(可用)概率期望方差)第十一章 单元测试卷讲解

第十一章 单元测试卷1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30 2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( )A ．1B ．(C 110)2 C ．C 120D ．C 10203.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同位或同列的概率是( )a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33A.37B.47C.1314D.114 4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53 C ．5 D ．3 5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.236．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122 B.111 C.322 D.2117．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.1188．2011年陕西园艺世博会期间，某国旅游团计划从8个他们最喜爱的中国城市里选择6个进行游览．如果M ，N ，P 为必选城市，并且在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，则他们可选择的不同游览线路有( )A ．240种B ．480种C ．600种D ．1200种9．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712) B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1) 10．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( )A ．12种B ．48种C ．90种D ．96种11．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625 B.96625 C.624625 D.462512．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)若在△ABC 中，A B →与a 同向，C B →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是( )A.512 B.712 C.39 D.4913．在神舟八号飞船飞行的过程中，地面上有A 、B 、C 、D 四个科研机构在接收其发回的重要信息．这四个科研机构两两之间可以互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息．某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有________．14．2012年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为________．17．为备战2012年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率．18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．19．某农学院毕业生为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系，对一亩700棵高粱进行抽样调查，高度频数分布表如下：表1：红粒高粱频数分布表(2)估计这块地中高粱高(单位：cm)在[165,180)的概率；(3)在红粒高粱中，从高度(单位：cm)在[180,190)中任选3棵，设ξ表示所选3棵中高(单位：cm)在[180,185)的棵数，求ξ的分布列和数学期望．20.李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．21．某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到车站．求：(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)该旅客候车时间的分布列； (3)该旅客候车时间的数学期望．22． 2011年12月25日某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品：点数之和小于8点的不得奖．求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)若该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a 的值．1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30答案 B 解析 从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C 35＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．选择B.2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．(C 110)2 C ．C 120 D ．C 1020 答案 D 解析 因为(1＋x )10(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x )10＝(x ＋1x)20(x >0)，所以T r ＋1＝C r20(x )20－r (1x)r ＝C r 20x 10－r，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 1020，选D. 3.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同位或同列的概率是( )a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33A.37B.47C.1314D.114 答案 C 解析 所取三数既不同行也不同列的概率为6C 39＝114，所求概率为1－114＝1314. 4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A.73B.53C ．5D ．3 答案 A 解析 由已知2a －3，与a ＋2关于3对称，故(2a －3)＋(a ＋2)＝6，解得a ＝73.5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 C 解析 由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A 表示取出的x 满足sin x ＋3cos x ≤1这样的事件，对条件变形为sin(x ＋π3)≤12，即事件A 包含的区域长度为π2.∴P (A )＝π2π＝12.6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122 B.111 C.322 D.211答案 D 解析 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C 23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有C 13C 13种取法 因此所求的概率为C 23＋C 13C 13C 212＝2117．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.118答案 B 解析 将一个骰子连抛三次，共有n ＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的有6种，共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝112.8．2011年陕西园艺世博会期间，某国旅游团计划从8个他们最喜爱的中国城市里选择6个进行游览．如果M ，N ，P 为必选城市，并且在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，则他们可选择的不同游览线路有( )A ．240种B ．480种C ．600种D ．1200种答案 D 解析 此题分三步完成：先从除M ，N ，P 之外的5个城市中选3个，有C 35＝10种选法；将选中的6个城市全排列A 66＝720种排法；由于在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，∴需要消序，故共有C 35A 66A 33＝1200种的旅游线路．9．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712) B ．(712，1) C ．(0，12) D ．(12，1) 答案 C 解析 发球次数X 的分布列如下表，所以期望EX ＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75，解得p >52(舍去)或p <12，又p >0，故选C.10．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( )A ．12种 B ．48种 C ．90种 D ．96种答案 B 解析 可按照场地号安排，一号场地安排方法是C 23C 12C 12＝12；二号场地只能从剩余的一个国家的2人中任选一人，有2种选法，另一人从一号场地剩余的两个国家的另两人中任选一人，有2种选法；第三场地由剩余两人当裁判，因此总的选法有12×2×2＝48.11．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625 B.96625 C.624625 D.4625答案 B 解析 从6个球中摸出两球有C 26＝15种方法，两球号码之积是4的倍数有6种方法，则获奖概率为P ＝25，4人摸奖恰有3人获奖的概率是C 34·35·(25)3＝96625. 12．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)若在△ABC 中，A B →与a 同向，C B →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是( ) A.512 B.712 C.39 D.49答案 A 解析 要使∠ABC 是钝角，必须满足A B →·C B →＜0，即a ·b ＝n －m ＞0，连掷两次骰子所得点数m 、n 共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是512.13．在神舟八号飞船飞行的过程中，地面上有A 、B 、C 、D 四个科研机构在接收其发回的重要信息．这四个科研机构两两之间可以互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息．某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有________．答案 16种 解析 第一类：A 直接发送给B ，C ，D 三处，有C 33＝1种．第二类：A 直接发送给B ，C ，D 中的两处，再由其中一处通知第四处，有C 23·C 12＝6种．第三类：A 直接发送给B ，C ，D 中的一处，再由该处通知另两处，有C 13·(C 12＋1)＝9种．所以由A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有1＋6＋9＝16种． 14．2012年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．答案14解析 P ＝C 17×C 36·C 33A 22C 39·C 36·C 33A 33＝21C 39＝14.15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案 1解析 由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 24＝12，故Eξ＝0×12＋2×12＝1.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为________．答案 54000解析 用直接法：k ＝C 13C 15＋C 13C 25＋C 23C 15＝15＋30＋15＝60，x 4的系数为C 26k 2＝15×3600＝54000.17．为备战2012年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率． 解析 以该选手射击的频率近似估算概率．(1)射击一次击中8环以上的概率约为P ＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件P 1，则P 1＝0.2，一次射击命中9环为事件P 2，则P 2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(P 1)2＝0.04，两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为 P (B )＝C 12P 1P 2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18. 18．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)；(2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．解析 (1)P (ξ＝0)＝C 03(12)3＝18；P (ξ＝1)＝C 13(12)3＝38；P (ξ＝2)＝C 23(12)3＝38；P (ξ＝3)＝C 33(12)3＝18. ξ的概率分布如下表：E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927.(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A ，“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B 1，“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.19．某农学院毕业生为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系，对一亩700棵高粱进行抽样调查，高度频数分布表如下：表1：红粒高粱频数分布表(2)估计这块地中高粱高(单位：cm)在[165,180)的概率；(3)在红粒高粱中，从高度(单位：cm)在[180,190)中任选3棵，设ξ表示所选3棵中高(单位：cm)在[180,185)的棵数，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)样本中红粒高粱为40棵，白粒高粱30棵，由抽样比例可得这亩地中红粒高粱棵数为400. 频率分布直方图如图所示：(2)由表1、表2可知，样本中高在[165,180)的棵数为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，样本容量为70，∴样本中高在[165,180)的频率f ＝4270＝35.(3)依题意知ξ的可能值为：1,2,3.∵P (ξ＝1)＝C 14C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15，∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.20．.李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解析 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×(12)3＋C 13×12×(12)2＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110，P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B (3，12)，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )<E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．21．某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到车站． 求：(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)该旅客候车时间的分布列； (3)该旅客候车时间的数学期望．解析 (1)第一班客车若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到第一班客车，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)该旅客候车时间的分布列为：(3)该旅客候车时间的数学期望为10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30. ∴该旅客候车时间的数学期望是30 min.22． 2011年12月25日某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品：点数之和小于8点的不得奖．求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)若该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a 的值．解析 (1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x ，y )，其中1≤x ，y ≤6，则获一等奖只有(6,6)一种可能，其概率为136；获二等奖有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)，共5种可能，其概率为536. 设事件A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则由(1)知P (A )＝C 13×136×(536)2＝2515552. (2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30－a ，－70,0,30，其分布列为：则Eξ＝(30－a )×136＋(－70)×536＋0×14＋30×712＝310－a36，由Eξ＝0，得a ＝310.1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________. 2． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.343．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( )A ．9局B ．11局C ．13局D ．18局4．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ＝( )A.827 B.1681 C.113 D.65815.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种6．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)＝x2－ηx－1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.7．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．(1)求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；(2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．8．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并n、a、p的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为邻队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.9．四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1).(1)求ξ的分布列与数学期望；(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3,4)中，若P(ξ＝2)的值最大，求a的取值范围．10．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ＝x＋y. (1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f(x)＝x2－ξx－1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________.答案 4 解析 令x ＝0，则有a 0＝n ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2n ＋1－2.又∵C n n ·10·x n ＝a n x n ，∴a n ＝1.∴29－n ＝2n ＋1－2－1－n ，则n ＝4.2． 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 C 解析 从4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为4C 24＝23. 3．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( ) A ．9局 B ．11局 C ．13局 D ．18局答案 A 解析 由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为5＋6－2＝9. 4．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ＝( )A.827 B.1681 C.113 D.6581答案 C 解析 ξ＝1时，P 1＝C 04(13)4(23)0＝134，ξ＝2时，P 2＝C 14(13)3·23＝834， ξ＝3时，P 3＝C 24·(13)2·(23)2＝2434，ξ＝4时，P 4＝C 34(13)·(23)3＝3234， ξ＝5时，P 5＝C 44(23)4＝1634，Eξ＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113.5.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种答C 解抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处是指三次投掷骰子之和为12，第一颗骰子点数为1时，有2种方法；第一颗骰子点数为2时，有3种方法；第一颗骰子点数为3时，有4种方法；第一颗骰子点数为4时，有5种方法；第一颗骰子点数5时，有6种方法；第一颗骰子点数为6时，有5种方法，共有2＋3＋4＋5＋6＋5＝25(种)方法． 6．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f (x )＝x 2－ηx －1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ. 解析 (1)函数f (x )＝x 2－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有⎩⎨⎧f (4)<4f (6)>0即：⎩⎨⎧16－4η－1<036－6η－1>0，解得154<η<356，所以，η＝4或η＝5， 当η＝4时，P 1＝C 220＋C 110C 115C 250＝68245， 当η＝5时，P 2＝C 120C 115C 250＝1249， η＝4与η＝5为互斥事件，所以有一个发生的概率公式P ＝P 1＋P 2＝68245＋1249＝128245. (2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3.于是P (ξ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝27，P (ξ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 115C 120C 250＝2249， P (ξ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝1049，P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝349. 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：Eξ＝0×27＋1×2249＋2×1049＋3×349＝5149.7．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换． (1)求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；(2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．解析 (1)记A ＝{互换后中国馆恰有2个广东旅游团}，①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团为事件A 1的概率为P (A 1)＝C 12C 12C 14C 15＝15.②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件A 2的概率为P (A 2)＝C 12C 13C 14C 15＝310.又A ＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝15＋310＝12.∴互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为12.(2)设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 12C 13C 14C 15＝310，P (ξ＝2)＝12，P (ξ＝3)＝C 12C 12C 14C 15＝15，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝310×1＋12×2＋15×3＝1910.∴互换后中国馆内广东旅游团的期望为1910.8．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并n 、a 、p 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为邻队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .解析 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，∴高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，∴n ＝2000.2＝1000.由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1000×0.3＝300，∴p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为1000×0.15＝150，∴a ＝150×0.4＝60.(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，∴采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．∵随机变量X 服从超几何分布，∴P (X ＝0)＝C 012C 36C 318＝5204，P (X ＝1)＝C 112C 26C 318＝1568，P (X ＝2)＝C 212C 16C 318＝3368，P (X ＝3)＝C 312C 06C 318＝55204.∴随机变量X 的分布列为∴EX ＝0×5204＋1×1568＋2×3368＋3×55204＝2.9．四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a <1).(1)求ξ的分布列与数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3,4)中，若P (ξ＝2)的值最大，求a 的取值范围． 解 (1)P (ξ)是ξ个正面向上，4－ξ个背面向上的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 02(1－12)2C 02(1－a )2＝14(1－a )2，P (ξ＝1)＝C 12·12(1－12)C 02(1－a )2＋C 02(1－12)2C 12a (1－a )＝12(1－a )，P (ξ＝2)＝C 22·(12)2C 02(1－a )2＋C 12·12(1－12)C 12a (1－a )＋C 02(1－12)2C 22a 2＝14(1＋2a －2a 2)， P (ξ＝3)＝C 22(12)2C 12a (1－a )＋C 12·12(1－12)C 22a 2＝a 2，P (ξ＝4)＝C 22(12)2C 22a 2＝14a 2.∴ξ的分布列为 ξ的数学期望为Eξ＝0×14(1－a )2＋1×12(1－a )＋2×14×(1＋2a －2a 2)＋3×a 2＋4×14a 2＝2a ＋1.(2)∵0<a <1，∴P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)．则P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝14(1＋2a －2a 2)－1－a 2＝－14(2a 2－4a ＋1)≥0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝14(1＋2a －2a 2)－a 2＝－14(2a 2－1)≥0，由⎩⎨⎧2a 2－4a ＋1≤0，2a 2－1≤0，得222≤a ≤22，即a 的取值范围是[2－22，22]． 10．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记ξ＝x ＋y . (1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率． 解析 (1)由题知随机变量ξ的可能取值为2,3,4.从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C 24＝6. 当ξ＝2时，摸出的小球所标的数字为1、1，∴P (ξ＝2)＝16.当ξ＝4时，摸出的小球所标的数字为2、2，∴P (ξ＝4)＝16.∴可知当ξ＝3时，P (ξ＝3)＝1－16－16＝23，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝2×16＋3×23＋4×16＝3.(2)∵函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点，∴f (2)f (3)＜0，即(3－2ξ)(8－3ξ)＜0， ∴32＜ξ＜83，且ξ的所有可能取值为2、3、4， ∴ξ＝2，∴P (A )＝P (ξ＝2)＝16，∴事件A 发生的概率为16.。