概率单元测试

概率数学专题卷

第I卷（选择题）

一、选择题

1.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )

A.

1

10

B.

1

5

C.

3

10

D.

2

5

2.某校高二年级航模兴趣小组共有10人,其中有女生3人,现从这10人中任意选派2人去参加一项航模比赛,则有女生参加此项比赛的概率为( )

A.

8

15

B.

7

15

C.

4

15

D.

1

15

3.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概

率为8

9

的是( ) | ]

A.颜色相同

B.颜色不全同

C.颜色全不同

D.无红球

4.从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个,则取出的两个小球中没有红色的概率为( )

A. 2

5

B.

3

5

C.

5

6

D.

9

10

5.有一个正方体的玩具,六个面分别标注了数字1,2,3?,4,5,6,甲乙两位学生进行如下游戏:甲先抛掷一次,记下正方体朝上的数字为a,再由乙抛掷一次,朝上数字为b,若

1

a b

-≤就称甲、乙两人“默契配合”,则甲、乙两人“默契配合”的概率( )

A. 1

9

B.

2

9

C.

7

18

D.

4

9

6.在20袋牛奶中,有3袋已过了保质期,从中任取一袋,取到已过保质期的牛奶的概率为( )

A. 17

20

B.

3

10

C.

3

20

D.

7

10

7.赵爽创制了一幅“勾股弦方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股弦方图”中,以弦为边长的正方形内接于大圆,该正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的,图中小圆内切于小正方形.从大圆中随机取一点,设此点取自阴影部分的概率为P,则P的取值范围是( )

A. 12,2π??

??? B. 20,π?? ??? C. 14,2π?? ??? D. 40,π?? ???

8.利用计算机产生01~之间的均匀随机数a ,则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为( ) A.

12 B. 14 C. 34 D. 23

9.两根相距6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m 的概率为( ) A.

12 B. 14 C. 13 D. 16

10.某电视台在娱乐频道节目播放中,每小时播放广告20分钟,那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为( ) A.

12 B. 13 C. 14 D. 16

11.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是( )

A.12

B.9

C.8

D.6

12.有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯,设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的,则2个人在不同层离开的概率为( ) A.

19 B. 29 C. 49 D. 89

二、填空题

13.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之和为8的概率为 14.在区间[]0,1上随机取两个数,,x y 记1p 为事件“1

2

x y +≤”的概率, 2p 为事件“1

2

xy ≤

”的概率,则12,,p p 按从小到大排列为 15.一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未完全击毁的概率为 .

16.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 .(填序号)

①“至少有一个黑球”与“都是黑球”;

②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”; ③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”; ④“至少有一个黑球”与“都是红球”.

三、解答题

17.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家1A ,2A ,3A 和3个欧洲国家1B ,2B ,3B 中选择2个国家去旅游。

1.若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;

2.若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括1A 但不包括1B 的概率.

18.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满100元可以转动如图的圆盘一次,其中O 为圆心,且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券 (例如:某顾客消费了218元,第一次转动获得了20元, 第二次获得了10元,则其共获得了30元优惠券).顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动.

1.若顾客甲消费了128元,求他获得优惠券面额大于0元的概率;

2.若顾客乙消费了280元,求他总共获得优惠券面额不低于20元的概率.

19.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是

1

2

.(若是古典概率模型请列出所有基本事件) 1.求n 的值;

2.从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b ;

①记“2a b +=”为事件A ,求事件A 的概率;

②在区间[]0,2内任取2个实数,x y ,求事件“()2

2

2

x y a b +>-恒成立”的概率.

20.微信运动和运动手环的普及,增强了人民运动的积极性,每天一万步称为一种健康时尚,某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动,经过几个月的扎实落地工作后,学校想了解全校师生每天一万步的情况,学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式,不少于16千步为超健康生活方式者,其他为一般生活方式者,学校委托数学组调查,数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况,结合实际及便于分层抽样,认定全校教师人数为200人,高一学生人数为700人,高二学生人数600人,高三学生人数500,从中抽取n 人作为调查对象,得到了如图所示的这n 人的频率分布直方图,这n 人中有20人被学校界定为不健康生活方式者.

1.求这次作为抽样调查对象的教师人数;

2.根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数(四舍五入精确到整数步);

3.校办公室欲从全校师生中抽取3人作为“每天一万步”活动的慰问对象,学校计划界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励0元,超健康生活方式者表彰奖励20元,一般生活方式者鼓励性奖励10元,利用样本估计总体,将频率视为概率,求这次校办公室慰问奖励金额恰好为30元的概率.

21.某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段,下表是初赛成绩(得分均为整数,满分为100分)的频率分布表.

1.求频率分布表中,,,的值;

2.决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答3道判断题,答对3道题获得一等奖,答对2道题获得二等奖,答对1道题获得三等奖,否则不得奖.若某同学进入决赛,且其每次答题回答正确与否均是等可能的,试列出他回答问题的所有可能情况,并求出他至少获得二等奖的概率.

22.甲、乙、丙三个车床加工的零件分别有350个、700个、1050个,现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.

1.求分别从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的个数;

2.从抽取的6个零件中任意取出2个,已知这2个零件都不是甲车床加工的,求其中至少有1个是乙车床加工的概率。

参考答案

一、选择题 1.答案：D

解析：如下表所示,表中的点横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数 1 2 3 4 5 1

(1,1) (1,2)

(1,3) ] (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2)

(2,3)

(2,4) (2,5) 3

(3,1) (3,2) 学 ] (3,3)

(3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2)

(4,3)

(4,4) (4,5) 5 (5,1)

(5,2) (5,3)

(5,4)

(5,5)

总计有25种情况,满足条件的有10种,所以所求概率为102255

=。 2.答案：A 学 解析： 3.答案：B 解析： 4.答案：B 解析： 5.答案：D

解析：由题意得总事件数为6636?= ;而满足1a b -≤事件数为

23333216+++++= ,因此所求概率为

164

369

= ,选D. 学 ] 6.答案：C 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：C

解析：要使关于x 的一元二次方程2

0x x a -+=无实根,需140a ?=-<,解得由几何概型

的定义,可知所求概率1

134104

P -

=

=-. 9.答案：C 解析：

10.答案：B 解析：

11.答案：B

解析：根据题意,设阴影部分的面积为S,则正方形的面积为36, 向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分内, 则向正方形内随机投掷一点,其落到阴影部分的概率2001

8004

P ==, 而36s P =

,则1364

s =解可得, 9S =; 故选B.

12.答案：D 解析：

法一:设2个人分别在x 层,y 层离开,则记为(x,y).基本事件构成集合

()()()()()()()()()()()(){}2,2,2,3,2,4,,2,10,3,2,3,3,3,4,,3,10,10,2,10,3,10,4,,10,10,

Ω=???

所以除了()()()()2,2,3,3,4,4,,10,10?以外,都是2个人在不同层离开,故所求概率

9998

999

P ?-=

=?

法二:其中一个人在某一层离开,考虑另一个人,也在这一层离开的概率为1

9

,故不在这一层离开的概率为89

. 二、填空题 13.答案：

536

解析： 学 14.答案：121

2

p p <

< 解析：解析:如图,满足条件的x,y 构成的点(x,y)在正方形OBCA 内,其面积为1.事件

“1

2

x y +≤

”对应的图形为阴影△ODE, 其面积为11112228??=,故111 82p =<;事件“1

2

xy ≤ ”对应的图形为斜线表示部分,其

面积显然大于1

2,

故21,2p >则121

2

p p <<

15.答案：0.4

解析：因为目标被击毁,未受损,受损但未被完全击毁是互斥事件,所以目标受损但未完全击毁的概率为10.20.40.4P =--=,故填:0.4. 16.答案：③

解析：当两个球都为黑球时,“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生,故①中两个事件不互斥;

当两个球一个为黑,一个为红时,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”,故②中两个事件不互斥;

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生,也可以同时不发生,故③中两个事件互斥而不对立;

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生,但必然有一种情况发生,故④中两个事件对立; 故答案为:③ 三、解答题

17.答案：1.由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}13,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}23,A B ,{}33,A B ,{}32,A B ,{}31,A B ,{}31,B B ,{}21,B B ,{}23,B B ,共15个,所选国家都是亚洲国

家的事件所包含的基本事件有: {}12,A A ,{}13,A A ,{}23,A A ,共3个.∴232631

155

C P C ===.

2.从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{}11,A B ,{}12,A B ,{}13,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}23,A B ,{}33,A B ,{}32,A B ,{}31,A B ,

共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的事件所包含的基本事件有: {}12,A B ,{}13,A B ,共2个.

所求事件的概率为: 111211

332

9

C C P C C ==. 解析：

18.答案：1.设“甲获得优惠券面额大于0元”为事件A .

因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分区域的面积相等,所以指针停在20元、10元、0元区域内的概率都是

13

.

顾客甲获得优惠券面额大于0元,是指指针停在20 元或10元区域.

根据互斥事件的概率公式,有()112333

P A =

+=. 2.设“乙获得优惠券面额不低于20元”为事件B 因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券面额为x 元,第二次转动转盘获得优惠券面额为y 元, 则基本事件空间可以表示为=Ω{(20,20), (20,10),

(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20), (0,10),(0,0)}, 即Ω中含有9个基本事件,每个基本事件发生的概率为19

, 而乙获得优惠券金额不低于20元,是指x+y 20≥,

所以事件B 中包含的基本事件有6个,所以乙获得优惠券面额不低于20元的概率为

()6293

P B =

=. 解析：

19.答案：1.依题意

1

22

n n =+,得2n =. 2.①记标号为0的小球为s ,标号为1的小球为t ,标号为2的小球为,k h ,则取出2个小球的可能情况有:

()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,s t s k s h t s t k t h k s k t k h h s h t h k 共12种,其

中满足“2a b +=”的有4种: ()()()(),,,,,,,s k s h k s h s ,所以所求概率为()41

123

P A =

= ②记“()2

2

2

x y a b +>-恒成立”为事件B ,则事件B 等价于“2

2

4x y +>恒成立”, ()

,x y 可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为

{}(,)|02,02,,x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈,而事件B 构成的区域为

{}22(,)|4,(,)B x y x y x y =+>∈Ω

所以所求的概率为()22

21

224124

B s P B s ππΩ-??===- 解析：

20.答案：1.由频率分布直方图知[)0,4的频率为0.0540.2?=,于是20

0.2n

=,100n =,由分层抽样的原理知这次作为抽样调查对象的教师人数为

2001

1001001020070060050010

?

=?=+++人.

2.由频率分布直方图知[)0,4的频率为0.2,[4,8)的频率为0.25,[)8,12的频率为0.3,

设中位数为 x ,则()0.20.2580.0750.5x ++-?=,于是26

3

x =

(千步); 3.由频率分布直方图知不健康生活方式者概率为0.2,超健康生活方式者的概率为0.1,一般生活方式者的概率为0.7?, 因为

3010101001020=++=++020*******=++=++102002001020100=++=++=++,

这次校办公室慰问奖励金额恰好为30元的概率为3

0.760.20.70.10.427+???=. 解析：

21.答案：1. 8a =,0.34b =,6c =,0.12d =.

2.用“对”表示回答该题正确,用“错”表示回答该题错误,则所有可能的情况有:(对,对,对),(对,对,错),(对,错,对),(错,对,对),(对,错,错),(错,对,错),(错,错,对),(错,错,错),故他至少获得二等奖的概率为12

. 解析： ]

22.答案：1.由分层抽样的特点,可知从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件个数分别为1,2,3. 2.记抽取的6个零件分别为112123,,,,,a b b c c c 其中1a 是甲车床加工的12,b b 是乙车床加工的,

123,,c c c 是丙车床加工的.事件“这2个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),()(,),(,),(,),b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 共10种可能,

其中至少有1个是乙车床加工的可能结果为

12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b b b c b c b c b c b c b c 共7种可能,故至少有一个乙车床加

工的概率为710

解析：