福建省泉州市2017年5月初中毕业班质量检测数学试题(含答案解析)
2020年福建省福州市初中毕业班质量检测卷(数学卷)附详细解析
2020年福建省(福州市)初中毕业班质量检测数 学 试 题(测试范围：中考范围 测试时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在实数π4，－227，2.02002，38中，无理数的是( )A ．π4B ．－227C ．2.02002D ．382．下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．赵爽弦图 笛卡尔心形线 科克曲线 斐波那契螺旋线3．下列运算中，结果可以为3-4的是( ) A ．32÷36B ．36÷32C ．32×36D ．(－3)×(－3)×(－3)×(－3)4．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( ) A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形5．若a ＜28－7＜a ＋1，其中a 为整数，则a 的值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。
问人数、鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧9x －11＝y 6x ＋16＝yB ．⎩⎪⎨⎪⎧9x －11＝y 6x －16＝yC ．⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋11＝y 6x ＋16＝yD ．⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋11＝y 6x －16＝y7．随机调查某市100名普通职工的个人年收入(单位：元)情况，得到这100人年收入的数据，记这100个数据的平均数为a ，中位数为b ，方差为c ．若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则a 一定增大，那么对b 与c 的判断正确的是( ) A ．b 一定增大，c 可能增大 B ．b 可能不变，c 一定增大C ．b 一定不变，c 一定增大D ．b 可能增大，c 可能不变8．若一个粮仓的三视图如图所示(单位：m)，则它的体积(参考公式：V 圆锥=13S 底h ，V 圆柱=S 底h )是( )A ．21πm 3B ．36πm 3C ．45πm 3D ．63πm 39．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心，CE 长为半径作⌒EF ，交CD 于点F ，连接AE ，AF ．若AB ＝6，∠B ＝60°，则阴影部分的面积是( ) A ．63＋2πB ．63＋3πC ．93－3πD ．93－2π第8题 第9题10．小明在研究抛物线y ＝－(x －h ）2－h ＋1(h 为常数)时，得到如下结论，其中正确的是( ). A ．无论x 取何实数，y 的值都小于0B ．该抛物线的顶点始终在直线y ＝x －1上C ．当－1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则h ＜2D ．该抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＞2h ，则y 1＞y 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．计算：2-1＋cos60°＝ ．12．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数，若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能够构成一组勾股数的概率是 ．13．一副三角尺如图摆放，D 是BC 延长线上一点，E 是AC 上一点，∠B ＝∠EDF ＝90°，∠A ＝30°，∠F ＝45°，若EF ∥BC ，则∠CED 等于 度．第13题15．如图，在⊙O 中，C 是⌒AB 的中点，作点C 关于弦AB 的对称点D ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，若∠BAE ＝2∠EBF ，则∠EBF 等于 度．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴的负半轴上，C ，D 在反比例函数y ＝k x(x＞0)的图像上，AD 与y 轴交于点E ，且AE ＝23AD ，若△ABE 的面积是3，则k 的值是 ．第15题 第16题三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ≤6， ①3x ＋12＞x ． ②并把不等式组的解集在数轴上表示出来．18．(本小题满分8分)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，求证：∠A ＝∠D ．19．(本小题满分8分)先化简，再求值：x 2＋1x 2＋2x ＋1÷1x ＋1－x ＋1，其中x ＝3－1．20．(本小题满分8分)如图，已知∠MON ，A ，B ，分别是射线OM ，ON 上的点．(1)尺规作图：在∠MON 的内部确定一点C ，使得BC ∥OA 且BC ＝12OA ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中，连接OC ，用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得OD ＝2CD ，并证明OD ＝2CD ．21．(本小题满分8分)甲，乙两人从一条长为200m 的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息，图1是甲出发后行走的路程y (单位：m)与行走时间x (单位：min)的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离s (单位：m)与甲行走时间x (单位：min)的函数图象． (1)求甲，乙两人的速度； (2)求a ，b 的值．图1 图222．(本小题满分10分)某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过m(单位：t)的部分按平价收费,超出m的部分按议价收费，为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准m，通过抽样,获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量(单位：t)，将这1000个数据按照0≤x＜4，4≤x＜8…，28≤x＜32分成8组,制成了如图所示的频数分布直方图．(1)写出a的值,并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表)(2)假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m，请判断若以(1)中所求得的平均数作为标准m是否合理？并说明理由．23．(本小题满分10分)如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E是AC的中点，连接ED，点F在⌒BD上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接AF，求AFBG的最大值．24．(本小题满分12分)已知△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 是AB 边上一点，连接CD ，E 是CD 上一点，且∠AED ＝45°． (1)如图1，若AE ＝DE ， ①求证：CD 平分∠ACB ； ②求ADDB的值；(2)如图2，连接BE ，若AE ⊥BE ，求tan ∠ABE 的值．图1 图225．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=kx2＋(4k2－k)x的对称轴是y轴，过点F(0，2)作一直线与抛物线C相交于点P，Q两点，过点Q作x轴的垂线与直线OP相交于点A．(1)求抛物线C的解析式；(2)判断点A是否在直线y＝－2上，并说明理由；(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，过抛物线C上的任意一点(除顶点外)作该抛物线的切线l，分别交直线y＝2和直线y＝－2于点M，N，求MF2－NF2的值．2019-2020学年度福建省质量检测数学试题参考答案一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项正确)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACABBABCCD二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11．1 12．14 13．15 14．4 15．18 16．94三、解答题(共9题，满分86分) 17.(本小题满分8分)解：解不等式①，得x ≤3． ……………………………………………………………………3分解不等式②，得 x ＞－1． …………………………………………………………………5分 ∴原不等式组的解集是－1＜x ≤3， ………………………………………………………6分 将该不等式组解集在数轴上表示如下：……………………………………………………………8分18.(本小题满分8分)证明：∵点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ∴BE ＋EF ＝CF ＋EF∴BF ＝CE ……………………………………………………………………………………3分在△ABF 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ∠B ＝∠C BF ＝CE∴△ABF ≌△DCE ……………………………………………………………………………6分 ∴∠A ＝∠D …………………………………………………………………………………8分 19.(本小题满分8分)x 2＋1＝x 2＋1x ＋1－(x ＋1)(x －1)x ＋1…………………………………………………………………4分＝x 2＋1x ＋1－x 2－1x ＋1…………………………………………………………………………5分＝2x ＋1…………………………………………………………………………………6分 当x ＝3－1时，原式＝23－1＋1………………………………………………………………7分＝23＝233…………………………………………………………………………8分20.(本小题满分8分) 解：画法一： 画法二：………………………………………4分 (1)如图，点C 、D 分别为(1)，(2)所求作的点. ……………………………5分(2)证明如下：由(1)得BC ∥OA ，BC ＝12OA ，∴∠DBC ＝∠DAO ，∠DCB ＝∠DOA ，∴△DBC ∽△DAO ，…………………………………………………………7分 ∴DC DO ＝BC AO ＝12， ∴OD ＝2CD ……………………………………………………………………8分21.(本小题满分8分)解：(1)由图1可得甲的速度是120÷2＝60m /min . …………………………………………………2分由图2可知，当x ＝43时，甲，乙两人相遇，故(60＋v 乙)×43＝200，解得v 乙＝90m /min . …………………………………………………………………………4分(2)由图2可知：乙走完全程用了b min ，甲走完全程用了a min ，∴b ＝20090＝209，………………………………………………………………………………6分 a ＝20060＝103. ………………………………………………………………………………8分 ∴a 的值为103，b 的值为209. 22．(本小题满分10分)(1)依题意a ＝100 ·································································································· 2 分 这1000户家庭月均用水量的平均数 为：72.141000203060261002222018280114180101006402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ， ∴估计这1000户家庭月均用水量的平均数是14.72.·······················································6分(2)解法一：不合理.理由如下·····················································································7分 由(1)可得14.72在12≤x ＜16内，这1000户家庭中月均用水量小于16t 的户数有40＋100＋180＋280＝600(户),····················································································8分 ∴这1000家庭中月均用水量小于16t 的家庭所占的百分比是%60%10010060=⨯ ∴月均用水量不超过14.72t 的户数小于60%··································································9分 ∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m而60%＜70%，∴用14.72作为标准m 不合理.····················································································10分 解法二：不合理.理由如下··························································································7分 ∵该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m∴数据中不超过m 的频数应为700，·············································································8分 即有300户家庭的月均用水量超过m又20＋60＋100＝160＜300,20＋60＋100＋220＝380＞300∴m 应在16≤x <20内·································································································9分 而14.72＜16∴用14.72作为标准m 不合理.·····················································································10分23．(本小题满分10分)(1)证明：连接OD ，AD∵AB 为⊙O 直径，点D 在⊙O 上∴∠ADB＝90°…………………………………………………………………………………………1分∴∠ADC＝90°∵E是AC的中点∴DE＝AE∴∠EAD＝∠EDA……………………………………………………………………………………2分∵OA＝OD∴∠OAD＝∠ODA……………………………………………………………………………………3分∵∠OAD＋∠EAD＝∠BAC＝90°∴∠ODA＋∠EAD＝90°即∠ODE＝90°…………………………………………………………………………………………4分∴OD⊥DE∵D是半径OD的外端点∴DE是⊙O的切线……………………………………………………………………………………5分(2)解法一：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF∴∠AHF＝90°∵AB为⊙O的直径，点F⊙O在上∴∠AFB＝90°∴∠BAF＋∠ABF＝90°∵∠BAC＝90°∴∠G＋∠ABF＝90°∴∠G＝∠BAF…………………………………………………………………………………………6分∵∠AHF＝∠GAB＝90°∴△AFH∽△GBA ……………………………………………………………………………………7分∴AFGB＝FHBA………………………………………………………………………………………………8分由垂线段最短可得FH≤OF……………………………………………………………………………9分当且仅当点H，O重合时等号成立∵AC＜AB∴⌒BD上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合∴AFGB＝FHBA≤OFBA＝12……………………………………………………………………………………10分即AFGB的最大值为12解法二：取GB 中点M ，连接AM∵BAG ＝90°∴AM ＝12GB ……………………………………………………………………………………………6分 ∵AB 为⊙O 的直径，点F ⊙O 在上∴∠AFB ＝90°∴∠AFG ＝90°∴AF ⊥GB ………………………………………………………………………………………………7分 由垂线段最短可得AF ≤AM …………………………………………………………………………8分 当且仅当点F ，M 重合时等号成立此时AF 垂直平分GB即AG ＝AB∵AC ＜AB∴⌒BD 上存在点F 使得F 为GB 中点∴AF ≤12GB ……………………………………………………………………………………………9分 ∴AF GB ≤12………………………………………………………………………………………………10分 即AF GB 的最大值为1224．(本小题满分12分)(1)①证明：∵∠AED ＝45°，AE ＝DE ，∴∠EDA ＝180°－45°2＝67.5°·················································································· 1 分 ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∠DCA ＝22.5°， ································································· 2 分 ∴∠DCB ＝22.5°，即∠DCA ＝∠DCB ，∴CD 平分∠ACB ． ······························································································· 3 分 ②解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，∴∠DFB ＝90°．∵∠BAC ＝90°，∴DA ⊥CA ．又CD 平分∠ACB ，∴AD ＝FD ，········································································································· 4分 ∴ AD DB ＝FD DB在Rt △BFD 中，∠ABC ＝45°，∴sin ∠DBF ＝FD DB ＝22····························································································· 5 分 ∴ AD DB ＝22··········································································································· 6 分 (2)证法一：过点A 作AG ⊥AE 交CD 的延长线于点G ，连接BG ，∴∠GAE ＝90°．又∠BAC ＝90°，∠AED ＝45°，∴∠BAG ＝∠CAE ，∠AGE ＝45°，∠AEC ＝135°， ························································ 7 分 ∴∠AGE ＝∠AEG ，∴AG ＝AE ． ··········································································································8 分 ∵AB ＝AC ，∴△AGB ≌△AEC ， ································································································ 9 分 ∴∠AGB ＝∠AEC ＝135°，CE ＝BG ，∴∠BGE ＝90°． ·····································································································10 分 ∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝90°，∴∠BEG ＝45°，在Rt △BEG 和Rt △AGE 中，BE ＝GE cos45°＝2GE ，AE ＝GE •cos 45°＝22GE ， ······························································ 11 分 在Rt △ABE 中，tan ∠ABE ＝AE BE ＝22GE GE ＝12． ································································ 12 分 (也可以将△AEB 绕点 A 逆时针旋转 90°至△AFC 得到AE ＝22EF ，CF ＝2EF ) 证法二：∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠ABE ＝90°．∵∠AED ＝45°，∴∠BED ＝45°，∠EAC ＝∠ECA ＝45°，∴∠AEC ＝∠BEC ＝135°． ······················································································ 7 分∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝∠EAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠EAC ．∵∠ABC ＝45°，∴∠ABE ＋∠EBC ＝45°，∴∠ECA ＝∠EBC ， ······························································································· 8 分 ∴△BEC ∽△CEA ，∴ BE CE ＝EC EA ＝BC CA． ································································································ 9 分 在Rt △ABC 中，BC ＝CA cos45°＝2CA ， ··································································· 10 分 ∴BE CE ＝EC EA ＝2, ∴ BE ＝2CE ,AE ＝22CE ． ·················································································· 11 分 在Rt △ABE 中，tan ∠ABE ＝AE BE ＝22CE CE ＝12································································ 12 分 25．(本小题满分14分)解：(1)∵抛物线C 的对称轴是y 轴，∴－4k 2－k 2k＝ 0且k ≠0，…………………………………………………………………………1分 ∴4k －12＝0 解得k ＝14，………………………………………………………………………………………3分 ∴抛物线C 的解析式为y ＝14x 2……………………………………………………………………4分 (2)点A 在直线y ＝－2上……………………………………………………………………………5分 理由如下：∵过F (0，2)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点∴直线PQ 与x 轴不垂直设直线PQ 的解析式为y ＝tx ＋2将y ＝tx ＋2带入y ＝14x 2得x 2－4tx －8＝0 ∴ △ ＝16t 2＋32＞0∴该方程有两个不相等的实数根x 1,x 2不妨设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)∴直线OP 的解析式为 y ＝y 1x 1x ………………………………………………………………………6分设A (m ，n ),∵QA ⊥x 轴交直线OP 于点A∴m ＝x 2∴n ＝y 1x 1•x 2＝14x 12•x 2x 1＝14x 1x 2……………………………………………………………………………7分 又方程x 2－4tx －8＝0的解为x ＝2t ±2t 2+2∴x 1x 2＝(2t ＋2t 2+2)(2t －2t 2+2)＝4t 2－4(t 2＋2)＝－8∴14x 1x 2＝－2 即点A 的纵坐标为－2………………………………………………………………………………9分 ∴点A 在直线y ＝－2上（3）∵切线l 不过抛物线C 的顶点∴设切线l 的解析式为y ＝ax ＋b (a≠0)将y ＝ax ＋b 代入y ＝14x 2 得x 2－4ax －4b ＝0………………………………………………10分 依题意得△＝0即(－4a )2－4×(－4b )＝16a 2＋16b ＝0∴b ＝－a 2∴切线l 的解析式为y ＝ax －a 2……………………………………………………………………11分当y ＝2时，x ＝a 2+2a ，∴(a 2+2a，2)………………………………………………………………12分 当y ＝－2时，x ＝a 2－2a ，∴(a 2－2a，2) …………………………………………………………13分 ∵F (0，2)∴MF 2＝(a 2+2a)2， 由勾股定理得NF 2＝(a 2－2a )2＋(－2－2)2 ∴MF 2－NF 2＝(a 2+2a )2－[(a 2－2a)2＋(－2－2)2] ＝(a 2+2a ＋a 2－2a )(a 2+2a －a 2－2a)－16 ＝2a 2a •4a－16 ＝8－16＝－8……………………………………………………………………………14分。
福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测(一)数学试题
一、单选题二、多选题1.已知全集，集合，集合，则A．B．C．D．2. 已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则3. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．4.已知，则的值为（ ）A．B．C．D．5. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．D ．6. 椭圆E：的左右焦点分别为，，点P 在椭圆E 上，的重心为G .若的内切圆H 的直径等于，且，则椭圆E 的离心率为（ ）A．B．C．D．7.焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）A．B．C．D．8. 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.A ．40B ．24C ．20D ．129. 已知，设，其中则（ ）A．B．C ．若，则D．10. 已知，则（ ）A ．若，则B ．若，则福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（一）数学试题福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（一）数学试题三、填空题四、解答题C ．若，则D ．若，则11. 已知函数（ ）A ．在上单调递增B ．在上单调递增C ．在上有唯一零点D ．在上有最小值为12. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足的是（ ）A．B．C．D．13. 某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：苗木长度x （厘米）384858687888售价y （元）16.818.820.822.82425.8由表可知，苗木长度x （厘米）与售价y（元）之间存在线性相关关系，回归方程为，则当苗木长度为150厘米时，售价大约为__________．14.半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.15. 已知，则__________.16. 已知函数，（1）设，求函数的值域；（2）在中，角所对应的边为.若，的面积为.求的值.17. 设函数，其中.(1)当时，求函数的值域；(2)设，当时，①证明：函数恰有两个零点；②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.18. 阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P －ABCD 就是阳马结构，PD ⊥平面ABCD ，且，，．(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积．19.已知函数，其中（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若对任意恒有，试确定的取值范围．20. 赌徒分金问题是概率论发展史上最著名的问题之一，1651年法国著名统计学家德·梅赫将它提请著名数学家帕斯卡解决，后来大数学家费马和惠更斯也参与了讨论并给出一般性推广．以下是赌徒分金问题的例子：(1)甲乙两个选手实力相当（即每人每局胜的概率都是），约定谁先赢4局，就获胜，并赢得奖金10000元，但在甲胜3局，乙胜2局时，比赛被迫中止，请计算甲最后获胜的概率和分到奖金的数学期望．(2)甲选手每局获胜的概率为，乙选手每局获胜的概率为，现在甲胜3局，乙胜2局，给出方案一：谁率先赢4局谁赢得奖金；方案二：谁率先赢5局谁赢得奖金，如果你是甲选手，你怎样选择比赛方案，并解释其理由．21. 为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：喜欢数学竞赛不喜欢数学竞赛合计男生70女生30合计已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．（1）将2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取3人，女生抽取2人，再在这5人中抽取3人，调查其喜欢的活动类型，求抽取的3人中至少有一名女生的概率．参考公式及数据：．P （K 2≥k ）0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k0.460.71 1.32 2.07 2.71 3.845.0246.6357.87910.828。
2017年福建省泉州市初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准(初定稿)20170516-1
解法二：画树状图如下:
女1 女 2女 3男 1男 2
女2 女 1女 3男 1男 2
女3 女 1女 2男 1男 2
男1 女 1女 2女 3男 2
男2 女 1女 2女 3男 1
…7 分
所有等可能的结果为 20 种，其中抽到一男一女的为 12 种， 所以 P （抽到 1 男 1 女）
12 3 ．……………………………………………………………8 分 20 5
1 2
12. x( x 2)( x 2)
13． 8 14． (3, 2)
15. ( 3, 1) 16． 4
三、解答题（共 86 分） 17． （本小题 8 分） 解：原式 x 2 x x 1 2 x …………………………………………………………………6 分
2 2
= 2 x 1 …………………………………………………………………………………7 分
21． （本小题 8 分） (1)80，135° ；条形统计图如图所示；………3 分 (2)该校对安全知识达到“良”程度的人数：
30 25 1200 =825 （人）………………5 分 80
（3）解法一：列表如下:
女1 女1 女2 女3 男1 男2 --女 1女 2 女 1女 3 女 1男 1 女 1男 2 女2 女 2女 1 --女 2女 3 女 2男 1 女 2男 2 女3 女 3女 1 女 3女 2 --女 3男 1 女 3男 2 男1 男 1女 1 男 1女 2 男 1女 3 --男 1男 2 男2
∴ AD
3 2 3 x . ……………………………………………………………9 分 3 3 过点 P 分别作 PM x 轴，PN AD, 垂足分 y 别为 M , N , 由①得 AC 平分 OAD. D C ∴ PM PN. N P 3 2 3 F （x, x+ )(-2 x 1)， 设P 3 3 P 3 2 3 M O A B x E PM PN = x+ . ………………10 分 3 3 ∵直线 DP 把阴影部分的面积分成 1: 2 的两部分
2024届福建省泉州市高三上学期质量监测数学试题(二)及答案
泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){20},{236}A x xB x x x x =->=-<-∣∣，则A B = （ ）A. ()3,+∞B. ()2,+∞ C. ()2,5 D. ()2,32. 已知复数12ππcos isin ,i 55z z =+=，则12z z 在复平面内对应点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知()0,π,sin cos θθθ∈=，则sin cos =θθ（ ）A. B. 12-C.12D.4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）x -2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1的A. ()xf x ka b=+B. ()e xf x kx b=+C. ()f x k x b =+D. ()2(1)f x k x b=-+6. 若抛物线24y x =与椭圆2222:11x y E a a +=-的交点在x 轴上的射影恰好是E 的焦点，则E 的离心率为（ ）A.B.C.1D.1-7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ）A. 70B. 140C. 252D. 5048. 已知函数()()41134f x x x x=+≤≤-.若函数()y f x a =-存在零点，则a 的取值范围为（ ）A. 97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 913,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 抛掷一枚股子，设事件A =“出现点数为偶数”，事件B =“出现的点数为3的倍数”，则（ ）A. A 与B 是互斥事件B. A B ⋃不是必然事件C. ()13P AB =D ()23P A B ⋃=10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则（ ）的.A. 12033f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23032f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 25052f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，焦点为F ，过F 的直线m 与C 交于,A B 两点，则（ ）A. l 的方程为1y =-B. l 与以线段AB 为直径的圆相切C. 当线段AB 中点的纵坐标为2时，3AB =D. 当m 的倾斜角等于45 时，8AB =12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（ ）A. DE //平面ABC B. 球F 的表面积等于100πC. 点D 到平面ACED. 平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于45三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AB AD ==- ，则||||AC BD +=__________.14. 数列{}n a 中，111,2+==+nn n a a a ，则4a =__________.15. 已知直线:2l x y +=，圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C 的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）16. 若222ln 0x x a x -+≥，则a 的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1133522,5,20a b a b a b ==+=+=.（1）求{}n a 的公差d ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若0n a >，求20S .18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在[)5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：cm ）如下：10.212.8 6.4 6.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为16.1cm .已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列22⨯列联表，依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++α0.050.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.82819. 如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体PABCDQ ..（1）求证：PA 平面QBC ；（2）求平面PCD 与平面QBC 的夹角的正弦值.20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.21. ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin B C b cb B Ca c+-==+-.（1）若π6C =，求a ；（2）点D 是ABC 外一点，AC 平分BAD ∠，且2π3ADC ∠=，求BCD △的面积的取值范围.22. 动圆C 与圆221:(4C x y ++=和圆222:(4C x y -+=中的一个内切，另一个外切，记点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知点()331,,42M t t x ⎛⎫<<⎪⎝⎭轴与E 交于,A B 两点，直线AM 与E 交于另一点P ，直线BM 与E交于另一点Q ，记,ABM PQM 面积分别为12,S S .若214915S S =，求直线PQ 的方程.的泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){20},{236}A x xB x x x x =->=-<-∣∣，则A B = （ ）A. ()3,+∞B. ()2,+∞ C. ()2,5 D. ()2,3【答案】D 【解析】【分析】求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为()236x x x -<-，所以2560x x -+<，解得：23x <<，所以{2},{23}A xx B x x =>=<<∣∣，所以A B = ()2,3.故选：D .2. 已知复数12ππcos isin ,i 55z z =+=，则12z z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算和坐标对应方式即可做出选择.【详解】12ππππcos isin i sin icos 5555z z ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，对应复平面内对应的点ππsin ,cos 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为ππsin0,cos 055-<>，所以ππsin ,cos 55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.故选：B3. 已知()0,π,sin cos θθθ∈=，则sin cos =θθ（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数关系和θ范围即可解出sin cos θθ==，则得到答案.【详解】因为()0,π,sin cos θθθ∈=，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合22sin cos 1θθ+=，解得sin cos θθ==，则21sin cos 2θθ==，故选：C.4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）A. π B. 2πC. 4πD. 8π【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利用圆柱的体积公式即可求解.【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为r ，则因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，所以()2228r ⨯+=，解得1r =.所以该圆柱的体积为2π122π⨯⨯=.故选：B.5. 函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）x -2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A. ()xf x ka b=+B. ()e xf x kx b=+C. ()f x k x b =+D. ()2(1)f x k x b=-+【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 的数据即可得出答案.【详解】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f -=-=，偶函数满足此性质，可排除B ，D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C .故选：A .6. 若抛物线24y x =与椭圆2222:11x y E a a +=-的交点在x 轴上的射影恰好是E 的焦点，则E 的离心率为（ ）A.B.C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可.【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A ，椭圆E 右焦点为F ，则根据题意得AF x ⊥轴，()22211c a a =--=，则1c =，则()1,0F ，当1x =时，241=⨯y ，则2A y =，则()1,2A ，代入椭圆方程得22221211a a +=-，结合210a ->，不妨令0a >；解得1a =+，则其离心率1c e a ===-，故选：C.7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ） D. 504C. 252B. 140A. 70【答案】B 【解析】【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有15C 5=种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有24A 4312=⨯=种选法，所以此时满足题意的选法有1254C A 51260=⨯=，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有14C 4=种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有45A 5420=⨯=种选法，所以此时满足题意的选法有1245C A 42080=⨯=，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于6080140+=种.故选：B8. 已知函数()()41134f x x x x=+≤≤-.若函数()y f x a =-存在零点，则a 的取值范围为（ ）A. 97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 913,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】对()f x 求导，求出()f x 的单调性和最值，函数()y f x a =-存在零点，即()y f x =与y a =的图象有交点，即可求出a 的取值范围.【详解】()()()()()()22222223884133264444x x x x f x x x x x x x -+--+-=-+==--'-，令()0f x '<，解得：813x <<；令()0f x '>，解得：833x <<，所以()f x 在813⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()411311413f =+=-，()41733433f =+=-，84198834433f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-，所以()f x 的最大值为133，最小值为94，故()913,43f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x a =-存在零点，即()0f x a -=，即()y f x =与y a =的图象有交点，所以913,43a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C ,二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 抛掷一枚股子，设事件A =“出现的点数为偶数”，事件B =“出现的点数为3的倍数”，则（ ）.A. A 与B 是互斥事件B. A B ⋃不是必然事件C. ()13P AB =D. ()23P A B ⋃=【答案】BD 【解析】【分析】利用事件的关系，互斥事件与对立事件的定义结合古典概型的概率公式，即可判断求解.【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，事件A =“出现的点数为偶数”包含2，4，6三种结果，事件B =“出现的点数为3的倍数”包含3，6两种结果，对于A ，事件A ，B 有可能同时发生，故事件A ，B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A B ⋃包含2,3,4,6四种结果，所以A B ⋃不是必然事件，故B 正确；对于C ，事件AB 包含6一种结果，所以()16P AB =，故C 错误；对于D ，()()()()32126663P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确.故选：BD.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则（ ）A. 12033f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23032f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 25052f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】求出函数的周期，根据周期性计算函数值再判断即可.【详解】因为()()1f x f x +=-，则()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为2，对A ，11sin33f π⎛⎫==⎪⎝⎭，因为()()1f x f x +=-，令13x =-，则121223333f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦-⎣，显然12033f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对B ，因为()()2f x f x =+，则2433f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，31121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2310323f f ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D ，22sin π055f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，51πsin 1222f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则25052f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BD.11. 已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，焦点为F ，过F 的直线m 与C 交于,A B 两点，则（ ）A. l 的方程为1y =-B. l 与以线段AB 为直径的圆相切C. 当线段AB 中点的纵坐标为2时，3AB =D. 当m 的倾斜角等于45 时，8AB =【答案】ABD 【解析】【分析】A ，根据抛物线定义及圆与直线相切的判定判断B ，利用抛物线的定义求弦长可判断CD.【详解】由抛物线2:4C x y =的方程可知12p=，所以准线方程为1y =-，故A 正确；设AB 中点为M ，过,,B M A 分别作准线的垂线，垂足分别为,,B M A '''，则由梯形中位线可得2BB AA MM +='''，再由抛物线定义可得，,BF BB AF AA '=='，所以22BF AFAB MM +=='，即圆心到准线的距离等于半径，所以l 与以线段AB 为直径的圆相切，故B 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，因为AB 中点的纵坐标为2，所以124y y +=，由抛物线的定义可知12116AB AF BF y y =+=+++=，故C 错误；当m 的倾斜角等于45 时，由于(0,1)F ，所以直线m 的方程为1y x =+，联立214y x x y=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2610y y -+=，所以126y y +=，由抛物线定义可得12118AB AF BF y y =+=+++=，故D 正确.故选：ABD12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（ ）A. DE //平面ABC B. 球F 表面积等于100πC. 点D 到平面ACED. 平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于45【答案】AC 【解析】【分析】由球心F 在平面ABC 上的投影位置及D 点求球心F 的坐标和球半径，可得E 点坐标，利用空间向量计算点D 到平面ACE 的距离和平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值.【详解】平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =，2(3,0,0)DE x =+ ，则0n DE ⋅=，又因为DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ，A 正确；因为()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，则AB BC ⊥，球心F 在平面xOy 上的投影点即ABC 外接圆圆心(0,1,0)F '，的设(0,1,)F z ，因FC FD =，则22222(12)(03)(12)(1)z z -+=++-+-，得5z =，即(0,1,5)F，球半径R FC ==，球F 表面积4π26104πS =⨯=，B 错误；由FE R =，2222(0)(21)(15)26x -+-+-=，得23x =，(3,2,1)E ，(0,2,0)AC =，(3,2,1)AE = ，设平面ACE 的一个法向量(,,)m a b c = ，AE m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以32020a b c b ++=⎧⎨=⎩，取(1,0,3)m =- ，(3,2,1)AD =- ，点D 到平面ACE的距离等于AD m m ⋅== ，C 正确；同理可得平面ACD 的一个法向量(1,0,3)s =，平面ACD 与平面ACE的夹角的余弦值等于45s m s m ⋅==⋅ ，正弦值等于35，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：注意到A ，B ，C 三点共面，且平面ABC 即为平面xOy ，所以易得球心F 在平面ABC 上的投影，将空间问题平面化.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AB AD ==- ，则||||AC BD +=__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，则()5,0A A C AB D =+=，()3,4BD AD AB =-=-，则||||10AC BD +==，故答案为：10.14. 数列{}n a 中，111,2+==+nn n a a a ，则4a =__________.【答案】15【解析】【分析】根据递推关系求解即可.为【详解】由111,2+==+nn n a a a ，可得2123a a =+=，2322347a a =+=+=，34327815a a =+=+=.故答案为：1515. 已知直线:2l x y +=，圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C 的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）【答案】224x y +=（答案不唯一）【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可.【详解】若圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则劣弧所对圆心角为1242ππ⨯=，设圆C 的半径为r ，则圆心到直线l 的距离为sin4r π=，不妨使得圆心为坐标原点，设圆C 的方程为222x y r +=，，解得2r =，则此时圆C 的方程为224x y +=，故答案为：224x y +=（答案不唯一.）16. 若222ln 0x x a x -+≥，则a 的取值范围为__________.【答案】{2}-【解析】【分析】令2()22ln f x x x a x =-+，根据(1)0f =，可转化为min ()(1)f x f =，利用()01f '=求出a ，再检验即可得解.【详解】令2()22ln f x x x a x =-+，则定义域为(0,)+∞，且(1)0f =，由题意，0x ∀>，()0(1)f x f ≥=，min ()(1)f x f ∴=，又()f x 在(0,)+∞上可导，所以1x =为函数()f x 的极值点，()42af x x x'=-+，(1)420f a '∴=-+=，即2a =-，当2a =-时，224222(21)(1)()42x x x x f x x x x x--+-'=--==，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()(1)0f x f ==，()0f x ≥成立.综上，222ln 0x x a x -+≥时a 的取值范围为{2}-.故答案为：{2}-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1133522,5,20a b a b a b ==+=+=.（1）求{}n a 的公差d ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若0n a >，求20S .【答案】（1）12d =或52d =- （2）10-【解析】【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前n 项和公式即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得222252440d q d q ⎧++=⎨++=⎩，整理，得22232210q d q d ⎧+=⎨++=⎩，消去q ，得24850d d +-=，解得12d =或52d =-.【小问2详解】由（1）得112q d =-⎧⎪⎨=⎪⎩或252q d =⎧⎪⎨=-⎪⎩.因为0n a >，所以0d >，故112q d =-⎧⎪⎨=⎪⎩.从而()13,212n n n n a b -+==⋅-，()()131n n n a b n -=+⨯-1122334455661919202200S a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++= 4567892223--+-+=+-+ ()()4682257923++++-+++=+ ()()10422105231022⨯+⨯+=-=-.18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在[)5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：cm ）如下：10212.8 6.4 6.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为16.1cm .已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列22⨯列联表，依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？.等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.050.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.828【答案】（1）15，16.35 （2）详见解析【解析】【分析】（1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分位数定义求高二男生成绩第40百分位数；（2）列出列联表，计算2χ.【小问1详解】依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以450.140a ⨯==，解得002a =.由(0.010.070.04)51ab ++⨯++=，解得0.06b =.由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数()1 2.50.017.50.0212.50.0717.50.0622.50.045x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯12.5(100.0550.100.3550.3100.2)15=⨯⨯⨯+--+++=⨯⨯.由200.48⨯=，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20) 有8人,所以第40百分位数m 在[15,20)中，故15.916.816.352m +==.由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为 16.35.【小问2详解】根据样本，知高一男生成绩良好及以上占50%，良好以下占50%，高二男生成绩良好及以上占1260%20=，良好以下占840%20=，由样本估计总体，可得22⨯列联表如下：良好及以上良好以下合计高一300300600高二300200500合计6005001100零假设为0H ：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.根据列联表中的数据，得()220.0051100300200300300117.879600500600500x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.19.如图，两个棱长均等于2PABCDQ .（1）求证：PA 平面QBC ；（2）求平面PCD 与平面QBC 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线可得//PA QC ，再由线面平行的判定定理得证；的（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求出平面夹角的余弦，再转化为正弦即可.【小问1详解】连结,AC BD ，交于点O ，连结,PO QO ，由正四棱锥性质可知PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ，所以,,P O Q 三点共线，又四边形ABCD 是正方形，可得,,PO AC BD 两两垂直，且交于点O .以O 为原点，分别以,,OB OC OP的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，由2AO PA ==，在Rt PAO △中，PO =，则(()()())(,0,,,,,0,0,P A D C BQ ，从而((0,,PA QC ==，故PA QC =-，又A QC ∉，所以//PA QC ，又PA ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ，所以PA 平面QBC .【小问2详解】由（1）可得(((,,,PC PD QC QB ====，设平面PCD 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111110n PC n PD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令11z =，得1(1,1,1)n =-，设平面QBC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222220n QB n QC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21z =，得2(1,1,1)n =--，所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅===，设平面PCD 与平面QBC 的夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ==，所以sin θ==.20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.【答案】（1）710（2）详见解析 （3）详见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；（3）根据（2）猜想()()()()P ABC P A P B A P C AB =，由条件概率公式证明即可.【小问1详解】记事件“第i 次摸到红球”为()1,2,3,,10i A i = ，则第2次摸到红球的事件为2A ，于是由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+7237710310910=⨯+⨯=.【小问2详解】由已知得()371123310A 7A 24P P A A A ===，()21710P P A ==，()()()21273212110A 107102|A 71573P A A P P A A P A ===⨯=⨯=，()()()1234312127155|2478P A A A P P A A A P A A ===⨯=.【小问3详解】由（2）可得1234P P P P =，即()()()()123121312||P A A A P A P A A P A A A =，可猜想：()()()()P ABC P A P B A P C AB =,证明如下：由条件概率及()0()0,P A P AB >>，得()()()|P AB P B A P A =，()()()|P ABC P C AB P AB =，所以()()()()()()()()()P AB P ABC P A P B A P C AB P A P ABC P A P AB =⋅⋅=.21. ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin B C b cb B Ca c+-==+-.（1）若π6C =，求a ；（2）点D 是ABC 外一点，AC 平分BAD ∠，且2π3ADC ∠=，求BCD △的面积的取值范围.【答案】（1）2 （2）0BCD S < 【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出即可；（2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式1sin 2BCD S BC CD BCD =×Ð 结合导数求出范围.【小问1详解】由正弦定理可知sin sin sin a b cA B C==，所以()()sin sin πsin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a c+--====++++-，所以222222a ac b c a c b ac -=-Þ+-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，因为ABC 的内角,,A B C ，所以π3B =，又π6C =，所以π,2π2cos 6b A a ====.【小问2详解】由正弦定理22sin sin sin AC BC BC BACB BAC ===Þ=ÐÐ，22sin sin sin AC CD CD DACADC DAC ==Þ=ÐÐÐ，又AC 平分BAD ∠，所以BAC DAC ∠=∠，因为四边形ABCD 的内角和为2π，且πB ADC ∠+∠=，易知π2BAC BCD -Ð=Ð，所以1sin 2BCD S BC CD BCD =×Ð 1=2sin 2sin sin 2BAC DAC BCD ´Ð´Ð´Ð()22sin sin π2BAC BAC =д-Ð22sin sin 2BAC BAC =дÐ()1cos 2sin 2BAC BAC =-ÐÐ，①设2BAC x Ð=，则①()1cos sin sin cos sin x x x x x =-=-，令()sin cos sin f x x x x =-，则()()()222()cos sin cos 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x ¢=--+=-++=+-+，因为在ACD 中π03DAC <Ð<，所以202π3BAC <Ð<，所以1cos 12x -<<，所以1cos 12x -<<时()0f x '>恒成立，且1cos 2x =-，2π3x =时()f x =，cos 1x =，0x =时()0f x =，则0()f x <，所以0BCD S < .22. 动圆C 与圆221:(4C x y ++=和圆222:(4C x y -+=中的一个内切，另一个外切，记点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知点()331,,42M t t x ⎛⎫<<⎪⎝⎭轴与E 交于,A B 两点，直线AM 与E 交于另一点P ，直线BM 与E交于另一点Q ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S .若214915S S =，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y -=（2）280x y --=【解析】【分析】（1）根据题意可得1212||||4||CC CC C C -=<=，利用双曲线的定义可判断轨迹，写出方程；（2）联立直线与双曲线的方程，分别求出,P Q 关于t 的坐标，利用三角形面积公式及面积比值可得1t =，可得,P Q 坐标，据此求出直线方程.【小问1详解】由题意，圆心分别为12(C C ，两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，由题意得12||2||2R CC CC =-=+或21||2||2R CC CC =-=+，故1212||||4||CC CC C C -=<=，所以点C 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为4的双曲线,其中21,a c b ====，所以轨迹E 的方程为2214x y -=.【小问2详解】如图，由题意可得()(),,,203,2,0AM BM tA B k k t -==-，所以直线AM 的方程为()23ty x =+，直线BM 的方程为(2)y t x =--，设()()1122,,,P x y Q x y ，由()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得()2222941616360t x t x t ----=，由2121636,2,94A A P P t x x x x x t --⋅==-=-，得21281894t x t+=-，从而212281812239494t t ty t t ⎛⎫+=+= ⎪--⎝⎭，故22281812,9494t t P t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，由()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得()222214161640t x t x t -+--=，由2216414B Q t x x t --⋅=-，22,B Q x x x ==，得2228241t x t +=-，从而222282424141t ty t t t ⎛⎫+-=-⋅-= ⎪--⎝⎭，故22282441,14t t Q t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，因为,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，且214915S S =，sin sin PMQ AMB ∠∠=，所以211sin 21sin 2MP MQ PMQS S MA MB AMB ⋅∠==⋅∠()()121211|1||1|||||||||1(2)123x x x x MP MQ MA MB ---⋅-⋅==⋅--⋅-，由214915S S =，得214915S S =，即()()()22224349159441t t t+=--，又因为34t <()()()22224349159441t t t+=--，化简，可得21t =，解得1t =，当1t =时，2655,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，1033,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以124532261053PQk +==-,所以直线PQ 的方程为1226255y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即280x y --=.。
2018年福建省福州市初中毕业班质量检测数学试题及答案
(1) 抽样调查的人数共有
人；
(2) 就福州地铁建设情况随机采访该校一名学生，哪部分学生最可能 被采访到，为什么？
22. （ 9 分）某班去看演出，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元，如 果 35 名学生购票恰好用去 750 元，甲乙两种票各买了多少张？ 23. (10 分 ) 如图， AB 为⊙ O的直径，弦 AC=2，∠ B= 30 °，∠ ACB的 平分线交⊙ O于 点 D，求： (1) BC ， AD的长。 (2) 图中两阴影部分面积的和．
∴∠ BDE= ∠BAC= ，
∵ BD= 2BC=2sin ， ∴ BE=BD· sin =2sin .sin ∴ AE=AB-BE=l-2sin 2 ，
=2sin 2 ,
∴ cos2
AE 1 2sin 2
cos DAE
AD
1
2
1 2sin
阅读以上内容，回答下列问题： (1) 如图 l ，若 BC=1 ，则 cos =
）
＞2 .
3．下列图形中，是轴对称图形的是（
）
4. 福州近期空气质量指数 (AQI) 分别为： 78，80， 79， 79， 81， 78，
80， 80，这组数
据的中位数是（
）
A ．79
B
．79.5
C
．80
D
．80.5
5．如图， ⊙ O中，半径 OC=4，弦 AB垂直平分 OC，则 AB的长是 （ ）
3
(2) 求出 sin 2 的表达式（用含 sin
， cos2 =
；
或 cos 的式子表示） ．
25. （ 13 分）如图，△ AABC 中， AC=8， BC=6， AB =10．点 P 在 AC 边
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(带答案解析)
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科)数学试题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1-- 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ）A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（ ） A ．－14 B ．－12 C ．－17 D ．125．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．38C ．70D ．2406．已知函数41()2x x f x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1- 9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（ ） A．a B ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5n f ()*n N ∈的前2020项的和为（ ） A ．101051+ B ．1010514- C ．1010512- D ．101051- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥ C ．三棱锥11C B CE -的体积为13 D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（ ）A ．3B ．43CD ．213．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r ，则a b +=r r _________.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 15．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________.16．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，BC =BD ；（2）若DC =，求cos ACB ∠.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？ 附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.参考答案1．B【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z所以{}2,1,0,1N =--， 又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．2．C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=- 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5．A【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】 解：因为41()222x x x x f x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >> 即a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件， 当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．D【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．D 【解析】 【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得； 【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大值sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确； 22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11．ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g，1B C =u u u rBD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12．AD 【解析】 【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==． 故选：AD ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14．43【解析】 【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解； 【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题. 15．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 274【解析】 【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16．⎤⎥⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<以111142MB <≤， 依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 27A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27⎛⎤⎥ ⎝⎦本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题. 17．（1）BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，BC =1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠， 即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得BD =（2）设ACB θ∠=，AB x =， 则2DAC θ∠=，DC =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==， 在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，sin sin 3xθπ=，sinsin 23sin x πθθ⋅=⋅2sin cos sin xθθθ=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．（1）证明见解析（2）7【解析】 【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值； 【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥， 当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点， 所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P，B，A ，(0,0,1)EP =u u u r，EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可； （2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得； 【详解】解：（1）由己知得221a b -=， 因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+， 联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O到直线l的距离为d==，所以直线l被圆O截得的弦长为5l===.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 20．（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元，易知X可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21．（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-， 记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<， 所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>， 所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<， 根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数， 又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10xu x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤， 当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12； 当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。
2024福建省三明市高三下学期5月质量检测三模数学试题及答案
三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数 学 试 题（本试卷总分150分， 考试时间120分钟。
）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线y=-x+2与圆 x ²+y ²=4相交于M ，N 两点，则|MN|= 2 B.2 2 D.42. 已知a ，b ，c 分别为ΔABC 三个内角A ，B ，C 的对边， a =3，b =37，c =7，则A+C 的值为 A.π6 B.π3 C.2π3D.5π63.随机变量ξ~ N （μ，σ²），函数 f (x )=x ²−4x +ξ没有零点的概率是 12，则μ的值为 A. 1 B.2 C.3 D.44.若 a =−b =−c =log 2313，则A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. b>c>a5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数（3750）8转换为十进制数的算法为3×8³+7×8²+5×¹+0×8⁰=2024.若将八进制数 77⋯76个7转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是A.3B.4C.5D.66.函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点为图象与x 轴的交点，C 为图象的最高点，且△ABC 是等腰直角三角形，若 OB =−3OA ，则向量 A O 在向量 AC 上的投影向量的坐标为A. −14 , −14B. 14 , 14C. −12 , −12D. 12 ,127.已知抛物线x ²=2p y(p >0)的焦点为F ，第一象限的两点A ，B 在抛物线上，且满足|AF|-|BF|=3，|AB|=3 2若线段AB 中点的横坐标为3，则p 的值为A.2 B.3 C.4 D.58.已知函数f (x )=e ˣ⁻¹−e ¹⁻ˣ+x ³−3x ²+3x ，若实数x ，y 满足f (3x ²)+f (2y ²−4)=2，则x+y 的最大值为A. 1B.52C. 5D.303二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.i 是虚数单位，下列说法正确的是 A.i 2024=−1B.若 ω=−12−32i ，则 ω2=ωC.若|z|=l，z∈C，则|z-2|的最小值为1D.若-4+3i是关于x的方程x²+px+q=0(p,q∈R)的根，则q=710.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为35B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为120C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为37150D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为183711.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，B C，C1D1的中点，则下列说法正确的是A.若点P在正方体的表面上，且PE⋅PG=0，则点P的轨迹长度为24πB.若三棱锥F-C1CE的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为14πC.过点E，F，D1的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形的周长为2+213D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .13.已知关于x的不等式(x−keˣ)[x²−(k+3)x+9]≤0对任意x∈(0，+∞)均成立，则实数k的取值范围为 .14.记N∗m ={1,2,3,⋯,m}(m∈N∗),A k表示k个元素的有限集，S（E）表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k ={S(Ak)|Ak⊆N∗m}，则M4,3=，若S(M m,2)≥817，则m的最小值为 .四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，多面体PABCD中，△PBD和△CBD均为等边三角形，平面ABD⊥平面PBD，BD=2，PC=3.（1）求证：BD⊥PC;（2）求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.16.（15分）已知函数f(x)=sinωx+cosωx+>0）图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；（2）将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设ℎ(x)=g(x)+12x,求h（z）在(−2π，π)的极大值点.17.（15分）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14,园艺类占14民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25,25,45,选手乙答对这三类题目的概率均为12.（1）求随机任选1题，甲答对的概率；（2）现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.18.（17分）已知数列{aₙ}满足a1⋅a2⋯ao−1⋅an=(2)n2+a,n∈N∗.（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若不等式(−1)n t Sn−14≤S n2对任意的n∈N∗恒成立，求实数t的取值范围；（3）记bn =1log2a n,求证：b1−b2b1+b2−b3b2+⋯+b a−b n+1b a<2(n∈N∗).19.（17分）已知平面直角坐标系xoy中，有真命题：函数y=mx+nx (m≥0，n>0)的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y=mx和y轴.例如双曲线y=4x 的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点O顺时针旋转π4得到双曲线x²−y²=8的图象.（1）求双曲线y=1x的离心率：（2）已知曲线E:x²−y²=2,过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A，B 两点，试探究△AOB面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；（3）已知函数y=33x+32x的图象为Γ，直线l:x+3y−3=0,过F(1,3)的直线与Γ在第一象限交于M，N两点，过M，N作l的垂线，垂足分别为C，D，直线MD，NC交于点H，求△MNH面积的最小值.三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题6分，满分18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BC 10．ACD 11．BCD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分15分．12．613．1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．{}6,7,8,9,21（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解法一：（1）证明：取BD 的中点M ，连接PM MC 、,·······················1分∵BPD △和BCD △均为等边三角形，∴BD PM ⊥，BD CM ⊥.··································································2分又PM CM M = ，∴BD ⊥平面CPM ，·········································································3分CP ⊂ 又平面CPM ，∴BD CP ⊥.····················································································4分（2）以M 为原点，,MB MC所在直线为,x y 轴，过M 作平面BCD 的垂线所在直线为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，···········································5分∵平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD 平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，PM BD ⊥∴PM ⊥平面ABD .∵PBD △和CBD △均为等边三角形，∴3PM MC PC ===，60PMC ∠=︒，∴330,,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0C ，()1,0,0B ，··············································6分∴331,,22BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0BC =- .330,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ∴0,0BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即330,2230x y z x ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩取1z =,则()3,1=m ，···································································8分平面ABD 的法向量330,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，·················································10分设平面ABD 与平面PBC 的夹角为θ，∴cos cos ,MP MP MP θ⋅==nn n33913313==⋅··································12分∴平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为3913.····································13分解法二：（1）同解法一······································································4分（2）如图，取MC 的中点E 为原点，连接PE ，过点E 作//EF MB ,交BC 于点F ,由（1）知CM BD ⊥,EF MC ⊥,又由（1）知BD ⊥平面CPM ，PE ⊂ 又平面CPM ，∴BD PE ⊥，∵PBD △和CBD △均为等边三角形且棱长为2，∴3PM MC PC ===，PE MC ∴⊥,BD MC M ∴= PE CBD∴⊥平面∴以E 为原点，,,EF EC EP所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示··························································5分∵平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD 平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，PM BD ⊥∴PM ⊥平面ABD ，∴平面ABD的法向量30,,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭···················································7分∴30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,02B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭·············································8分∴()1,CB = ，330,,22CP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m ，∴00CP CB ⎧⋅⎪⎨⋅⎩==⎪m m,即033022x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =,则()=m ，·················10分设平面ABD 与平面PBC 的夹角为θ，∴39cos cos ,13MP MP MP θ⋅===mm m，······························12分∴平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值为3913.····································13分16.解法一：（1）由题意13()sin cos()sin cos sin(6223f x x x x x x ππωωωωω=++=+=+·····································································································2分因为()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，所以周期2ππ22T ω==⨯，故2ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，·····················4分当()0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，·················································5分因为()f x 在区间()0,m 上有最大值无最小值，所以ππ3π2232m <+≤，·········6分解得π7π1212m <≤，所以m 的取值范围为π7π,1212⎛⎤⎥⎝⎦.···································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-，因为(2,)x ππ∈-，所以当4(2,)3x ππ∈--时，()0h x '>，()h x 单调递增，····························11分当42(,)33x ππ∈--时，()0h x '<，()h x 单调递减，································12分当22(,33x ππ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，··································13分当2(,)3x ππ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减.·········································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分解法二：（1）同解法一.·····································································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-，当222233k x k ππππ-+<<+时，()0h x '>，()h x 单调递增，因为(2,)x ππ∈-所以1k =-时，423x ππ-<<-，()h x 单调递增，··································11分1k =时，2233x ππ-<<()h x 单调递增·················································12分当242233k x k ππππ+<<+时，()0h x '<，()h x 单调递减，因为(2,)x ππ∈-0k =时，23x ππ<<，()h x 单调递减，··············································13分1k =-时，4233x ππ-<<-，()h x 单调递减，······································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分解法三：（1）同解法一.·····································································7分（2）将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度，得到sin 2()sin 263y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，············································8分再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()sin g x x =的图象，···································································9分所以函数1()sin 2h x x x =+，所以1()cos 2h x x '=+，································10分令()0h x '=得1cos 2x =-因为(2,)x ππ∈-，所以,(),()x h x h x '的变化情况如下：x4(2,)3ππ--43π-42(,)33ππ--23π-22(,)33ππ-23π2(,)3ππ()h x '+0-0+0-()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增极大值单调递减···································································································14分所以函数()h x 的极大值点为43π-和23π.··············································15分17.解:(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件(1,2,3)i A i =，记随机任选1题，甲答对为事件B ，··············································1分则31122331()()(|)()(|)()(|)()(|)i i i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A ===++∑······························································································2分12121434545255=⨯+⨯+⨯=,·······························································4分所以随机任选1题，甲答对的概率为35；···········································5分(2)乙答对记为事件C ,则1122331111111()()(|)()(|)()(|)4242222P C P A P C A P A P C A P A P C A =++=⨯+⨯+⨯=·····································································································7分设每一轮比赛中甲得分为X ,则331(1)()()()15210P X P BC P B P C ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，·································8分331511(0)()()()225112P X P BC BC P BC P BC ⎛⎫⎛⎫===+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，········9分35511(1)()12P X P BC ⎛⎫=-==-⨯= ⎪⎝⎭.····················································10分三轮比赛后，设甲总得分为Y ,则33(3)10100207P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，······························································11分22331(2)C 10200272P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，··························································12分22123311279(1)C C 331051000102P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，···································13分所以甲最终获得奖品的概率为27272794411(3)0002001000100(2)(1)0P P Y P Y P Y =++====++=.····················15分18.（1）因为2121nn n n a a a a +-⋅⋅= ①所以当2(1)11212,n n n n n a a a a -+--≥⋅⋅= ②，·············································1分由②①得2n n a =··················································································2分因为1n =时12a =也符合上式，····························································3分所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以*,2n n N a n =∈.·············································································4分（2）由（1）知，()12122212nn n S +-==--，···············································5分因为不等式2(1)14n n n tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，又0n S >且n S 单调递增，·····································································································6分所以14(1)n n nt S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，···········································7分因为1234=26=14=30S S S S =，，，，··························································8分所以当n 为偶数时，原式化简为14n n t S S ≤+对任意的n *∈N 恒成立，即min 14n n t S S ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭因为26S =>2n =时，253t ≤，············································10分。
2024年福建省泉州市初中毕业班教学质量监测(一)化学试卷
2024年福建省泉州市初中毕业班教学质量监测（一）化学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．泉州是“海丝名城”，下列做法与“做强文旅经济，提升城市品质”不相符的是A．提倡公共交通出行B．推广城市露天烧烤C．提倡使用节水设备D．推广垃圾分类回收2．下列化学用语书写正确的是A．氨分子：NH3B．2个氮原子：N2C．铝离子：Al+D．锰酸钾：KMnO4C H O是一种天然类胡萝卜素，可用于预防黄斑变性眼疾。
下列关于叶3．叶黄素()40562黄素说法正确的是A．含有98个原子B．碳、氢元素质量比为5：7C．由碳、氢、氧三种元素组成D．氧元素的质量分数最大4．在进行碳酸氢铵的性质实验中，下列操作错误的是A．闻气味B．取用固体C．加热固体D．检验CO25．氦氖激光仪用于治疗皮肤病。
氦元素的信息和氖原子的结构示意图如图，下列说法错误的是A．氦原子的质量是4.003B．氖原子的质子数为10C．氖原子的最外层电子数为8D．氦气和氖气均属于稀有气体6．为达到出售的干燥标准，制盐厂常用流化床(如图)干燥氯化钠。
下列说法错误的是A．此过程用到的原理是烘干B．干燥的热空气属于纯净物C．流化床内发生的变化是物理变化D．热空气使水分子运动速率加快7．下图是某种“加碘食盐”包装袋上的部分说明，下列说法错误的是A．人体缺碘会引起甲状腺疾病B．碘酸钾中碘元素的化合价为+5价C．每袋“加碘食盐”中含碘酸钾15mg D．可推测碘酸钾性质之一是受热易分解8．下图是KClO3、KCl的溶解度曲线，下列说法正确的是A．KClO3的溶解度小于KClB．KClO3、KCl的溶解度均随温度升高而增大C．20℃时，20gKCl溶于100g水中可形成饱和溶液D．60℃时，无法配制相同浓度的KClO3溶液和KCl溶液9．下列图中的实验现象与推论相对应的是A．带火星的木条复燃，说明氧气已集满B．冰块融化后天平仍平衡，验证质量守恒定律C．松手后导管中形成液柱，说明装置的气密性良好D．水进入集气瓶超过容积的五分之一，说明红磷过量10．知：36V以上的电压不是安全电压。
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2017年福建省泉州市初中学业质量检查数 学 试 题(试卷满分：150分；考试时间：120分钟) 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1. 下列各式正确的是( )A. －(－2017)＝2017B. |－2017|＝±2017C. 20170＝0D. 2017－1＝－2017 2. 计算(－2a 2)3的结果是( )A. －6a 2B. －8a 5C. 8a 5D. －8a 6 3. 某几何体如下左图所示，该几何体的右视图是( )第3题图4. 一个正多边形的边长为2，每个外角都为60°，则这个多边形的周长是( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 185. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0－x ＜2，的整数解的个数为( )A. 0个B. 2个C. 3个D. 无数个6. 如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )A. OA ＝OCB. AC ＝BDC. AC ⊥BDD. BD 平分∠ABC第6题图7. 在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是()A. 最高分90B. 众数是5C. 中位数是90D. 平均分为87.5第7题图8. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD DB＝12，DE＝3，则BC的长度是()A. 6B. 8C. 9D. 10第8题图9. 实数a、b、c、d在数轴上的对应点从左到右依次是A、B、C、D，若b＋d＝0，则a＋c的值()A. 小于0B. 等于0C. 大于0D. 与a、b、c、d的取值有关10. 已知双曲线y ＝kx 经过点(m ，n )，(n ＋1，m －1)，(m 2－1，n 2－1)，则k 的值为( )A. 0或3B. 0或－3C. －3D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 已知x ＝0是方程x 2－5x ＋2m －1＝0的解，则m 的值是________． 12. 分解因式：x 3－4x ＝________．13. 某口袋中装有2个红球和若干个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后从中摸出一个球恰为红球的概率是15，则袋中黄球的个数为________．14. 抛物线y ＝x 2－6x ＋7的顶点坐标是________．15. 在直角坐标系中，点M (3，1)绕着原点O 顺时针旋转60°后的对应点的坐标是________．16. 如图，在面积为16的四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于点P ，则DP 的长是________．第16题图三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卡的相应位置内作答．17. (8分)先化简，再求值：x (x ＋2)＋(x －1)(x ＋1)－2x ，其中x ＝ 2.18. (8分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝13x ＋y ＝7.19. (8分)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝3，DC ＝4，∠A ＝60°，∠D ＝150°，试求BC 的长度．第19题图20. (8分)如图，E 、F 是▱ABCD 的对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，求证：DF第20题图21. (8分)某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：第21题图(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；(3)测评成绩前五名的学生恰好是3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．22. (10分)某学校在“校园读书节”活动中，购买甲、乙两种图书共100本作为奖品，已知乙种图书的单价比甲种图书的单价高出50%.同样用360元购买乙种图书比购买甲图书少4本．(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；(2)如果购买图书的总费用不超过3500元，那么乙种图书最多能买多少本？23. (10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD 的中点，且AC＝5，DC＝1.(1)求证：AB＝DE；(2)求tan∠EBD的值．第23题图24. (13分)如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交AC ︵于点D ，过点D 作DE ∥AC ，交BA 的延长线于点E ，连接AD 、CD .(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝AE ＝2时， ①求图中阴影部分的面积；②以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，直径AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC 上求一点P ，使得直线DP 把阴影部分的面积分成1∶2的两部分．第24题图25. (13分)如图，在直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋2与x轴交于A、B 两点，与直线y＝2x交于点M(1，m)．(1)求m，b的值；(2)已知点N，点M关于原点O对称，现将线段MN沿y轴向上平移s(s＞0)个单位长度．若线段MN与抛物线有两个不同的公共点，试求s的取值范围；(3)利用尺规作图，在该抛物线上作出点G，使得∠AGO＝∠BGO，并简要说明理由．(保留作图痕迹)第25题图1. A 【解析】2. D 【解析】(－2a 2)3＝(－2)3(a 2)3＝－8a 6，故选D .3. D 【解析】本题考查几何体的右视图，从右往左看，可看到两个矩形，一上一下叠放在一起，且所有棱都能看到，故轮廓线均为实线，符合条件的只有D .4. B 【解析】正多边形的每个外角都为60°，360°÷60°＝6，所以这个多边形为正六边形，正六边形的周长为6×2＝12.5. C 【解析】不等式组的解为－2<x ≤1，其中的整数解有－1，0，1，共3个．6. B 【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，故选B .7. C 【解析】由折线统计图可知，十名选手的最高分为95分，A 错误；众数为90，B 错误；把成绩从低到高排，中间两数都为90，所以中位数为90，C 正确；x －＝1080×2＋85＋90×5＋95×2＝88.5(分)，故D 错误．8. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴AB AD＝BC DE，∵DB AD＝21，∴BC DE＝31，∵DE ＝3，∴BC ＝9. 9. A 【解析】根据数轴上右边的数总比左边的大，得a<b<c<d ，∵b ＋d ＝0，∴b ＋c<0，∵b>a ，∴a ＋c<0.10. D 【解析】把点(m ，n)，(n ＋1，m －1)，(m 2－1，n 2－1)代入双曲线y ＝x k得，k ＝mn ①，k ＝(n ＋1)(m －1)②，k ＝(m 2－1)(n 2－1)③，①代入②得m －n ＝1；②代入③中得，1＝(m ＋1)(n －1)，1＝mn ＋n －m －1，mn ＝2＋(m －n)＝3，所以k ＝3.12. x(x ＋2)(x －2) 【解析】x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x ＋2)(x －2)13. 8 【解析】口袋中球的个数为2÷51＝10个，袋中黄球的个数为10－2＝8个． 14. (3，－2) 【解析】y ＝x 2－6x ＋7＝(x 2－6x ＋9)－9＋7＝(x －3)2－2，所以抛物线的顶点坐标为(3，－2)．15. (，－1) 【解析】如解图，由旋转的性质可知∠MOB ＝60°，OM ＝OB ，又∵M(，1)，可得∠MOC ＝30°，∴∠COB ＝30°，过点B 作BC ⊥OC 于点C ，结合OB ＝OM 可知，点B 与点M 关于x 轴对称，∴B(，－1)．第15题解图16. 4 【解析】如解图所示，过D 点作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E.∵∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∴四边形DPBE 是矩形．∴∠PDE ＝90°，∴∠ADP ＝∠CDE.∵AD ＝DC ，∴Rt △APD ≌Rt △CED ，∴DP ＝DE ，∴四边形PDEB 是正方形，又∵四边形ABCD 的面积为16，∴正方形DPBE 的面积也为16，∴DP ＝DE ＝4.第16题解图17. 解：原式＝x 2＋2x ＋x 2－1－2x ＝2x 2－1当x ＝时，原式＝2×()2－1＝4－1＝3. 18. 解：3x ＋y ＝7 ②x －y ＝1 ①， ①＋②得4x ＝8，∴x ＝2， 将x ＝2代入①得y ＝1.所以该方程组的解为y ＝1x ＝2. 19. 解：如解图，连接DB ，第19题解图∵AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD ＝AD ＝3，∠ADB ＝60°，又∵∠ADC ＝150°，∴∠CDB ＝∠ADC －∠ADB ＝150°－60°＝90°， ∵DC ＝4， ∴BC ＝＝＝5.20. 证明：在▱ABCD 中，CD ∥AB ，DC ＝AB ， ∴∠DCA ＝∠BAC ， 在△DCF 和△BAE 中，CF ＝AE∠DCA ＝∠BAC，∴△DCF ≌△BAE(SAS )， ∴DF ＝BE.21. (1)80，135，补全条形统计图如解图①所示；第21题解图①【解法提示】接受测评的学生共有20÷25%＝80(人)，安全知识达到“良”的人数为80－30－20－5＝25(人)，扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为8030×360°＝135°.(2)该校对安全知识达到“良”程度的人数为： 1200×8030＋25＝825(人)；(3)列表如下：所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种， 所以P(抽到1男1女)＝2012＝53. 或画树状图如解图②：第21题解图②所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种， 所以P(抽到1男1女)＝2012＝53.22. 解：(1)设甲种图书的单价是x 元，则乙种图书的单价是1.5x 元， 依题意得：x360－1.5x 360＝4.解得：x ＝30，经检验x ＝30是原方程的解，且x ＝30，1.5x ＝45符合题意．答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是45元. (2)设乙种图书能买m本，依题意得：45m＋30(100－m)≤3500，解得：m≤3100＝3331，因为m是正整数，所以m最大值为33，答：乙种图书最多能买33本.23. (1)证明：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝DC＝1，∵AC＝，DC＝1，∴在Rt△ADC中，AD＝＝＝2，∵E是边AD的中点，∴AE＝DE＝1，又∵AB＝1，∴AB＝DE；(2)解：如解图，过点E作EM⊥BD于点M，第23题解图∵BD＝AC＝，在Rt△DEM和Rt△DBA中，sin∠ADB＝ED EM＝BD BA，即1EM＝51，解得：EM＝55，又∵在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴在Rt△BEM中，BM＝＝）25＝55，∴在Rt△BEM中，tan∠EBD＝BM EM＝55＝31.第24题解图24. (1)证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，F为AC的中点，∴OD⊥AC，又∵DE∥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：①由(1)得OD⊥DE，∴∠EDO＝90°，∵OA＝AE＝2，∴OA＝OD＝AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝∠DAO＝60°，∴∠ACD＝21∠AOD＝30°，又∵AC⊥OD，∴∠CAO＝∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠CAO，∴CD∥AB，∴S △ACD ＝S △OCD ， ∴S 阴＝S 扇形OCD ，∵∠CAD ＝∠OAD －∠OAC ＝60°－30°＝30°， ∴∠COD ＝2∠CAD ＝60°， ∴S 阴＝36060π×22＝32π；②由已知得：A(－2，0)，C(1，)， ∴直线AC 的表达式为y ＝33x ＋33，如解图，过点P 1分别作P 1M ⊥x 轴，P 1N ⊥AD ，垂足分别M ，N ， 由①得AC 平分∠OAD ， ∴P 1M ＝P 1N ，设P 1(x ，33x ＋33)(－2≤x ≤1)， P 1M ＝P 1N ＝33x ＋33，∵直线DP 1把阴影部分面积分成1∶2的两部分， 若S △AP 1D ＝31S 阴，即21×2·(33x ＋33)＝31×32π， 解得：x ＝93π－18，此时P 1(93π－18，92π)，若S △AP 2D ＝32S 阴，同理可求得P 2(93π－18，94π)， 综上所述：满足条件的点P 的坐标为P 1(93π－18，92π)和P 2(93π－18，94π).25. 解：(1)把M(1，m)代入y ＝2x 得m ＝2×1＝2，把M(1，2)代入y ＝－x 2＋bx ＋2得2＝－12＋b ＋2，即b ＝1； (2)由(1)得y ＝－x 2＋x ＋2，M(1，2)，因为点N ，点M 关于原点O 对称，所以N(－1，－2)，如解图①，过点N 作CN ⊥x 轴，交抛物线于C ，则C 的横坐标为－1， 所以C 的纵坐标为－(－1)2＋(－1)＋2＝0，第25题解图①所以C(－1，0)与A 重合，则CN ＝AN ＝2，即当s ＝2时线段MN 与抛物线有两个公共点， 设平移后的直线表达式为y ＝2x ＋s ， 由y ＝－x2＋x ＋2y ＝2x ＋s得x 2＋x ＋s －2＝0， 由Δ＝12－4(s －2)＝0，得s ＝49，即当s ＝49时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，所以，当线段MN 与抛物线有两个公共点时，s 的取值范围为2≤s ＜49； (3)如解图②，在x 轴上取一点P(－2，0)，以P 为圆心，OP 为半径作圆，⊙P 与抛物线的交点，即是所求作的点G(解图②中的G 与G′)，理由：第25题解图②当点G 在x 轴上方时，由作图可知，PG ＝2，PA ＝1，PB ＝4， 则PG PA＝PB PG＝21， ∵∠GPA ＝∠BPG ， ∴△GPA ∽△BPG ， ∴∠PBG ＝∠PGA ， ∵GP ＝PO ，∴∠POG＝∠PGO，又∵∠POG＝∠PBG＋∠OGB，∠PGO＝∠PGA＋∠AGO，∴∠AGO＝∠BGO，同理可证：当点G′在x轴的下方时，结论也成立.。