新教材高中数学第6章立体几何初步5垂直关系 平面与平面垂直素养作业北师大版必修第二册

第六章 5.2A组·素养自测一、选择题1．如图所示,对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是( D )A．α⊥β,α∩β＝l,b⊥l⇒b⊥βB．α⊥β,α∩β＝l,b⊂α⇒b⊥βC．α⊥β,b⊂α,b⊥l⇒b⊥βD．α⊥β,α∩β＝l,b⊂α,b⊥l⇒b⊥β[解析]根据面面垂直的性质定理知,D正确．2．在棱长都相等的四面体P－ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则下面四个结论中不成立的是( C )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[解析]可画出对应图形,如图所示,则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊂/平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A成立；由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,故B成立；又DF⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立．3．(多选)在四棱锥P－ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是( ABD )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD[解析]对于A选项,AB⊥PA,AB⊥AD,且PA∩AD＝A,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD；对于B选项,由BC⊥AB,BC⊥PA,且AB∩PA＝A,所以BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB；对于D选项,CD⊥AD,CD⊥PA,且PA∩AD＝A,所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD．4.如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( D )A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF⊥平面A1B1C1D1,相交且垂直．5.如图所示,三棱锥P－ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA＝PB,AD＝DB,则( B )A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]∵PA＝PB,AD＝DB,∴PD⊥AB．又∵平面ABC⊥平面PAB,PD⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB＝AB,∴PD⊥平面ABC．6．在二面角α－l－β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB＝6,BC＝3,则二面角α－l－β的平面角的大小为( D )A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°[解析]如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面ABC,设平面ABC∩l＝D,则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角,∵AB＝6,BC＝3,∴∠BAC＝30°,∴∠ADB＝60°,∴二面角大小为60°或120°.二、填空题7.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有 3 对．[解析]∵AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD．∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD．又∵BC⊥CD,AB∩BC＝B,∴CD⊥平面ABC．∵CD⊂平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD．故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD．8.如图,在三棱锥P－ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC＝90°,PA＝1,AB＝2,则PB＝5 .[解析]∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC＝90°(即PA⊥AC),∴PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.9．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的高为3,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角的大小为 60° .[解析] 设正四棱锥为S －ABCD , 如图所示,高为h ,底面边长为a ,则2a 2＝(26)2, ∴a 2＝12.设O 为S 在底面上的投影,作OE ⊥CD 于E ,连接SE , 可知SE ⊥CD ,∠SEO 为所求二面角的平面角． tan ∠SEO ＝h a 2＝3×212＝3,∴∠SEO ＝60°.∴侧面与底面所成二面角的大小为60°. 三、解答题10.如图所示,△ABC 为正三角形,CE ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,且CE ＝AC ＝2BD ,M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ． [解析] (1)取EC 的中点F ,连接DF . ∵CE ⊥平面ABC , ∴CE ⊥BC ．易知DF ∥BC , ∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE , ∴BD ⊥平面ABC ． 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中,EF ＝12CE ＝DB ,DF ＝BC ＝AB ,∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ．故DE ＝DA ．(2)取AC的中点N,连接MN,BN,则MN綊CF.∵BD綊CF,∴MN綊BD,∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC,∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN,EC∩AC＝C,∴BN⊥平面ECA．又∵BN⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA．B组·素养提升一、选择题1．下列命题中正确的是( C )A．若平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β[解析]当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故A错；由直线与平面垂直的判定定理知B、D错,C正确．2．(多选)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,将△ABD 沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论错误的是( ABC )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC[解析]由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,且CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,∴CD⊥AB．又AB⊥AD,CD∩AD＝D,∴AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC．则A,B,C均错．3．如图所示,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC＝90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在( A ) A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部[解析] 连接AC 1．∠BAC ＝90°,即AC ⊥AB ,又AC ⊥BC 1,AB ∩BC 1＝B ,所以AC ⊥平面ABC 1．又AC ⊂平面ABC ,于是平面ABC 1⊥平面ABC ,且AB 为交线,因此,点C 1在平面ABC 上的射影必在直线AB 上,故选A ．4．如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′、B ′,则AB A ′B ′等于( A )A ．2 1B ．3 1C ．32D ．43[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4,∠ABA ′＝π6,设AB ＝2a ,则BB ′＝2a sin π4＝2a ,A ′B ＝2a cos π6＝3a ,∴在Rt △BB ′A ′中,得A ′B ′＝a ,∴AB A ′B ′＝21．二、填空题5．在三棱锥P －ABC 中,PA ＝PB ＝AC ＝BC ＝2,PC ＝1,AB ＝23,则二面角P －AB －C 的大小为 60° .[解析]取AB中点M,连接PM,MC,则PM⊥AB,CM⊥AB,∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中,PM＝22－32＝1,同理MC＝1,则△PMC是等边三角形,∴∠PMC＝60°.6.如图所示,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD．底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足BM⊥PC(其他合理即可) 时,平面MBD⊥平面PCD．(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等,∴四边形ABCD为菱形．∵AC⊥BD,又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC．若PC⊥平面BMD,则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时,PC⊥平面BDM.∴平面PCD⊥平面BDM.三、解答题7．如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝AD＝1,AA1＝2,M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.[解析]由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1＝2,M为CC1的中点,所以C1M＝CM＝1．在Rt△B1C1M中,B1M＝B1C21＋MC21＝2,同理BM ＝BC 2＋CM 2＝2, 又B 1B ＝2,所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2, 从而BM ⊥B 1M .又A 1B 1∩B 1M ＝B 1,所以BM ⊥平面A 1B 1M , 因为BM ⊂平面ABM ,所以平面ABM ⊥平面A 1B 1M .8．如图,在四棱锥P －ABCD 中,侧面PAD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD ＝60°,N 是PB 的中点,过A ,D ,N 三点的平面交PC 于M ,E 为AD 的中点．求证：(1)EN ∥平面PDC ； (2)BC ⊥平面PEB ； (3)平面PBC ⊥平面ADMN .[证明] (1)∵AD ∥BC ,BC ⊂平面PBC ,AD ⊂/平面PBC ,∴AD ∥平面PBC ．又∵平面ADMN ∩平面PBC ＝MN , ∴AD ∥MN .又∵BC ∥AD ,∴MN ∥BC ．又∵N 是PB 的中点,∴点M 为PC 的中点． ∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ,又∵E 为AD 的中点, ∴MN ∥DE 且MN ＝DE .∴四边形DENM 为平行四边形． ∴EN ∥DM ,且DM ⊂平面PDC ． ∴EN ∥平面PDC ．(2)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形,且∠BAD ＝60°,∴BE ⊥AD ． 又∵侧面PAD 是正三角形,且E 为中点, ∴PE ⊥AD ,又∵PE ∩BE ＝E , ∴AD ⊥平面PBE .又∵AD ∥BC ,∴BC ⊥平面PEB ． (3)由(2)知AD ⊥平面PBE , 又PB ⊂平面PBE ,∴AD⊥PB．又∵PA＝AB,N为PB的中点,∴AN⊥PB．且AN∩AD＝A,∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC．∴平面PBC⊥平面ADMN.。