高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)教学案 理
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——空间几何体的表面积和体积
索引
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径
为( B )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， 因为侧面展开图是一个半圆， 所以πl＝2πr，即l＝2r， 所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )
A.12 2π
B.12π
C.8 2π
D.10π
解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面 直径均为 2 2. 设圆柱的底面半径为 r，则 2r＝2 2，得 r＝ 2. 所以圆柱的表面积 S 圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π( 2)2＋2π× 2×2 2＝4π＋8π＝12π.
索引
训练1 (1)(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为____1____.
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB 的中点， 得 S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－21×1×1＝32， 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝31×32×2＝1.
角度1 简单几何体的体积
例1 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出 的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用
该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图
2015届高考数学总复习第八章立体几何初步第5课时空间几何体的表面积和体积教学案(含最新模拟、试题改编)
第八章 立体几何初步第5课时 空间几何体的表面积和体积⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）108～110页 （理）110～112页考情分析 考点新知了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积、体积中的运用． ① 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式). ② 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.1. (必修2P 69习题10改编)用长、宽分别是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面面积为________．答案：94π或14π解析：有两种情况：以3π为圆柱的高时，圆柱底面积为14π，以π为圆柱的高时，圆柱底面积为94π.2. (原创)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.答案：83π解析：几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V ＝13×π×4×2＝83π.3. (2013·南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________cm.答案：22解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝2π3×3，所以r ＝1，此圆锥的高为32－12＝2 2.4. (必修2P 55练习4改编)已知正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，沿AE 、EF 、AF 折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，则这个四面体的体积为________．答案：13解析：折成的四面体为三棱锥AECF ，S △ECF ＝12×1×1＝12，高为AB ＝2，所以这个四面体的体积为V ＝13S △ECF ·AB ＝13×12×2＝13.5. (必修2P 69复习题5改编)若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积是________．答案：6π解析：设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝ 6.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝ 3.长方体外接球半径为R ＝1212＋（2）2＋（3）2＝62，外接球的表面积为S ＝4π⎝⎛⎭⎫622＝6π.1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S 直棱柱侧＝ch ，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．柱体的体积公式是V 柱体＝Sh ．2. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是S 正棱锥侧＝12ch ′；锥体的体积为V 锥体＝13Sh ．3. 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S 正棱台侧＝12(c ＋c′)·h′；台体的体积公式是34. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是S 圆柱侧＝cl ＝2πr ，圆锥的侧面积公式为S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ，圆台的侧面积公式为S 圆台侧＝12(c ＋c′)l ＝π(r ＋r′)l ．5. 球体的体积公式是V 球＝43πR 3，其中R 为球的半径．[备课札记]题型1 与几何体的表面积有关的问题例1如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为6，则以正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的中心为顶点，以平面AB 1D 1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．答案：(182＋24)π解析：设O 为正方体外接球的球心，则O 也是正方体的中心，O 到平面AB 1D 1的距离是体对角线长的16，即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为33，由勾股定理可知，截面圆的半径为（33）2－（3）2＝26，圆锥底面面积为S 1＝π·(26)2＝24π，圆锥的母线即为球的半径33，圆锥的侧面积为S 2＝π×26×33＝182π.因此圆锥的全面积为S ＝S 2＋S 1＝182π＋24π＝(182＋24)π.备选变式（教师专享）如图，在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的表面积．解：如题图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d ，在三棱锥PABC 中，∵PA 、PB 、PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ＝a ， ∴AB ＝AC ＝BC ＝2a ，且点P 在△ABC 内的射影是△ABC 的中心O′，由正弦定理，得2a sin60° ＝2r ，∴r ＝63a.又根据球的截面圆性质，有OO′⊥平面ABC ， 而PO′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O′三点共线，球的半径R ＝r 2＋d 2.又PO′＝PA 2－r 2＝a 2－23a 2＝33a ，∴OO ′＝R －33a ＝d ＝R 2－r 2，∴⎝⎛⎭⎫R －33a 2＝R 2－⎝⎛⎭⎫63a 2，解得R ＝32a.∴S 球＝4πR 2＝3πa 2.题型2 与几何体体积有关的问题例2 如图①所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图②所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．(1) 求证：DE ⊥平面BCD ；(2) 若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．图①图②(1) 证明：在题图①中，∵ AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴ ∠ACB ＝60°. ∵ CD 为∠ACB 的平分线，∴ ∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴ CD ＝2 3. ∵ CE ＝4，∠DCE ＝30°，∴ DE ＝2.则CD 2＋DE 2＝EC 2.∴ ∠CDE ＝90°.DE ⊥DC. 在题图②中，∵ 平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE 平面ACD ，∴ DE ⊥平面BCD.(2) 解：在题图②中，∵ EF ∥平面BDG ，EF Ì平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG＝BG ，∴ EF ∥BG .∵ 点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， ∴ AE ＝EG ＝CG ＝2.作BH ⊥CD 交于H.∵ 平面BCD ⊥平面ACD ，∴ BH ⊥平面ACD.由条件得BH ＝32.S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin30°＝ 3.三棱锥B-DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32.变式训练在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝1，D 为线段BC 的中点，E 、F 为线段AC 的三等分点(如图①)．将△ABD 沿着AD 折起到△AB′D 的位置，连结B′C (如图②)．(1) 若平面AB′D ⊥平面ADC ，求三棱锥B′-ADC 的体积；(2) 记线段B′C 的中点为H ，平面B′ED 与平面HFD 的交线为l ，求证：HF ∥l ； (3) 求证：AD ⊥B′E.图①图②(1) 解：在直角△ABC 中，D 为BC 的中点，所以AD ＝BD ＝CD.又∠B ＝60°，所以△ABD 是等边三角形．取AD 中点O ，连结B′O ，所以B′O ⊥AD.因为平面AB′D ⊥平面ADC ，平面AB′D ∩平面ADC ＝AD ，B′O 平面AB′D ，所以B′O ⊥平面ADC.在△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B ＝60°，AB ＝1，D 为BC 的中点，所以AC ＝3，B ′O ＝32.所以S △ADC ＝12×12×1×3＝34.所以三棱锥B′ADC 的体积为V ＝13×S △ADC ×B ′O ＝18. (2) 证明：因为H 为B′C 的中点，F 为CE 的中点，所以HF ∥B′E.又HF 平面B′ED ，B ′E 平面B ′ED ，所以HF ∥平面B′ED.因为HF Ì平面HFD ，平面B′ED ∩平面HFD ＝l ，所以HF ∥l.(3) 证明：连结EO ，由(1)知，B ′O ⊥AD.因为AE ＝33，AO ＝12，∠DAC ＝30°，所以EO ＝AE 2＋AO 2－2AE·AOcos30°＝36.所以AO 2＋EO 2＝AE 2.所以AD ⊥EO.又B′O Ì平面B′EO ，EO Ì平面B′EO ，B ′O ∩EO ＝O ， 所以AD ⊥平面B′EO.又B′E Ì平面B′EO ，所以AD ⊥B′E. 题型3 简单几何体的综合应用 例3 (2013·徐州调研)在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x 2(0<x<a)， 箱子的容积为V(x)＝12x 2×sin60°×h ＝18ax 2－18x 3(0<x<a)．由V′(x)＝14ax －38x 2＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，23a 时，V ′(x)>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫23a ，a 时，V ′(x)<0， 所以函数V(x)在x ＝23a 处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值： V ⎝⎛⎭⎫23a ＝18a ×⎝⎛⎭⎫23a 2－18×⎝⎛⎭⎫23a 3＝154a 3.答：当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.备选变式（教师专享）四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1) 求该四面体的体积的最大值；(2) 当四面体的体积最大时，求其表面积．解： (1) 如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连结BP 、EP 、CP.得到AD ⊥平面BPC ，∴ V A －BCD ＝V A －BPC ＋V D －BPC ＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC ·AD ＝13·12·aa 2－x 24－a24·x＝a 12（3a 2－x 2）x 2≤a 12·3a 22＝18a 3(当且仅当x ＝62a 时取等号)． ∴ 该四面体的体积的最大值为18a 3.(2) 由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴ S 表＝2×34a 2＋2×12×62a ×a 2－⎝⎛⎭⎫64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24＝23＋154a 2.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，底面边长为a ，高为h 的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1，其中D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点．求几何体BDEA 1B 1C 1的体积．学生错解：解 ∵ BD ＝a 2，BE ＝a3，∠DBE ＝60°，∴ S △DBE ＝12BD ·BEsin ∠DBE ＝324a 2，S △A 1B 1C 1＝12·A 1B 1·B 1C 1sin60°＝34a 2.由棱台体积公式得VBDEA 1B 1C 1＝13h(S △BDE ＋S △A 1B 1C 1＋S △BDE ·S △A 1B 1C 1)＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫324a 2＋34a 2＋324a 2·34a 2 ＝73＋3272a 2h.审题引导： (1) 弄清组合体的结构，这里几何体DBEA 1B 1C 1不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；(2) 运用体积公式进行计算．规范解答：解：如图，取BC 中点F ，连结DF 、C 1D 、C 1E 、C 1F ，得正三棱台DBFA 1B 1C 1及三棱锥C 1DEF.∵S △A 1B 1C 1＝34a 2，S △DBF ＝14S △ABC ＝316a 2，(4分)∴VDBFA 1B 1C 1＝13h(S △DBF ＋S △A 1B 1C 1＋S △DBF ·S △A 1B 1C 1)＝13h(34a 2＋316a 2＋34a 2·316a 2)＝7348a 2h.(8分) ∴ VC 1DEF ＝13h ·112·34a 2＝3144a 2h ，(10分)∴ VBDEA 1B 1C 1＝VDBFA 1B 1C 1VC 1DEF ＝7348a 2h －3144a 2h ＝5338a 2h.(14分)错因分析：没有弄清所给几何体的结构，几何体DBEA 1B 1C 1不是棱台．1. (2013·南京调研)如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.答案：13解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13(cm)．2. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．答案：23解析：设母线长为l ，底面半径为r ，则依题意易知l ＝18 cm ，由αl ＝2πr ，代入数据即可得43π×18＝2πr ，解得r ＝12 cm ，因此所求角的余弦值即为r l ＝1218＝23.3. (2013·济南模拟改)如图所示，在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别是SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥SABC 外接球的表面积是________．答案：36π解析：在正三棱锥S-ABC 中，易证SB ⊥AC ，又MN ∥12BS ，∴ MN ⊥AC.∵ MN ⊥AM ，∴ MN ⊥平面ACM.∴ MN ⊥SC ，∴ ∠CSB ＝∠CMN ＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为2 6.此棱锥的高为2，设外接球半径为R ，则(2－R)2＋⎝⎛⎭⎫26×32×232＝R 2，∴ R ＝3，∴ 外接球的表面积是36π.4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；② 一尺等于十寸)答案：3解析：本题考查圆台的体积公式．做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．5. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB. (1) 求证：CE ⊥平面PAD ；(2) 若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P-ABCD 的体积． (1) 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE 平面ABCD ，所以PA ⊥CE. 因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ， 所以CE ⊥AD. 又PA ∩AD ＝A ， 所以CE ⊥平面PAD.(2) 解：由(1)可知CE ⊥AD.在Rt △ECD 中，DE ＝CD·cos45°＝1，CE ＝CD·sin45°＝1.因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形．所以S ABCD ＝S ABCE ＋S △ECD ＝AB·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52.又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，所以V P-ABCD ＝13S ABCD ·PA ＝13×52×1＝56.1. (2013·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为________．答案：312解析：三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 2. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________．答案：483解析：因为球的体积为323π，柱体的高为2r ＝4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r ＝2，所以底面边长a ＝43，所以V 柱＝34×(43)2×4＝48 3.3. (2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.4. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．解：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1.2－2r ，∴ 塑料片面积S ＝πr 2＋2πr(1.2－2r)＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r)＝－3π(r －0.4)2＋0.48π.∴ 当r ＝0.4时，S 有最大值0.48π，约为1.51平方米．1. 几何体体积的求法：(1) 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体，可直接套用公式计算求解；(2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征，弄清组合体的结构十分必要．2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法：选择恰当的棱或母线将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离．请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．[备课札记]。
新人教A版版高考数学一轮复习第八章立体几何空间几何体的表面积和体积教案理解析版
基础知识整合１．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是错误!侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．２．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式３．柱、锥、台和球的表面积和体积１．与体积有关的几个结论（１）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．（２）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．２．几个与球有关的切、接常用结论（１）正方体的棱长为a，球的半径为R，１若球为正方体的外接球，则２R＝错误!a；２若球为正方体的内切球，则２R＝a；３若球与正方体的各棱相切，则２R＝错误!Ａ．（２）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则２R＝错误!.（３）正四面体的外接球与内切球的半径之比为３∶１．１．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）Ａ．6 Ｂ．9Ｃ．１２Ｄ．１8答案B解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝３，PC＝３，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为错误!×错误!×３＝9．故选Ｂ．２．（２0１8·浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm３）是（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8答案C解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A１B１C１D１—ABC Ｄ．由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为１和２，高为２，所以S底面＝错误!×（１＋２）×２＝３．直四棱柱的高为２，所以体积V＝３×２＝6．故选Ｃ．３．（２0１9·北京模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）Ａ．２＋错误!Ｂ．４＋错误!Ｃ．２＋２错误!Ｄ．５答案C解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝２，EC＝１，AD＝１，ED＝２，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝错误!×２×２＋错误!×错误!×１＋错误!×错误!×１＋错误!×２×错误!＝２＋２错误!.故选Ｃ．４．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为错误!，则球的表面积和体积分别为________，________.答案３6π３6π解析底面中心与C′连线即为半径，设球的半径为R，则R２＝（错误!）２＋（错误!）２＝9．所以R＝３，所以S球＝４πR２＝３6π，V球＝错误!πR３＝３6π.５．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝错误!，则球O的体积等于________．答案错误!解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，∴球的半径R＝错误!CD，又AB＝BC＝错误!，∴AC＝错误!，∴CD＝错误!＝３，∴R＝错误!，∴V球O＝错误!错误!３＝错误!.核心考向突破考向一几何体的表面积例１（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O１，O２，过直线O１O２的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）Ａ．１２错误!πＢ．１２πＣ．8错误!π Ｄ．１0π答案B解析根据题意，可得截面是边长为２错误!的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是错误!的圆，且高为２错误!，所以其表面积为S＝２π（错误!）２＋２π×错误!×２错误!＝１２π.故选Ｂ．（２）（２0１9·河北承德模拟）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为１，则该几何体的表面积为（）Ａ．8＋４错误!＋２错误!Ｂ．6＋４错误!＋４错误!Ｃ．6＋２错误!＋２错误!Ｄ．8＋２错误!＋２错误!答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E—ABCD，如图，正方体的棱长为２，该四棱锥底面为正方形，面积为４，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为２错误!，２，左右两个侧面为直角三角形，面积都为错误!，可得这个几何体的表面积为6＋２错误!＋２错误!，故选Ｃ．触类旁通空间几何体表面积的求法（１）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．错误!错误!即时训练１．（２0１9·山东潍坊模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）Ａ．２0π Ｂ．２４πＣ．２8π Ｄ．３２π答案C解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为１，高为２，圆锥的底面半径为３，高为４，则该几何体的表面积S＝π×３２＋π×３×５＋２π×１×２＝２8π.故选Ｃ．２．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）Ａ．１＋错误!Ｂ．１＋２错误!Ｃ．２＋错误!Ｄ．２错误!答案C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝错误!.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝１．由勾股定理得AC＝错误!，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD ＝错误!，S△ABD＝S△BCD＝１，所以四面体的表面积为２＋错误!.故选Ｃ．考向二几何体的体积角度错误!补形法求体积例２（１）（２0１7·全国卷Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）Ａ．90πＢ．6３πＣ．４２πＤ．３6π答案B解析（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的错误!，所以该几何体的体积V＝π×３２×４＋π×３２×6×错误!＝6３π.故选Ｂ．（２）（２0１9·河北质检）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）Ａ．５0 Ｂ．7５Ｃ．２５．５Ｄ．３7．５答案D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C１—MNB １A１所得的，且直三棱柱的底面是腰长为５的等腰直角三角形，高为５．图中几何体ABCC１MN为剩余部分，因为AM＝２，B１C１⊥平面MNB１A１，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱—V四棱锥＝错误!×５×５×５—错误!×３×５×５＝３7．５，故选Ｄ．角度错误!分割法求体积例３（１）（２0１9·山西五校联考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽３丈，长４丈；上棱长２丈，高１丈，问它的体积是多少？”已知１丈为１0尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为１丈，则该楔体的体积为（）Ａ．５000立方尺Ｂ．５５00立方尺Ｃ．6000立方尺Ｄ．6５00立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F—GBCH与三棱柱ADE—GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE—GHF割补成高为EF，底面积为S＝错误!×３×１＝错误!平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝错误!×２＋错误!×２×３×１＝５立方丈＝５000立方尺．故选Ａ．（２）（２0１8·江苏高考）如图所示，正方体的棱长为２，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案错误!解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为错误!，高为１，∴其体积为错误!×（错误!）２×１＝错误!，∴多面体的体积为错误!.角度错误!转化法求体积例４（１）如图所示，在正三棱柱ABC—A１B１C１中，AB＝４，AA１＝6．若E，F分别是棱BB１，CC１上的点，则三棱锥A—A１EF的体积是________．答案8错误!解析由正三棱柱的底面边长为４，得点F到平面A１AE的距离（等于点C到平面A１ABB１的距离）为错误!×４＝２错误!，则V三棱锥A—A１EF＝V三棱锥F—A１AE＝错误!S三角形A１AE×２错误!＝错误!×错误!×6×４×２错误!＝8错误!.（２）三棱锥P—ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V１，P—ABC的体积为V２，则错误!＝________.答案错误!解析如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝错误!S△PBＣ．又因为三棱锥A—BDE 与三棱锥A—PBC的高相等，所以错误!＝错误!.触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（１）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．２若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.３若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.即时训练３．（２0１9·安徽蚌埠质检）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）Ａ．π＋错误!Ｂ．π＋２Ｃ．２π＋错误!Ｄ．２π＋２答案A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故体积为错误!×π×１２×２＋错误!×错误!×２×２×２＝π＋错误!.４．如图所示，正方体ABCD—A１B１C１D１的棱长为１，E，F分别为线段AA１，B１C上的点，则三棱锥D１—EDF的体积为________．答案错误!解析三棱锥D１—EDF的体积即为三棱锥F—DD１E的体积．因为E，F分别为AA１，B１C上的点，所以正方体ABCD—A１B１C１D１中△EDD１的面积为定值错误!，F到平面AA１D１D的距离为定值１，所以VF—DD１E＝错误!×错误!×１＝错误!.５．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝１0，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝３，FC＝４，AE＝５．求此几何体的体积．解解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC—NDM的体积为V１＝错误!×8×6×３＝7２．四棱锥D—MNEF的体积为：V２＝错误!×S梯形MNEF×DN＝错误!×错误!×（１＋２）×6×8＝２４，则几何体的体积为：V＝V１＋V２＝7２＋２４＝96．解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝错误!V三棱柱＝错误!×S△ABC×AA′＝错误!×２４×8＝96．考向三与球有关的切、接问题例５（１）（２0１8·全国卷Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为４的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9错误!，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（）Ａ．１２错误!Ｂ．１8错误!Ｃ．２４错误!Ｄ．５４错误!答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D—ABC 体积最大，此时，OD＝OB＝R＝４．∵S△ABC＝错误!AB２＝9错误!，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝错误!BE＝２错误!，∴在Rt△OMB中，有OM＝错误!＝２．∴DM＝OD＋OM＝４＋２＝6，∴（V三棱锥D—ABC）max＝错误!×9错误!×6＝１8错误!.故选Ｂ．（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S—ABC的体积为9，则球O的表面积为________．答案３6π解析如图，连接OA，OＢ．由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SＣ．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCＢ．设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝２r，∴三棱锥S—ABC的体积V＝错误!×错误!·OA＝错误!，即错误!＝9，∴r＝３，∴S球表＝４πr２＝３6π.触类旁通空间几何体与球切、接问题的求解方法（１）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．２若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.即时训练6．已知直三棱柱ABC—A１B１C１的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝错误!，AA１＝BC＝２，则球O的体积为（）Ａ．４错误!π Ｂ．8πＣ．１２π Ｄ．２0π答案A解析在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝错误!＝错误!＝错误!，则直三棱柱ABC—A１B１C１的外接球的半径为R＝错误!＝错误!＝错误!，则直三棱柱ABC—A１B１C１的外接球的体积为错误!πR３＝４错误!π.故选Ａ．7．（２0１8·漳州模拟）在直三棱柱A１B１C１—ABC中，A１B１＝３，B１C１＝４，A１C１＝５，AA １＝２，则其外接球与内切球的表面积之比为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２9答案A解析由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r＝错误!＝１，取AC，A１C １的中点D，E，则外接球球心在DE的中点O，由A１C１＝５，AA１＝２，得AC１＝错误!，∴R＝OA ＝错误!，错误!＝错误!＝错误!，故选Ａ．。
高考数学大一轮复习 8.2简单几何体的表面积与体积配套课件 理 新人教A版
1 2
×(2
＋
4)×4×2
＋
4× 17×2＝48＋8 17.
题型分类·深度剖析
题型一
空间几何体的表面积
【例 1】一个空间几何体的三视
图如图所示，则该几何体的表
面积为
(C )
A．48
B．32＋8 17
C．48＋8 17 D．80
思维启迪 解析 答案 探究提高
由三视图知该几 何体的直观图如 图所示，该几何体 的下底面是边长 为 4 的正方形；上底面是长为 4、 宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直 于底面，上底长为 2，下底长为 4， 高为 4；另两个侧面是矩形，宽
题型分类·深度剖析
变式训练 1 一个几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则该几何体的表面积是_4_π_＋__1_2_cm2.
解析 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半
球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为
1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积为 2－2π＋
解析
题型分类·深度剖析
题型一
空间几何体的表面积
【例 1】一个空间几何体的三视
图如图所示，则该几何体的表
面积为
()
思维启迪 解析 答案 探究提高
高考数学一轮复习第八章立体几何8.2简单几何体的表面积与体积课件文北师大
①正方体的棱长为a,球的半径为R,
a.若球为正方体的外接球,则2R= 3 a; b.若球为正方体的内切球,则2R=a; c.若球与正方体的各棱相切,则2R= 2 a.
②若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为
R,则2R= ������2 + ������2 + ������2 .
(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC绕直线BC旋 转一周所形成的几何体的体积为9π.( )
(5)将圆心角为23π,面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的 表面积等于 4π. ( )
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
答案
-6-
知识梳理 双三视图可知,该几何体由一个正四棱柱和一个底面为梯形的四棱柱
组成,其表面积
S=3×4×2+2×2×2+4×2 72+16 2
2×2+4×6+12×(2+6)×2×2=72+16
2.
关闭
解析 答案
-9-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为直角三角 形,∠ACB=90°,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,若一小虫沿其表关闭 面从由点题A1意经知过,把点面P爬B行B1到C1点C C沿,则B其B1爬展行开路与程面的AA最1B小1B值在一个平面上, 如为图所示,连接.A1C 即可,则 A1,P,C 三点共线时,CP+PA1 最小,
V=13Sh=13πr2h=13πr2 ������2-������2
V=1(S
2020届山东高三理科数学一轮复习课件第八章§8.1空间几何体的表面积和体积
×60=10.
评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.
6.(2019天津文,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,侧棱长均为 5 .若圆柱的一个
底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的
体积为
.
答案
4
解析 本题考查圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的空
间想象能力,体现了直观想象的核心素养.
如图所示,圆柱的高|O1O|= 12 |PO|= 12 PA2
AO2
= 1 5
2
1
=1,圆柱的底面半径r= 1 |AO|= 1 ,所以圆
2
2
柱的体积V=πr2·|O1O|=π× 14 ×1= 4 .
则2R= 3 × 2 ,R= 6 ,∴球O的体积V= 4 πR3= 6 π.故选D.
2
3
解法二:令PA=PB=PC=2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= 3 .在△PAC中,cos∠APC=
4x2 4x2 4 = 2x2 1 .
2 4x2
2x2
在△PEC中,EC2=PC2+PE2-2PC·PEcos∠EPC=4x2+x2-2×2x·x·2 x22x2 1 =x2+2,在△FEC中,∵∠CEF=
32
又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm3, 故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).
易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理 求得HE= 22 32 = 13 ,错认为底面面积为13.
高考数学高中复习8.2《简单几何体的表面积与体积》知识点讲解PPT课件
【教材回扣】
1．简单几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩形 、 扇形 、 扇环 (3)若圆柱、圆锥的底面半径为 r，母线长 l，则其表面积为
S 柱＝2πr2＋2πrl，S 锥＝πr2＋πrl (4)若圆台的上下底面半径为 r1，r2，母线长为 l，则圆台的表面 积为 S＝ π(r12＋r22)＋π(r1＋r2)l (5)球的表面积为 4πR2 (球半径是 R)．
二、易错易混 3．圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形，则圆柱的表面 积为( ) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或 8π(3π＋1) D．6π( 解析：设圆柱的底面半径为 r，分两种情况．①若 6π＝2πr，r ＝3，∴圆柱的表面积为：4π×6π＋2πr2＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)． ②若 4π＝2πr，r＝2，∴圆柱的表面积为：4π×6π＋2×πr2＝24π2 ＋8π＝8π(3π＋1)，故选 C.
三、走进高考 5．[2018·全国Ⅰ卷]已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1、 O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形， 则该圆柱的表面积为( ) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π
答案：B 解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，由题意可知 2r＝h＝2 2， ∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π，故选 B.
答案：C 2
解析：底面半径 r＝32ππl＝13l，故圆锥中 S 侧＝13πl2，S 表＝13πl2＋π13l 2＝49πl2，所以表面积与侧面积的比为 4:3.
2．[2019·江苏卷]如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积是 120， E 为 CC1 的中点，则三棱锥 E－BCD 的体积是________．
2020高考数学 最后突破抢分：第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)
第5讲简单几何体的再认识(表面积与体积)一、知识梳理1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l名称表面积体积几何体柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h12锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13S 底h台 体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球 S ＝4πR 2V ＝43πR 3常用结论1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径(1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)．3(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a (a 为正四面体的棱长)．二、教材衍化1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________．解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，所以r 2＝4，所以r ＝2.答案：2 cm2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.答案：1∶47一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积；(2)考虑不周忽视分类讨论；(3)几何体的截面性质理解有误；(4)混淆球的表面积公式和体积公式．1．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.45解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m ，高为1 m 的平行四边形，四棱锥的高为3 m ．故该四棱锥的体积V ＝13×2×1×3＝2(m 3)．答案：22．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________．解析：因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.答案：12π。
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第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)一、知识梳理1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台 体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)．(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)．二、教材衍化1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________．解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， 所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：2 cm 2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.答案：1∶47 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积；(2)考虑不周忽视分类讨论；(3)几何体的截面性质理解有误；(4)混淆球的表面积公式和体积公式．1．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为 3 m．故该四棱锥的体积V＝1 3×2×1×3＝2(m3)．答案：22．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________．解析：因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.答案：12π4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________． 解析：设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π.答案：323π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )A ．4＋4 2B ．4＋43C ．12D ．8＋42(2)(2020·四川泸州一诊)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．(5＋2)πB ．(4＋2)πC ．(5＋22)πD ．(3＋2)π【解析】 (1)连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B＝30°.又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝22，BC ＝ 2.又AB ⊥BC ，则AB ＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42，故选A.(2)因为在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，所以将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB ＝1，高为BC －AD ＝2－1＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.故选A.【答案】 (1)A (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 1．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．答案：2 600π2．已知一几何体的三视图如图所示，它的主视图与左视图相同，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S＝1 2×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16.答案：12π＋16空间几何体的体积(多维探究)角度一直接利用公式求体积(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A．13.25立方丈B．26.5立方丈C．53立方丈D．106立方丈【解析】 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.【答案】 B角度二 割补法求体积《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，可将原几何体切割成三棱柱EHG FNM ，四棱锥E ADHG 和四棱锥F MBCN ，易知三棱柱的体积为12×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为13×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.故选B.【答案】 B角度三 等体积法求体积(2020·贵州部分重点中学联考)如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18【解析】 设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1AEF＝V F A 1AE .又V F A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD A 1B 1C 1D 1，所以V ABCD A 1B 1C 1D 1＝6V A 1AEF ＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.【答案】 A(1)处理体积问题的思路①“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；②“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；③“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法．(2)求空间几何体的体积的常用方法①公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；②割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；③等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．1．(2020·江西上饶二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为( )A ．π＋23B ．π＋13C ．π＋43D ．π＋34解析：选C.几何体为半圆柱与四棱锥的组合体(如图)，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面为边长为2的正方形，高为1，故几何体的体积V ＝12×π×12×2＋13×22×1＝π＋43.故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V四棱锥O EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球与空间几何体的接、切问题(多维探究) 角度一 外接球(1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π4(2)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】 (1)设圆柱的底面圆半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】 (1)B (2)36π角度二 内切球(1)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，表面积为S 1，球O 的体积为V 2，表面积为S 2，则V 1V 2的值是__________，S 1S 2＝________. (2)已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为________．【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.S 1S 2＝2πR ·2R ＋2πR 24πR 2＝32. (2)正四面体的表面积为S 1＝4×34×a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【答案】 (1)32 32 (2)63π解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：1.(2020·四川成都一诊)如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1.现分别沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π C.163π D ．83π 解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为23× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝33.因为三棱柱的高为BC ＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＋12＝233，所以三棱柱外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π3.故选C.2．(2020·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)在底面是边长为2的正方形的四棱锥P ABCD 中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2.若四棱锥P ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则r R＝( ) A.23B ．25 C.12D ．13解析：选B.如图，取E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接EF ，PE ，PF .由题意知，P ABCD 为正四棱锥，底面边长为2.因为BC ∥AD ，所以∠PBC 即为异面直线PB 与AD 所成的角．因为∠PBC 的正切值为2，所以四棱锥的斜高为2，所以△PEF 为等边三角形，则正四棱锥P ABCD 的内切球的半径r 即为△PEF 的内切圆的半径，为33. 设O 为正四棱锥外接球的球心，连接OA ，AH .由题可得AH ＝2，PH ＝ 3.在Rt △OHA 中，R 2＝(2)2＋(3－R )2，解得R ＝536， 所以r R ＝25. 确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一 由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A．16π B．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C.【答案】C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A. 2 B．6 2C.112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D 两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1 212＋12＋22＝62.故选B.【答案】B方法三由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．【解析】如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝ 3.在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝(3－OD)2＋1，解得OD＝23 3，故球O的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎪⎫2332＝163π.【答案】163π[基础题组练]1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD ．233πS 解析：选A.由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是S π，故侧面展开图的边长为2π·S π＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A. 2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( ) A ．5B ．5C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径R ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πRl ＝20π.设球的半径为r ，则4πr 2＝20π，所以r ＝5，故选B.3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )A.12B ．1 C.32D ．3 解析：选B.由主视图可得如图的四棱锥P ABCD ，其中平面ABCD ⊥平面PCD .由主视图和俯视图可知AD ＝1，CD ＝2，P 到平面ABCD 的距离为32. 所以四棱锥P ABCD 的体积为V ＝13×S 长方形ABCD ×h ＝13×1×2×32＝1.故选B.4．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5π3B ．4π3 C.π3D ．2π3 解析：选D.几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，由题意可知几何体的体积为：12×12·π×2－13×12×12·π×2＝2π3.故选D. 5．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，D 1B 与DC 所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．42π解析：选A.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为DC ∥AB ，所以相交直线D 1B 与AB 所成的角是异面直线D 1B 与DC 所成的角．连接AD 1，由AB ⊥平面ADD 1A 1，得AB ⊥AD 1，所以在Rt △ABD 1中，∠ABD 1就是D 1B 与DC 所成的角，即∠ABD 1＝60°，又AB ＝2，AB ＝BD 1cos 60°，所以BD 1＝AB cos 60°＝4，设长方体ABCD A 1B 1C 1D 1外接球的半径为R ，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得4R 2＝D 1B 2＝16，则R ＝2，所以长方体外接球的表面积是4πR 2＝16π.故选A.6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图，由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2， 取正方形的中心O ，AD 的中点E ，连接PO ，OE ，PE ，可知PO 为正四棱锥的高，△PEO 为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的侧面积S ＝4×12×2×5＝4 5. 答案：457.已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．解析：设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r 2，高为h 2， 所以V 圆锥SO ＝13πr 2h ，V 圆柱PO ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 2＝πr 2h 8，所以V 圆柱PO V 圆锥SO ＝38. 答案：388．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE ，因为△ABC 是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．因为AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2.所以S 表＝3×12×23×2＋33＝36＋3 3. 因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝13×33×1＝ 3. 设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r ＝3336＋33＝2－1. 答案：2－19．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段的中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.10.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC 平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC＝32x ，GB ＝GD ＝x 2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥E ACD 的体积V 三棱锥E ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.[综合题组练])1.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A.3π4 B ．2π C.3π2D ．9π4解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A 1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C.2．(2020·江西萍乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.236 B ．72C.76D ．4解析：选A.由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB 1DCC 1，挖去一个三棱锥E FCG 所形成的，故所求几何体的体积为12×(2×2)×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝236. 故选A.3．(2020·福建厦门外国语学校模拟)已知等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝2，点D 是斜边AB 上一点(不同于点A ，B )．沿线段CD 折起形成一个三棱锥A CDB ，则三棱锥A CDB 体积的最大值是( )A ．1B ．12C.13D ．16解析：选D.设AD ＝x ，将△ACD 折起使得平面ACD ⊥平面BCD .在△ACD 中，由面积公式得12CD ·h 1＝12AD ·1(h 1为点A 到直线CD 的距离)，则h 1＝x1＋（x －1）2.由题易知h 1为点A 到平面BCD 的距离，故三棱锥A CDB 体积为V ＝13S △BCD ·h 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD ·1·h 1＝16·2x －x 2x 2－2x ＋2，x ∈(0，2)．令t ＝x 2－2x ＋2，则t ∈[1，2)，故V ＝16·2－t 2t ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －t .由于2t －t 是减函数，故当t ＝1时，V取得最大值为16×(2－1)＝16.故选D.4．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．183C ．24 3D ．543解析：选B.如图，E 是AC 的中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B. 5.如图所示，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1ABC 1的体积为________．解析：三棱锥B 1ABC 1的体积等于三棱锥A B 1BC 1的体积，三棱锥A B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.答案：3126．已知半球O 的半径r ＝2，正三棱柱ABC A 1B 1C 1内接于半球O ，其中底面ABC 在半球O 的大圆面内，点A 1，B 1，C 1在半球O 的球面上．若正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面积为63，则其侧棱的长是________．解析：依题意O 是正三角形ABC 的中心，设AB ＝a ，分析计算易得0<a <23，AO ＝33a ，在Rt △AOA 1中，A ′O ＝r ＝2，则AA 1＝r 2－AO 2＝4－a 23，所以正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面积S ＝3a ·AA 1＝3a4－a 23＝3－a 43＋4a 2＝63，整理得a 4－12a 2＋36＝0，解得a 2＝6，即a ＝6，此时侧棱AA 1＝ 2.答案：27.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 边的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．解析：当CQ ＝1时，Q 与C 1重合．如图，取A 1D 1，AD 的中点分别为F ，G .连接AF ，AP ，PC 1，C 1F ，PG ，D 1G ，AC 1，PF .因为F 为A 1D 1的中点，P 为BC 的中点，G 为AD 的中点， 所以AF ＝FC 1＝AP ＝PC 1＝52，PG 綊CD ，AF 綊D 1G .由题意易知CD 綊C 1D 1，所以PG 綊C 1D 1，所以四边形C 1D 1GP 为平行四边形， 所以PC 1綊D 1G ，所以PC 1綊AF ， 所以A ，P ，C 1，F 四点共面， 所以四边形APC 1F 为菱形．因为AC 1＝3，PF ＝2，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面S 为菱形APC 1F ，所以其面积为12AC 1·PF ＝12×3×2＝62.答案：628．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π。