高中数学-向量与立体几何习题5
高中数学立体几何与空间向量真题(解析版)
高中数学专题16立体几何与空间向量真题1．如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为.【答案】【解析】设.截面与FG交于J.，解得(舍去)故.2．设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°且不大于60°，则这样的点Q所构成的区域的面积为.【答案】【解析】设点P在平面上的射影为O.由条件知，.即OQ∈[1，3]，故所求的区域面积为.3．在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。
【答案】【解析】设的中点分別为，则易证平面A BM即为平面由平行四边形的性质知,所以，又直线P C在平面上的射影为直线MK,由得因此，棱P C与平面所成角的余弦值为.故答案为：4．设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为AP的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________.【答案】【解析】由，知AC为底面圆的直径.如图所示，设底面中心为O.于是，平面ABC.故.设H为M在底面上的射影.则H为AO的中点.在底面中作于点K.由三垂线定理知.从而，为二面角M-BC-A的平面角.由，结合得:.故二面角M-BC-A的大小为.5．四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.【答案】【解析】如图，设底面对角线AC与BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，与MN交于点H.由于PO为底面的垂线，故PO⊥CH.又AC⊥CH，于是，CH与平面POC垂直.从而，CH⊥PC.因此，CH为直线MN与PC的公垂线段.注意到，.故异面直线MN与PC之间的距离为.6．已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______.【答案】【解析】如图，设球心在平面与平面内的射影分别为，边的中点为，内切球半径为.则分别三点共线，，且.故.解得.7．设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.【答案】4【解析】如图6，联结.则，垂足为正的中心，且过球心.联结并延长与交于点.则为边的中点，且.易知，分别为正三棱锥、正三棱锥的侧面与底面所成二面角的平面角. 则.由.故.8．在四面体中，已知.则四面体的外接球的半径为______.【答案】【解析】易知，为正三角形，且CA=CB.如图，设P、M分别为AB、CD的中点，联结PD、PC.则平面平面PDC.设的外心为N，四面体ABCD的外接球的球心为O.则.可求得由题意知.在中，由余弦定理得又因为D、M、O、N四点在以DO为直径的圆上所以故外接球的体积.9．已知正三棱柱的9条棱长都相等，是边的中点，二面角.则________.【答案】【解析】解法1 如图，以所在直线为轴、线段的中点为原点、所在直线为轴建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2.则.故.设分别与平面、平面垂直的向量为.则由此可设.所以，，即.因此，.解法2如图..设交于点.则平面.又，则平面.过点在平面上作，垂足为，联结.则为二面角的平面角.设.易求得.在中，.又，则.故.1．四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________. 【答案】【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，所以四面体外接球的半径为.2．四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____.【答案】【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r，由△DOF～△EAF，得.而,所以.3．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.【答案】【解析】如图，作EH⊥AD于H，连HF.由P A⊥面ABCD，知P A⊥AD，EH∥P A，EH⊥ABCD.作HG⊥DF于G，连EG，则EG⊥FD，∠EGH为二面角E－FD－A的平面角.∵ABCD为正方形，E、F分别为PD、BC的中点，∴H为AD中点，FH⊥AD.设P A=AB=2，则，FH=2，HD=4，.∴.∴二面角E－FD－A的正切值为.4．已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.【答案】【解析】设正四面体的棱长为.则该正四面体的体积为，全面积为，所以，解得.从而正四面体的体积为.故答案为：5．正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___.【答案】【解析】因为F是BC1上的动点，所以在正方体中有，利用等体积转化有.故答案为.6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且P A=4，C为P A的中点，则当三棱锥O-HPC的体积最大时，OB的长为________．【答案】【解析】法一：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面P AB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面P AB，OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P-OCH的高．PC=OC=2．而△OCH的面积在时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当时，由，知∠OPB=30°，．法二：由C为P A中点，故，而．记则，．∴令，得，.故答案为：7．如图，在正三棱柱中，AB=2，，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC 上的动点，则△DEF周长的最小值为__________.【答案】【解析】由正三棱锥可得底面ABC，所以AB，AC.在Rt△ADF中，.如图①，把底面ABC与侧面在同一个平面内展开，展开图中只有当D、E、F三点在同一条直线上时，DE+EF取得最小值.如图②，在△ADF中，，由余弦定理可得.所以△DEF周长的最小值为.8．在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相切，则小球半径的最大值=___________.【答案】【解析】当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点的三个面相切.以为原点，分别为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设A(0，1，1)，(1，0，0)，小球圆心P(r，r，r)，则P到的距离.再由，得.故答案为：9．正方体中，E为AB的中点，F为的中点.异面直线EF与所成角的余弦值是_____. 【答案】【解析】设正方体棱长为1，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则.故有.所以.故答案为：10．在半径为R的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.【答案】【解析】设内接圆柱底面半径为，则高位，那么全面积为.其中，等号成立的条件是.故最大值为.故答案为：11．已知空间四点满足，且是三棱锥的外接球上的一个动点，则点到平面的最大距离是______．【答案】【解析】将三棱锥补全为正方体，则两者的外接球相同．球心就是正方体的中心，记为，半径为正方体对角线的一半，即为．在正方体里，可求得点到平面的距离为，则点到平面的最大距离是．12．在正四核锥中，已知二面角的正弦值为，则异面直线所成的角为______．【答案】【解析】如图，设的交点为上的射影为，则．又因为，因此，所以，则．因此即为二面角的平面角，从而．设，则．在中，．由此得，因此，解得．从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线所成的角为．13．半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________【答案】14【解析】设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X，半径为r.，则由对称性可知DX平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知.设OX=x，则由于球A内切于球X，所以AX=r-6即①又DX=OD-OX=11-x，且由球D内切于球X可知DX=r-7于是②从①②两式可解得即大球的半径为14.故答案为：1414．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．【答案】2【解析】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．记大正四面体的外接球半径为，小正四面体的外接球(大正四面体的内切球)半径为，易知，故小正四面体棱长的最大值为．15．已知棱长的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱体积的最大值为_____.【答案】【解析】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在、AC、上.设线段上的切点为E，圆柱上底面中心为，半径.由，则圆柱的高为，由导数法或均值不等式得.。
高中数学第一章-空间向量与立体几何单元测试(基础卷)(解析版)
第一章空间向量与立体几何单元过关基础A 版解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数． 【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置2223333DA B C D A B C -中放一个单位正方体礼盒1111DABC D A B C -，现以点D 为坐标原点，2DA 、2DC 、3DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则正确的是（ ）A ．1D 的坐标为(1,0,0)B ．1D 的坐标为(0,1,0)C ．13B B 293D ．13B B 14【答案】D【分析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可. 【详解】由所建坐标系可得：1(0,0,1)D ，1(1,1,1)B ，3(2,3,4)B ，13B B ==.故选：D. 【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.3．空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3345A B 、，，，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．()234，， B ．()134，， C ．()235，， D ．()245，， 【答案】A 【解析】点()()1,2,3345A B 、，，， 由中点坐标公式得中得为：132435,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()234，，. 故选A.4．已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量B ．AB 的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BCD ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)- 【答案】D 【分析】根据向量的相关性质判断. 【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB的单位向量为55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以cos ,11AB BC AB BC AB BC⋅==-⋅，所以C 项错误；对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确. 故选:D. 【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.5．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量()1,0,1n =-，则两平面间的距离是()A ．32BC D ．【答案】B 【解析】两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，()2,1,1OA =，且两平面的一个法向量()1,0,1,n =-∴两平面间的距离22n OA n⋅-+===，故选B. 6．下图是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块的直观图，其中,,P Q F 分别是11D C ，BC ，AB 的中点，平面α过点D 且平行于平面PQF ，则该木块在平面α内的正投影面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D 3【答案】A 【分析】先根据题意平面α可以平移至平面11A BC ，即木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D ，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积． 【详解】解：根据题意可知平面α过点D 且平行于平面PQF ， 则平面α可以平移至平面11A BC ，木块在平面α内的正投影即可看成是在平面11A BC 的正投影， 根据投影的性质可得投影为正六边形'''111A A BC C D 如图所示， 因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2， 所以221222A B =+=则投影面内正六边形的边长为：'1226cos303A A ==根据正六边形面积公式可得投影的面积为：'''111233264323A A BC C D S ⎛=⨯= ⎝⎭故投影面积为：43故选：A【点睛】本题主要考查空间几何体和正投影得概念，考查面积公式是计算，考查空间想象力和推导能力，属于难题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．13【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围. 【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离. 设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤ ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 ∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等） 故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题. 8．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2iAB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i ABBP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A . 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.二、多选题9．给出下列命题，其中正确的有（ ） A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ，BM ，BN 不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c 是空间向量的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间一组基底 【答案】BCD 【分析】选项A 、B 中，根据空间基底的概念，可判断；选项C 中，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，由此可判断；选项D 中：基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，由此可判断． 【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选：BCD.10．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．1n ∥2n ⇔α∥β B ．1n ⊥2n ⇔α⊥β C ．v ∥1n ⇔l ∥α D ．v ⊥1n ⇔l ∥α【答案】AB 【分析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】解：v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则1n ∥2n ⇔α∥β，1n ⊥2n ⇔α⊥β，v ∥1n ⇔l ⊥α，v ⊥1n ⇔l ∥α或l ⊂α. 因此AB 正确.故选：AB.11．在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，3AD =，1AA '=，以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A ．(3,2,1)BD '=--B ．异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35C ．平面A CD ''的一个法向量为(2,3,6)-- D ．二面角C A D D '''--的余弦值为37【答案】ACD 【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案. 【详解】由题意可得()()()3,0,0,3,2,0,0,2,0A B C ,()()()()0,0,1,3,0,1,0,2,1,3,2,1D A C B '''' 选项A: 所以(3,2,1)BD '=--，则A 正确.选项B:()3,0,1DA '=,(3,2,1)BD '=--,所以,cos ,10DA BDDA BD DA BD ''''==''⋅=所以异面直线A D '与BD '所成角的余弦值为35，则B 不正确. 选项C ：设平面A C D ''的一个法向量为(),,n x y z =由()3,0,1DA '=,()0,2,1DC '=，则00n DA n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'' 所以3020x z y z +=⎧⎨+=⎩ ，取6z =，得()2,3,6n =--，则C 正确.选项D ：由上可得平面A C D ''的一个法向量为(2,3,6)n =-- 又平面A DD ''的法向量为()0,1,0m = 则3cos ,17n m n m n m⋅-==⨯⋅ 所以二面角C A D D '''--的余弦值为37，则D 正确. 故选：ACD12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径22222462R ++==，所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．若直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，且l α⊥，则m =______． 【答案】2- 【分析】由已知可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，根据空间向量平行的充要条件可得到一个关于λ和m 的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 解：l α⊥，直线l 的方向向量为()4,2,m ，平面α的法向量为()2,1,1-，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行.则存在实数λ使()4,2,m λ=()2,1,1-，即422m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2m =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查向量语言表述线面垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行是解本题的关键，属于基础题.14．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则与同方向的单位向量是________________【答案】【解析】 试题分析：，与同方向的单位向量是考点：空间向量的坐标运算；15．如图，在正四面体P ABC -中，,M N 分别为,PA BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且2ND DM =，若PD xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为_______．【答案】23【分析】利用基向量表示PD ,结合空间向量基本定理可得. 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC =+=+=+-=++ 所以11,36x y z ===，所以23x y z ++=.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形ABCD 是上底面正中间一个正方形，正方形1111D C B A 是下底面最大的正方形，已知点P 是线段AC 上的动点，点Q 是线段1B D 上的动点，则线段PQ 长度的最小值为_______．334【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出目标PQ 的表达式，从而可得最小值. 【详解】以1B 为坐标原点，1111,B C B A 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,1,2,3,2,1,3,2,2,3B A C D , 设11B Q B D λ=,AP AC μ=,[],0,1λμ∈.()12,2,3B Q λλλ=,()1111,2,3B P B A AP B A AC μμμ=+=+=+-. ()1112,22,33QP B P B Q μλμλλ=-=+----, ()()()2222122233QP μλμλλ=+-+--+-222215191730221417217234λλμμλμ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1517λ=且12μ=时，2QP 取到最小值934，所以线段PQ 长度的最小值为33434. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解距离的最值问题时，一般是把目标式表示出来，结合目标式的特征，选择合适的方法求解最值.四、解答题17．如图，已知1111ABCD A B C D -是四棱柱，底面ABCD 是正方形，132AA AB ==，，且1160C CB C CD ︒∠=∠=，设1,,CD C a b B CC c ===.（1）试用,,a b c 表示1AC ； （2）已知O 为对角线1A C 的中点，求CO 的长.【答案】（1）1AC a b c =---；（2）292. 【分析】（1）由11AC A A AD DC =++可表示出来； （2）由21||()4CO a b c =++可计算出. 【详解】（1）11AC A A AD DC =++1AA BC CD =-+- 1CC CB CD c b a a b c =---=---=---；（2）由题意知||2,||2,||3a b c ===，110,233,23322a b a c a b ⋅=⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=，111()22CO CA a b c ==++，∴21||()4CO a b c =++ ()22212224a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅， ()2221292922302323442=⨯++++⨯+⨯==. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查利用向量计算长度，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 中点，O 为AC 中点，222AD AB AP ===.（1）证明：OE //平面PAB ；（2）异面直线PC 与OE 所成角的余弦值.【答案】（1）见详解； （2）33【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 中点，然后利用中位线定理，可得//OE PB ，根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）通过建系，可得,PC OE ，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD ，则O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE //PB .∵PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE //平面PAB（2）以A 为原点建立空间直角坐标系， 如图，则(0,0,1),(1,2,0),(0,2,0)P C D ，110,1,,,1,022E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11(1,2,1),,0,22PC OE ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∴3cos ,162PC OE ==⋅即异面直线PC 与OE 3【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及建系通过利用向量的方法解决线线角，将几何问题用代数方法来解决，化繁为简，属基础题.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．（1）求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M CDE -的体积； （2）求证：DM ⊥平面ACE ．【答案】（1）M 到平面DEC 的距离为3，233M CDE V -=；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面DEC 的距离，计算出CDE △的面积，利用锥体的体积公式可计算出三棱锥M CDE -的体积；（2）利用向量法证明出0AC DM ⋅=，0AE DM ⋅=，可得出DM AC ⊥，DM AE ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得DM ⊥平面ACE . 【详解】 （1）设ACBD O =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．易知z 轴在平面BDEF 内，且////BF DE z 轴，则()0,3,0C 、()1,0,0D -、()1,0,2E -、()1,0,1M ，()0,0,2DE ∴=，()1,3,0DC =，()2,0,1DM =，设平面DEC 的一个法向量(),,n x y z =，则2030n DE z n DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得()3,1,0n =-，M ∴到平面DEC 的距离23331DM n h n⋅===+， 又1122222DECSDE DC =⨯⨯=⨯⨯=， 因此，三棱锥M CDE -的体积112323333M CDE DEC V S h -=⨯⨯=⨯⨯=△； （2）证明：由（1）易知()0,3,0A -，则()0,23,0AC =，()1,3,2AE =-，02230010AC DM ⋅=⨯+⨯+⨯=，1230210AE DM ⋅=-⨯+⨯+⨯=，DM AC ∴⊥，DM AE ⊥，ACAE A =，DM ∴⊥平面ACE .【点睛】本题考查利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥体积的计算，同时也考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（16（26【分析】取CD 的中点O ，连接PO ，证明出PO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出PA 、DE 的坐标，利用空间向量法可求得异面直线PA 与DE 所成角的余弦值； （2）求得平面ABCD 的一个法向量，并写出PA ，利用空间向量法可求得直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】取DC 的中点O ，连接PO ，PDC △为正三角形，O 为DC 的中点，则PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，PO ∴⊥平面ABCD ．以点O 为坐标原点，OC 、OP 所在的直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,,02a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭、0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）设异面直线PA 与DE 所成的角为θ，E 为PC 的中点，30,4a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，330,4DE a ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，3,,2a PA a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 233330244a a PA DE a a ∴⋅=⨯-⨯=-，2PA a =，32DE =，2364cos cos ,4322a PA DE PA DE PA DEa a θ⋅=<>===⋅⨯， 因此，异面直线PA 与DE 6 （2）设直线AP 与平面ABCD 所成的角为α，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，362cos ,421aPA n PA n a PA n-⋅<>===-⨯⋅. 因此，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为64. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值以及线面角的正弦值，考查计算能力，属于中等题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD 、底面ABCD 为菱形，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1,120PA BAD ︒=∠=，菱形ABCD 的面积为23D AE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//PB OE ，利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）根据题意，求得菱形ABCD 的边长，取BC 中点M ，可证AM BC ⊥，如图建系，求得点坐标及,AE AC 坐标，即可求得平面ACE 的法向量，根据AM ⊥平面P AD ，可求得面ADE 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 、E 分别为,AB ACAM PAD AE AC =⊥、PD 的中点，所以//PB OE ， 又OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE 所以//PB 平面ACE（2）由菱形ABCD 的面积为23，120BAD ︒∠=，易得菱形边长为2， 取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC =，所以AM BC ⊥，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.则()())10,2,0,0,0,0,0,1,,3,1,02D A E C⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()10,1,,3,1,02AE AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面ACE 的法向量()1,,n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3x =3,6y z =-= 所以一个法向量()13,3,6n =-，因为AM AD ⊥，AM PA ⊥，所以AM ⊥平面P AD ， 所以平面ADE 的一个法向量()21,0,0n = 所以12121231cos ,43936n n n n n n ⋅<>===++，又二面角D AE C --为锐二面角，所以二面角D AE C --的余弦值为14【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.22．如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ， 且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π.不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FG CA ·Ｄ．2EF CB·答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ）Ａ．51122--，， Ｂ．51122-，， Ｃ．51122--，， Ｄ．51122，，答案：ＡＡ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，答案：Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案：Ｄ12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ二、填空题13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫- ⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ，30DCF ∠=°，且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立． 1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 理由即为解答过程．18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023a AC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，，，，，．由0GE BD GE BD ⊥⇒=·，得1a =，则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(0)H x y ，，， 则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =- ，，，(111)AE =- ，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M = ，·111426cos 2326A A A A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t =--，222(2)DQ t =---．那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，， 从而21(2(2)22)QB t =--- ，，，1(222)PD t =-- ，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·， 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．延长CD 交x 轴于点F ，易得(100)F ，，， 作AE SF ⊥于点E ，连结DE ，则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·， 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22． 22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时，1AC ⊥面1C BD ？请予以证明． 解：欲使1AC ⊥面1C BD ，只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D = ·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-= ·，即22111cos cos 0CD CC CB CD BCD CB CC C CB -+∠-∠=．由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立； 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥． 因此，当11CDCC =时，1AC ⊥面1C BD ．一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C一定共面的是 ( ) A.OC OB OA OM ++= B.OC OB OA OM --=2C.OC OB OA OM 3121++= D.OC OB OA OM 313131++=2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 ( )A.c b a -+B.c b a +-C.c b a ++-D.c b a -+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( )A.n m //B.n m ⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是 ( ) A.若OB OA OP3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线 B.设向量},,{c b a 是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底 C.cb ac b a ⋅⋅=⋅)(D.△ABC 是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是( )A.b a =B.b a -=C.a b λ=D.b a λ= 6.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M为AC与BD的交点，若c A A b D A a B A ===11111,,，则下列向量中与M B 1相等的是 ( ) A.c b a 212121++-B.c b a 212121++C.c b a +-2121D.-c b a +-2121 8.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=( )A.21,51 B.5，2C.21,51--D.-5，-29.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= ( )A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是( )A.52-B.52 C.53 D.1010 二.填空题: (4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， (1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求NM 与平面ABCD 所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图. (1)求二面角B —SC —D 的大小；(2)求DP 与SC 所成的角的大小.18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C B A ⊥求证(4)求CB 1与平面A 1ABB 1所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.60014.3 15.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13-(2) π 18.(1)3 (2)3010 (3) 略 (4)3101018.如图，建立空间直角坐标系O —xyz.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . 图（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121 +0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M. 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.。
高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)
空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。
注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， AB // DC ， 1 PA AD DC ， AB 1， M 是 PB 的中点 2 (Ⅰ)证明：面 PAD 面 PCD ； (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角； (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 证明：以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1A(0,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0),D (1,0,0), P(0,0,1), M (0,1, 12) (Ⅰ)证明：因 AP (0,0,1), DC (0,1,0),故 AP DC 0,所以AP DC. 由题设知 AD DC ，且 AP 与AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC 面 PAD 又DC 在面 PCD 上，故面 PAD ⊥面 PCD Ⅱ)解：因AC (1,1,0), PB (0,2, 1), 故 | AC | 2,|PB | 5, AC PB 2,所以 cos AC, PB AC PB 10 | AC | | PB | 5 (Ⅲ)解：在 MC 上取一点 N(x,y,z)，则存在 R,使 NC MC,11 NC (1 x,1 y, z),MC (1,0, 2), x 1 , y 1,z 2 .. uuur uuuur 1 4 要使 AN MC,只需 ANgMC 0即x z 0,解得 . 25 4 1 2 可知当 4时,N 点坐标为 ( 1 ,1, 2),能使 AN MC 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时 ,AN ( ,1, ),BN ( , 1, ),有 BN MC 0 5 5 5 5 由AN MC 0, BN MC 0得AN MC , BN MC.所以 ANB 为 所求二面角的平面角uuur 30 uuur 30 uuur uuur 4 Q| AN | ,| BN | , AN gBN . 5 5 5 uuur uuur uuur uuur AN gBN 2 cos( AN, BN) uuur uuur . | AN | | BN | 3 故所求的二面角为 arccos( 2).2 如图，在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形平面VAD 底面ABCDⅠ)证明：AB 平面VAD ；Ⅱ)求面VAD与面DB 所成的二面角的大小证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系Ⅰ)证明：不防设作A(1,0,0) ，13则B(1,1,0)，V(1,0, 3)，2213AB (0,1,0),VA ( ,0, )22由AB VA 0,得AB VA，又AB AD ，因而AB与平面VAD 内两条相交直线VA，AD 都垂直∴ AB 平面VAD13 Ⅱ)解：设E为DV 中点，则E( ,0, )，443 3 3 3 1 3 EA ( ,0, ),EB ( ,1, ),DV ( ,0, ).4 4 4 4 2 2由EB DV 0,得EB DV,又EA DV.因此，AEB 是所求二面角的平面角，cos(EA,EB) EA EB 21|EA| | EB| 7解得所求二面角的大小为 arccos 21.73 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA 底面PA 2，E为PD的中点ABCD ，AB 3 ，BC 1 ，C Ⅰ)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；Ⅱ)在侧面PAB内找一点N ，使NE 面PAC ，并求出点N 到AB 和AP的距离解：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，4 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所 截面而得到的，其中 AB 4, BC 2,CC 1 3,BE 1Ⅰ)求 BF 的长； (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC 1F 的距离解：( I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D (0,0,0) ， B(2,4,0)A(2,0,0), C (0, 4,0), E (2, 4,1), C 1(0, 4,3)设F (0,0, z)∵ AEC 1F 为平行四边形，由 AEC 1 F 为平行四边形 ,由 AF EC 1得,( 2,0, z) ( 2,0,2), z 2. F (0,0,2).EF ( 2, 4,2). 于是 | BF | 2 6,即BF 的长为 26. 则 A,B,C,D,P,E 的坐标为 A(0,0,0) 、B( 3,0,0) 、C( 3,1,0) 、 D(0,1,0) 、1P(0,0,2) 、 E(0, ,1) ，2从而 AC ( 3,1,0), PB ( 3,0, 2).设 AC 与PB 的夹角为 ，则AC PB 3 cos | AC | | PB | 2 7∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为 37 14 3714Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 (x,0, z)，则NE ( x,1,1 z)，由 NE 面 PAC 可得，2NE AP 0, NE AC 0. 1 ( x, ,1 z) (0,0,2) 0, z 1 0, 即 2 化简得113 x ( x, 2 ,1 z) ( 3,1,0) 0. 2 0.即 N 点的坐标为 ,0,1) ，从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 636II ）设 n 1 为平面 AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面 ADF ,故可设n 1 （x, y,1）0,得 0 x 4 y 1 00, 2 x 0 y 2 0又CC 1 (0,0,3),设CC 1与n 1 的夹角为 ，则CC 1 n 13 4 33 cos |CC 1| |n 1| 3 1 1 1 3316∴ C 到平面 AEC 1F 的距离为5 如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 ，中， AD AA 1 1,AB 2，点 E 在棱 AD 上移动 （1）证明：D 1E A 1D ；（2）当 E 为AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1的距离；（ 3 ） AE 等于何值时，二面角 D 1 EC D 的大小为14解：以 D 为坐标原点，直线 DA , DC , DD 1分别为 x,y, z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE x ，则 A 1(1,0,1),D 1(0,0,1), E(1,x,0), A(1,0,0), C (0, 2,0)1)因为DA 1, D 1E (1,0,1), (1, x, 1) 0,所以DA 1 D 1E.2)因为 E 为 AB 的中点，则 E(1,1,0) ，从而 D 1E (1,1, 1), AC ( 1,2,0) ，n AC 0, AD 1 ( 1,0,1) ，设平面 ACD 1的法向量为 n (a,b,c) ，则 n AD 1 0,a 2b 0 a 2b 也即 ，得 ，从而 n （2,1,2） ，所以点 E 到平面 ACD 1的距离为 ac 0 1n 1 AE n 1 AF 即 4 y 1 0,2x 2 0,x 1,d | CC 1 | cos4 33 33 4 33 11ac| D 1E n | 2 1 2 1 h. |n | 3 36 如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， AB 侧面 BB 1C 1C ， E 为棱 CC 1上异于 C,C 1 的一点， EA EB 1， 已知 AB 2, BB 1 2, BC 1, BCC 1，求： 1 1 3（Ⅰ）异面直线 AB 与 EB 1的距离；（Ⅱ）二面角 A EB 1 A 1 的平面角的正切值解：( I)以 B 为原点， BB 1 、 BA 分别为 y, z 轴建立空间直角坐标系 由于， AB 2, BB 1 2, BC 1, BCC 13在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中有31 3 3 B(0,0,0), A(0,0, 2), B 1(0,2,0) ,C( 3, 1,0),C 1( 3,3,0)2 2 2 2 设 E( 3,a,0),由EAEB 1,得 EA EB 1 0,即2330( , a, 2) ( ,2 a,0)2 23 2 34 a(a 2) a 2 2a 34 , 由n D 1C 0,2b c0 n CE 0, a b( x 2) 0∴n (2 x,1,2).|n DD 1 |2 依题cos 1 4 | n | |DD 1|2 ∴ x 1 23 （不合，舍去），x 2 ∴ AE 2 3 时， 二面角 D 1 EC CE (1,x 2,0),D 1C (0,2, 1), DD 1 (0,0,1), 令 b1, c 2, a 2 x ， 2 2 . ( x 2) 2 5 2 D 的大小为 43)设平面 D 1EC 的法向量 n (a,b,c) ，得(a 21)(a 32) 0,即a 12或a 23 (舍去),故E( 23 , 21,0) BE EB 1 ( 3, 1,0) ( 3 3 0) 3 3 0,即BE EB 1. 1 2 2 2 2 4 4 1又 AB 侧面 BB 1C 1C ，故 AB BE 因此 BE 是异面直线 AB, EB 1的公垂线，31 则 |BE | 1，故异面直线 AB, EB 1的距离为 1 4 4 1II)由已知有 EA EB 1, B 1A 1 EB 1, 故二面角 A EB 1 A 1的平面角 的大小为向量 B 1A 1与EA 的夹 角 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 由已知可得 D(0,0,0), P(0,0, 2), C(0, 2,0) 设 A(x,0,0)( x 0),则 B(x,2,0),又 PD DE ，故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线，易得 | DE | 1 ，故异面直线 PD ,CE 的距离为 1（Ⅱ）作 DG PC ，可设 G （0, y,z ） 由 DG PC 0得（0,y,z ） （0,2, 2） 0因 B 1 A 1 故 cos3 BA (0,0, 2), EA (2 EA B 1A 12 12 , 2), 即 tan|EA||B 1A 1 | 7 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD 底面 ABCD ， E 是 AB 上 一点， PF EC 已知 PD 2, CD 2, AE 1,2,求（Ⅰ）异面直线 PD 与 EC 的距离；Ⅱ）二面角 E PC D 的大小解：（Ⅰ）以 D 为原点， DA 、 DC 、 DP 分别为E(x,21,0),PE (x, 12, 2),CE(x, 23 ,0). 由 PE CE 得 PE CE 0， 即x 2 43 0,故x 23. 由 DECE ( 23,12,0) ( 23 3 , 23,0) 0得DE CE ，即z 2y,故可取DG (0,1, 2),作EF PC于F，设F(0,m,n)，uu ur EF 3,m2 2,n).uu ur EF uuurPC0得(,m 12,n) (0,2, 2) 0,即2m2n 0 ，又由F 在PC 上得n2m22,故m 1,nuuur 因EF uuur uuur uuurPC,DG PC,故E PC D 的平面角故cos uuur uuurDG EF uuuruuur 2, , 即二面角| DG ||EF | 2 422,u E u F ur231( , ,22uuur uuur的大小为向量EF 与DGE PC D 的大小为.4的夹角。
高中数学空间向量与立体几何测试题及答案
高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａuuuur2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列关于AC1 的表达中错误的一个是（）uuu uuuu uuuur uuur uuuur uuuuurＡ．AA1A1B1A1D1Ｂ．AB DD 1 D1C1uuu ruuuuruuuuur1 uuuur uuuur uuuur (AB1 CD1)A1C1Ｃ．AD CC1D1C1Ｄ．答案：Ｂ3．若a，b，c为任意向量，m R ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．（a b) c a (b c)Ｂ．（a b)·c a·c b·cＣ．m （a b)ma mbＤ．(a·b)·c a·(b·c) 答案：Ｄ4．若三点A，B，C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC ，则的值为Ａ．1Ｂ．1 Ｃ．1Ｄ．22答案：Ｂ5．设a （ x，4，3），b （3，2，z），且a∥b，则xz等于（）Ａ．4Ｂ．9 Ｃ．9Ｄ．649答案：Ｂ6 ．已知非零向量e1，e2 不共线，如果uuurABuuur e1 e2，AC2e2uuur8e2，AD 3e1 3e2，A，B，C，D（）uuur uuur uuurＡ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ则四点9．若向量 a （1， ，2） 与 b （2， 1，2）的夹角的余弦值为 8 ，则 （ ） 9Ａ． 2 Ｂ． 2 Ｃ． 2或 2Ｄ． 2或 255 55 答案：ＣＡ． 7 ，4， 1Ｂ． （2，4，1） Ｃ． （ 2，14，1） Ｄ． （5，13， 3）2答案：ＤO 为 AC ，BD 的交点，则Ｃ． arccos 3Ｃ． arccosC 1O 与 A 1D 所成角的（ arccos 3arccos 6答案：Ｄ12．给出下列命题：① 已知 a b ，则 a ·（b c ） c ·（b a ） b ·c ；uuur uuuur uuur② A ，B ，M ，N 为空间四点，若BA ，BM ，BN 不构成空间的一个基底， 那么 A ，B ， M ，N 共面；③ 已知 a b ，则 a ，b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④ 若 a ，b 共线，则 a ，b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 4答案：Ｃ 二、填空题13．已知 a （3，1，5）， b （1，2， 3） ，向量 c 与 z 轴垂直， 且满足 c ·a 9，c ·b 4，则 c37．如图 1，空间四边形 ABCD 的四条边及对角线长都是 a ，点 E ， F ，G 分别是 AB ， AD ，CD的中点，则 a 2等于（ ）uuur uuur uuur uuur Ａ． 2BA ·AC Ｂ． 2AD ·BDuuur uuur uuur uuurＣ． 2FG ·CAＤ． 2EF ·CB答案：Ｂ8 ．若 a e 1 e 2 e 3，b e 1 e 2 e 3， ce 1 e 2 e 3， de 1 2e 23e 3 ，且 d xa 则 x ，y ，z 的值分别为（ ）51 51 5 15 1 Ａ． ， ， 1 2， 2， 1 Ｂ． ，， 1 22 Ｃ． 2，12， 1Ｄ． 2 ，2，1 答案：Ａyb zc ，10．已知 ABCD 为平行四边形， 且 A （4，13，）， B （2， 5，1）， C （3，7， 5），则顶点 D 的坐标为（ 11．在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，Ａ． 60° Ｂ． 90°Ｄ．答案：22，21，055 uuur 1uuur 2uuur 14．已知 A ，B ，C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量 OP OA OB 53 uuur OC 确 定的点 P 与 A ，B ，C 共面，那么 答案： 2 1515．已知线段 AB 面 ，BC ，CD BC ，DF 面 于点 F ， 在平面 的同侧，若 AB BC CD 2，则 AD 的长为 ． DCF 30°，且 D ，A 答案： 2 2 16．在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中， B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为 线 B 1C 和 C 1D 所成角的余弦值为 ．答案： 6 4 60°和 45°，则异面直17 ．设 a 1 2i j k ，a 2 i 3j 2k ， a 3 2i j 3k ，a 43i 2j 5k ，试问是否存在实数 ， ， ，使 a 4 a1 a2 a3 成立？ 如果存在，求出 ， ， ；如果不存在，请写出证明．答案：解： 假设 a 4 a 1 a 2 a 3 成立．∵ a 1 (2， 1，1）， a 2 （1，3， 2)， a 3 ( 2，1，3)，a 4 (3，2，5) ，∴(2 2，3， 2 3 ) （3，2，5） ．2 2 3， 2，∴3 2，解得 1，2 3 5，3．所以存在 2， 1，v 3 使得 a 4 2a 1 a 2 3a 3 ．理由即为解答过程． 三、解答题18．如图 2，正三棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面边长为 所成的角． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， B （0，a ，0）， A 1（0，0，2a ），C 13a ，a ，2a22由于 n （ 1，0，0） 是面 ABB 1A 1 的法向量，a ，侧棱长为 AC 1 与侧面 ABB 1A 120．已知正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为 2，P ， Q 分别是 BC ，CD 上的动点，且 PQ 2，确定 P ，Q 的位置，使 QB 1 PD 1． 解：建立如图所示uuuur cos AC 1， n uuu ur AC 1·n uuuur AC 1 n3a2 3a 1 2故 AC 1与侧面 ABB 1A 1 所成的角为 30°． 19．如图 3，直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，底面是等腰直角三角形， ACB 90°，侧棱AA 1 2，D ，E 分别是 CC 1与 A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 求点 A 1到平面 AED 的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA 2a ， 2a 2a 1 则 A （2a ，0，0）， B （0，2a ，0）， D （0，0，1），A 1（2a ，0，2，） E （a ， a ，1），G ， ， ． 3 3 3 uuur a a 2 uuur 从而 GE ，， ，BD （0， 2a ，1） ． 333 uuur uuur由 GE BD GE ·BD 0 ，得 a 1 ，△ ABD 的重心G ，则 A 1（2，0，2，） A （2，0，0，） E （1，1，1） ． 自 A 1作 A 1H 面 AED 于M ，并延长交 xOy 面于 H ，设 H （x ，y ，0）， uuuur 则 A 1H （x 2，y ， 2） ． uuur uuur 又 AD （ 2，0，1） ， AE （ 1，1，1） ． A 1H AD ， A 1H AE(2x (x 2)2) y 2 20，0 x y 11，，得 H(1，1，0) (x 2) y 2 0y 1， 又 A 1MA 1A ·cos uuuruuuurA 1 A ，A 1Muuur uuuur A 1A ·cos A 1A ，A 1H24 22626 3那么B 1（2，0，2）， D 1(0，2，2)， P(2，t ，0，) Q(2 2 (2 t)2，2，0) ， 从而 QB 1 ( 2(2 t)2，2，2），PD 1 ( 2，2 t ，2），uuuuruuuur由 QB 1 PD 1QB 1·PD1 0，即 2 2 (2 t)2 2(2 t) 4 0 t 1．的空间直角坐标系，设BP t ，得CQ 2 （2 t）2，DQ 2 2 （2 t）2．故 P ，Q 分别为 BC ，CD 的中点时， QB 1 PD 1 ．S ABCD 中， ABC 90°， SA 面 ABCD ，uuur uuur因此 tan EAF ，ED故面 SCD 与面 SBA 所成二面角的正切值为CD 当 CD的值为多少时， A 1C 面 C 1BD ？请予以证明． CC 1解：欲使 A 1C 面C 1BD ，只须 A 1C C 1D ，且 A 1C C 1B ． uuur uuuur 欲证 A 1C C 1D ，只须证 CA 1·C 1 D 0，uuur uuur uuur uuuur 即 (CA AA 1·) (CD CC 1) 0 ，uuur uuur uuuur uuur uuuur 也就是 (CD CBCC 1)·(CD CC 1) 0 ，由于 C 1CBuuur 显然，当 CD BCD ，uuuurCC 1 时，上式成立；uuur uuuur同理可得，当 CD CC 1 时， A 1C C 1B1SA AB BC 1， AD ，求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的正切2 值．解：建立如图所示的空间直角坐标系， 1则 A （0，0，0）， B （ 1，0，0）， C （ 1，1，0）， D 0，，0 ，S （0，0，1） ． 延长 CD 交x 轴于点 F ，易得 F （1，0，0） ，作 AE SF 于点 E ，连结 DE ， 则 DEA 即为面 SCD 与面 SBA 所成二面角的平面角． 又由于 SA AF 且 SAAF ， 11 E ，0， ， 2那么 uuurEA1 2，0， uuur ED 1，1， ，，221，，2从而uuu uuur u E u A ur u E u D uruuur uuur EA ·ED 22．平行六面体 ABCD A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形， 且 C 1CB C 1CD BCD ，试问： uuur2 即 CDuuuur 2 CC 1uuur uuurCB CD cos BCD uuur uuuur CB CC 1 cos C 1CB 0 ． CD 因此，当 C C C D 1 1时， A 1C面C 1BD ．21 ．如图 4，在底面是直角梯形的四棱锥. 选择题： (10 小题共 40 分 )4. 以下四个命题中 , 正确的是C. (a b)cA 1B 1 a, A 1D 1 b,A 1A c ，则下列向量中与 B 1M 相等的是定共面的是( )A. OMOA OB OCB. OM 2OA OB OCC. OM1 111 1OA OB OCD.OMOA OB OC2 333 32. 直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中，若 CA a,CB b,CC 1 C,则A 1BA. a bc B. a bcC. a bcD. a b3. 若向量 m 垂直向量 a 和 b,向量 na b( ,R 且 、0)则cA. m// nB. m nC. m 不平行于 n,m 也不垂直于 n 1. 已知 A 、B 、 C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A 、 B 、CD. 以上三种情况都可A. 若OP 1OA 1OB ,则 P 、23Ａ、Ｂ三点共线B.设向量 { a, b,c} 是空间一个基底，则 { a +b ，b +c ， c + a }构成空间的另一个基底D.△ABC 是直角三角形的充要条件是 AB AC 0 5. 对空间任意两个向量 a,b(bo),a // b 的充要条件是A. a bB. aC.b aD. a6. 已知向量 a(0,2,1),b (1,1, 2),则a 与b 的夹角为A.0°B.45C.90D.1807. 在 平 行 六 面 体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中 ， M 为AC 与 BD点，若1CN所成角的余弦值是A. 2 5 2B. 5C.3 5D. 10 10 二. 填空题 : （4 小题共 16分） 11. 若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9) 三点共线，则 m+n= 12. 已知 A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1 ，5），若| a | 3,且a AB,a AC,则向量 a 的坐标为 13. 已知 a,b 是空间二向量，若 |a| 3,|b| 2,|a b|7,则a 与b 的夹角为14. 已知点 G 是△ ABC 的重心， O 是空间任一点，若 OA OB OC OG, 则 的值 三 . 解答题 :(10+8+12+14=44 分) 15. 如图： ABCD 为矩形， PA ⊥平面 ABCD ， PA=AD ， M 、N 分别是 PC 、 AB 中点， （1） 求证： MN ⊥平面 PCD ；（2） 求 NM 与平面 ABCD 所成的角的大小 . 16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内， 它和两个面所成的角都是 300，求这条线段与这 个二面角的棱所成的角的大小 1 A. a211 1 b c B. a2 221b 1c C. 221b c D.- 21b 28. 已知 a (1,0,2 ),b (6,21,2),若a // b,则的值分别为A.15,12B.5，2C. 15D.-5 ， -29. 已知 a 3i2j k,b i j2k,则5a 与3b 的数量积等于A.-15B.-5C.-3D.-110. 在棱长为 1 的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，M 和 N 分别为 A 1B 1 和 BB 1的中点，那么直线 AM 与17. 正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图(1) 求二面角B—SC—D的大小；(2) 求DP与SC所成的角的大小18. 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ ABC中，CA=CB=，1 ∠ BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A 的中点；(1) 求BN的长;(2) 求cos BA1,CB1 的值;(3) 求证: A1B C1M.(4) 求CB1 与平面A1ABB1 所成的角的余弦高中数学选修 2-1 测试题（10） —空间向量 （1） 参考答案∴| BN |= (1 0)2 (0 1)2 (1 0)23 .DDBB DCDA AB 11.0 12.(1 ，1，1）13.6014.315.(1) 略 (2)45 016.4517.(1)1 13 (2)18.(1)3 (2)30 (3) 略(4)3 1010102）依题意得 A 1（1，0， 2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）1，0）、N （1，0，1）图|CB1 |= 5∴ cos< BA1 ，CB1 >= BA1 CB1|BA1 | |CB1 | 1030 .3）证明：依题意，得C10，0，2）、M（1,1，222），A1B ={ －1，1，2} ，C1M ={ 1,1，1 12 20}. ∴ A1B·C1M =－21+0=0，∴ A1B⊥ C1M ，∴ A1B⊥ C1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件。
(通用版)2020版高考数学复习专题五立体几何5.3空间向量与立体几何练习理
5.3 空间向量与立体几何命题角度1空间位置关系证明与线面角求解高考真题体验·对方向1.(2019浙江·19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=23,EG=3.3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=,所以cos∠EOG=-·因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是3.方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A1(0,0,23),B(3,1,0),B1(3,3,23),F33,23,C(0,2,0).因此,=33,23,=(-3,1,0).由=0得EF⊥BC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得=(-3,1,0),=(0.2,-23).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).由·0,·0,得-30,-30取n=(1,3,1),故sinθ=|cos<·n>|=··.因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为3.2.(2019天津·17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F 的余弦值为3,求线段CF 的长.题意,可以建立以A 为原点,分别以 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,1,0),E (0,0,2).设CF=h (h>0),则F (1,2,h ).依题意, =(1,0,0)是平面ADE 的法向量,又 =(0,2,h ),可得 =0,又因为直线BF ⊄平面ADE ,所以BF ∥平面ADE., =(-1,1,0), =(-1,0,2), =(-1,-2,2).设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则 · 0, · 0,即 - 0,- 0,不妨令z=1, 可得n =(2,2,1).因此有cos < ,n >= · =- 9.所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为9. (3)解 设m =(x ,y ,z )为平面BDF 的法向量,则 · 0, · 0,即 - 0, 0,不妨令y=1,可得m =1,1,- .由题意,有|cos <m ,n >|= ·-33,解得h=,经检验,符合题意. 所以,线段CF 的长为.3.(2018全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P 的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得PH=3,EH=3.则H(0,0,0),P0,0,3,D- ,-3,0 ,3,30,0,3为平面ABFD的法向量.设DP 与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=·333.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3.4.(2018全国Ⅱ·20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),=(0,2,23).取平面PAC的法向量=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0<a≤ ),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由·n=0,·n=0得39,-)0可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos<,n>= 33 - )3.由已知可得|cos<,n>|=3.所以 33 - )33,解得a=-4(舍去),a=3.所以n=-33,33,-3.又=(0,2,-23),所以cos<,n>=3.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3.典题演练提能·刷高分1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC= 0°.(1)证明:AD⊥A1B;(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.AD中点O,连接OB,OA1,BD,∵AA1=A1D,∴AD⊥OA1.又∠ABC= 0°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥OB,∴AD⊥平面A1OB.∵A1B⊂平面A1OB,∴AD⊥A1B.平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,又A1O⊥AD,∴A1O⊥平面ABCD,∴OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz, 设AB=AD=A1D=2,则A(1,0,0),A1(0,0,3),B(0,3,0),D(-1,0,0).则=(1,0,3),=(-1,3,0),=(0,-33),设平面A1B1CD的法向量n=(x,y,z),则·-30,·30,令x=3,则y=1,z=-1,可取n=(3,1,-1),设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=·3- 3·0.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD= 0°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE∥平面PAD;(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.G为AB的中点,因为AD=AB,∠BAD= 0°,所以△ABD为等边三角形,故DG⊥AB;因为AB∥CD,所以DG⊥DC.又PD⊥平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.以D为坐标原点,为x轴、为y轴、为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则P(0,0,2),B(3,1,0),E(0,2,1),=(0,2,1),=(3,1,0),设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则·0,·0,即0,30令y=1,则n=-33, ,-.又=(3,1,-2),所以|cos<n,>|=··,即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为.3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:A1C∥平面DEF;(2)若A1C⊥EF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A1C∥平面DEF.(1)知,EH∥AA1,因为AA1⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC,因为△ABC为正三角形,且点E为棱AB的中点,所以CE⊥AB,故以点E为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,设AB=4,AA1=t(t>0),则A1(2,t,0),C(0,0,23),E(0,0,0),F-2,,0,D-3,0,3, 所以=(-2,-t,23),=-2,,0,因为A1C⊥EF,所以=0,所以(-2)×(-2)-t×+23×0=0,解得t=2.所以=(-2,,0),=-3,0,3,设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,所以-0,-330,取x=1,则n=(1,3),又因为=(-2,0,23),设直线A1C1与平面DEF所成的角为θ,所以sinθ=|cos<n,>|=··,所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为.4.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,∠BAD= 0°,AB=2,E,F为CD,AA1的中点.(1)求证:DF∥平面B1AE;(2)若AA1⊥底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为3,求AA1的长.G为AB1的中点,连接EG,GF,因为FG A1B1,又DE A1B1,所以FG DE,所以四边形DEGF是平行四边形,所以DF∥EG,又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.ABCD是菱形,且∠ABC= 0°,所以△ABC是等边三角形.取BC中点M,则AM⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AM,AA1⊥AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t>0),则A(0,0,0),E33,0,B1(3,-1,t),D1(0,2,t),=33,0,=(3,-1,t),=(0,2,t),设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),则n·3(x+3y)=0且n·3x-y+tz=0,取n=(-3t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为θ,则sinθ=·· )3,解得t=2,故线段AA1的长为2.5.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,△ADE,△BCF均为等边三角形,EF∥AB,EF=AD=AB.(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF∥平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.当N为线段FC的中点时,使得AF∥平面BDN.证法如下:连接AC,BD,设AC∩BD=O,∵四边形ABCD为矩形,∴O为AC的中点,又∵N为FC的中点,∴ON为△ACF的中位线,∴AF∥ON.∵AF⊄平面BDN,ON⊂平面BDN,∴AF∥平面BDN,故N为FC的中点时,使得AF∥平面BDN.(2)过点O作PQ∥AB分别与AD,BC交于点P,Q,因为O为AC的中点,所以P,Q分别为AD,BC的中点,∵△ADE与△BCF均为等边三角形,且AD=BC,∴△ADE≌△BCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,∵EF∥AB,AB PQ,EF=AB,∴EF∥PQ,EF=PQ,∴四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MO⊥PQ,又∵AD⊥EP,AD⊥PQ,EP∩PQ=P,∴AD⊥平面EPQF,过点O作OG⊥AB于点G,则OG∥AD,∴OG⊥OM,OG⊥OQ.分别以的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB=4,则由条件可得O(0,0,0),A(1,-2,0),B(1,2,0),F(0,1,),D(-1,-2,0),N-,3,.设n=(x,y,z)是平面ABF的法向量,则·0,·0,即0,-30,所以可取n=(,0,1),由-3,-,,可得|cos<,n>|=·· 3,∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为3.命题角度2空间位置关系证明与二面角求解高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD= 0°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1DC,可得B1C A1D,故ME ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,3,-2),=(-1,0,-2),=(0,-3,0).设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则·0,·0所以-3-0,-0可取m=(3,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则·0,·0所以-30,--0可取n=(2,0,-1).于是cos<m,n>=·3,所以二面角A-MA1-N的正弦值为 0.2.(2019全国Ⅱ·17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB= °,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即0,0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则·0,·0,即0,0,所以可取m=(1,1,0).于是cos<n,m>=·=-.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为3.3.(2018全国Ⅲ·19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).设n=(x1,y,z)是平面MAB的法向量,则·0,·0即-0,可取n=(1,0,2),是平面MCD的法向量,因此cos<n,>=·,sin<n,>=.所共面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.4.(2017全国Ⅲ·19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C 的余弦值.,△ABD≌△CBD,从而AD=DC.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E0,3,.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),- ,3,.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则·0,·0,即-0,-30可取n= ,33, .设m是平面AEC的法向量,则·0,·0同理可取m=(0,-1,3).则cos<n,m>=·.所以二面角D-AE-C的余弦值为.5.(2016全国Ⅰ·18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 0°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE= 0°,则|DF|=2,|DG|=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF= 0°.从而可得C(-2,0,3).所以=(1,0,3),=(0,4,0),=(-3,-4,3),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则·0,·0,即30,所以可取n=(3,0,-3).设m是平面ABCD的法向量,则·0,·0,同理可取m=(0,3,4),则cos<n,m>=·=- 99.故二面角E-BC-A的余弦值为- 99.典题演练提能·刷高分1.(2019山东济宁二模)如图,在直角梯形ABED中,AB∥DE,AB⊥BE,且AB=2DE=2BE,点C是AB的中点,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置.(1)求证:平面PBC⊥平面PEB;(2)若PE与平面PBC所成的角为 °,求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.AB∥DE,AB=2DE,点C是AB的中点,∴CB∥ED,CB=ED,∴四边形BCDE为平行四边形,∴CD∥EB.又EB⊥AB,∴CD⊥AB,∴CD⊥PC,CD⊥BC,又PC∩BC=C,∴CD⊥平面PBC,∴EB⊥平面PBC.又EB⊂平面PEB,∴平面PBC⊥平面PEB.(1)知EB⊥平面PBC,∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角,∴∠EPB= °,∵EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,∴△PBE为等腰直角三角形,∴EB=PB=BC=PC,即△PBC为等边三角形.设BC的中点为O,连接PO,则PO⊥BC,EB⊥平面PBC,又EB⊂平面EBCD,∴平面EBCD⊥平面PBC.又PO⊂平面PBC,∴PO⊥平面EBCD.以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,设BC=2,则B(0,1,0),E(2,1,0),D(2,-1,0),P(0,0,3),从而=(0,2,0),=(2,1,-3).设平面PDE的一个法向量为m=(x,y,z),则由·0,·0,得0,-30令z=2得m=(3,0,2),又平面PBC的一个法向量n=(1,0,0),则cos<m,n>=·3.所以平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.2.四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD为正三角形.(1)点M为棱AB上一点,若BC∥平面SDM,=λ,求实数λ的值;(2)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.因为BC∥平面SDM,BC⊂平面ABCD,平面SDM∩平面ABCD=DM,所以BC∥DM.因为AB∥DC,所以四边形BCDM为平行四边形,又AB=2CD,所以M为AB的中点.因为=λ,∴λ=.(2)因为BC⊥SD,BC⊥CD,SD∩CD=D,所以BC⊥平面SCD,又因为BC⊂平面ABCD,所以平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E,则SE⊥平面ABCD,在Rt△SEA和Rt△SED中,因为SA=SD,所以AE=--=DE, 又由题知∠EDA= °,所以AE⊥ED,所以AE=ED=SE=1,以下建系求解:以点E为坐标原点,EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系,则E(0,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),=(1,0,-1),=(0,2,0),=(0,2,-1),=(1,0,0),设平面SAB的法向量n1=(x,y,z),则·0,·0,所以-0,0,令x=1得n1=(1,0,1)为平面SAB的一个法向量,同理得n2=(0,1,2)为平面SBC的一个法向量,cos<n1,n2>=··0,因为二面角A-SB-C为钝角,所以二面角A-SB-C余弦值为- 0.3.如图,是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且AC⊥BC,P 为弧上(不与A1,B1重合)的动点.(1)证明:PA1⊥平面PBB1;(2)若四边形ABB1A1为正方形,且AC=BC,∠PB1A1=,求二面角P-A1B1-C的余弦值.在半圆柱中,BB1⊥平面PA1B1,所以BB1⊥PA1.因为A1B1是上底面对应圆的直径,所以PA1⊥PB1.因为PB1∩BB1=B1,PB1⊂平面PBB1,BB1⊂平面PBB1,所以PA1⊥平面PBB1.(2)以点C为坐标原点,以CA,CB为x,y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.如图所示,设CB=1,则B(1,0,0),A(0,1,0),A1(0,1,),B1(1,0,),P(1,1,).所以=(0,1,),=(1,0,).平面PA1B1的一个法向量n1=(0,0,1).设平面CA1B1的一个法向量n2=(x,y,z),则0,0,令z=1,则- ,- ,,所以可取n2=(-,-,1), 所以cos<n1,n2>=.由图可知二面角P-A1B1-C为钝角,所以所求二面角的余弦值为-.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=AP=AD=3,AC∩BD=O,过O点作平面α平行于平面PAB,平面α与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.(1)求GH的长度;(2)求二面角B-FH-E的余弦值.因为α∥平面PAB,平面α∩平面ABCD=EF,O∈EF,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以EF∥AB,同理EH∥BP,FG∥AP,因为BC∥AD,AD=6,BC=3,所以△BOC∽△DOA,且,CB=1,BE=AF=2,所以,CE=3同理,3连接HO,则有HO∥PA,所以HO⊥EO,HO=1,所以EH=3PB=,同理,FG=3PA=2,过点H作HN∥EF交FG于N,则GH=.(2)建立如图所示空间直角坐标系,则B(3,0,0),F(0,2,0),E(3,2,0),H(2,2,1),=(-1,2,1),=(2,0,1),设平面BFH的法向量为n=(x,y,z),·0,·0,令z=-2,得n= ,3,-,因为平面EFGH∥平面PAB,所以平面EFGH的法向量m=(0,1,0).cos<m,n>=·33 99,故二面角B-FH-E的余弦值为3 99.5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACC1=∠CC1B1,直线AC与直线BB1所成的角为 0°.(1)求证:AB1⊥CC1;(2)若AB1=,M是AB1上的点,当平面MCC1与平面AB1C所成二面角的余弦值为时,求的值.ABC-A1B1C1中,各侧面均为平行四边形,所以BB1∥CC1,则∠ACC1即为AC与BB1所成的角,所以∠ACC1=∠CC1B1= 0°.连接AC1和B1C,因为CA=CB=CC1=2,所以△AC1C和△B1CC1均为等边三角形.取CC1的中点O,连AO和B1O,则AO⊥CC1,B1O⊥CC1.又AO∩B1O=O,所以CC1⊥平面AOB1.AB1⊂平面AOB1,所以AB1⊥CC1.(1)知AO=B1O=3,因为AB1=,则AO2+B1O2=A,所以AO⊥B1O,又AO⊥CC1,所以AO⊥平面BCC1B1.以OB1所在直线为x轴,OC1所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,3),C(0,-1,0),C1(0,1,0),B1(3,0,0),=(0,-1,-3),=(3,0,-3),=(0,2,0),设=t,M(x,y,z),则(x,y,z-3)=t(3-x,-y,-z),所以x=3,y=0,z=3,M3,0,3,所以3, ,3.设平面ACB1的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面MCC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),所以·0,·0--30,3-30,解得n1=(1,-3,1).·0,·00,330,解得n2=(1,0,-t).所以cosθ=·· ·.解得t=或t=2,即或=2.6.如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且∠DAB= 0°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点.(1)求证:FM∥平面BDE;(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.CD中点N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点,所以MN∥BD.又BD⊂平面BDE,且MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE,因为EF∥AB,AB=2EF,所以EF∥CD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FN∥ED.又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE,所以FN∥平面BDE,又FN∩MN=N,所以平面MFN∥平面BDE.又FM⊂平面MFN,所以FM∥平面BDE.AD中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EO⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,EO⊥BO.因为AD=AB,∠DAB= 0°,所以△ADB为等边三角形.因为O为AD中点,所以AD⊥BO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB=4,以O为原点,OA,OB,OE为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系O-xyz由题意得A(2,0,0),B(0,23,0),C(-4,23,0),D(-2,0,0),E(0,0,23),F(-1,3,23). =(2,23,0),=(1,3,23),=(3,-3,23),=(4,0,0).设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即30,330,令x=1,则y=-33,z=0,所以n=1,-33,0.设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),则·0,·0,即0,3-330,令z=1,则y=2,x=0,所以m=(0,2,1).∴cos<m,n>=·=-,∴二面角D-BF-C平面角的正弦值为.7.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.(1)求证:EF∥平面DCP;(2)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.方法一)取PC中点M,连接DM,MF.∵M,F分别是PC,PB中点,∴MF∥CB,MF=CB,∵E为DA中点,ABCD为正方形,∴DE∥CB,DE=CB,∴MF∥DE,MF=DE,∴四边形DEFM为平行四边形,∴EF∥DM,∵EF⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,∴EF∥平面PDC.(方法二)取PA中点N,连接NE,NF.∵E是AD中点,N是PA中点,∴NE∥DP, 又∵F是PB中点,N是PA中点,∴NE∥AB,∵AB∥CD,∴NF∥CD,又∵NE∩NF=N,NE⊂平面NEF,NF⊂平面NEF,DP⊂平面PCD,CD⊂平面PCD, ∴平面NEF∥平面PCD.又∵EF⊂平面NEF,∴EF∥平面PCD.(方法三)取BC中点G,连接EG,FG,在正方形ABCD中,E是AD中点,G是BC中点,∴GE∥CD,又∵F是PB中点,G是BC中点,∴GF∥PC,又PC∩CD=C,GE⊂平面GEF,GF⊂平面GEF,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,∴平面GEF∥平面PCD.∵EF⊂平面GEF,∴EF∥平面PCD.(2)∵PA⊥平面ABC,且四边形ABCD是正方形,∴AD,AB,AP两两垂直,以A为原点,AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则P(1,0,0),D(0,0,1),C(0,1,1),E0,0,,F,0.设平面EFC的法向量为n1=(x1,y1,z1),=,-,=-,1,则·0,·0,即-0,-0,取n1=(3,-1,2),则设平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(-1,0,1),=(-1,1,1),则·0,·0,即-0,-0,取n2=(1,0,1),cos<n1,n2>=··.∴平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为.命题角度3折叠问题、点到平面的距离高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC= 0°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.EH⊥BC,垂足为H.因为EH⊂平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC= 0°,可求得BH=1,EH=3.以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),=(1,0,3),=(2,-1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即30,-0所以可取n=(3,6,-3).又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以cos<n,m>=·3.因此二面角B-CG-A的大小为30°.2.(2016全国Ⅱ·19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'= 0.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO=-=4.由EF∥AC得.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3), =(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则·0,·0,即3-0,330,所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则·0,·0,即0,330,所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>=·0 0=-.sin<m,n>=9 .因此二面角B-D'A-C的正弦值是9 .典题演练提能·刷高分1.如图,在边长为23的菱形ABCD中,∠DAB= 0°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证:PO⊥平面ABD;(2)当PB与平面ABD所成的角为 °时,求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.EF⊥AC,∴PO⊥EF.∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO⊂平面PEF,∴PO⊥平面ABD.,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,连接BO,∵PO⊥平面ABD, ∴∠PBO为PB与平面ABD所成的角,即∠PBO= °,∴PO=BO.设AO∩BD=H,∵∠DAB= 0°,∴△BDA为等边三角形,∴BD=23,HB=3,HC=3.设PO=x,则OH=3-x,由PO2=OH2+HB2,得x=2,即PO=2,OH=1.∴P(0,0,2),A(4,0,0),B(1,3,0),D(1,-3,0),F0,33,0.设平面PAD,平面PBF的法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z),由·-0,·-3-0,取a=1,得m=(1,-3,2).同理,得n=(-1,3,1),∴cos<m,n>=·· =- 0,∴平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为 0.2.如图所示,平面多边形ABCDE中,AE=ED,AB=BD,且AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD⊥CD,现沿直线AD,将△ADE折起,得到四棱锥P-ABCD.(1)求证:PB⊥AD;(2)若PB=,求PD与平面PAB所成角的正弦值.AD的中点O,连接OB,OP,∵BA=BD,EA=ED,即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD, 又OB∩OP=O,∴AD⊥平面BOP,而PB⊂平面BOP,∴PB⊥AD.OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,∴PO⊥OB,∴OP,OB,OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),=(0,1,1),=(-2,0,1),设m=(a,b,c)为平面PAB的一个法向量,则由·0,·00,-0,令a=1,则得c=2,b=-2,∴m=(1,-2,2), 设PD与平面PAB所成角为θ,则sinθ=,·· 33,即PD与平面PAB所成角的正弦值为3.3.已知等腰直角△S'AB,S'A=AB=4,S'A⊥AB,C,D分别为S'B,S'A的中点,将△S'CD沿CD折到△SCD 的位置,SA=2,取线段SB的中点为E.(1)求证:CE∥平面SAD;(2)求二面角A-EC-B的余弦值.SA中点F,连接DF,EF,∵SE=EB,SF=FA,∴EF AB.又∵CD AB,∴CD EF,∴四边形CDFE为平行四边形,∴CE∥FD,∵CE⊄平面SAD,FD⊂平面SAD,∴CE∥平面SAD.SD=AD=2,SA=2,∴SD2+AD2=SA2.∴SD⊥AD.∵SD⊥CD,SD⊂平面SCD,∴SD⊥平面ABCD,∵AD,CD⊂平面ABCD,∴SD⊥AD,SD⊥CD,又∵AD⊥DC,∴DA,DC,DS两两互相垂直,如图所示,分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(2,4,0),E(1,2,1),=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0), 设平面ECA,平面ECB的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则·0,·00,-0,取m=(1,1,-1),·0,·00, 0,取n=(1,-1,-1).∴cos<m,n>=·3·33,∴二面角A-EC-B的平面角的余弦值为-3.4.如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQ∥OB.(1)证明:OD⊥平面PAQ;(2)若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m,则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).∵点P为BC中点,∴P0,9,3,∴ =(3,0,6),=(0,m,0),=6,m-9,-3.∵ =0,=0,∴ ,且与不共线,∴OD⊥平面PAQ.BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3,则Q(6,3,0),∴ =(-6,3,0),=(0,-3,6).设平面CBQ的法向量为n1=(x,y,z),∵·0,·0,-30,-30,令z=1,则y=2,x=1,故n1=(1,2,1),又显然,平面ABQ的法向量为n2=(0,0,1),设二面角C-BQ-A的平面角为θ,由图可知,θ为锐角,则cosθ=··.5.如图,四边形ABCD是矩形,沿对角线AC将△ACD折起,使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.(1)求证:平面ACD⊥平面BCD;(2)当=2时,求二面角D-AC-B的余弦值.D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,则DE⊥平面ABC,所以DE⊥BC.因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥BC.因为AB∩DE=E,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AD.又AD⊥CD,CD∩BC=C,所以AD⊥平面BCD,而AD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BCD.B 为原点,线段BC 所在的直线为x 轴,线段AB 所在的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设|AD|=a ,则|AB|=2a , 所以A (0,-2a ,0),C (-a ,0,0). 由(1)知AD ⊥BD ,又=2,所以∠DBA=30°,∠DAB= 0°,那么|AE|=|AD|cos ∠DAB= a ,|BE|=|AB|-|AE|=3 a ,|DE|=|AD|sin ∠DAB= 3a ,所以D 0,-3a , 3a ,所以 =0, a , 3a , =(-a ,2a ,0). 设平面ACD 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则 · 0, · 0,即 30,- 0取y=1,则x=2,z=- 33,所以m =1,2,- 33. 因为平面ABC 的一个法向量为n =(0,0,1),所以cos <m ,n >= ·- 33- 33=- .故所求二面角D-AC-B 的余弦值为. 命题角度4探究性问题高考真题体验·对方向(2019北京·16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为.PD的中点,点F在PC上,且3(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.(3)设点G在PB上,且3PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以=(0,1,1),=(2,2,-2),=(0,0,2).所以3=33,-3,=333.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即0,333令z=1,则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以cos<n,p>=·=-33.由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为33.AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且3=(2,-1,-2),所以3=3,-3,-3,=3,-33.由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以·n=-333=0.所以直线AG在平面AEF内.典题演练提能·刷高分1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1⊥底面ABC,BB1=4,AB⊥BC,且AB=BC=3,点M,N为棱AB,BC上的动点,且AM=BN,D为B1C1的中点.(1)当点M,N运动时,能否出现AD∥平面B1MN的情况,请说明理由.(2)若BN=,求直线AD与平面B1MN所成角的正弦值.当M,N为各棱中点时,AD∥平面B1MN.证明如下:连接CD,∵CN∥B1D且CN=B1D=BC,∴四边形B1DCN为平行四边形,∴DC∥B1N.又DC⊄平面B1MN,B1N⊂平面B1MN,∴DC∥平面B1MN.∵M,N为各棱中点,∴AC∥MN,又AC⊄平面B1MN,MN⊂平面B1MN,∴AC∥平面B1MN.∵DC∩AC=C,∴平面ADC∥平面B1MN,又∵AD⊂平面ADC,∴AD∥平面B1MN.(2)如图,设AC中点为O,作OE⊥OA,以OA,OE,OB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,∵BN=,AB=BC=3,∴AC=6.。
压轴题05 立体几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-理)
压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平行关系、垂直关系、二面角等相关问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h 2，所以R 2＝r 2＋h 24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.热点三空间向量法证明平行、垂直1.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，在平面α内的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.2.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.四、空间角、距离问题热点一异面直线所成的角求异面直线所成角的方法方法一：综合法.步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出直线a ，b 的方向向量，分别记为m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |；③利用cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|，以及θ，π2，求出角θ.热点二直线与平面所成的角求直线与平面所成角的方法方法一：几何法.步骤为：①找出直线l 在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.步骤为：①求出平面α的法向量n 与直线AB 的方向向量AB →；②计算cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |；③利用sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|，以及θ∈0，π2，求出角θ.热点三平面与平面的夹角求平面与平面的夹角方法方法一：几何法.步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.方法二：空间向量法.步骤为：①求两个平面α，β的法向量m ，n ；②计算cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |；③设两个平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|.热点四距离问题1.空间中点、线、面距离的相互转化关系2.空间距离的求解方法有：(1)作垂线段；(2)等体积法；(3)等价转化；(4)空间向量法.一、单选题1．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A 内，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB【答案】C【详解】AB 选项，若m 垂直于AB ，由面ABCD ⊥面11ABB A ，面ABCD ⋂面11ABB A AB =，可得m 垂直于面11ABB A ，即面11ABB A 内的所有直线均与m 垂直，而n 可能垂直于AB ，也可能不垂直于AB ，故A 错误，B 错误；CD 选项，若m 不垂直于AB ，则,BC m 为面ABCD 内的两条相交直线，由题可知BC n ⊥，m n ⊥，则n 垂直面ABCD ，又AB ⊂面ABCD ，所以n 垂直于AB ，故C 正确，D 错误.故选：C2．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF 为“刍甍”.书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()216V AB EF AD h =+⨯⨯，其中h 是刍甍的高，即点F 到平面ABCD 的距离.若底面ABCD 是边长为4的正方形，2EF =，且//EF AB ，ADE V 和BCF △是等腰三角形，90AED BFC ∠=∠= ，则该刍甍的体积为（）A ．3B ．3C ．D ．403【答案】B【详解】如图所示，设点F 在底面的射影为G ，,H M 分别为,BC AD 的中点，连接,,EM FH MH ，则FG 即为刍甍的高，-P ABC 面积恰为该容器的表面积）展开后是如图所示的边长为10的正方形123APP P （其中点B 为23P P 中点，点C为12PP 中点），则该玩具的体积为（）A ．6253B ．1253C ．125D ．2503【答案】B【详解】该玩具为三棱锥-P ABC ，即三棱锥A PBC -，则PA ⊥底面PBC ，且10PA =，PBC 面积为252，所以12512510323P ABC V -=⨯⨯=.故选：B.4．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖.通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，腰长为5m 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）A ．38πmB ．39πmC ．310πmD ．312πm 【答案】D【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题知该圆锥的底面半径为15．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若//,//a b b α，则//a αB ．若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥C ．若//,//,//a b αβαβ，则//a bD ．若//,//,a b αβαβ⊥，则a b⊥【答案】B【详解】对于A ，若//,//a b b α，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ，若//,//a b b β，则a β⊂或//a β，若a β⊂，因为a α⊥，则αβ⊥，若//a β，如图所示，则在平面β一定存在一条直线//m a ，因为a α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，综上若//,,//a b a b αβ⊥，则αβ⊥，故B 正确；对于C ，若//,//,//a b αβαβ，则直线,a b 相交或平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,//,a b αβαβ⊥，则直线,a b 相交或平行或异面，故D 错误.故选：B.6．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π7．已知三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为的正三角形，点P 在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥-P ABC 外接球的表面积为18π，球心在三棱锥-P ABC 内，则二面角P AB C --的平面角的余弦值为（）A ．12B ．13C 22D 即PDC ∠为二面角P AB C --的平面角，由23AB =，得22OC OD ==，显然三棱锥线段PO 上，由三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为8．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，4PB PC AB AC ====，2PA BC ==，则球O 的表面积为（）A ．316π15B ．79π15C ．158π5D ．79π5而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，因此在等腰ABC 中，4,2AB AC BC ===，则215sin 1cos ABC ABC ∠=-∠=，二、多选题9．已知直线a ，b ，c 两两异面，且a c ⊥，b c ⊥，下列说法正确的是（）A ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α⊥，c β⊥B ．存在平面α，β，使a α⊂，b β⊂，且c α∥，c β∥C ．存在平面γ，使a γ∥，b γ∥，且c γ⊥D ．存在唯一的平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等【答案】ABC【详解】对于A,平移直线b 到与直线a 相交，设平移后的直线为b '，因为b c ⊥，所以b c '⊥，设直线,a b '确定的平面为α，则a c ⊥，b c '⊥，直线b '和a 相交，所以c α⊥，同理可得：c β⊥，故A 对；对于B,平移直线c 到与直线a 相交，设平移后的直线为c '，设直线,a c '确定的平面为α，因为c //c '，且α⊄c ，所以c α∥，同理可得：c β∥，故B 对；对于C,同时平移直线b 和直线a ，令平移后的直线相交，设平移后的直线为,a b ''''，因为a c ⊥，b c ⊥，所以a c ''⊥，b c ''⊥，设直线,a b ''''确定的平面为γ，则a γ∥，b γ∥，且c γ⊥，故C 对；对于D ，由对称性可知，存在两个平面γ，使c γ⊂，且a ，b 与γ所成角相等，故D 错误；故选：ABC.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为12π，,,M N P 分别在线段1BB ，1CC ，1DD 上，且,,,A M N P 四点共面，则（）．A ．AP MN=B ．若四边形AMNP 为菱形，则其面积的最大值为C ．四边形AMNP 在平面11AAD D 与平面11CC D D 内的正投影面积之和的最大值为6D ．四边形AMNP 在平面11AA D D 与平面11CC D D 内的正投影面积之积的最大值为4设正方体1111ABCD A B C D -依题意，234π()12π2a ⋅=，解得因为平面11BCC B ∥平面ADD则M 在平面11AA D D 上的投影落在设为H ，则四边形AGHP 为四边形AMNP 由于,AM PN GM HN ==,则（当1x y ==时取“＝”），故C 错误，D 正确，故选：ABD三、解答题11．如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，60BAD ∠=︒，2AB =，4SD =，SD ⊥平面ABCD ，点E 在棱SB 上．(1)证明：AC DE ⊥；(2)若三棱锥E ABC -，求点E 到平面SAC 的距离．【详解】（1）证明：如图，连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SD AC ⊥，又因为SD BD D = ，所以AC ⊥平面SBD ，又因为DE ⊂平面SBD ，所以AC DE ⊥．（2）解：设点E 到平面ABC 则三棱锥E ABC -的体积V (11sin 18032AB BC =⨯⨯⨯⨯︒-12．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，,AB AD O =为BD 的中点.(1)证明：OA CD ⊥；(2)已知OCD 是边长为1的等边三角形，已知点E 在棱AD 的中点，且二面角E BC D --的大小为45 ，求三棱锥A BCD -的体积.【详解】（1）证明：AB AD = ，O 为BD 的中点，AO BD ∴⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AO CD ∴⊥．（2）取OD 的中点F ，因为OCD 为等边三角形，所以CF OD ⊥，过O 作//OM CF ，与BC 交于M ，则OM OD ⊥，由（1）可知OA ⊥平面BCD ，设OA a =，因为OA ⊥平面BCD ，所以设平面BCE 的一个法向量为n =3300x y n BC ⎧+=⎪⎧⋅= ○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A B ．32C ．1D 因为ABC 是边长为3的等边三角形，且所以13O B =，又因为球O 的体积为32π2．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B ．2C ．3D 【答案】C【详解】解：如图，设圆锥的底面半径为r ，球半径5R =，球心为O ．过圆锥的顶点P 作底面的垂线2125OO r =-．所以圆锥的高h PO =4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为2，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B ．43π9C．27D5．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π【答案】A【详解】设该组合体外接球的球心为O ，半径为R ，易知球心在BC 中点，则224R AO ==+=.6．已知矩形ABCD的顶点都在球心为的体积为43，则球O的表面积为（）A．76πB．112πC D．3故球的表面积为：2476πR π=，故选：A ．7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．6此时，如上图示，O 为半球的球心，体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与8．已知三棱锥-PABC的四个顶点均在球的球面上，，PB AC== PC AB=Q为球O的球面上一动点，则点Q到平面PAB 的最大距离为（）A2211BC2211D2223BD BE AB∴+==，BD2226BD BE BF∴++=，∴球在PAB中，cosABABP∠=二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．则三棱锥-P ABC 外接球的直径为2R PA =因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为34π3R10．如图，在直三棱柱111中，1．设为1的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．【答案】27π【详解】取1A B 的中点E ，连接AE ，如图．因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥．又面1A BC ⊥面11ABB A ，面1A BC ⋂面111ABB A A B =，且AE ⊂面11ABB A ，所以⊥AE 面1A BC ，BC ⊂面1A BC ，所以AE BC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以1BB BC ⊥．又AE ，1BB ⊂面11ABB A ，且AE ，1BB 相交，所以BC ⊥面11ABB A ，AB ⊂面11ABB A ，所以BC AB ⊥．11．如图，直三棱柱111的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为12+，则该棱锥的内切球半径为___．由题意，侧面展开图的面积由,PD AD PD DC ⊥⊥，○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、二面角等相关问题1．已知多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为4的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，36BE AB ==，4=AD ．(1)求证：平面ADF ⊥平面BCE ；(2)求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值．【详解】（1）因为四边形CDEF 是边长为4的正方形，所以CE ⊥DF ，ED ⊥DC ，因为四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，所以AD ⊥CD ，AB ⊥AD ，故直线AF与平面BCF所成角的正弦值为-PA 2．如图，在四棱锥P ABCD平面PAD⊥平面ABCD．Array(1)证明：平面CDM⊥平面PAB；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD ，求三棱锥P MCD -的体积．【详解】（1）取AD 中点为N ，连接PN ，因为PAD 为等边三角形，所以PN AD ^，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PN ⊂面PAD ，所以PN ^平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PN AB ⊥，又因为PD AB ⊥，PN PD P = ，,PN PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为DM ⊂平面PAD ，所以AB DM ⊥，因为M 为AP 中点，所以DM PA ⊥，且PA AB A = ，,PA PB ⊂平面PAD ，所以DM ⊥平面PAB ，且DM ⊂平面CDM ，所以平面CDM ⊥平面PAB .（2）由（1）可知，PN AB ⊥且PD AB ⊥，PN PD P = ，所以AB ⊥平面PAD ，△为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且2AF FE ABD=.(1)求证：//FM 面ABC ；(2)若二面角A BD C --的平面角的大小为23π，求直线EM 与面ABD 所成角的正弦值.【详解】（1）在BE 上取一点N ，使得12BN NE =，连接FN ，NM ，∵6BD =，∴116BN BD ==，2NE =，3ED =，∵12AF FE =，∴12BN AF NE FE ==，则FN AB ∥，又FN ⊄面ABC ，AB ⊂面ABC ，∴FN ∥面ABC ，∵15BN CM ND MD ==，∴NM BC ∥.∵NM ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，∴NM ∥面ABC ，∵FN NM N = ，,FN NM ⊂面FNM ，∴面FNM ∥面ABC ，又FM ⊂面FNM ，4．已知底面是正方形，平面，，，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．(1)求证：//EF平面PADQ ；(2)求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；(3)线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PM MC的值，若不存在，说明理由．【详解】（1）证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，法二：因为ABCD 为正方形，且以点A 为坐标原点，以AB 、空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，EF ⊄ADQP EF所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==．(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角C EF B --的大小为60︒？设()0AD t t =>，则(1,0,C -∴(1,0,0)EF = ，33,22CF ⎛= ⎝6．如图，在三棱柱111中，四边形11是边长为4的菱形，AB BC =，点D 为棱AC 上的动点（不与A 、C 重合），平面1B BD 与棱11AC 交于点E .(1)求证1BB DE //；(2)若平面ABC ⊥平面11AAC C ，160A AC ∠= ，判断是否存在点D 使得平面11A ABB 与平面1B BDE 所成的锐二面角为π3，并说明理由.【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊂/平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，∴1//BB 平面11ACC A ，又∵1BB ⊂平面1B BD ，且平面1B BD 平面11ACC A DE =，∴1BB DE //；（2）连接1AC ，取AC 中点O ，连接1AO ，BO ，在菱形11ACC A 中，160A AC ∠=︒，∴1A AC △是等边三角形，又∵O 为AC 中点，∴1A O ⊥∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =∴1A O ⊥平面ABC ，OB ⊂平面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(五)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．重合B ．垂直C ．平行D ．无法确定 答案 B2．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，CC 1＝2，AA 1与AB ，AC 都成60°角，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.14 B.155 C.105 D.16 答案 D3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN →|等于( )A.216 B.66 C.156 D.153 答案 A4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是DD 1的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON 与AM 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判断答案 B5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由题意，{OA →，OB →，OC →}构成空间的一个基底，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面等价于x ＋y ＋z ＝1.若x ＝2，y ＝－3，z ＝2，则x ＋y ＋z ＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．若P ，A ，B ，C 四点共面，则x ＋y ＋z ＝1，不能得到“x ＝2，y ＝－3，z ＝2.所以“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件． 6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2C ．1 D.3－ 2 答案 D解析 {BF →，FE →，ED →}构成空间的一个基底，因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →，所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE→|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.7．已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，则MN ________AB (填“∥”或“⊥”)． 答案 ⊥8．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，若VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →，则VA 与平面PMN 的位置关系是________．答案 平行解析 设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底，VD →＝a ＋c －b .由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，所以VA →，PM →，PN →共面．又VA ⊄平面PMN ，所以VA ∥平面PMN .9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面P AC .解析 如图，连接BD ，则BD 过点O ，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 设|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，OB 1→＝OB →＋BB 1→＝12DB →＋BB 1→＝12(AB →－AD →)＋BB 1→＝12a －12b ＋c .∴AC →·OB 1→＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0. ∴AC →⊥OB 1→，即AC ⊥OB 1.又AP →＝AD →＋12DD 1→＝b ＋12c ，∴OB 1→·AP →＝⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋12＝0， ∴OB 1→⊥AP →， 即OB 1⊥AP .又AC ∩AP ＝A ，AC ，AP ⊂平面P AC ，∴OB 1⊥平面P AC .10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G ，H 分别是CC 1，BC ，CD 和A 1C 1的中点．证明：(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ； (2)A 1G ⊥平面EFD .证明 (1)如图，设正方体棱长为1，AB →＝i ，AD →＝j ，AA 1→＝k ，则{i ，j ，k }构成空间的一个单位正交基底.AB 1→＝AB →＋BB 1→＝i ＋k ，GE →＝GC →＋CE →＝12i ＋12k ＝12AB 1→，∴AB 1∥GE .EH →＝EC 1→＋C 1H →＝12k ＋⎝⎛⎭⎫－12(i ＋j ) ＝－12i －12j ＋12k ，∵AB 1→·EH →＝(i ＋k )·⎝⎛⎭⎫－12i －12j ＋12k ＝－12|i |2＋12|k |2＝0，∴AB 1⊥EH .(2)A 1G →＝A 1A →＋AD →＋DG →＝－k ＋j ＋12i .DF →＝DC →＋CF →＝i －12j ，DE →＝DC →＋CE →＝i ＋12k .∴A 1G →·DF →＝⎝⎛⎭⎫－k ＋j ＋12i ·⎝⎛⎭⎫i －12j ＝－12|j |2＋12|i |2＝0，∴A 1G ⊥DF .A 1G →·DE →＝⎝⎛⎭⎫－k ＋j ＋12i ·⎝⎛⎭⎫i ＋12k ＝－12|k |2＋12|i |2＝0，∴A 1G ⊥DE .又DE ∩DF ＝D ，DE ，DF ⊂平面EFD ， ∴A 1G ⊥平面EFD .11．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，H 分别在棱BB 1，BC ，BA 上，且满足BM →＝34BB 1→，BN →＝12BC →，BH →＝12BA →，O 是平面B 1HN 、平面ACM 与平面B 1BDD 1的一个公共点，设BO →＝xBH →＋yBN →＋zBM →，则x ＋y ＋3z ＝( ) A.105 B.125 C.145 D.165 答案 C解析 {BH →，BN →，BM →}构成空间的一个基底，如图，设Q 为AC 与BD 的交点，P 为BQ 的中点，连接MQ ，B 1P ，O 为MQ 与B 1P 的交点．过P 作PT ∥MQ 交BB 1于T .则T 为BM 的中点，所以MT ＝12BM ＝12×34BB 1＝12×34×4MB 1＝32MB 1.所以B 1O →＝23OP →，因此BO→＝35BB 1→＋25BP →＝35·43BM →＋25·12(BH →＋BN →)＝45BM →＋15BH →＋15BN →，因为BO →＝xBH →＋yBN →＋zBM →，所以z ＝45，x ＝15，y ＝15，所以x ＋y ＋3z ＝145.12.【多选题】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°.设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则( )A.BC 1→＝a ＋b ＋cB ．|BC 1→|＝ 2 C ．BC 1⊥A 1B 1D ．异面直线AB 1与BC 1所成角的正切值为 5 答案 BCD解析 以{a ，b ，c }为空间的一个基底，BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→＝BB 1→＋A 1C 1→－A 1B 1→＝AA 1→＋AC →－AB→＝a ＋c －b ，A 不正确．因为a ·b ＝|a |·|b |cos ∠BAA 1＝1×1×cos 60°＝12，同理可得a ·c ＝b ·c ＝12，所以|BC 1→|＝（a ＋c －b ）2＝a 2＋c 2＋b 2＋2a ·c －2a ·b －2c ·b ＝1＋1＋1＋1－1－1＝2，B 正确．因为A 1B 1→＝AB →＝b ，所以A 1B 1→·BC 1→＝b ·(a ＋c －b )＝b ·a ＋b ·c －b 2＝12＋12－1＝0，C 正确．因为AB 1→＝a ＋b ，所以|AB 1→|＝（a ＋b ）2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋1＝3，因为AB 1→·BC 1→＝(a ＋b )·(a ＋c －b )＝a 2＋a ·c －a ·b ＋b ·a ＋c ·b －b 2＝1＋12－12＋12＋12－1＝1.所以cos〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝13×2＝66，sin 〈AB 1→，BC 1→〉＝1－⎝⎛⎭⎫662＝306，tan 〈AB 1→，BC 1→〉＝ 5.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的正切值为5，D 正确．13.【多选题】如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝π2，∠BAA 1＝2π3，∠CAA 1＝π3，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点O 是B 1C 与BC 1的交点．则下列结论正确的是( )A.AO →＝12(AB →＋AC →＋AA 1→) B ．|AO →|＝32C ．AO ⊥BCD ．平面ABC ⊥平面B 1BCC 1 答案 AD解析 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋12(BC →＋BB 1→)＝AB →＋12(AC →－AB →＋AA 1→)＝12(AB →＋AC →＋AA 1→)，A 正确．设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．|AO →|2＝⎣⎡⎦⎤12（a ＋b ＋c ）2＝14(a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c )＝14(1＋1＋4＋0＋2×1×2×cos π3＋2×1×2×cos 2π3)＝32，所以|AO →|＝62，B 不正确．因为BC →＝b －a ，所以AO →·BC →＝12(a ＋b ＋c )·(b －a )＝1≠0，C 不正确．如图，取BC 的中点E ，连接AE ，则AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )．因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .又AE →·BB 1→＝12(a ＋b )·c ＝12(1×2×cos 2π3＋1×2×cos π3)＝0，所以AE ⊥BB 1.因为BC ∩BB 1＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1，所以AE ⊥平面B 1BCC 1.又AE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面B 1BCC 1，D 正确．14．空间四边形OABC 的各边及对角线长均为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且OF →＝2FC →.(1)用{OA →，OB →，OC →}表示EF →＝________；(2)向量OE →与向量BF →所成角的余弦值为________．答案 (1)－12OA →－12OB →＋23OC → (2)－52142解析 (1){OA →，OB →，OC →}构成空间的一个基底，因为E 是AB 的中点，F 在OC 上，且OF →＝2FC →，所以OE →＝12(OA →＋OB →)，OF →＝23OC →，于是EF →＝OF →－OE →＝ 23OC →－12(OA →＋OB →)＝－12OA →－12OB →＋23OC →.(2)由(1)得OE →＝12(OA →＋OB →)，BF →＝OF →－OB →＝23OC →－OB →，因此|OE →|＝12|OA →＋OB →|＝12×4＋4＋2×2×2×12＝3，|BF →|＝⎪⎪⎪⎪23OC →－OB →＝49×4＋4－43×2×2×12＝273，又因为OE →·BF →＝12(OA →＋OB →)·⎝⎛⎭⎫23OC →－OB →＝－53，所以向量OE →与向量BF →所成角的余弦值cos 〈OE →，BF →〉＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－533×273＝－52142.15．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足AM →＝xAB →＋yAC →－(x ＋y －1)AD →，点N 满足BN →＝λBA →＋(1－λ)BC →，当AM ，BN 最短时，AM →·MN →等于( )A ．－43 B.43C ．－13 D.13答案 A16.在如图所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AA 1＝AD ，∠BAD ＝∠DAA 1＝60°，∠BAA 1＝30°，N 为A 1D 1上一点，且A 1N ＝λA 1D 1.若BD ⊥AN ，则λ的值为________．答案3－11.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B.155 C.105 D.33 答案 C 解析 设BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则|a |＝2，|b |＝|c |＝1， AB 1→＝c －a ，BC 1→＝b ＋c ，a ·b ＝|a |·|b |cos ∠ABC ＝2×1×cos 120°＝－1，a ·c ＝b ·c ＝0， |AB 1→|＝|c －a |＝5，|BC 1→|＝|b ＋c |＝2， AB 1→·BC 1→＝(c －a )·(b ＋c )＝b ·c ＋c 2－a ·b －a ·c ＝0＋1－(－1)－0＝2，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 2.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( )A.3－225B.2－26C.12D.32 答案 A解析 因为OA →·BA →＝8×6×cos 60°＝24，OA →·AC →＝8×4×cos 135°＝－16 2.设异面直线OA与BC 的夹角为θ，则cos θ＝|OA →·BC →||OA →||BC →|＝|OA →·（BA →＋AC →）||OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.3.【多选题】如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )A ．AC 1＝6 6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为63答案 AB解析 设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则{a ，b ，c }是空间的一个基底．因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA 1→·AB →＝AA 1→·AD →＝AD →·AB →＝a ·b ＝a ·c＝c ·b ＝6×6×cos 60°＝18，|AC 1→|2＝(AA 1→＋AB →＋AD →)2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c＋2a ·c ＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝|a ＋b ＋c |＝66，A 正确.AC 1→·DB →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋c ·b －c 2＝0，B 正确．连接A 1D ，显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且向量A 1D →与AA 1→的夹角是120°，所以B 1C →与AA 1→的夹角是120°，C 不正确．因为BD 1→＝c ＋a －b ，AC →＝b ＋c ，所以|BD 1→|＝（c ＋a －b ）2＝62，|AC →|＝（b ＋c ）2＝63，BD 1→·AC →＝(c ＋a －b )·(b ＋c )＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝3662×63＝66，D 不正确．4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为( )A.292 B.29 C.232 D.23 答案 A5．正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC ，AB 的中点，则异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________．答案 166.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，E 为CC 1上的点，且CE ＝1，求异面直线AB 1，BE 所成角的余弦值．解析 AB 1→·BE →＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CE →) ＝AB →·BC →＋AB →·CE →＋BB 1→·BC →＋BB 1→·CE →＝0＋0＋0＋3＝3.依题意，易知|AB 1→|＝10，|BE →|＝5，所以cos 〈AB 1→，BE →〉＝AB 1→·BE →|AB 1→|·|BE →|＝310×5＝3210.即异面直线AB 1，BE 所成角的余弦值为3210.。