(完整版)圆的参数方程及应用
圆的参数方程及其应用
在计算机图形学中的应用
渲染效果
圆的参数方程在计算机图形学中 常用于制作各种渲染效果，如光 照、阴影、反射等。通过参数的 调整，可以创建出逼真的视觉效
果。
动画制作
在动画制作中，圆的参数方程可 以用来描述物体的运动轨迹，例 如旋转、缩放等。通过参数的变 化，可以轻松地实现各种动态效
果。
游戏开发
在游戏开发中，圆的参数方程常 用于物理引擎和碰撞检测。例如， 物体在碰撞时会产生圆形冲击波， 通过参数方程可以精确地描述这
同样地，也可以将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数$theta$，可以得到 $x^2 + y^2 = r^2$。
参数方程的几何意义
参数方程中，$r$表示圆上点到圆心的 距离，即半径。$theta$表示圆心角， 即从圆心出发沿逆时针方向旋转的角 度。
通过参数方程，可以方便地描述圆上 任意一点的坐标和位置关系。例如， 当$theta = frac{pi}{2}$时，点位于 圆的最高点；当$theta = pi$时，点 位于圆的最低点。
05
结论
参数方程在圆的应用中的重要性
参数方程在描述圆的位置和形状时具有直观性和简洁性，能够清晰地表达圆的参数关系，方便数学和 物理问题的解决。
参数方程在解决与圆相关的实际问题时具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域中， 参数方程可以帮助我们更好地理解和分析问题。
对未来研究的展望
随着数学和物理学的发展，参数方程 在圆的应用中将会得到更深入的研究 和应用，例如在解决更复杂的几何和 物理问题时，参数方程可能会发挥更 大的作用。
种效果。
在机器人路径规划中的应用
1 2 3
导航系统
机器人在移动时需要精确地计算路径，圆的参数 方程可以用来描述机器人周围的环境，帮助机器 人规划出最优路径。
圆的参数方程 课件
1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
参数方程：xy＝＝gftt， 化目标函数 φ(x，y)＝φ(t)的形式，然后用求函数最值的方法 求解．
2．注意化 F(x，y)＝0 为xy＝＝gftt， 要等价转化才能正确地求出最值，例如：(x－
则xy′′＝＝ccooss
θ＋sin θ，① θsin θ，②
①2－2×②，得 x′2－2y′＝1，即 x′2＝2y′＋12， ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 x2＝2y＋12的一部分|x|≤ 2，|y|≤12.
探究三 圆的参数方程的应用
[例 3] 已知点 P(x，y)是圆 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 上的动点，求： (1)x2＋y2 的最值； (2)x＋y 的最值． [解析] 由 x2＋y2－6x－4y＋12＝0， 得(x－3)2＋(y－2)2＝1，
3)2＋(y－2)2＝1(x≥3)⇔xy＝＝23＋＋scions
t， t
(－π2≤t≤π2)．
3．在直x＝3－ 的参数方程为
22t，
y＝ 5＋ 22t
(t 为参数)．在极坐标
系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)
中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；
即
x＝2＋5cos α， y＝1＋5sin α
(α∈R，α 为参数)．
怎样把普通方程化为参数方程 (1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式 sin2α＋cos2α ＝1. (2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同， 所表示的曲线也可能会有所不同．
【原创讲义】圆与方程(全面详细)
同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的参数方程的参数范围
圆的参数方程的参数范围
圆的参数方程
圆是一种非常基础的几何图形，它在各个领域中都有着广泛的应用。
在数学中，我们可以通过参数方程来描述一个圆。
圆的参数方程可以表示为：
x = r * cos(t)
y = r * sin(t)
其中，r代表圆的半径，t代表角度。
参数范围
在使用参数方程描述一个圆时，需要确定t的取值范围。
因为t代表角度，所以它的取值范围应该是0到2π。
0 ≤ t ≤ 2π
这个范围对应了一个完整的圆周。
在这个范围内，每个角度所对应的
点都会被覆盖到。
如果我们只需要绘制出半个圆或者1/4个圆，那么我们需要调整t的取值范围。
例如：
0 ≤ t ≤ π（半个圆）
0 ≤ t ≤ π/2（1/4个圆）
这样就可以只绘制出部分圆形了。
总结
通过上述内容，我们了解了如何使用参数方程来描述一个圆，并且确定了合适的参数范围。
当我们需要使用代码或者公式来处理或者描述一个圆时，可以采用这种方式。
圆的参数方程公式
圆的参数方程公式以《圆的参数方程公式》为标题，写一篇3000字的中文文章圆是几何中最为常见的图形之一，可以说是人类最初发现并探究法则性的图形。
一个圆由圆心和半径组成，而圆的参数方程公式则是它的极角、极矢、极径和余弦定理的综合体现。
圆的参数方程可以用来描述数学中的各种圆形概念，也可以用来求解圆周长、面积以及饼图中各个扇形所占比例等问题。
圆的参数方程可以用向量形式来表示，假设圆心为原点O，半径为r，极角为θ，则圆的参数方程可以表示为：x=r*cosθ；y=r*sin θ。
从参数方程可以看出，圆是由角度θ和半径r限制而成的曲线，其两个参数θ和r对应着直角坐标系中的x轴和y轴，x轴和y轴的夹角θ即为极角。
把圆的参数方程用向量形式表示，两边同乘以r，就变成了带模的参数方程：|r| = r(cosθ,sinθ)，其中|r|是极径，它与半径r 是相等的，但有一个区别是极径表示向量。
圆自身关于参数方程的性质以及它的用途有很多，那么圆的参数方程有什么特别的性质呢？首先，圆的参数方程很容易用来求解圆的圆周长。
由圆的参数方程可以得出，圆周长L为2πr。
其次，圆内接矩形的面积也可以通过参数方程求得，其面积为2πr2。
另外，圆的参数方程也可以用来求解饼图中各个扇形所占比例。
另外，圆的参数方程还可以用来求解圆的余弦定理。
如果已知圆心、半径和任意一点，就可以用参数方程求出符合要求的点，即可求出各边长与各角度，而余弦定理就是以此为基础求解圆内角度和长度之间关系的定理。
总之，圆的参数方程是圆形问题的重要方程式，可以用来求解几何中许多圆形概念和问题，尤其是求解面积和圆周长等问题。
它的余弦定理也是几何中应用最广泛的定理之一。
所以，圆的参数方程公式在学习几何中非常重要，有助于更好地理解圆的特性。
(完整版)圆参数方程及应用
圆的参数方程及应用关于圆的一般方程 (x a)2 ( y b)2R 2 来说，圆的方程还有此外一种表达x a Rcos 形式( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达y b Rsin形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。
【解】圆 x 2y 2 1的参数方程为：x cos 。
y sin则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos3sin 2= 1 cos2sin 2 31cos22 sin 2 cos2= 2 2 sin(22 2k3 （k ∈Z ）时， x 22xy 3 y 2的最大值为： 22 ；k8时， x 2 2xy3y 2 的最小值为 22 。
【评论】解某些与圆的方程相关的条件制问y题，可应用圆的参数方程转变为三角函数问题的) ，则4（ k ∈Z ）8方法解决。
B二、求轨迹OAxC例 2 在圆 x 2y 24 上有定点 A （2，0），及图 1两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向摆列，∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。
3，得∠BOC= 2 4），则 B(2cos θ,2sin【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2))，由重心坐标公式并化简，得：3 3x 22)cos(5，知 0≤x＜ 1，333，由y2sin()33333消去θ得：( x2) 2y24（0≤x＜1＝。
39【评论】用圆的几何性质，∠ BOC=2∠BAC=120 °，再以∠ABO= θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限制。
三、求范围例 3 已知点 P（x，y）是圆x2( y 1)21上随意一点，欲使不等式x+y+c≥0 恒建立，求 c 的取值范围。
圆的标准参数方程
圆的标准参数方程圆是几何中常见的图形之一，它由平面上到定点的距离相等的点的集合组成。
圆的参数方程是描述圆的一种数学表示方法，通过参数方程可以方便地描述圆的位置、形状和大小。
本文将介绍圆的标准参数方程，并对其相关概念进行详细解释。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上到定点距离相等的点的集合。
这个定点叫做圆心，到圆心距离等于半径的点构成圆的边界。
圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，直径的长度是圆的半径的两倍。
圆的周长是圆的边界的长度，圆的面积是圆内部的所有点构成的面积。
接下来，我们来介绍圆的标准参数方程。
圆的标准参数方程是由参数方程表示的圆的方程。
设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准参数方程可以表示为：x = h + r cos(t)。
y = k + r sin(t)。
其中，t为参数，x和y分别为圆上一点的坐标。
从这个参数方程可以看出，当参数t在0到2π范围内变化时，就可以得到圆上的所有点的坐标。
圆的标准参数方程可以方便地描述圆的位置、形状和大小。
通过改变参数t的取值范围和步长，可以得到不同的圆的部分，比如弧、半圆等。
这对于计算机图形学和物理模拟等领域有着重要的应用价值。
此外，圆的标准参数方程还可以与其他图形的参数方程进行比较和分析。
比如，可以通过参数方程求解圆与直线、圆与圆的交点等问题，这对于解决许多几何问题具有重要意义。
在实际应用中，圆的标准参数方程也可以用来描述圆的运动轨迹。
比如，当圆心坐标(h, k)和半径r随时间变化时，可以得到圆在平面上的运动轨迹。
这对于描述天体运动、机械运动等问题有着广泛的应用。
综上所述，圆的标准参数方程是描述圆的一种重要方法，它可以方便地描述圆的位置、形状和大小，具有重要的理论和应用价值。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解圆的参数方程，进一步掌握相关知识，为进一步的学习和研究打下基础。
圆的参数方程的参数范围
圆的参数方程的参数范围引言圆是数学中的一个基本几何概念，也是物理学和工程学中常见的几何形状。
在平面几何中，圆可以由一个点（圆心）和一个长度（半径）来确定。
传统的表示方法是圆的一般方程，但圆的参数方程提供了一种更具灵活性和直观性的表示方式。
本文将探讨圆的参数方程中参数的范围，分析参数的物理意义以及应用场景。
圆的参数方程圆的参数方程是由参数方程的思想应用在圆的表示上得到的。
一般来说，参数方程是通过引入一个或多个参数来表示一个几何对象的方式。
对于圆来说，我们可以使用两个参数来表示任意点离圆心的距离和与水平轴的夹角。
以坐标系的原点为圆心，半径为r的圆可以用参数方程表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，x和y是圆上任意一点的坐标，t是参数，r是圆的半径。
根据参数t的取值范围，我们可以探讨圆的参数方程的参数范围。
参数范围的物理意义圆的参数方程中的参数t可以理解为一个旋转角度，取值范围在0到2π之间。
在这个范围内，参数t对应了圆的一周。
当t取值为0时，对应圆的最右边一个点；当t取值为π/2时，对应圆的最上边一个点；当t取值为π时，对应圆的最左边一个点；当t取值为3π/2时，对应圆的最下边一个点。
通过改变参数t的取值，我们可以遍历整个圆的周长。
参数范围与圆的图形性质圆的参数方程中，参数t的取值范围不仅影响了圆的周长，还决定了圆的形状。
当参数t的取值范围在0到2π之间时，圆的参数方程所表示的图形是一个完整的圆，包括圆的内部和边界。
当参数t的取值范围在0到π之间时，圆的参数方程所表示的图形是一个上半圆，只包括圆的边界和上半部分。
当参数t的取值范围在π到2π之间时，圆的参数方程所表示的图形是一个下半圆，只包括圆的边界和下半部分。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到不同的圆的部分。
这在一些需要限定圆的范围的应用中非常有用，例如在计算机图形学中进行圆弧的绘制。
圆的参数方程的应用圆的参数方程具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达
形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）
，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值
例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩。
则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++
=
1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4π
θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8
k π
θπ=-（k ∈Z ）
时，2223x xy y ++的最小值为22-。
【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹
例2 在圆2
2
4x y +=上有定点A （2，0），及
两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，
∠BAC=
3
π
，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
【解】由∠BAC=3
π
，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin
θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π
))，由重心坐标公式并化简，得：
C
x
y O
A
B 图1
22cos()333
2sin()
33x y πθπθ⎧=++⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， 消去θ得：2224
()39
x y -+= （0≤x ＜1＝。
【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
三、求范围
例3 已知点P （x ，y ）是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c 的取值范围。
【解】圆22(1)1x y +-=的参数方程为：cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩，则有：x+y=1+sin θ+cos
θ=1+2sin()4πθ+，－（x+y ）=－1－2sin()4π
θ+，－（x+y ）的最大值为：－
1+2，由于 x+y+c ≥0，所以，c ≥－（x+y ）恒成立，即c ≥－1+2。
【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。
四、求斜率 例4 求函数sin 1
()cos 2
f θθθ-=-的最大值和最小
值。
【解】函数sin 1
()cos 2f θθθ-=-的值，是以原点
为圆心的单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（2，1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求
得最大值为：4
3
，最小值为：0。
O
x
y
(2,1)
图2。