考研数学一(常微分方程)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）模拟试卷15 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 微分方程①=cosy+x，③y2dx一(y2+2xy一y)dy=0中，属于一阶线性微分方程的是( )
A．①。
B．②。
C．③。
D．①②③均不是。
正确答案：C
解析：可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程。对于方程③，将其变形为 将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程。故应选C。 知识模块：常微分方程
2． 已知微分方程y”一4y’+4y=0，函数C，C2xe2x(C1，C2为任意常数)为( )
A．方程的通解。
B．方程的特解。
C．非方程的解。
D．是解，但不是通解也不是特解。
正确答案：D
解析：令f(x)=C1C2xe2x，C1、C2为任意常数，将f(x)，f’(x)及f”(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程y”一4y’+4y=0，故C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由通解的结构知应含有两个任意常数，故C1C2xe2x不是通解，故选D。 知识模块：常微分方程
3． 设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为( )
A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)。
B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)。
C．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]。
D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1。
正确答案：D
解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为所对应齐次方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解。根据非齐次线性方程通解的结构，方程
y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为 C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)，即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1—C2或C1+C2+C3=1，故选D。 知识模块：常微分方程
4． 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex，则该微分方程为( )
A．y”‘一y”一y’+y=0。
B．y”‘+y”一y’一y=0。
C．y”‘一6y”+11y’一6y=0。
D．y”‘一2y”一y’+2y=0。
正确答案：B
解析：由三个特解的形式知λ1，2，3=一1，一1，1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根，即(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1。因此微分方程形式为y”‘+y”一y’一y=0，应选B。 知识模块：常微分方程
5． 如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为( )
A．y=eos2x+2。
B．y=cos2x+1。
C．y=2cosx。
D．y=2cos2x。
正确答案：D
解析：因为y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解。将其代入微分方程，得 一2sin2x+P(x)cos2x=0，所以得P(x)=2tan2x。则原微分方程为
y’+2tan2x．y=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得 =一2tan2xdx，等式两边积分，得 =一2∫tan2xdx，即 ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是得y=Ccos2x。由y(0)=2，得C=2．故所求特解为y=2cos2x。 知识模块：常微分方程
6． 设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y”+Py’+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则极限=( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：在微分方程y”+Py’+Qy=3e2x中，取x=0得 y”(0)+Py’(0)+Qy(0)=3，由已知条件y(0)=y’(0)=0，得y”(0)=3。 则由等价无穷小代换及洛必达法则故选
B。 知识模块：常微分方程
7． 方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式为( )。
A．y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x。
B．y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x。
C．y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x。
D．y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x。
正确答案：D
解析：原方程对应的齐次微分方程y”‘+2y”=0的特征方程为λ3+2λ2=0。其特征根为λ=λ=0，λ=一2，因此方程y”‘+2y”=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c)，方程y”‘+2y”=xe-2x特解的形式为xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程y”‘+2y”=x2+xe-2x的特解形式为 y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选D。 知识模块：常微分方程
填空题
8． 设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________。
正确答案：y”一2y’+2y=0
解析：由y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对戈求一阶、二阶导数，得y’=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx—C2sinx)， y”=2ex(C1cosx—C2sinx)，联立上述三式消去C1，C2，得y”一2y’+2y=0。 知识模块：常微分方程
9． 微分方程y”一y’一2y=e2x的通解为一___________。
正确答案：y=C1e-x+C2e2x+e2x，其中C1，C2为任意常数
解析：对应齐次方程的特征方程为λ2一λ一2=0，特征根为λ1=一1，λ2=2，因λ=2是特征方程的一个单根，故令特解为y*=Axe2x，代入原方程得A=。则通解为 y=C1e-x+C2e2x+xe2x，其中C1，C2为任意常数。 知识模块：常微分方程
10． 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=___________。
正确答案：e-xsinx
解析：由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为 y=e-∫1dx[∫e-xcosx．e∫1dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x(sinx+C)， 由y(0)=0，得C=0，故所求特解为y=e-xsinx。 知识模块：常微分方程
11． 微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________。
正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数
解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为λ2—2λ+2=0，特征根为λ1，
2=1±i，故对应的齐次方程的通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)。 由于α=1不是特征根，可设特解形式为y*=Aex，代入原方程可得A=1。故原方程的通解为
y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex，其中C1，C2为任意常数。 知识模块：常微分方程
12． 设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且△y=△x+α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________。
正确答案：
解析：由△y=+α(其中α是当△x→0时的无穷小量)，得y’==0，由一阶线性微分方程的通解公式得y=，再由y(0)=2，得C=2，所以y=。 知识模块：常微分方程
13． 设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=___________。
正确答案：(e2—1)
解析：经计算得，微分方程y”一4y’+4y=0的通解为y=(C+C2x)e2x。 且由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，即y=e2x。于是 ∫01y(x)dx=(e2一1)。 知识模块：常微分方程
14． 方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的通解是___________。
正确答案：y2+1=C(x2一1)，C为任意常数
解析：此为可分离变量的微分方程，由题干可得 (y2+1)xdx+(1一x2)ydy=0，分离变量得 所以通解为y2+1=C(x2一1)，C为任意常数。 知识模块：常微分方程
15． 微分方程yy”+(y’)2=0满足条件y(0)=1，y’(0)=的解是___________。
正确答案：y2=x+1
解析：原微分方程可以变形为(yy’)’=0，两边同时积分可得yy’=C1，此为可分离变量的微分方程。分离变量得 ydy=C1dx， 两边同时积分得
y2=C1x+C2， 代入初值条件y(0)=1，y’(0)=。所以满足初值条件的解是
y2=x+1。 知识模块：常微分方程
16． 微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=___________。
正确答案：(x+C)cosx，C为任意常数
解析：此一阶线性微分方程的p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式 y=e-∫p(x)dx[∫q(x)e∫p(x)dxdx+C] =e-∫tanxdx[∫cosxe∫tanxdxdx+C]
=cosx[∫cosx+C] =(x+C)cosx，C为任意常数。 知识模块：常微分方程
17． 设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf()dt+ex，则f(x)=___________。
考研数学一(填空题)模拟试卷12(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷12 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． (Ⅰ)在一个n阶行列式D中等于“0”的元素个数大于n2-n，则D=_______。(Ⅱ)D==_______。
正确答案：0，-2000!
解析：(Ⅰ)n阶行列式D共有n2个元素，由于“0”元素的个数大于n2-n，所以非“0”元素的个数小于n(因为n2-(n2-n)=n)。由n阶行列式的概念可知，D的每一项均为0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故D=0。(Ⅱ)D=(-1)r(n-1，n-2，…，n)a1，n-1a2，n-2…an-1,1ann=a1，n-1a2，n-2…ann×2×3×…×1999×2000=-2000!。 知识模块：行列式
2． 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型，则a的取值范围________.
正确答案：-2<a<2 涉及知识点：常微分方程
3． 若f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则a=_________．
正确答案：0
解析：因为f(c)在(一∞，0)及(0，+00)内连续，所以需要确定数a，使f(x)在x=0处连续． 当=a时，f(x)在x=0处连续，因此a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续． 知识模块：函数、极限、连续
4． 设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．
正确答案：0
解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0． 知识模块：高等数学
5． 函数f(x)=｜4x3一18x2+27｜在[0，2]上的最小值是________，最大值是________。
正确答案：0，27
解析：设φ(x)=4x3一18x2+27，则因此φ(x)在[0，2]上单调下降，且φ(0)=27，φ(2)=一13，因此存在唯一一点x2∈(0，2)，使得φ(x2)=0，由于f(x)=｜φ(x)｜，可得f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13。 因此，f(x)在[0，2]的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学
2015年考研数学一真题及解析
1 考研数学真题及解析
与 x 3 依次为幂级数 na (x 1) 的
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1) 设函数 f (x) 在, 内连续，其中二阶导数 f (x) 的图形如图所示，则曲
线 y f (x) 的拐点的个数为
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设 y 1 e2 x (x 1)ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程
2 3
y ay by cex 的一个特解，则
( )
(A) a 3, b 2, c 1
(B) a 3, b 2, c 1
(C) a 3, b 2, c 1
(D) a 3, b 2, c 1
(3) 若级数 an 条件收敛，则 x n1 n
n
n1
( )
(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
(4) 设 D 是第一象限由曲线2xy 1， 4xy 1与直线 y x ， y 面区域，函数 f x, y 在 D 上连续，则 f x, y dxdy D
3x 围成的平 ( ) 3 2 考研数学真题及解析
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(A) 3 d1
sin 2 1 f r cos , r sin rdr
4 2 sin 2(B) 3 d 1
sin 2 1 f r cos , r sin rdr
考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷55 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设=c(≠0)，求n，c的值．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
2． 设f(x)定义在(a，b)上，c∈(a，b)，又设H(x)，G(x)分别在(a，c]，[c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是f(x)的原函数．令其中选常数C0，使得F(x)在x=c处连续．就下列情形回答F(x)是否是f(x)在(a，b)的原函数．(Ⅰ)f(x)在点x=c处连续； (Ⅱ)点x=c是f(x)的第一类间断点；(Ⅲ)点x=c是f(x)的第二类间断点．
正确答案：(Ⅰ)F′(c)=f(x)=f(c)，因此，F(x)是f(x)在(a，b)的原函数．(Ⅱ)F(x)不是f(x)在(a，b)的原函数，因为在这种情形下f(x)在(a，b)不存在原函数．(Ⅲ)在这种情形下结论与f(x)的表达式有关，需要对问题作具体分析．
解析：关键就看是否有F′(c)=f(c)． 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
3． 求通过z轴且与平面的平面方程．
正确答案：x+3y=0或3x—y=0 涉及知识点：高等数学
4． 求双纽线r2=a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．
正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，π／4]．面积S=2．2π∫0π／4r(θ)sinθdθ．由r2=a2cos2θ2rr’=－2a2sin2θ，r’=－a2sin2θ／r，r’2+r2=a4／r2 涉及知识点：高等数学
5． 利用代换u=ycosx将微分方程y”cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．
正确答案：令ycosx=u，则y=usecx，从而 y’=u’secx+usecxtanx，y”=u”secx+2u’seextanx+usecxtan2x+usec3x．代入原方程，则得u”+4u=ex．这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u=ex+C1cos2x+C2sin2x．代回到原未知函数，则有y=+C2sinx，其中C1，C2是两个任意常数．
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
A．y”‘+y”一4y’一4y=0．
B．y”‘+y”+4y’+4y=0．
C．y”‘一y”一4y’+4y=0．
D．y”‘一y”+4y’一4y=0．
正确答案：D
解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为 (ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为 y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)． 知识模块：高等数学
2． (15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则
A．a=一3，b=2，c=一1．
B．a=3，b=2，c=一1．
C．a=一3，b=2，c=1．
D．a=3，b=2，c=1．
正确答案：A
解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即 ρ2—3ρ+2=0则 a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)． 知识模块：高等数学
3． (16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=
A．3x(1+x2)．
B．一3x(1+x2)．
C．
D．
正确答案：A
解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)． 知识模块：高等数学
考研数学一(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷99 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 极限
正确答案：2
解析： 知识模块：函数、极限、连续
2． 若f(x)=在x=0处连续，则a=________．
正确答案：2
解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2． 知识模块：高等数学
3． 若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．
正确答案：9f’(1)
解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)． 知识模块：高等数学
4． 设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．
正确答案：0
解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0． 知识模块：高等数学
5． 由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=__________．
正确答案：3πa2
解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
6． 函数y=x+2cosx在区间上的最大值为__________。
正确答案：
解析：令y’=1－2sinx=0，解得把x=0，分别代入函数解析式中得， 因此函数在区间上的最大值为 知识模块：一元函数微分学
7． 设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。
正确答案：
解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)． 知识模块：概率论与数理统计
8． 方程组有非零解，则k＝_______．
正确答案：－1
解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1． 知识模块：线性方程组
考研数学一(填空题)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设=8，则a=_________．
正确答案：ln2
解析：因为=e3a，因此e3a=8，所以a=ln2． 知识模块：函数、极限、连续
2． 已知n阶矩阵A＝，则r(A2－A)＝_______．
正确答案：1
解析：根据A2－A＝A(A－E)，已知矩阵A＝，A是可逆矩阵，因此r(A2－A)＝r(A－E)，而r(A－E)＝1，所以r(A2－A)＝1． 知识模块：矩阵
3． 若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程a.x=一8，则向量x=_______．
正确答案：一4i+21—4k 涉及知识点：高等数学
4． 设y=ln(1+3-x)，则dy=_______
正确答案：
解析：复合函数求导y’=[-ln(1+3-x)]’= 知识模块：一元函数微分学
5． 设f(x)具有连续导数，且F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt，若当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，则f’(0)=_______．
正确答案：1╱2
解析：由于F(x)=∫0x(x2－t2)f’(t)dt=x2∫f’(t)dt－∫0xt2f’(t)dt，所以F’(x)=2x∫0xf’(t)dt+x2f’(x)－x2f’(x)=2x∫0xf’(t)dt．又依题设，当x→0时F’(x)与x2为等价无穷小，从而=2f’(0)=1，故f’(0)=1／2． 知识模块：高等数学
6． 已知F(x)是f(x)的一个原函数，则
正确答案：
解析：因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以，F’(x)=f(x)。令u=e-x，则 知识模块：一元函数积分学
7． =______。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
8．
正确答案：a＝ln2
解析： 知识模块：高等数学部分
9． 袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则P{X=k}=_____(k=1，2，…)．
考研数学一(选择题)高频考点模拟试卷101(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）高频考点模拟试卷101 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(BlA)=P(B|A)，则必有( )
A．P(A|B)=P(A|B)．
B．P(A|B)≠P(A|B)．
C．P(AB)=P(A)P(B)．
D．P(AB)≠P(A)P(B)．
正确答案：C
解析：根据题设条件可知，无论事件A发生与否，事件B发生的概率都相同，即事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，因此可以确认A与B是相互独立的，应该选
C． 知识模块：概率与数理统计
2． 设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，( )．
A．不存在
B．等于0
C．等于1
D．其他
正确答案：C
解析：因为f(0)=f’(0)=0，所以f”(0)=2，于是=1，选(C)． 知识模块：高等数学
3． 设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=
A．0．
B．1．
C．2．
D．3
正确答案：C
解析：实质上就是讨论g(x)=x2｜x｜=时，g(n)(0)的最高阶数n．由于｜x｜在x=0处不可导，因此n=2．选(C)． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
4． 将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )
A．1
B．
C．
D．—1
正确答案：D
解析：设两段长度分别为X，Y，显然X+Y=1，即y=—X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为—1。 知识模块：概率论与数理统计
5． 设函数f(x)连续，F(x)=f(t)dt，则F’(x)=_______
A．f(x2)一f(e-x)．
B．f(x2)+f(e-x)．
C．2xf(x2)一e-xf(e-x)．
D．2xf(x2)+e-xf(e-x)．
考研数学一(解答题)模拟试卷139(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷139 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)具有连续导数，且满足f(x)=x+∫0xtf’(x－t)dt．求极限
正确答案：由已知条件∫0xtf’(x－t)dt可化为f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du．两边对x求导，得：f’(x)=1+∫0xf’(u)du+x f’(x)－ x f’(x)=1+f(x)－f(0)=
1+f(x) (f(0)=0) 于是，f(x)=ex一1．所以
解析：f(x)的表达式中含有参变量的积分，应经变量替换将参变量移至积分号外或积分限上，再求极限．∫0xtf’(x－t)dt ∫0x(x－u)f’(u)du=x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du将参变量x提到积分号外后，已知条件可化为：f(x)=x+x∫0xf’(u)du－∫0xuf’(u)du ．(1)本题的关键是求出f(x)的表达式．当已知条件是由积分方程给出时，通过求导可得出f(x)所满足的微分方程： f’(x)一f(x)=1， f(0)=0．由通解公式，可得通解为：f(x)=e－∫(－1)dx[∫1．e∫(－1)dxdx+c]=cex－1 由f(0)=0，得f(x)=ex一1．一般地，一阶线性微分方程Y’+p(x)y=q(x)的通解为：y=
e－∫p(x)dx[∫1．e∫p(x)dx+c](2)在计算含参变量的积分时，应通过变量替换将参变量提至积分号外或积分限上，再作计算．
2． 设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量|X—Y|的方差。
正确答案：令Z=X—Y，由于X，Y相互独立，且都服从正态分布，因此Z也服从正态分布，且E(Z)=E(X)一E(y)=0，D(Z)=D(X)+D(Y)==1。于是，Z = X —
Y～ N(0，1) 。D(|X —Y|)= D(|Z|)= E(|2|2)—(E|Z|)2= D(Z)+[E(Z)]2— (E|Z|)2= 1— (E|Z|)2，而故 D(|X —Y|)=1—。 涉及知识点：概率论与数理统计
考研数学一(填空题)模拟试卷106(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷106 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a≠=________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 设α1=(1，2，-1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，α)T，若由α1，α2，α3形成的向量空间的维数是2，则α=_______。
正确答案：6
解析：由题意可知向量组α1，α2，α3的秩R(α1，α2，α3)=2，对向量组组成的矩阵作初等行变换 所以有a-6=0a=6。 知识模块：向量
3． 设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为___________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
4． 某流水生产线每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独，当出现一个不合格产品时即停机检修．设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X，求X的数学期望E(X)=____________和方差D(X)=____________．
正确答案：1/p,(1-p)/p2 涉及知识点：综合
5． 设f’(1)=2，极限存在，则
正确答案：一2 涉及知识点：高等数学
6． 设A为n阶方阵，任何n维列向量都是方程组的解向量，则R(A)=_________。
正确答案：0
解析：已知任何n维列向量都是此方程组的解，故n维基本单位向量组ε1=，ε2=…，εn=也是它的解，即A(ε1，ε2，…，εn)=AE=O，故有A=O，所以R(A)=0。 知识模块：线性方程组
7． = _______。
正确答案：
解析：因为，所以 知识模块：一元函数积分学
8． 已知α1＝(－3，2，0)T，α2＝(－1，0，－2)T是方程组的两个解， 则方程组的通解是_______．
正确答案：，k为任意实数．
解析：要搞清解的结构就应当知道秩r(A)．因为方程组有解且不唯一，故r(A)＜3．又因矩阵A中有2阶子式≠0，因此r(A)＝2．那么，导出组的基础解系由n－r(A)＝1个解向量所构成． 从而α1－α2(－2，2，2)T是Aχ＝0的解，也即Aχ＝0的基础解系． 所以，方程组的通解是，k为任意常数． 知识模块：线性代数
2015年全国考研数学一真题及答案解析.doc
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如图所示，则曲线()yfx的拐点的个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()fx的图形可得，曲线()yfx存在两个拐点.故选（C）.
(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则 ( )
(A) 3,2,1abc
(B) 3,2,1abc
(C) 3,2,1abc
(D) 3,2,1abc
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知，212xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解，所以2,1为特征方程20rarb的根，从而(12)3a，122b，从而原方程变为2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题