圆系方程及其应用.doc
高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八 圆系方程及其应用 含解析
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。
圆系方程-高中数学知识点讲解
圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
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圆的标准方程式
圆的标准方程式圆是平面几何中的重要图形之一，其标准方程式是描述圆的一种数学表达方式。
通过圆的标准方程式，我们可以清晰地了解圆的性质和特点，进而在数学问题中灵活运用。
本文将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识点。
首先，我们来看圆的定义，圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以由一个定点为圆心、一个正数为半径来描述。
根据这一定义，我们可以得出圆的标准方程式。
圆的标准方程式为，(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程式的推导可以通过圆的定义和距离公式得出，具体推导过程略。
通过圆的标准方程式，我们可以得出一些重要结论：1. 圆的半径为正数，表示圆的大小；2. 圆心坐标(a, b)表示圆的位置；3. 圆心到圆上任意一点的距离都等于半径r。
在实际问题中，我们可以利用圆的标准方程式来解决一些几何和代数问题。
例如，给定圆心和半径，我们可以方便地求出圆上任意一点的坐标；或者给定圆上的某点，可以判断该点是否在圆内或者在圆上。
除了标准方程式外，圆还有其他几种常见的方程式，如一般方程式和参数方程式。
这些方程式在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，需要根据具体情况进行选择和运用。
总之，圆的标准方程式是描述圆的重要数学工具，通过它我们可以清晰地了解圆的性质和特点，解决各种数学问题。
在学习和应用过程中，我们需要深入理解圆的定义和相关知识，灵活运用圆的标准方程式，不断提高数学素养和解决问题的能力。
希望本文对圆的标准方程式有所帮助，让我们共同努力，探索数学的奥秘，提高数学应用能力。
过两点的圆系方程推导
过两点的圆系方程推导
摘要：
一、过两点的圆系方程概述
二、构造法推导过两圆交点的圆系方程
三、圆系方程的应用
正文：
【一】过两点的圆系方程概述
过两点的圆系方程，是一种数学工具，用于描述过两个已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的所有圆。
这个方程可以表示为：(x1*x2)*(y1*y2)[(x1*y2 -
x2*y1)^2] / (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2)。
【二】构造法推导过两圆交点的圆系方程
1.设圆A的方程为x^2 + y^2 - x1^2 - y1^2 + 2gx1 + 2fy1 = 0，圆B 的方程为x^2 + y^2 - x2^2 - y2^2 + 2gx2 + 2fy2 = 0。
2.求出两个圆的公共弦方程，即(x1^2 - x2^2) + (y1^2 - y2^2) - 2g(x1 - x2) - 2f(y1 - y2) = 0。
3.新构造一个圆，其方程为x^2 + y^2 - 2gx - 2fy + (x1^2 + y1^2) * (x2^2 + y2^2) / [(x1 * x2) + (y1 * y2)] = 0。
4.此新构造的圆方程即为过两圆交点的圆系方程。
【三】圆系方程的应用
1.过两已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的圆系方程可以用于描述这两个点确定的圆系，特别是在处理与圆有关的问题时，如圆的切线、法线等。
2.在几何问题中，圆系方程可以帮助我们理解两个相交圆的性质，如交点、公共弦等。
3.圆系方程也可以用于解决一些实际问题，如在物理中，描述物体在圆周运动时的轨迹等。
圆周运动轨迹方程及其应用
圆周运动轨迹方程及其应用圆周运动是一种最基本的运动方式之一，它的轨迹是一个圆形。
许多物理学和工程学领域都会涉及到圆周运动，而这些领域都需要对圆周运动的轨迹方程及其应用有深入的认识。
一、圆周运动的基本概念圆周运动指的是物体在圆形轨道上做匀速直线运动的一种运动方式。
在圆周运动中，物体的位移、速度和加速度都发生了变化。
位移是指物体从初始位置到终止位置所经过的路程，它可以用一个矢量表示。
速度是指物体在单位时间内沿着轨道移动的路程，它也可以用一个矢量表示。
加速度是指物体在单位时间内速度的变化率，它可以用一个矢量表示。
二、圆周运动轨迹方程的推导对于一个半径为r的圆，在圆心处建立坐标系，可以推导出圆周运动的轨迹方程。
假设物体在运动过程中沿圆周方向与x轴正半轴之间的夹角为θ，则物体的位置可以表示为：x=r*cosθy=r*sinθ上式就是圆周运动的轨迹方程。
这个方程非常重要，因为它可以描述物体在圆周运动中的位置。
三、圆周运动的速度与加速度由于圆周运动的轨迹是一个圆形，所以物体的速度和加速度也会随着位置的变化而变化。
速度可以用位移与时间的比值来计算，即V=dS/dt。
对于圆周运动，物体在任意位置的速度大小都是相同的，因为它的速度是一个常量。
加速度可以用速度与时间的比值来计算，即A=dV/dt。
对于圆周运动，物体在圆形轨道上的加速度是一个向心加速度，它的大小可以用下式计算：a=v^2/r上式中，v代表速度大小，r代表圆形轨道的半径。
向心加速度的方向指向圆心，所以它也被称为离心加速度。
四、圆周运动的应用圆周运动的轨迹方程和速度、加速度的计算公式在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，圆周运动常常涉及到匀速转动和重力运动等问题。
物理学家可以通过对圆周运动的分析来解决这些问题。
在工程学中，圆周运动常常涉及到机器人的运动轨迹控制、磁盘驱动器的设计等。
工程师可以通过对圆周运动的轨迹方程和速度、加速度的计算公式的应用来解决这些问题。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。
圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。
本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。
我们来了解一下常见的圆系方程。
在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。
其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。
通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。
一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。
一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。
在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。
首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。
例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。
圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
圆系方程在物理学中也有重要的应用。
例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。
当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。
通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。
圆系方程还在工程领域得到广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。
通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。
在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。
圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
解析几何专题2圆的方程及应用
《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。
+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。
+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。
-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。
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直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（x，y0 ）的直线系方程：A(x x0) B( y y0) 0（A,B 不同时为0）.
例 1 求过点P( 1，4) 圆(x 2)2 ( y 3)2 1的切线的方程．
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.
解析：设所求直线的方程为A(x 1) B(y 4) 0（其中A，B不全为零），
则整理有Ax By A 4B 0，
∵直线l 与圆相切，∴圆心 C (2，3) 到直线l 的距离等于半径1，故2A 3B A 4B
2 2
A B
1
，
整理，得A(4 A 3B) 0，即A 0 （这时 B 0 ），或
3
A B 0．
4
故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 ．
点评：对求过定点（x，y0 ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: A(x x0) B(y y0) 0，0
注意的此方程表示的是过点P(x，y ) 的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素
0 0
的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．
练习：过点P( 1，4) 作圆 2 2
(x 2) (y 3) 1的切线l ，求切线l 的方程．
解：设所求直线l 的方程为A(x 1) B(y 4) 0 （其中A，B不全为零），
则整理有Ax By A 4B 0，
∵直线l 与圆相切，∴圆心 C (2，3) 到直线l 的距离等于半径1，故2A 3B A 4B
2 2
A B
1，
整理，得A(4 A 3B) 0，即A 0 （这时 B 0 ），或 3 0
A B ．
4
故所求直线l 的方程为y 4 或3x 4y13 0 ．
2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
过直线l ：A1x B1 y C1 0（A1, B1 不同时为0）与m：A2 x B2 y C2 0（A2, B2 不同时为0）交点的直线
系方程为：A x B y C A x B y C （R ，为参数）.
1 1 1 (
2 2 2 ) 0
例2 求过直线：x 2y 1 0与直线：2x y 1 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.
解析：设所求直线方程为：x 2y 1 (2 x y 1) 0 ，
当直线过原点时，则 1 =0，则=－1，
所：
x 2y 0 ；
当所x 令 y =0，解得 x = 1
2
1
，
由题意得，
1
2
=
1 2
1
，所
： 5x 5y 4 0 . 综上所述，所： x 2y 0或 5x 5y 4 0 . 3、系题 例明m x y m 1 0( 是参数且 m ∈
定点并求出定. 分析题，可用恒等和特法 . 解析：（恒等式法方: (x 1)m y 1 0 , ∵ m ∈R, ∴ x y 1 0 1 0 ，解得， x 1， y 1， m x y m 1 0( m 是参数
且 m ∈定点（ 1,1）. （特法）取 m =0， m =1 得， y 1，
x y 2 0
立解得， x 1， y 1， 将（ 1,1）代入
m x y m 1足方程， m x y m 1 0( m 是参数且 m ∈定点（ 1,1）. 证题，常用方法有恒等式法和特法，恒等式法就是方关于参数的 恒等式形式，利用参数属于 恒等式个0，列出关于 x , y
的解，求出
定;特殊直 线法，去两个特殊，得到两条特接着两条特的交，并代入系验，即得 定点 . 一系方程有如下几种： 1、以 (a,b)为圆心的同心圆系方程： 2 y 2 x ＋ D x ＋ E 2、过直线A x ＋ By ＋Ｃ＝０与圆x 2 y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为： x 2
y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋Ｆ＋ （ Ax
＋ By ＋Ｃ）＝０（ Ｒ）
3、过两圆C : 1
2 y
2
x ＋ D 1
x E 1
y F 1 ＝ 0
， C 2 : 2
y
2
x
＋
D 2 x
E 2
y
D 1 x
E y
2
y
2
x ＋D2 x E2 y F2 ）＝0（≠- １，此圆系不含C2 : F ＋（
1
1
０）
特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C，可等价转化为过圆C1 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方
2
程: 2 2
x y D1x E1 y F1 [( D1 D2) x (E1 E2 )y (F1 F2)] 0
二、圆系方程在解题中的应用：
1、利用圆系方程求圆的方程：
2 2 2 2
例求经过两圆x +y +6x-4=0 和x +y +6y-28=0 的交点，并且圆心在直线x- y-4=0 上的圆的方程。
例１、求经过两圆 2 y
2
x ＋3 x －y －2＝０和
2 3 2
3x y ＋2 x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．
解：方法3：由题可设所求圆的方程为：
（ 2 y 2
x ＋3 x －y －2）＋（
2 3 2
3x y ＋2 x ＋y ＋１）＝０
∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋＝０．从而＝２
2 y2 x y x2 y2 x y 故所求的圆的
方程为：(x 3 2) 2(3 3 2 1) 0
即 2 7
2
7x y ＋7 x ＋y ＝０。
2+y2+6x 4=0 和x2+y 2+6y 28=0 的交点,并且圆心在直线x y 4=0 上的圆的方程.
练习：求经过两圆x
2 2 2 2
1 解: 构造方程x +y +6x 4+λ(x +y +6y 28)=0
2+(1+ λ)y2+6x+6 λy (4+28λ)=0
即(1+λ)x
3 3
此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)
( ,
1 1
3 3
当该圆心在直线x y 4=0 上时,即 4 0,7.
得
1 1
2 2
∴所求圆方程为x
+y x+7y 32=0
2 2 切于且过的圆的方程
练习x y x y 20 A B
:求与圆 4 2 0 ( 1,3), ( 2,0)
.
解：过A( 1,3) 3x 4y 15 0。
与已知圆构造圆系
的圆的切线为
2 x
2
y 4x 2y 20 (3x 4y 15) 0，
代入( 2,0)
得8
7
,所以所求圆方程为
7 2 x 7 2 y 4x 18y 20 0.
2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：
例2（1）：求过两圆 2 2 5
x y 和
2 2
( x 1) ( y 1) 16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。
自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。
为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。
则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆 2 2 5
x y 和
2 2
(x 1) ( y 1) 16的公共弦方程为2x 2y11 0。