两个角动量地耦合及其磁矩
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
7.第七讲角动量耦合及光谱精细结构
ψn,l,j,m r,θ,φ,sz Rnl r ul jm θ,φ,sz
将耦合表象的基矢 nljm 按无耦合表象
基矢 nlml ms 展开
n,l, j,m(r, ,, sz )
C ml ms nlml ms
ml ms
16
7.5 光谱的精细结构（ 3）
考虑自旋与轨道运动相互作用能的影响
电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能 和在核场中的势能小得多，现表示为：
二、本征值和本征矢
由 Jˆ1 、Jˆ 2 的本征值和本征矢，可以求出 Jˆ 本征值和 本征矢。
设以 j1 m1 和 j2 m2 分别表示
矢和
Jˆ
2 2
、Jˆ2z
的共同本征矢。
Jˆ 12
、Jˆ1z
的共同本征
相应的本征值方程为：
Jˆ12 Jˆ1z
j1m1 j1( j1 1) 2 j1m1 m1 j1m1
4
4
m1 0, 1
，
m2
1 2
m 3、 1、 1、 3 22 2 2
Jˆz
的本征值为
3 2
,1 2
, 1 2
, 3 2
9
两个角动量的耦合 (coupling of two angular momentums)
四、CG耦合系数和 Jˆ2，Jˆz 的本征矢
当给定 j1 时，m1 有2 j1 1 个取值，对应有 2 j1 1
故 m m1 m2 或 m1 m m2
j1 j2 j m j1,m m2, j2,m2 j1,m m2, j2, m2 j1 j2 j m
m2
由上面的讨论可知：
（5）
①.当求得了量子数j 和 m 后,就能得到 Jˆ 2 和 Jˆz
磁学 第二章 原子的磁矩
s
p
d
f
l=0
1
23
6s 5s
6p 5d
5p
4d
4p
3d
4f
4s
3p
3s
2p
2s
1s
spdfFra bibliotekl=0
1
23
6s 5s
6p 5d
5p
4d
4p
3d
4f
4s
3p
3s
2p
2s
1s
为什么电子先占4s，再占3d ？
如果轨道的电荷分布偏离球对称，玻尔轨道的形状发生变化。 如图3s轨道是椭圆形的，一部分轨道离核近，s电子的原子波函数在核 附近非常大。S电子与核的库仑相互作用(相互吸引，能量低)，使电子 先占4s轨道，后占3d轨道。同样5S电子先于4f电子占据轨道。
L l(l 1)h l 1, 2,3，，n 角量子数 Lz mlh ml 0, 1, 2,， l 轨道磁量子数
S s(s 1)h s 1 自旋量子数 2
Sz msh
1 ms 2
自旋磁量子数
“轨道”
用波函数描述 nlm Rnl (r)Ylm ( ,)
Rnl (r)决定电子离开核距离分布
－3
d电子轨道取向量子数，ml 2,1,0, 1, 2
f电子轨道取向量子数，m l
3, 2,1,0, 1, 2, 3
ml =0 －1 －2
1 2
Mn3的d轨道有4个电子 总轨道角动量L=2＋1＋0＋（－1）=2 Co2的d轨道有7个电子 总轨道角动量L=2＋1＝（3 其余5个的总L＝0） Nd 3(4f4 6s2,f轨道有3个电子) 总轨道角动量L 3 2 1 6
d
光谱项 综合解析
2.6.2 多电子原子的状态及量子数
多电子原子中，电子之间的相互作用是非常复杂的，但大 致可以归纳为以下几种相互作用： 电子轨道运动间的相互作用； 电子自旋运动间的相互作用； 轨道运动与自旋运动间的相互作用； 1. 角动量的耦合方案 j j j-j 耦合 l1 , s1 →j1 ； l2 , s2 →j2 j1 ， j2→J ※ L-S耦合 L，S →J l1,l2→L ；s1,s2 →S
4． 证明波函数的正交性
5． 求类氢离子某一轨道径向部分的极大、极小值 6． 某些原子（或离子）的薛定鄂方程
7． 原子的斯莱脱波函数
8． 斯莱脱法计算轨道能、电离能 9． 由原子组态推出光谱项、基谱支项
10．由光谱项判断电子排布
2.5 原子光谱和光谱项
2.5.1 原子光谱
原子中的电子一般都处于基态，当原子受到外来作用 时，它的一个或几个电子会吸收能量跃迁到较高能级，使 原子处于能量较高的新状态，即激发态。 激发态不稳定，原子随即跃迁回到基态。与此相应的 是原子以光的形式或其他形式将多余的能量释放出来。 当某一原子由高能级 E2 跃迁到低能级 E1 时，发射出 与两能级之差相应的谱线，其波数表达为下列两项之差：
0 0
0
0
-1
-2
-1
-2
mLmax 2, Lmax 2 L, (2L 1) 5
(2)总自旋角动量MS
MS
S ( S 1)
两电子体系S的可能取值
S s1 s2 , s1 s2 1,..., s1 s2
ms称为总自旋磁量子数
M Sz mS
mS ms i S, (S 1), ,(S 1), (S ) 共(2S 1)个 mS
角动量算符对易关系
角动量算符对易关系在量子力学中，角动量算符是描述物质内部角动量分布的算符。
它由二个基本算符“ a”和“ b”构成。
１、自旋算符（或角动量算符）与自旋磁矩算符的对易关系是：自旋算符与自旋磁矩算符对易，并且它们之间满足如下关系：自旋算符与自旋磁矩算符对易，并且它们之间满足如下关系：２、一般的角动量算符与自旋磁矩算符对易，并且它们之间满足如下关系：３、两个角动量算符对易的性质：１。
角动量算符与自旋算符对易，则自旋算符也可以表示为角动量算符；角动量算符与自旋磁矩算符对易，则自旋算符也可以表示为角动量算符。
角动量算符可以看成一个矢量，它的方向只取决于自旋量的符号。
两个角动量算符对易时，这两个矢量的乘积为零。
但是，在角动量算符与自旋算符对易的场合，它们的代数和不为零。
角动量算符只是角动量的线性组合，但它具有相应的特征。
可以将角动量算符理解为角动量之间的代数关系。
任何一个量子态，都可以用角动量算符来表示。
角动量算符的物理意义很明显，它的含义是自旋量与角动量对易时，得到的角动量量值。
例如：自旋角动量的算符是：，，角动量的算符是：。
根据“量子化条件”，角动量之间对易的规律就是角动量的量子化定律。
自旋角动量的单位为：１。
从能量的观点出发，一个物质可以由几个角动量算符表示。
这样，量子力学中所研究的量子态的能量，是由物质的所有角动量算符共同对易而获得的。
２、一般的角动量算符与自旋磁矩算符对易，并且它们之间满足如下关系：３、两个角动量算符对易的性质：１。
角动量算符与自旋算符对易，则自旋算符也可以表示为角动量算符；角动量算符与自旋磁矩算符对易，则自旋算符也可以表示为角动量算符。
例如：自旋角动量的算符是：，，角动量的算符是：。
根据“量子化条件”，角动量之间对易的规律就是角动量的量子化定律。
自旋角动量的单位为：１。
从能量的观点出发，一个物质可以由几个角动量算符表示。
这样，量子力学中所研究的量子态的能量，是由物质的所有角动量算符共同对易而获得的。
角动量和磁矩的关系
角动量和磁矩的关系
动量和磁矩之间的关系是物理学中一个重要的概念，它们之间的关系可以用牛顿第二定律来描述：动量和磁矩之间的关系是：动量是物体的质量和速度的乘积，而磁矩是物体的质
量和角速度的乘积。
由于动量和磁矩之间的关系是物体的质量和速度或角速度的乘积，因此，当物体的质量不变时，动量和磁矩之间的关系就是速度和角速度的关系。
也就是说，当物体的质量不变时，动量和磁矩之间的关系就是速度和角速度的比值。
另外，动量和磁矩之间的关系还可以用牛顿第三定律来描述：动量和磁矩之间的关系是：动量是物体受到的外力和速度的乘积，而磁矩是物体受到的外力和角速度的乘积。
因此，可以得出结论：动量和磁矩之间的关系是物体的质量和速度或角速度的乘积，也可
以用牛顿第三定律来描述：动量是物体受到的外力和速度的乘积，而磁矩是物体受到的外
力和角速度的乘积。
总之，动量和磁矩之间的关系是物体的质量和速度或角速度的乘积，可以用牛顿第二定律和牛顿第三定律来描述。
动量和磁矩之间的关系是一个重要的物理学概念，它们之间的关
系可以用来解释物体的运动和受力情况。
jj耦合跃迁选择定则
jj耦合跃迁选择定则在原子核物理和核能工程中，JJ耦合是指角动量耦合的一种方式，其中J代表角动量，而JJ耦合则是两个角动量J的耦合。
在核子间的相互作用中，JJ耦合的选择定则对于确定哪些核子跃迁是允许的具有重要意义。
本文将详细介绍JJ耦合跃迁选择定则的几个主要方面。
1. 相同能级跃迁在JJ耦合中，相同能级跃迁是指两个核子从同一能级跃迁到同一能级的过程。
这种跃迁只有在特定的条件下才可能发生，如跃迁过程中没有改变角动量方向。
由于这种跃迁不涉及能量交换，因此它对核子的总能量影响较小。
2. 同向自旋磁矩跃迁同向自旋磁矩跃迁是指两个核子自旋磁矩同向的跃迁过程。
这种跃迁通常发生在具有偶数宇称和奇数宇称的核子之间，因为它们在自旋磁矩方向上存在差异。
同向自旋磁矩跃迁通常会导致系统能量的增加。
3. 轨道磁矩跃迁轨道磁矩跃迁是指两个核子的轨道磁矩发生交换的跃迁过程。
这种跃迁通常与核子间的相互作用有关，如交换力或引力。
轨道磁矩跃迁通常会导致系统能量的增加。
4. 考虑自旋和轨道磁矩间的耦合效应在JJ耦合中，自旋和轨道磁矩的耦合效应对于确定哪些跃迁是允许的具有重要意义。
当两个核子间的相互作用导致它们的自旋和轨道磁矩发生耦合时，系统可能会发生能量减少的跃迁过程。
这种耦合效应通常会导致能级分裂和磁矩相互作用的变化。
5. 各向同性的耦合系数应为零在JJ耦合中，各向同性的耦合系数是指两个角动量J在所有方向上的平均耦合强度。
根据对称性原则，各向同性的耦合系数应为零。
这是因为对称性原则要求系统在空间旋转、反射或平移操作下具有不变性。
如果各向同性的耦合系数不为零，则系统将不具备这种不变性，导致其物理行为异常。
总之，JJ耦合跃迁选择定则对于理解原子核物理和核能工程中的核子相互作用和能量变化具有重要意义。
掌握这些选择定则有助于我们更好地理解和预测原子核的行为，为开发更高效的核能和核技术提供理论支持。
jj耦合情形下的朗德(Lande)因子
jj耦合情形下的朗德(Lande)因子高峰;宗志文【摘要】朗德g因子是表征原子的磁矩与角动量之间关系的一个无量纲的物理量.它决定了能级在磁场中分裂的大小,并且对于正常塞曼效应和反常塞曼效应的产生也可以给出定量的解释;在不同类型的原子中,朗德g因子的值也会不同,这对物质结构的分析也有很大帮助.另外,朗德因子在分析原子的顺磁共振以及核磁共振等现象中也起着不可忽视的作用.该文详细讨论了在各种情况下原子磁矩与角动量的关系,计算得到了jj耦合情形下的朗德因子.【期刊名称】《衡阳师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)003【总页数】5页(P43-47)【关键词】原子磁矩;LS耦合;jj耦合;朗德因子【作者】高峰;宗志文【作者单位】衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002;衡阳师范学院物理与电子工程学院,湖南衡阳 421002【正文语种】中文【中图分类】O571.2很早以前，人们就开始了对原子世界的探索和研究。
古希腊杰出的唯物主义哲学家伊壁鸠鲁和德谟克利特认为，不可分的物质颗粒是不变的，它们是永恒的，而且是处于经常的运动中，它们仅仅在形态、大小、位置和次序上有所不同，其他一些性质如声、色、味等则非它们所固有，这些微粒被取名为原子,这是人类历史上第一次提出原子的概念。
1815年，英国化学工作者普劳特发表了一种观点：有一种微小的粒子，它参与多种多样的化学反应，而其自身不被破坏或重建，这就是原子，普劳特的工作证明了原子的存在。
19世纪末，英国剑桥大学著名的卡文迪许实验室领导人汤姆逊在完成英国科学促进会交给他的一个实验问题时发现了电子的存在，并且求得了电子的质量。
1909年，为了弄清楚原子内部的状况，汤姆逊的学生卢瑟福通过α粒子散射实验观察了原子内部的结构，并且对结果经过近两年的分析，在1911年提出了原子的核式结构模型：原子的大部分质量和全部正电荷集中在原子中心很小的区域，电子则分布在该区域之外，这个带正电的小区域称为原子核。
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两个角动量的耦合与其磁矩
两个角动量的耦合
假设量子数为和的两个角动量和<它们是角动量,并没有专
指是轨道角动量或自旋角动量>,它们耦合成一个角动量,即
如此
下面证明这一结论.
证明的核心思想是：对于一个给定的量子
数,,或者,反过来,
对于一套可以反推求得量子数.
证明：
在外场方向上的分量为
由
用中的每一个值加遍中的所有值,将得到个不
同的值：
即有：.
例1：求耦合所得的.
解一：
即,相应的.
解二：
由可以得到
即,相应的.
例2、求量子数为的两个角动量耦合所得的.
解：,所以.
例3、求处于态电子的自旋与轨道角动量的耦合<L-S耦合>.
解：对于态,即电子处于的轨道,对于电子本身而言,具有自
旋角动量
电子在轨道上运动时,轨道对应的轨道角动量量子数,所以有
所以.
例4、求处于态电子的自旋与轨道角动量的耦合.
解：对于轨道上的电子,其自旋量子数,而3d的轨道量子数
由d轨道给出,对于d轨道,其相应的轨道量子数,所以
所以.
学生独立完成的例题：求处于态电子的自旋于轨道角动量的耦合. 例5、两个电子分别处于2p和3p轨道,求总的自旋角动量量子数,总的自旋角动量,总的轨道量子数,总的轨道角动量,以与总的角动量量子数和总角动量.
解：
对于2p上的电子,其自旋量子数；
对于3p上的电子,其自旋量子数
总的自旋量子数
总的自旋角动量
当电子处于2p轨道时,轨道量子数
当电子处于3p轨道时,轨道量子数
总的轨道量子数
总的轨道角动量
总的角动量量子数为,这要分情况讨论：
对于s=1,,有,
对于
对于
对于
注意,上面的结果中,J的大小一样的有很多个,但它们分别属于不同的状态,所以不能合并在一起,只写一个.
该如何区分J值一样,但却不同的状态呢？这需要用到所谓的原
子态符号来表示.
L-S耦合的原子态符号表示
为了区分的原子所处的状态,引入原子态符号
用总的轨道量子数所对应的大写字母来表示.如对应
,,L如此分别用P,D,F,G,H,I…代表.
为总的自旋量子数,如s=1,如此2s+1=3,那么就在大写字
母的左上角写上3；如s=0,如此2s+1=1,如此左上角就写上1；如
s=1/2,2s+1=2,那么就在左上角写上2.
就是总的角动量量子数.
例：写出的原子态符号.
解：对应的轨道大写字母为P,s=1可以得到2s+1=3,所以原子态为
例：写出的原子态符号.
解：由题目可知j=0,所以,其原子态为
例、写出的原子态符号.
解：由题目知j=l+s,…,|l-s|=3,所以原子态符号为
例、写出2p态电子所形成的原子态符号.
解：对于2p态的电子,.
对于,其原子态符号为
对于,其原子态符号为
对于s和L都一样的原子态,上面的两个结果可以合并写在一起：,虽然写成一个符号,但里面有两个不同的j值,所以代表2个
不同的原子态.
例、写出1s态电子所形成的原子态符号
例、写出3d态电子所形成的原子态符号
例、两个电子分别处于2p3p态,求L-S耦合所形成的原子态符号. 解：
对于2p态的电子,
对于3p态的电子,
总自旋量子数
总的轨道量子数为
对于,原子态为
对于,原子态为
对于,原子态为
对于,原子态为,合并为
对于,原子态为
对于
,原子态为
作业：两个电子分别处于2p 和3d 轨道,求总的自旋角动量量子数,总的自旋角动量,总的轨道量子数,总的轨道角动量,以与总的角动量量子数和总角动量.并写出L-S 耦合所形成的原子态符号.
反过来,我们也应该能够从一个给定的原子态符号中得到
的值. 例、对于原子态
,求
的值.
解：由2s+1=3可得s=1；由右下角的数值5可以得出j=5,对于大写字母H,所对应的轨道量子数
,即
.
耦合的方式
<1>LS 耦合：就是轨道角动量L 和自旋角动量S 的耦合,通常是先求
出总轨道角动量以与总自旋角动量,然后再用和耦合成总角动量.
对于LS 耦合,可以使用原子态符号
来表示.
<2>jj耦合：就是每个轨道上的单个电子的自旋与轨道先耦合成一个
角动量,然后各个之间耦合成一个总的角动量.即
对于jj耦合,通常用来表示.
例、2个电子分别处于2s2p轨道,求jj耦合所得到的角动量.
解：
电子处于2s轨道时,
电子处于2p轨道时,
所以对于,有：
当时,,对应的原子
态有,可以合并写成,对应的角动量的大小分别为.
当时,,对应的原子态为,可以合并
写成,相应的角动量大小为.
<3>其他的耦合方式：如处在第轨道上的电子自旋与轨道上轨道角
动量先耦合等等.这种情况耦合的强度远远弱于前面两种,通常不考虑.
耦合角动量相对应的磁矩以与朗德因子
对于量子数的两个角动量,,其与相应的磁矩
为
而与相应的磁矩为
这两个磁矩的耦合得到
由于可能会与不相等,所以得到的与可能不在同一直线上,
会有一夹角,即.而在方向上的投影,即为,即有
而
所以有
即有：对于和耦合所得到的,其朗德因子
例如,对于LS耦合,,为轨道角动
量,为自旋角动量,那么,其朗德因子为
这样,
如果,意味着,根据可知,要么或
或垂直于
例1、求的
解：对于,有,,
代入
,所以
例2、求的.
例3、电子处于2p轨道上,求其原子态、角动量和磁矩的可能值.
例4、两个电子处于2s3p 轨道,求LS耦合的原子态、角动量和磁矩的可能值.
例5、两个电子处于2s3p 轨道,求jj耦合的原子态、角动量和磁矩的可能值.
解：
对2s轨道上的电子,,相应的朗德因子
对3p轨道上的电子,.
当时,其朗德因子为
当时,其朗德因子为
所以jj耦合的结果为
相应的角动量大小为,磁矩,磁矩在外场方向
上的分量为.
相应的角动量大小为,磁矩,磁矩在外场方向上的分量为.
相应的角动量大小为,磁矩,磁矩在外场方向上的分量为.
相应的角动量大小为,磁矩0,磁矩在外场方向上的分量为0.。