角动量耦合00态
两个角动量耦合
jmax j1 j2
（2） jmin j1 j2
给定 j1 、j2 ，则 m1取值2 j1 1个，m2 取值2 j2 1个，所以无耦合
表象基矢 j1m1 j2m2 个数（即无耦合表象空间的维数）为
(2 j1 1)(2 j2 1)
另一方面，对应于一个 j 值，m有2 j 1个取值，所以耦合表象
2 2
j1m1 j2m2
Jˆ2
z
m2
三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换
耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
j1
j2
j1 j2 jm
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
m1 j1 m2 j2
j1
j2
j1m1 j2m2 j1 j2 jm j1m1 j2m2
一、两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动
量分别为 Jˆ1 和 Jˆ2，它们满足
Jˆ1 Jˆ1 i Jˆ1
Jˆ2 Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ12, Jˆ1 ] 0
[Jˆ22, Jˆ2 ] 0 ( x, y, z)
由于 Jˆ1 和 Jˆ2 属于不同子体系，所以相互对易，即
]
0
综上，(Jˆ2, Jˆz , Jˆ12, Jˆ22) 是彼此对易的，它们了组成第一套力学量
完全集，其共同本征矢 j1 j2 jm 组成了正交归一完备基矢组。
2．Jˆ12、Jˆ1z、Jˆ22、Jˆ2z 彼此对易
(Jˆ12, Jˆ1z , Jˆ22, Jˆ2z ) 组成了第二套力学量完全集，它们的共同本征
(完整word版)量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论.
量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论（陇东学院电气工程学院, 甘肃庆阳 745000）摘要：轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系，得出轨道角动量并不能描写一个可观察量.然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示,在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。
接着讨论角动量的LS耦合，其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值,进而分析角动量的JJ耦合关键词：角动量;算符；对易关系；自旋；角动量耦合The Disscussion of Angular Momentum and ItsCoupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University， Qingyang 745000， Gansu，China）Abstract：First，using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe， it discuss the representation of orbital angular momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text，at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix representation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation.Nextit discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular momentum component,and through introdution the coupling and the non—coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words：angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum coupling； clebsh—gordan cofficient0 引言量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献［1，2，3,4，5，6]中都作过比较简明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希—高登系数计算比较繁琐,大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到,只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算.本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导,进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。
7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构
ψn,l,j,m r,θ,φ,sz Rnl r ul jm θ,φ,sz
将耦合表象的基矢 nljm 按无耦合表象
基矢 nlml ms 展开
n,l, j,m(r, ,, sz )
C ml ms nlml ms
ml ms
16
7.5 光谱的精细结构（ 3）
考虑自旋与轨道运动相互作用能的影响
电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能 和在核场中的势能小得多，现表示为：
二、本征值和本征矢
由 Jˆ1 、Jˆ 2 的本征值和本征矢，可以求出 Jˆ 本征值和 本征矢。
设以 j1 m1 和 j2 m2 分别表示
矢和
Jˆ
2 2
、Jˆ2z
的共同本征矢。
Jˆ 12
、Jˆ1z
的共同本征
相应的本征值方程为：
Jˆ12 Jˆ1z
j1m1 j1( j1 1) 2 j1m1 m1 j1m1
4
4
m1 0, 1
，
m2
1 2
m 3、 1、 1、 3 22 2 2
Jˆz
的本征值为
3 2
,1 2
, 1 2
, 3 2
9
两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums)
四、CG耦合系数和 Jˆ2，Jˆz 的本征矢
当给定 j1 时，m1 有2 j1 1 个取值，对应有 2 j1 1
故 m m1 m2 或 m1 m m2
j1 j2 j m j1,m m2, j2,m2 j1,m m2, j2, m2 j1 j2 j m
m2
由上面的讨论可知：
（5）
①.当求得了量子数j 和 m 后,就能得到 Jˆ 2 和 Jˆz
高二物理竞赛课件：量子力学之角动量的耦合
l
m 1 2
2l 1
2
|
n, l ,
m
1 2
,
1 2
（19）
•
若以坐标表象和
S
z表象基矢
r,
,,
S
z
| 乘上式两边，得
n,l,l 1,m
2
l
1
m 2l 1
1 2
2
RnlYl,m1 ( , ) 1
2
2
1
l
m 2l 1
1 2
2
RnlYl
,m
写成
j1, j2 , j, m j1, m m2 , j2 , m2 j1, m m2 , j2 , m2 j1, j2 , j, m （10）
m1
• 2.1 量子数 j 的取值
当量子数 j1 , j2给定时 mmax m1max m2max j1 j2
而 j mmax j
故有
则有本征方程
J
2 1
j1m1
j1 ( j1 1) 2
j1m1Βιβλιοθήκη J 1z j1m1 m1 j1m1
J
2 2
j2m2 j2 ( j2 1) 2 j2m2
J 2z j2m2 m2 j2m2
（2）
•
由于 J1, J 2
是各自独立的，J12
,
J
2 2
,
J
1z
,
J
2
z
相互对易，它们
的共同本征矢写为
j1 j2 jm j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
m1 ,m2
（9）
展开系数 j1m1 j2m2 j1 j2 jm 是耦合表象基矢在无耦合表象基
角动量耦合 一般形式
归一化并与
正交而确定.
25
作业
• 考虑一由两个自旋 ½ 的粒子组成的系统，试计
算算符(1)(2)的本征值和本征矢.
使用m1m2作为基矢量, 这里m1, m2分别为
z(1), z(2)的本征矢.
26
j1 = ½ , j2 = ½ . 当J, M 取它们最大可能值J = M = 1, 此时(66)式中 的求和仅包含1项，即
(67)
上式左、右均为模为1的矢量，故而
15
• 现将算符 •有
作用于(67)并考虑到
(68)
16
• 进而将算符 J- 作用于(68)式，得
(69)
• 因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果
(71)
20
对于上升算符
有相似的结果如下：
(72)
(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式, 它允许我 们对相同的总角动量 J ，导出具有相同的 j1 和 j2, 但不同的 M 的CG系数； 它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于
的情况,如自旋-轨道耦合.
21
• 在(71)中，若令m2 = ½ 则其右端的第二项将为0， 从而
(64)
• 的值正好出现一次，称之为三角规则.
10
• 上述三角规则告诉我们两个角动量j1, j2仅能组 合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加 法一致(如图所示).
11
• 进而，可以计算耦合态的数目
• 如预期的等于 数目.
(65)
态的
12
Clebsch-Gordan 系数的计算
如上(56)所述，
§3.6 角动量耦合(相加)
• 现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成 一总角动量J的情况：
17第7章概念2-两个角动量的耦合
1 2
−1,1 + 2 2
1 2
1 2
, − 1 c 1 , − 1 + d − 1 , 1 2 2 2 2 2
=
1 2
(c + d ) = 0
0, 0 0, 0 = c*
2
1 2
, − 1 + d * − 1 , 1 c 1 , − 1 + d − 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2
j1 + j2 , j1 + j2 − 1,L , jmin
因此，耦合表象基矢总数即空间维数为 因此， 1 首项+末项） ∑(2 j +1) = 2（首项+末项） 项数 j
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
= ( jmax + jmin + 1)( jmax − jmin + 1)
(2 jmin + 1) + (2 jmax + 1) ( jmax − jmin + 1) 2
因此， ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 也构成力学量完全集。 因此， J1 , J 2 , J , J z 也构成力学量完全集。 设它们的共同本征矢为 j1 j2 jm ，则
{
v v ˆ ˆ ˆ 2 = J 2 + J 2 + 2J ⋅ J ˆ ˆ J 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 [J 2 , J z ] = 0 [ J 2 , J12 ] = [ J 2 , J 2 ] = 0 且
j1 =1/ 2
,1 2
,1 2
m1 =1/ 2
j2 =1/ 2 m2 =1/ 2
=
( 1 − 1 + 1)( 1 + 1 ) 2 2 2 2
6.3两个角动量的耦合
（6.3.13）
又因
(L )lm,lm
* l m
L
lm
d
r
C lm l,l m,m1
2
2
2
2
2
L Lx Ly Lz (Lx iLy )(Lx iLy ) Lz Lz
(L2 )m,m
(L L )m,m
2
(Lz )m,m
(Lz )m,m
（6.3.14） （6.3.15） （6.3.16）
J1z j1, m1 m1 j1,m1
（6.3.32）
2
J2 j2 ,m2 j2 ( j2 1) j2 , m2 J2z j2 ,m2 m2
则无耦合表象中的基矢 j1,m1, j2 ,m2 是
即
l(l 1) 2 (L )m,m (L )m,m m2 2 m 2
m
=(L )m,m1(L )m1,m m2 2 m 2
（6.3.17）
6.3 两个角动量的耦合
另外，由于Lx 和 Ly 是厄米的，所以有
(L )m1,m (Lx iLy )m1,m
=(Lx )m1,m i(Ly )m1,m
=(Lx )m1,m
( Ly
)m,m1
1 2i
(L )m,m1
(L )m,m1
=- i (l m)(l m 1) 2
（6.3.23） （6.3.24）
应该指出，上述各式并非只对轨道角动量成立。对于轨
道角动量， lm 就是球谐函数 Ylm ，对于其它角动量， lm 虽
不是球谐函数，但只要满足角动量定义（6.3.1）式，并把
6.3 两个角动量的耦合
l 和 m理解为相应的角动量平方和角动量 z 分量的量子
数，（6.3.21）——（6.3.24）式恒成立。例如对电子自旋角 动量，S 1 2 ,m 1 2 由（6.3.23）及（6.3.24）得
两个角动量的耦合
角动量耦合定理
当两个具有角动量的物体相互作用时，它们的角动量会以一 定的方式耦合，形成新的角动量状态。
角动量耦合的数学表达式
通过数学表达式描述两个角动量的耦合关系，通常涉及向量 的点积和叉积运算。
耦合的物理意义
在经典力学中的应用
刚体动力学
在经典力学中，刚体的旋转运动可以用 角动量来描述。通过研究刚体的角动量 ，可以了解刚体的旋转状态和运动轨迹 。
VS
陀螺仪
陀螺仪是一种利用角动量守恒原理工作的 导航仪器。通过测量陀螺仪的角动量变化 ，可以确定物体的方向和姿态，广泛应用 于航空、航天和航海等领域。
05
两个角动量的耦合研究展望
04
两个角动量的耦合应用
在天文学中的应用
星系旋转
角动量是描述旋转运动的物理量，在天文学中，星系的旋转运动可以用角动量来描述。通过研究星系的角动量， 可以了解星系的旋转速度、旋转方向以及旋转轴的方向。
恒星演化
恒星的演化过程涉及到角动量的变化。在恒星形成和演化的过程中，角动量守恒定律起着重要的作用，影响着恒 星的结构和演化轨迹。
耦合的数值模拟
数值模拟方法
通过数值模拟方法，可以模拟两 个角动量的耦合过程，并分析其 动态变化规律。
数值模拟软件
常用的数值模拟软件包括 MATLAB、COMSOL Multiphysics等，这些软件可以 模拟复杂的物理过程，并输出详 细的数据和图像。
数值模拟的应用
数值模拟在物理学、天文学、航 天工程等领域有着广泛的应用， 可以帮助科学家和工程师更好地 理解物理现象和规律，优化设计， 提高性能。
两个角动量的耦合
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角动量耦合00态
角动量耦合00态
角动量是物理学中非常重要的一个概念，它描述了物体的旋转状态，是描述物体运动的基本量之一。
而角动量耦合则是指两个或多个粒子之间的角动量相互作用。
在这里，我们将重点介绍角动量耦合00态。
一、什么是角动量耦合00态？
在物理学中，两个粒子之间的相互作用可以通过它们各自的角动量来描述。
当两个粒子的总角动量为零时，它们处于所谓的“00态”。
这种状态下，两个粒子之间不存在任何转动或旋转运动，它们只能沿着同一条直线运动。
二、如何计算角动量耦合00态？
在计算角动量耦合00态时，我们需要考虑以下几点：
1. 两个粒子之间不存在任何转动或旋转运动。
2. 两个粒子之间存在相互作用力。
3. 两个粒子具有不同的自旋。
根据以上条件，我们可以使用以下公式来计算角动量耦合00态：
|0,0⟩= |1/2,−1/2⟩⊗|1/2,1/2⟩− |1/2,1/2⟩⊗|1/2,−1/2⟩
其中，|1/2,−1/2⟩和|1/2,1/2⟩分别表示两个粒子的自旋状态，⊗表示
张量积运算。
三、角动量耦合00态的应用
在物理学中，角动量耦合00态有着广泛的应用。
其中最为重要的应用之一是在核物理学中。
在核物理学中，原子核中的质子和中子之间存
在着相互作用力，它们的角动量耦合可以通过角动量耦合00态来描述。
此外，在量子计算机领域中，角动量耦合00态也有着重要的应用。
由于量子计算机需要处理大量的信息，因此需要对其进行高效地编码和
解码。
而角动量耦合00态正是一种有效的编码方式，可以帮助我们更好地实现信息传输和处理。
四、总结
综上所述，角动量耦合00态是物理学中非常重要的一个概念。
它描述了两个粒子之间不存在任何转动或旋转运动时它们之间相互作用力所引起的角动量相互作用。
在核物理学和量子计算机等领域都有着广泛的应用。
因此，在深入研究这一概念的同时，我们也可以更好地理解物理学中的其他相关概念和现象。