一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷2 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题)
数学部分单项选择题
1． 设函数f(x)＝x.tanx.esinx，则f(x)是( )．
A．偶函数
B．无界函数
C．周期函数
D．单调函数
正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学
2． 设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．
A．AB＝0的充分必要条件是A＝0或B＝0
B．AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0
C．AB＝0且r(A)＝n，则B＝0
D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0
正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学
3． 设cosx-1=xsina(x),其中｜a(x)｜＜π/2,则当x→0时，a(x)是
A．比x高阶的无穷小
B．比x低阶的无穷小
C．比x同阶但不等价的无穷小
D．与x等价的无穷小
正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学
4． 设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则
A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学
5． 函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是( )．
A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0
B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0
C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0
D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0
正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学
6． 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．
A．λE-A＝λE-B
B．A与B有相同的特征值和特征向量
C．A与B都相似于一个对角矩阵
D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
7． 向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是( )．
A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关
B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0
C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数
D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
8． 设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A( )．
A．必有一列元素全为0
B．必有两列元素对应成比例
C．任一列向量是其余列向量的线性组合
D．必有一列向量是其余列向量的线性组合
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
9． 设n阶方程A＝(α1，α2，…,αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…γn)，记向量组(I)：1，α2，…,αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．
A．向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关
B．向量组(I)线性相关
C．向量组(Ⅱ)线性相关
D．向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
10． 设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，x0≠0是函数f(x)的极大值点，则( )．
A．x0必是函数f(x)的驻点
B．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点
C．对一切x0都有f(x)≤f(x0)
D．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
11． 函数y＝C1ex＋C2e﹣2x＋xex满足的一个微分方程是( )．
A．y〞-yˊ-2y＝3xex
B．y〞-yˊ-2y＝3ex
C．y〞＋yˊ-2y＝3ex
D．y〞＋yˊ-2y＝3xex
正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学
12． 设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是( )．
A．A的列向量线性相关
B．A的行向量线性相关
C．A的行向量线性无关
D．A的列向量线性无关
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
13． 设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有( )．
A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解
B．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解
C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解
D．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解
正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学
14． 设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于
A．4/3
B．3/4
C．1/2
D．1/4
正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学
15． 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是
A．P-1α．
B．PT α．
C．Pα．
D．(P-1 )Tα．
正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学
填空题
16． 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.
正确答案：2/x 涉及知识点：一元函数微分学
17． 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.
正确答案：1/x 涉及知识点：一元函数微分学
18． 微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.
正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：一元函数微分学
19． 若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．
正确答案：-4 涉及知识点：一元函数微分学
20． 已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．
正确答案：x+ex+C 涉及知识点：一元函数微分学
21． 若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1-E｜＝_______．
正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学
22． 设A，B为3阶矩阵，且｜ A ｜=3，｜ B ｜=2，｜ A-1+B｜=2，则｜ A+B-1 ｜=_____________.
正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学
23． 设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．
正确答案：-27 涉及知识点：一元函数微分学
24． 若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，
a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=
正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数微分学
25． 设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜ B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．
正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：一元函数微分学
26． 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜ =_________.
正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学
解答题
27． 求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．
正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从 涉及知识点：一元函数微分学
28． 求： 微分方程y〞＋y＝-2x的通解．
正确答案：方程y〞＋y＝-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx＋C2sinx．因为a＝0不是特征根，因此原方程的特解可设为y*＝Ax＋B，代入原方程得A＝-2，B＝0．所以原方程的通解为y＝C1cosx＋C22sinx-2x． 涉及知识点：一元函数微分学
考研数学二(选择题)模拟试卷82(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷82 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )
A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关。
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D
解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s。又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D。 知识模块：向量
2． 设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解β1和β2，其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Ax=b的通解为
A．c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)
B．c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)
C．c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)
D．c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)
正确答案：B
解析：因α1，α1-α2是与基础解系α1，α2等价的线性无关向量组，故α1，α1-α2也是Ax=0的基础解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一个解，由解的结构即知(B)正确． 知识模块：线性方程组
3． 在中，无穷大量是
A．①②．
B．③④．
C．②④．
D．②．
正确答案：D
解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选
D． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
4． 设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y＞x时在(x，y)处的值为( )
A．[F(x)F(y)]n
B．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]n
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
正确答案：D
解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )
A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C
解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学
3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )
A．C=P—1AP
B．C=PAP—1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵
4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A．2．
B．一1．
C．．
D．一2
正确答案：D
解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选
D． 知识模块：一元函数微分学
5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )
考研数学二(解答题)模拟试卷232(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷232 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设xn=ln(1+xn)，x1＞0，(Ⅰ)．求xn；(Ⅱ)求
正确答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x) (x＞0)，于是xn+1-xn=ln(1+xn)-xn＜0
(n=1，2，3，…){xn}↓有下界极限a=ln(1+a)．又a≥0时a＞In(1+a)，故a=0．(Ⅱ)原式 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
2． 设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求。
正确答案：由一2te—x=0得exdx=2tdt，由条件x｜t=0得ex=1+t2，即x=ln(1+t2)。故有所以 涉及知识点：一元函数微分学
3． 计算下列定积分：(Ⅰ)(Ⅱ)∫02f(x-1)dx，其中f(x)=
正确答案：(Ⅰ)由于min为偶函数，在上的分界点为，所以(Ⅱ)由于分段函数f(x)的分界点为0，所以，令t=x-1后，有∫02f(x-1)dx=∫-11f(t)dt=∫-10+ln(1+x)｜01=-ln(1+e-x)｜-10+ln2=ln(1+e)． 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
4． 设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．
正确答案：f(χ)的间断点为χ＝kπ(k＝0，±1，…)及χ＝kπ＋(k＝0，±1，…)． 因为＝1，所以χ＝0为f(χ)的可去间断点； 因为＝∞，所以χ＝kπ(k＝±1，±2，…)为f(χ)的第二类间断点； 因为＝0，所以χ＝kπ＋(k＝0，±1，…)为f(χ)的可去间断点． 涉及知识点：函数、极限、连续
5． 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使
正确答案：利用泰勒公式将f(x)在x=a处展开，得同理 令②一①得得 令|f”(ξ)|=max{|f”(ξ1)|，|f”(ξ2)|}，则 故原命题得证． 涉及知识点：一元函数微分学
河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)
河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 方程y”＋4y’＝x2－1的待定特解形式可设为[ ]．
A．y＝x(ax2＋b)
B．y＝x(ax2＋bx＋c)
C．y＝ax2＋bx＋c
D．y＝ax2＋b
正确答案：B 涉及知识点：常微分方程
2． 微分方程x ln x．y”＝y’的通解是[ ]．
A．y＝C1xln x＋C1
B．y＝C1x(ln x—1)＋C2
C．y＝xln x
D．y＝C1x(ln x—1)＋2
正确答案：B 涉及知识点：常微分方程
3． 函数y＝3e2x是微分方程y”－4y＝0的[ ]．
A．通解
B．特解
C．是解，但既非通解也非特解
D．不是解
正确答案：B 涉及知识点：常微分方程
4． 方程y”＋y＝cosx的待定特解形式可设为[ ]．
A．y＝axcosx
B．y＝acosx
C．y＝a cosx＋b sin x
D．y＝x(a cos x＋bsin x)
正确答案：D 涉及知识点：常微分方程
5． 若某二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1e－2x＋C2ex，则该微分方程为[ ]．
A．y”＋y’＝0
B．y”＋2y’＝0
C．y”＋y’－2y＝0
D．y”－y’－2y＝0
正确答案：C 涉及知识点：常微分方程
填空题
6． 已知二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1ex＋C2e－x，则原方程为_______．
正确答案：y”－y＝0 涉及知识点：常微分方程
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 考虑二元函数的下面4条性质： ①f(x，y)在点(x0，y0)处连续； ②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续； ③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微； ④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在． 若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有
A．②→③→①．
B．③→②→①．
C．③→④→①．
D．③→①→④．
正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学
2． 设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程
A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．
B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．
C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．
D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．
正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学
3． 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则
A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．
B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．
C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．
D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．
正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学
4． 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是
A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．
B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．
C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．
D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．
考研数学二(填空题)模拟试卷101(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷101 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导且在x=0处连续，则a=_________
正确答案：3
解析：由因为g(x)在x=0处连续，所以a=3． 知识模块：函数、极限、连续
2． =_____________.
正确答案：e9
解析：化为指数函数求极限，则有 知识模块：函数、极限、连续
3． 对数螺线，ρ＝eθ在点(ρ，θ)＝处的切线的直角坐标方程为_______．
正确答案：； 涉及知识点：一元函数微分学
4．
正确答案：1 涉及知识点：一元函数积分学
5． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． 已知当x→0时，(1+ ax2)一1与cosx 一1是等价无穷小，则常数a=________．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关． ④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．其中成立的为________．
正确答案：①，③，④．
解析：①直接从定理3．2得到．②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定为4，线性无关．④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4． 知识模块：向量组的线性关系与秩
考研数学一(多元函数微分学)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷13 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知fx(x0，y0)存在，则=( )
A．fx(x0，y0)
B．0
C．2fx(x0，y0)
D．
正确答案：C
解析：故选C。 知识模块：多元函数微分学
2． 设f(x，y)=则fx(0，1)( )
A．等于1。
B．等于0。
C．不存在。
D．等于—1。
正确答案：A
解析：fx(0，1)=，故选A。 知识模块：多元函数微分学
3． 设z=则该函数在点(0，0)处( )
A．不连续。
B．连续但偏导数不存在。
C．连续且偏导数存在但不可微。
D．可微。
正确答案：C
解析：由于，则z(x，y)在点(0，0)处连续，A项错误。所以z(x，y)在点(0，0)处偏导数存在，B项错误。 知识模块：多元函数微分学
4． 设，则f(x，y)在点(0，0)处( )
A．不连续。
B．连续但两个偏导数不存在。
C．两个偏导数存在但不可微。
D．可微。
正确答案：D
解析：由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D。 知识模块：多元函数微分学
5． 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零
B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零
C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零
D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在
正确答案：B
解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，又由fx(x0，y0)=，故选B。 知识模块：多元函数微分学
填空题
6． 设f(x，y)=则fx(1，0)= ________。
正确答案：2
解析：由题干可知f(x，0)=x2，则fx(x，0)=2x。故fx(1，0)=2。 知识模块：多元函数微分学
考研数学三(一元函数积分学与多元函数微分学)模拟试卷1(题后含
考研数学三（一元函数积分学与多元函数微分学）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x，y)＝则f(x，y)在(0，0)处( )．
A．连续但不可偏导
B．可偏导但不连续
C．可微
D．一阶连续可偏导
正确答案：C
解析：因为f(x，y)＝0＝f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续。因为＝0，所以f’x(0，0)＝0，根据对称性，f’y(0，0)＝0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由＝0，得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，f’x(x，y)＝2xsin，则f’x(x，y)＝因为f’x(x，y)＝(2xsin)不存在，所以f’x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选
C． 知识模块：多元函数微分学
2． 设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．
正确答案：两边积分得F2(x)＝，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(x)＞0，得F(x)＝，于是f(x)＝． 涉及知识点：一元函数积分学
3． 设f’(lnx)＝求f(x)．
正确答案：令lnx＝t，则f’(t)＝，当t≤0时，f(t)＝t＋C1，；当t＞0时，f(t)＝et＋C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1＝1＋C2，故f(x)＝． 涉及知识点：一元函数积分学
4． 求dx．
正确答案：令f(x)＝，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，＝x2，则dx＝xdx＋x2dx＝． 涉及知识点：一元函数积分学
5． 设f(x)连续，tf(x－t)dt＝1－cosx，求f(x)dx．
正确答案：由tf(x－t)dt(x－u)f(u)(－du)＝(x－u)f(u)du＝xf(u)du－uf(u)du，得xf(u)du－uf(u)du＝1－cosx，两边求导得f(u)du＝sinx，令x＝得f(x)dx＝
考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (2004年)设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0。使得
A．f(x)在(0，δ)内单调增加
B．f(x)在(一δ，0)内单凋减少
C．对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)
D．对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)
正确答案：C
解析：由于由极限的保号性知，存在δ＞0，当x∈(一δ，0)或x∈(0，δ)时，而当∈(0，δ)时x＞0，则此时f(x)一f(0)＞0，即f(x)＞f(0)，故应选(C)． 知识模块：一元函数微分学
2． (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内
A．处处可导
B．恰有一个不可导点
C．恰有两个不可导点
D．至少有三个不可导点
正确答案：C
解析：当|x|≤1时，当|x|＞1时，则而f’+(一1)≠f’-(一1)，则f(x)在x=一1不可导．同理则f(x)在x=1处不可导，故应选(C)． 知识模块：一元函数微分学
3． (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0．f”(x)＞0，△x为自变量x在x11处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则
A．0＜dy＜△y
B．0＜△y＜dy
C．△y＜dy＜0
D．dy＜△y＜0
正确答案：A
解析：解1 直接法：dy=f’(x0)△x， △y=f(x0+△x)一f(x0)=f’(ξ)△x，x0＜ξ＜x0+△x由于f”(x)＞0，则f’(x)单调增，从而有f(x0)＜f’(ξ)，故dy＜△y由于f’(x)＞0，△x＞0，则0＜dy＜△y，故应选(A)． 解2 排除法：取f(x)=x2，在(0，+∞)上，f’(x)=2x＞0，f”(x)一2＞0，取x0=1，则 dy=f’(x0)△x=2△x △y=f(1+△x)一f(1)=(1+△x)2一1=2△x+(△x)2由于△x＞0，显然有0＜dy＜△y，
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷33 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设则f(x,y)在（0,0）处（ ）。
A．连续但不可偏导
B．可偏导但不连续
C．可微
D．一阶连续可偏导
正确答案：C
解析： 知识模块：多元函数微分学
2． 对二元函数z=f(x,y)，下列结论正确的是（ ）。
A．z=f(x,y)可微的充分必要条件是z=f(x,y)有一阶连续的偏导数
B．若z=f(x,y)可微，则z=f(x,y)的偏导数连续
C．若z=f(x,y)偏导数连续，则z=f(x,y)一定可微
D．若z=f(x,y)偏导数不连续，则z=f(x,y)一定不可微
正确答案：C
解析：因为若函数f(x,y)一阶连续可偏导，则f(x,y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x,y)偏导数不连续不一定不可微，选C. 知识模块：多元函数微分学
3． 设f(x,y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件,,则（ ）。
A．f(x,y)的最大值点和最小值点都在D内
B．f(x,y)的最大值点和最小值点都在D的边界上
C．f(x,y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上
D．f(x,y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上
正确答案：B
解析：若f(x,y)的最大点在D内，不妨设其为M0,则有,因为M0为最大值点，所以AC-B2非负，而在D内有,即AC-B2＜0,所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为B. 知识模块：多元函数微分学
填空题
4． 设z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),其中f,g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_______.
正确答案：f’+xf”+xy-1g’1+yxy-1lnxg’1+yx2y-1lnxg”11+2y2xy-1g”12+2xy+1lnxg”21+4xyg”22