将导致角动量的变化。
进一步分析力矩的时间累积效应，我们需要考虑刚体的质量分布和外力的作用时间。
刚体的角动量_角速度_力矩和角加速度的关系
〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。
[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。
和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。
因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。
1 角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。
一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。
显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。
同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。
合成后,L _p 的方向大致如图2所示。
而且随着杆的转动,L _p 也转动。
可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。
同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。
下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。
过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。
于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
第四章角动量守恒定律
的子弹， 例6、质量为 、质量为20g的子弹，以400m/s的速度沿 的子弹 的速度沿 图示方向射入一原来静止的质量为980g的摆球 图示方向射入一原来静止的质量为 的摆球 设摆线长度不可伸缩， 中，设摆线长度不可伸缩，则子弹入射后与摆 球一起运动的速度为多少？ 球一起运动的速度为多少？ 碰撞的瞬间， 碰撞的瞬间，对子弹和摆球组成的系统 所收的外力矩为零，角动量守恒。 所收的外力矩为零，角动量守恒。
2、合力矩： 、合力矩：
单位： 单位：N·m
v v v 矢量和 F = F1 + F2 + L v v v v v v v v M = r × F = r × ( F1 + F2 + L) = M 1 + M 2 + L
注意：所有力矩相对于同一参考点。 同一参考点 注意：所有力矩相对于同一参考点。 3、力矩的计算： 、力矩的计算：
初
初
则
p =c
r r r 则 r×p=L=c
例:跳水运动
跳水运动员为了使身体快速旋转双手抱 膝尽量蜷缩，当入水时必须把手脚舒展 膝尽量蜷缩， 开使转速变慢入水。 开使转速变慢入水。
例:花样滑冰
花样滑冰运动员把手脚伸展开时旋 转速度较小， 转速度较小，当把手脚收回时转速 变快。 变快。
t 用下运动， 质点位于坐标原点，且静止； 用下运动， = 0 时，质点位于坐标原点，且静止； 求：此质点在2秒时相对于坐标原点的角动量。 此质点在 秒时相对于坐标原点的角动量。 秒时相对于坐标原点的角动量
点由静止释放， 例2、一质量为 的小球在 ( x1 ,0,0) 点由静止释放， 、一质量为m的小球在 设重力加速度沿Z轴负向 轴负向； 设重力加速度沿 轴负向；求：小球所受重力相对 于坐标原点O的角动量 的角动量。 于坐标原点 的角动量。 例3、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。 、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。
探究力矩与角动量的关系
角动量转换为力矩
外力矩改变 角动量
外力矩对角动量 的影响
角动量转化 为力矩
角动量如何影响 物体的力矩
确定外力矩 大小
角动量变化与外 力矩关系
力矩和角动量的能量转换
01 能量转换关系
力矩和角动量之间的联系
02 能量守恒
在转换过程中的应用
03 转换规律
力矩和角动量能量转换规则
能量转换的实际案例
在工程领域，力矩和角动量扮演着关键的角色， 它们影响着设计的安全性和稳定性。通过利用力 矩和角动量的原理，工程师们能够设计出更加安 全可靠的结构，提高工程质量和效率。通过对工 程案例的分析，可以更好地理解和应用力矩和角 动量的相关知识。
天体运动中的力矩和角动量
01 天体运动中力矩和角动量的作用
影响星球运动轨迹
挑战和问题
可能遇到的实验困难 理论模型的完善和验证问 题
未来发展展望
力矩和角动量领域的前景 和趋势 未来研究的重点和方向
致谢
ห้องสมุดไป่ตู้在此感谢所有支持和 帮助过本研究工作的 人，特别感谢指导老 师和同事们的支持与 鼓励，使本研究得以 顺利进行。
参考文献
Smith, J. et al. (2020)
Exploring the Relationship
新方法和技术
虚拟现实模拟 大数据分析 机器学习应用
发展方向
生物医学工程 空间技术应用 智能制造发展
探索未来的力矩 和角动量发展
力矩和角动量的研究 不断向前发展，未来 可能会在生物医学工 程、空间技术应用以 及智能制造方面取得 突破。新的方法和技 术，如虚拟现实模拟 和机器学习应用，将 为力矩和角动量的研 究带来更多可能性和 机遇。
《大学物理》3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动， 例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
1 2
卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力， 解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。 m
0
r
A
θ = 90
0
mv
质点作圆周运动的角动量
θ
L = rmv = mr ω
2
2.2刚体的角动量 刚体的角动量 刚体对 oz轴的角动量为
z
ω
v
2
i
L = ∑ m r ω = (∑ m r )ω
2 i i i i
o
r
i
m
i
∑ m r 刚体绕 oz 轴的转动惯量
2 i i
L = Jω
L = Jω
刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。 刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。
1 m v 0 a = ( ML2 + ma 2 )ω 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML + ma )ω = mga (1 cos60°) + Mg (1 cos60°) 2 3 2
ω=
3(2ma + ML)g 2(3ma 2 + ML2 )
二、角动量定理和角动量守恒定理
1× mv 对时间求导 = r × (mv ) + × mv dt dt dt dr d dL ∵ = v , F = (mv ) M = dt dt dt dL 质点所受合外力矩等于质 ∴ = r × F + v × mv dt 点角动量对时间的变化率
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而扭转则涉及到力矩。
根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。
本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位；
力矩的表示符号是希腊字母，或。
力矩与三个物理量有关：施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。
力矩以矢量方程表示为。
力矩的大小为。
力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。
假设作用力施加于位置为的粒子。
选择原点为参考点，力矩以方程定义为。
力矩大小为
；
其中，是两个矢量与之间的夹角。
力矩大小也可以表示为
；
其中，是作用力对于的垂直分量。
任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。
从叉积的性质，可以推论，力矩垂直于位置矢量和作用力。
力矩的
方向与旋转轴平行，由右手定则决定。
使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量：。
其中，是能量，是移动的角度，单位是弧度。
力矩有大小方向是矢量，与动量等道理一样，只是一个力学名称。
角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。
角动量是矢量。
其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。
表示动量。
而又可写为：
其中表示杆状系统的转动惯量，ω是角速度矢量。
在不受非零合外力矩作用时，角动量是守恒的。
需要注意的是，由于成立的
条件不同，角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。
角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。
需要特别说明的是：动量, 也就是说动量的方向和速度的方向一致.
角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不
变。
当方程式右边力矩为零时，可知角动量不随时间变化。
需要搞懂有心力也就是向心力的作用不能产生力矩。