大学物理3.7(2)角动量及角动量定理
高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L
r
P
Lx
ˆx
Ly
ˆy
Lz
ˆz
M
r
F
M x ˆx
M y ˆy
M z ˆz
Lx ：质点对x轴的角动量
M
：质点对
x
x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：
L (xxˆ yyˆ zzˆ) (Px xˆ Py yˆ Pz zˆ) M (xxˆ yyˆ zzˆ) (Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ)
v v oro 1 rr
星球所需向心力： 可近似认为引力：
v2 1
F向 m r r 3
F引
1 r2
引力使r到一定程度
F引 F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。
但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
[C]
2.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固
定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方 向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量 变化为
（A）mv
（B）0
（C）2mv （D）2mv
[D]
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为
ds dt
const
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
▲ 星云具有盘形结构：
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
角动量与角动量定理
1
L
dt 2 dt 2 dt 2
2m
2m
太阳对行星的引力总是指向太阳，因而行星对太阳
中心的角动量守恒，L为常量，所以得证。
L rmv mr2
方向 垂直于圆面
② 质点作匀速直线运动时，角 动量守恒。
L rmv sin mvd
方向始终垂直纸面向外
r L
r pr r
O
Or
r
d
pr
③ 角动量与参考点的位置有关。
r L
因而在说明一个质点的角动量
pr
时，必须指明是相对于哪一个 参考点而言的。
O
rr
θ m
锥摆 O
l
m
O
v
且在高速低速范围均适用。
例题1：
证明行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳
的矢径在相等的时间内扫过的面积相等。
r
L
解：行星位矢扫过的面积dS
dS
1
r
r dr
sin
1
rr drr
dS r
2
2
单位时间行星位矢扫过的面积
•
drr
dS 1 rr drr 1 rr drr 1 rr vr 1
vr
y
xp z
L z
xp y
yp x
L , L , L 分别称为角动量在x、y、z轴上的分 x yz
量式，或称为对x、y、z轴的角动量。
二、力矩
1、定义
力
r F
对参考点O
rr
r F
r
M
r
rr
F
θ
Or
m
大小：
M
rF
sin
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理
物理学概念知识：动量定理和动量角动量定理动量定理和动量角动量定理是物理学中非常基本的两个概念。
它们的内容涉及到我们对物体运动规律的认识，不仅有助于我们更好地理解物理学知识，还可以应用于现实生活中的一些问题。
下面，我们将分别介绍这两个概念及其应用。
一、动量定理动量定理是描述物体运动过程中动量变化的一个基本定理。
它指出：在总外力作用下，物体的动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：Δp=Ft其中，Δp表示物体动量的变化量，F表示物体所受的总外力，t 表示外力作用的时间。
式子的意义是：在总外力作用下，物体动量的变化量等于总外力作用时间的乘积。
重物移动时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么物体的动量就会发生更大的变化。
从而可以更快地推动物体运动起来。
同样，如果要让运动中的物体停下来，也可以利用动量定理的知识。
通过对物体施加一个与它的运动方向相反的恒定力，也就是反向加速度，可以让物体的动量逐渐减小，直到物体停下来。
二、动量角动量定理动量角动量定理是物理学中另一个基本的概念。
它是通过描述物体绕某一点旋转的行为，来了解物体运动过程中动量变化的定理。
它指出：在物体绕某一点旋转时，物体的角动量就会发生变化，这种变化的大小跟作用力矩和时间的乘积成正比。
这个定理的表达方式为：ΔL=Mt其中，ΔL表示物体角动量的变化量，M表示作用力矩，t表示外力作用的时间。
式子的意义是：在物体绕某一点旋转时，物体角动量的变化量等于力矩作用时间的乘积。
个陀螺时，如果外力越大，或者作用时间越长，那么陀螺的角动量也会发生更大的变化。
从而可以更快地让陀螺旋转。
同样，如果要让旋转中的陀螺停下来，也可以利用动量角动量定理的知识。
通过对陀螺施加一个与它的旋转方向相反的外力矩，也就是反向加速度矩，可以让陀螺的角动量逐渐减小，直到陀螺停下来。
总之，动量定理和动量角动量定理是物理学中非常重要的两个概念。
它们既可以帮助我们更好地理解物理学知识，也可以用于实际生活中的问题解决。
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
2–5 角动量 角动量定理
2
2 质点的角动量定理
M r F
dP F dt
dP d dr M r (r P) P dt dt dt
P mv
dr v dt
dL M dt
dr P v mv 0 dt
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z L mv
r
2–5 角动量 角动量定理
4
2.质点在垂直于 z 轴平面
上以角速度
作半径为 r
的圆运动，相对圆心
z
o r
90
A
L r p r mv
mv0 (m M )v1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
9
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M) v 1 (m M) v 2 k (l l0 ) 2 2 2 2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
大一力学角动量的知识点
大一力学角动量的知识点角动量是物体运动中的一个重要物理量，它与物体的质量和速度有关。
在大一力学学习中，我们会接触到一些与角动量相关的知识点，本文将对这些知识点进行讲解。
1. 角动量的定义角动量（Angular Momentum）是物体绕某一轴旋转时所具有的物理量。
对于质点，其角动量L定义为质点的质量m与质点的径向距离r乘以质点的速度v在垂直于质点运动平面上的投影，即L = mvr。
其中，v是质点的速度，r是质点到轴线的距离。
2. 角动量守恒定律在没有外力作用的情况下，系统的总角动量守恒。
这意味着当一物体的角动量发生变化时，其他物体的角动量也会发生相应的变化，但总的角动量保持不变。
3. 角动量定理角动量定理描述了角动量的变化与作用力之间的关系。
根据角动量定理，物体所受的净外力产生的角动量变化率等于净外力对物体的力矩（Torque）。
即dL/dt = τ，其中τ是作用在物体上的力矩。
4. 角动量守恒的应用角动量守恒定律被广泛应用于物理学的不同领域。
在自然界中，许多现象和实验都可以通过角动量守恒来解释。
例如，当滑轮系统中的绳子拉动产生一个力矩时，滑轮上各质点的角动量随之改变，但总的角动量保持不变。
又如，当一个旋转的冰艇收缩时，由于角动量守恒，冰艇的旋转速度会变大。
5. 角动量与转动惯量转动惯量（Moment of Inertia）是描述物体绕轴旋转惯性的物理量。
对于质点而言，转动惯量I等于质点的质量m乘以质点到轴线的距离的平方，即I = mr^2。
角动量L和转动惯量I之间的关系是L = Iω，其中ω是物体绕轴旋转的角速度。
6. 角动量与角加速度根据牛顿第二定律和角动量定理，可以推导出角动量与角加速度之间的关系。
对于经过一段时间Δt的力矩作用，角动量的变化量ΔL = τΔt。
而角动量的变化量ΔL还可以表示为ΔL = IΔω。
将上述两个等式联立，可以得到IΔω = τΔt。
令Δt趋近于0，可以得到Iα = τ，其中α是角加速度。
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
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d L M
=在惯性系中，作用于质点的合外力对某定点的力矩的角动量的时间变化率
t d 等于质点对该点的角动量的时间变化率。
0d d d 022L L L M L M M
≡→≡=→=→≡t t t 在惯性系中，如果作用于质点的合外力对1
2d 11⎰⎰t t t 在惯性系中如果作用于质点的合外力对某定点的力矩恒为零，则质点对于该点的角动量恒定。
例六的质点的匀速直线运动的情形v m 例六：对于质量为的质点的匀速直线运动的情形。
m 如图选择惯性系中的定点，r
θ
o h
v m
i d d d L L
=====在惯性系中，作用于质点系的诸外力对的力t
t t i i i i d )(d d L F r M M ⨯∑∑∑∑惯性中作用质点诸外力对某定点力矩和等于各质点对该点的角动量和的时间变化率。
2.在惯性系中，若作用于质点系的诸外力对某定点的力矩和恒为零则各质点对的角动量和恒定
2. 角动量守恒定律：
力矩和恒为零，则各质点对该点的角动量和恒定。