高等数学高职
高等数学 高职高专教材
高等数学高职高专教材高等数学是一门在高职高专教材中非常重要的学科。
它是以微积分为基础，以向量代数和多元函数微积分为核心内容的一门数学课程。
高等数学旨在培养学生具备高等数学基本知识和分析问题解决能力，为他们的专业学习和实践能力提供支持。
本教材按照课程标准和教学要求编写而成，内容全面、系统，涵盖了高等数学的主要内容和学习重点。
全书共分为八个章节，分别介绍了函数与极限、导数与微分、定积分与反常积分、常微分方程、多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、无穷级数与函数级数、偏微分与积分变换。
第一章介绍了函数与极限的基本概念和性质，以及相关的运算和常用函数的性质。
通过本章的学习，学生将掌握函数的概念和分类，深入理解函数的极限概念，并能灵活运用极限定义和性质解决相关问题。
第二章介绍了导数与微分的概念和运算法则，并且探讨了相关的应用问题。
通过本章的学习，学生将能够计算函数的导数，了解导数的几何意义和物理意义，并掌握微分的概念和计算方法。
第三章介绍了定积分与反常积分的概念，以及其计算方法和应用。
通过本章的学习，学生将能够计算定积分和反常积分，了解其几何意义和物理意义，并能够应用积分解决实际问题。
第四章介绍了常微分方程的基本概念和求解方法。
通过本章的学习，学生将掌握常微分方程的基本理论和求解技巧，能够应用常微分方程解决实际问题。
第五章介绍了多元函数微分学的基本概念和运算法则。
通过本章的学习，学生将掌握多元函数的概念、极限和连续性的判定方法，以及多元函数的偏导数和全微分的计算方法。
第六章介绍了重积分与曲线曲面积分的概念和计算方法。
通过本章的学习，学生将掌握二重积分和三重积分的计算方法，了解曲线曲面积分的概念和计算方法，并能够应用积分解决相关问题。
第七章介绍了无穷级数与函数级数的基本概念和性质。
通过本章的学习，学生将了解无穷级数和函数级数的定义和收敛性判定方法，并能够应用级数展开函数和计算级数的和。
第八章介绍了偏微分与积分变换的基本概念和计算方法。
高等数学教材高职版
高等数学教材高职版高等数学教材高职版是为高职院校的学生设计的一套教材。
旨在帮助学生更好地掌握高等数学知识，为将来工作和学习打下坚实的基础。
本教材以简明扼要、突出实用为主要特点，采用了一系列优化的教学方法和案例分析，以此来提升学生的学习兴趣和能力。
第一章：函数与极限本章介绍数学中的函数与极限的概念，为后续章节的学习打下基础。
首先，我们将详细介绍函数的基本概念、性质和表示方法。
学生通过例题的解析和练习题的训练，可以熟悉不同类型的函数，并了解它们在实际问题中的应用。
第二章：导数与微分在这一章节中，我们将学习导数与微分的概念和性质。
包括常见函数的导数计算方法、导数的几何意义和微分的应用。
学生将通过理论知识的学习和例题的练习，掌握导数与微分的计算方法，能够灵活运用于各种实际问题的求解中。
第三章：微分中值定理与导数应用本章节主要介绍微分中值定理及其应用。
学生将学习罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等重要的定理，并学习如何应用这些定理解决实际问题。
通过实例的分析与讨论，学生将对微分中值定理和导数应用有更深入的了解和掌握。
第四章：不定积分在这一章节中，我们将学习不定积分的概念和性质。
学生将掌握求不定积分的常用方法和技巧，并学习如何应用不定积分解决实际问题。
通过讲解和实例的练习，学生将能够熟练地运用不定积分进行计算和分析。
第五章：定积分本章主要介绍定积分的概念和性质。
学生将学习定积分的计算方法，包括变上限积分、定积分的几何应用等。
通过理论的学习和实例的练习，学生可以更好地理解定积分的思想和应用，培养解决实际问题的能力。
第六章：微积分基本定理与积分应用在这一章节中，我们将学习微积分基本定理及其应用。
这部分内容是高等数学中的重点和难点之一。
学生将学习牛顿-莱布尼茨公式，掌握定积分的计算方法，并学习如何应用积分解决实际问题。
通过实例的讲解和练习，学生将对微积分基本定理和积分应用有更深入的了解和掌握。
第七章：常微分方程本章主要介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及解的性质。
高职高专通用教材高等数学
高职高专通用教材高等数学高等数学是高职高专通用教材中的重要一门课程，它承上启下，为学生打下良好的数学基础，为后续学习提供支持。
本文将以高职高专通用教材中的高等数学为主题，介绍其重要性及学习要点。
一、高等数学的重要性高等数学在高职高专的教育体系中起到了关键的作用。
首先，高等数学是其他学科的基础，如物理、化学以及计算机科学等，都会涉及到一定的数学知识。
只有掌握了高等数学的基本概念和方法，学生才能更好地理解这些学科的内容。
此外，高等数学也培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
高等数学的学习过程中，学生需要通过分析问题、建立数学模型、运用数学方法等来解决实际问题。
这样的训练可以锻炼学生的逻辑思维，培养他们的创新能力和解决问题的能力。
最后，高等数学还是培养学生抽象思维的重要途径。
数学中的概念和方法往往是抽象的，学生需要通过理解和应用抽象概念，培养他们的抽象思维能力。
这对于学生的科学素养和终身学习能力的培养都具有重要意义。
二、高等数学的学习要点在高职高专通用教材中，高等数学的学习内容主要包括数列与极限、导数与微分、积分与定积分、微分方程等。
以下是一些学习高等数学的要点：1. 理解数学概念的定义和性质。
数学概念作为高等数学学习的基础，学生需要理解其定义和性质，掌握其重要特点和应用方法。
2. 学会使用数学符号、公式和定理。
高等数学中充斥着各种数学符号、公式和定理，学生需要熟练掌握它们的用法，并能熟练应用于解决实际问题。
3. 掌握基本的计算方法。
高等数学中的计算环节是学习的基础，学生需要掌握基本的计算方法，如数列的求和、函数的导数、不定积分等。
4. 培养解题思路和方法。
高等数学的学习注重培养学生的解题思路和方法，学生需要通过大量的练习来熟悉解题的过程，培养解决数学问题的能力。
5. 与实际问题的联系。
高等数学的学习不应仅仅停留在理论层面，学生需要将所学的数学知识与实际问题相联系，通过解决实践中的问题来巩固理论的应用。
高职高专学校教材高等数学
高职高专学校教材高等数学高职高专学校教材《高等数学》是一门旨在帮助学生掌握基本数学知识和方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力的重要学科。
此教材主要涵盖了微积分、数列与级数、多元函数与偏导数、二重积分与曲线积分等内容，并为学生提供了大量的例题和习题，以帮助他们在学习过程中更好地理解和应用数学知识。
一、微积分微积分是高等数学的核心部分，它研究的是变化率和积分的概念及其应用。
在《高等数学》教材中，微积分部分详细介绍了导数和微分的定义与性质，以及求导法则和高阶导数的应用。
此外，教材还介绍了常见函数的导数和微分，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
通过大量的例题和习题，学生可以巩固所学的概念和方法，并通过应用解决实际问题。
二、数列与级数数列与级数是高等数学中的重要内容，它们研究的是无穷序列和无穷级数的性质和求和问题。
在教材中，数列与级数部分首先介绍了数列的定义、性质和收敛判定定理，接着引入了级数的概念和常数项级数的收敛性判定方法。
此外，教材还包含了调和级数、幂级数、函数项级数、傅里叶级数等内容，以帮助学生深入理解数学中的无穷概念。
三、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是高等数学中的重要内容，它们研究的是多元函数的极限、连续性和偏导数等性质。
在《高等数学》教材中，多元函数与偏导数部分首先介绍了二元函数和三元函数的极限和连续性的概念和判定方法，接着引入了偏导数的定义和计算方法。
此外，教材还包含了方向导数、梯度、拉格朗日乘数法等高级内容，以培养学生的问题解决能力和应用能力。
四、二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分也是高等数学中的重要内容，它们研究的是二维平面上的积分和曲线上的积分计算。
在教材中，二重积分与曲线积分部分详细介绍了二重积分的定义和计算方法，以及曲线积分的概念和性质。
此外，教材还包含了格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等内容，以帮助学生进一步理解积分的概念和应用。
综上所述，《高等数学》教材是高职高专学校教学中重要的数学教材，它通过丰富的内容和充分的例题和习题，帮助学生全面理解数学知识和方法，并培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
高职高等数学系列教材
高职高等数学系列教材高职高等数学是应用型高职院校的一门重要基础课程。
为了提高学生的数学素养和解决实际问题的能力，教材的编写非常重要。
本文将从教材的目标与特点、内容结构、教学方法以及教材与教师的角色等方面进行讨论。
一、教材的目标与特点高职高等数学教材的目标是培养学生具备扎实的数学基础知识和运用数学方法解决工程技术问题的能力。
而教材的特点在于注重理论与实践相结合、应用与思维相统一。
在教学设计中，教材应该着重培养学生的实际操作能力，并且贴近实际应用，强调数学方法在工程技术中的实际价值。
二、内容结构高职高等数学系列教材的内容结构主要包括数列与数学归纳法、函数与极限、微分与导数、积分与定积分等几个重要的部分。
每个部分又可以细分为具体的主题，如数列中包括等差数列、等比数列等。
通过该内容结构的划分，可以让学生系统地学习和掌握不同数学概念及其应用。
三、教学方法高职高等数学系列教材的教学方法应该注重实际问题的讲解与解决。
教师可以通过引入真实例子来激发学生的学习兴趣，并引导学生运用所学数学知识解决实际问题。
此外，教学方法也可以采用案例分析、小组合作学习等形式，激发学生的思维，培养他们的解决问题的能力。
四、教材与教师的角色教材在教学过程中是教师教学的依据和辅助工具，而教师则起到引导学生学习的作用。
教师应该熟悉教材内容，能够将抽象的数学概念与实际问题相结合，引导学生进行思考和讨论。
同时，教师还应该根据学生的实际情况进行差异化教学，适应不同学生的学习需求，帮助他们克服数学学习的难点。
综上所述，高职高等数学系列教材的编写需要考虑教材的目标与特点，合理划分内容结构，采用有效的教学方法，以及教材与教师的角色等因素。
只有在这些方面的充分配合下，教材才能更好地满足学生的学习需求，提高他们在工程技术领域的数学应用能力。
教学质量的提高也要求教师们不断探索创新，提高自身的数学水平和教学能力，为学生提供更好的数学学习环境。
2024年高等数学(高职)教案
空间直角坐标系和向量概念
01
介绍右手坐标系和左手坐标系的区别和应用
02
向量的概念和性质
定义向量及其表示方法
03
空间直角坐标系和向量概念
阐述向量的模、方向和单位向量的概 念
介绍向量的相等、共线和垂直等性质
向量运算和向量场初步
向量的线性运算
1
向量的加法运算及其性质
2
向量的数乘运算及其性质
3
向量运算和向量场初步
平面和直线方程及其性质
01
平面的方程和性质
02
平面的点法式方程和一般式方程
03
平面与坐标轴的交点和截距
平面和直线方程及其性质
01
两平面的夹角和点到平面的距离公式
02
直线的方程和性质
03 直线的点向式方程、参数式方程和一般式方程
平面和直线方程及其性质
直线与坐标轴的交点和截距
两直线的夹角、直线到直线的距离公式以及点到直线的距离公式
04
积分学
不定积分概念及计算方法
不定积分的定义与性质
通过实例引入不定积分的概念，阐述 其性质，如线性性、可加性等。
基本积分公式与法则
介绍基本的不定积分公式和法则，包 括幂函数、三角函数、指数函数等的 积分方法。
换元积分法
通过变量代换简化被积函数，从而求 出原函数的方法。
分部积分法
将复杂函数拆分为简单函数进行积分 的方法。
高等数学(高职)教案
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 函数、极限与连续 • 导数与微分 • 积分学 • 微分方程初步 • 无穷级数初步 • 空间解析几何与向量代数 • 多元函数微积分学初步
01
高职高专推荐教材高等数学
高职高专推荐教材高等数学高职高专推荐教材《高等数学》高职高专推荐教材《高等数学》一直以来都是学生们在学习数学方面必备的参考书之一。
作为一门基础课程，高等数学在培养学生数学思维、逻辑思维和解决问题的能力方面起着重要的作用。
本文将就高职高专推荐教材《高等数学》的特点、教学应用以及对学生学习的帮助进行讨论。
首先，高职高专推荐教材《高等数学》具有以下几个特点。
首先，该教材内容丰富、全面，涵盖了高等数学的各个方面，包括数列与极限、微分与导数、积分与定积分等等。
其次，教材中的知识点讲解清晰、简明，易于理解和掌握。
同时，为了提高学生的学习兴趣和激发他们的思维能力，教材中还融入了一些有趣的例子和应用实例，使抽象的数学知识更加具体可见。
其次，高职高专推荐教材《高等数学》在教学应用方面有着很大的优势。
该教材以实际问题为导向，引导学生将数学知识应用到实际生活中。
教材中的习题和例题设计恰当，能够帮助学生巩固并运用所学知识解决实际问题。
同时，教材还配备了详细的解析和答案，方便学生自主学习和检查错误。
此外，教材中还有大量的习题和测试题，方便教师进行课堂练习和考核。
高职高专推荐教材《高等数学》对学生学习的帮助是不可忽视的。
首先，通过学习该教材，学生可以全面系统地学习高等数学的基本理论和方法，掌握数学分析的基础知识和技能，为今后学习更高级的数学和专业课程打下坚实的基础。
其次，教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，通过大量的例题和习题训练，学生能够提高自己的逻辑思维和分析问题的能力。
最后，高职高专推荐教材《高等数学》在职业教育中的应用广泛，学生通过学习该教材可以更好地适应专业学习和日后职业发展的需求。
综上所述，高职高专推荐教材《高等数学》是一本内容全面、讲解清晰、教学应用广泛的数学教材。
它不仅可以帮助学生全面掌握高等数学的基本理论和方法，还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力。
因此，我强烈推荐高职高专学生使用该教材进行学习和复习，相信它会对学生的数学学习产生积极的影响。
高等数学高职高专完整全套教学课件
高等数学高职高专完整全套教学课件一、教学内容1. 第一章：函数与极限函数的概念、性质与图像极限的定义、性质及运算无穷小与无穷大的概念及其关系2. 第二章：导数与微分导数的定义、运算法则及求导公式微分的概念及其运算法则高阶导数的概念及其求法二、教学目标1. 理解并掌握函数、极限、导数与微分的基本概念及性质。
2. 能够运用求导公式和法则进行导数的计算，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：函数与极限的概念，导数的求法，微分的应用。
2. 教学重点：函数的性质与图像，导数的计算，微分的基本概念。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：教材、笔记本、文具等。
五、教学过程1. 引入：通过实际问题，引导学生了解函数在现实生活中的应用。
2. 知识讲解：讲解函数的定义、性质与图像，配合实例进行分析。
介绍极限的概念、性质及运算，通过例题进行讲解。
阐述导数与微分的定义、运算法则，配合求导公式进行讲解。
3. 随堂练习：针对每个知识点，设计相应的练习题，巩固所学内容。
六、板书设计1. 黑板左侧：列出本节课的主要知识点、公式及例题。
2. 黑板右侧：展示解题过程和答案，方便学生对照学习。
七、作业设计1. 作业题目：求下列函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x，lim(x→∞)(1+1/x)^x。
求函数f(x) = x^3 3x^2 + 2x 1的导数。
求函数f(x) = e^x在x=1处的微分。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生了解极限、导数与微分在物理学、工程学等领域的应用。
推荐相关学习资料，帮助学生深入理解高等数学的知识体系。
重点和难点解析1. 教学内容的选取与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的区分4. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解5. 板书设计的信息布局6. 作业设计的题目选取与答案提供7. 课后反思与拓展延伸的实际操作一、教学内容的选取与组织教学内容应紧密结合高职高专学生的学习基础和实际需求。
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则这两个级数的敛散性相同。
sin 1 的敛散性。 例1 判别级数 n
n 1
sin 1 是正弦级数，因为 lim 解：易知 n
n 1
n
1 n 发散，故级数 sin 1 发散。 而 n1 n n 1
sin
1 n
1 n 1
，
二、比值审敛法
若 是正弦级数，且 时，级数
定义
如果 lim S n S ，则称级数 u n 收敛，称极限值S 为级 n n 1
数的和，记作
S n u n u1 u 2 u n
n 1
此时称 rn
S S n S n 1 S n 2 为级数的余项。如果lim S n n
n 1 n
u 不存在，则称级数
发散，发散的级数没有和。
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1. 判定下列级数的敛散性 （1） 1 2 3 n
1 1 1 1 1 (1) n1 （2） 1 1 1 1 （3） 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
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内容提要
无穷级数
无穷级 数概念 和性质
正项 级数
任意 项 级数
幂级 数
函数的 傅立 正弦与余 周期为2L 傅立叶 弦级数 的函数 级数的 幂级 叶 的傅立 复数 数展开 级数 周期延拓 叶级数 形式
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第一节 无穷级数概念与性质
解： 当 x 0 时，有 x ln(1 x) （此不等式可用函数的 单调性来证明） 所以 1
1 1 1 2 3 n 1 1 1 ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 2 3 n 3 4 n 1 ln 2 ln ln ln 2 3 n
u
n 1
n
，则：
（1） 当
收敛
（2） 当
时，级数
发散。
（3） 当
时，级数
的敛散性须另行判定。
例5 判断下列级数的敛散性
an （1） n ( a 0 ) n 1
nn (2) n! n 1
(3)
2n
n 1
n
解： （1）
u n 1 lim n u n
1
n
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) 2 3 4 5 6 7 8 9 15 2 4 8 1 p p p 2 4 8 1 1 1 1 p 1 2 p 2 3 p 3 2 2 2
1 1 1 2 解：（ 1） 因为 n 2 n 2 n ，而 n 2 是 p 2 1 n 1
的
p
1 级数，故级数 n 2 n 2 是收敛的。 n 1
（2） 当 x 0 时，有 x ln(1 x) ， 1 1 所以， n ln(1 n) ，即 ln(1 n) n ， 1 n 是发散的，故级数 ln(11 n) 发散。 而 n1 n 1
1 3 它反映了级数 10 n 的无穷多项累加的结果为 3 ，我们 n 1
1 3 把极限值 3 叫作级数 10 n 的“和” 。 n 1
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一般的，对级数 项，…的和 即 ， ，
un ，分别取它的前 1 项，2 项，…，
n 1
，…，
，…
n
1 注： ） lim u n 0 只是级数收敛的必要条件而不是充分条件； n 2） 若 lim u n 0 不成立，则级数必定发散。我们经常用 n 这个结论来证明级数发散。
例 5 判别级数
n 1
n
0.01 的敛散性。
2 n
解：u n n 0.01 10
所以 lim u n lim 10
n 1
n 1 发散。 n
a aq aq 2 aq n1 (a 0)
的敛散性。 解：此级数的部分和为
例 3 讨论 等比级数 （又称 几何级数 ）
a (1 q n ) Sn 1 q
三、无穷级数的性质
性质 1 若 性质 2 若
n
u
n 1
n 1
重点：（1） 级数及其收敛与发散 （2） 级数的基本性质 （3） 级数收敛的必要条件 难点: 用定义判断级数的敛散性
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一、无穷级数的基本概念
定义 ：给定序列 u1 ， u 2 ， u 3 ，…， u n ，…，则式子
u1 u 2 u 3 u n
（2） 级数的部分和为
S1 1 ， 2 0 ， S 3 1 ，S 4 0 ，…… S
即S
2 n 1
1 ， S 2n 0
(1) n 1 发散。
n 1
所以 （3）因为
lim S n 不存在，所以级数
n
1 1 1 ， n(n 1) n n 1
（4） ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 1 2 3 n 解：（1） 级数的部分和为
Sn 1 2 3 n n(n 1) 2
lim S n lim
n
n(n 1) n 2
所以级数
n
n 1
发散。
n n 1 2 （4） 因为 n 2 1 n n n 1 ，
1 而级数 n 1 是发散的 n 1
n 2n 1 发散。 故级数
n1
比较判别法的极限形式：
设 u n 和 n 1 n 1
vn
un a aR ， 是两个正项级数，若 n v n ， lim
S3
3 3 3 2 3 0.333 10 10 10 ……………………
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3 3 3 3 Sn 2 3 n 0.333 3 10 10 10 10
………………… 当 n 时，有
1 lim S n 0.333 3 0.3 n 3
称为无穷级数，简称级数，缩记为 u n ，即 n 1
u
n 1
n
u1 u 2 u 3 u n
，
其中 u n 叫做级数的一般项（或称通项） 。 当级数的每一项都是常数时，称级数为常数项级数，简称数项 级数。当级数的每一项都是函数时，称级数为函数项级数。
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…………………… S1 …………………… S 1 u1 设数列 ， ， ，…，
S2
S3
S
S 2 u1 u 2
，…为级数
的部分和
数列（简称部分和） ，这样，就可以把无穷多项求和的问题归
结为求相应的部分和数列的极限问题。
S n u1 u2 un
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例4 判别级数
2 (1) n 1 2 (1) n 1 ( 3n ) 3n 3n n 1 n 1 n 1
2
1 1 1 1 5 2 n 4 2 4 4 n 1 3
四、级数收敛的必要条件
定理：若级数
u
n 1
n
收敛，则lim u n 0 。 n
高等） ISBN： 978-7-111-31288-8 作者：陶金瑞 出版社：机械工业出版社 本书配有电子课件
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第九章 无穷级数
学习目标：
理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正 项级数和交错级数的审敛法；
掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函 数用间接展开法展开成幂级数； 掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级 数的方法。
n n
2 n
1 0
由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。
第二节 正项级数
重点： 正项级数收敛性的两个判别法 难点： 比较判别法中尺度的选择
一、比较审敛法
1. 如果级数
u
n 1
n
的每一项 u n 0 ，则称
u
n 1
n
为正项级数
2. 设正项级数
u 和 v n 满足： n 1
2 (1) n 1 是否收敛，如果收敛，并求其和。 ( 3n ) n 1 1 1 1 3 1 解： 3 n 是 q 的等比级数，收敛并且和为 。 1 2 n 1 3 1 同理 1 3 n 1 (1) 1 3 3n 1 4 n 1 1 3 2 (1) n 1 也收敛，其和为 根据级数的性质 1，2 可知， ( ) 3n n 1
（4）
因为 ln 所以
n 1 ln(n 1) ln n n
，
S n (ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) (ln 4 ln 3) (ln(n 1) ln n) ln(n 1)
而 lim S n lim ln(n 1) n n 所以级数 ln
例 2 讨论 p
1 级数 n p n 1
( p 0) 的敛散性。
解：（ 1） 当 p 1 时，p 级数为调和函数，故发散。
p 1 1 2） 当 p 1时， n n ，因此 p （ ，