直线与圆的方程的应用 PPT
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高中数学选择性必修一(人教版)《2.5.1 第二课时 直线与圆位置关系的应用》课件
题型三 与圆有关的最值问题 [学透用活]
[典例 3] 已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
(1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设xy＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此 时|2kk2－＋01|＝ 3，解得k＝± 3(如图1)． 所以xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
即 S＝2 PM 2－4.
因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可， 即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得 PM 的值最小． 所以(PM)min＝|3＋45＋8|＝3， 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 PM2－4＝2 5.
谢 谢观看
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y
＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时
|2－0＋b|＝ 2
3，解得 b＝－2± 6(如图 2)．
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
[方法技巧] 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如 μ＝xy－－ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最 值问题．
[方法技巧] 解决直线与圆的实际应用题的关键
利用直线与圆的有关知识解决实际问题的关键是把它转化 为数学问题，通过建立平面直角坐标系求圆的方程，进而使问 题得以解决．
题型二 用坐标法证明问题 [学透用活]
[典例 2] 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 AB⊥CD，E 为垂足．利用坐 标法证明 E 是 CD 的中点．
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
提示 要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何 元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来 解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义， 得到几何结论． 2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？ 提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面 直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素． (2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影 响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所 需的几何元素坐标或方程尽量简单．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
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圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
直线与圆的位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
线的距离 d，通过比较 d 与 r 的大小，判断直线与圆的位置关系. 若相
交，则可利用勾股定理求得弦长.
例 2 过点 P(2 ，
1) 作圆 O : x 2 y 2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.
解法 1：设切线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y 1 k ( x 2) ，
设直线 l 的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0 ，
由点到直线的距离公式，得
解得
2
2
.故选 C.
k
4
4
| k 2k |
k2 1
1 ，即 k 2
1
，
8
1 1
D. ,
8 8
2 2
3. 直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB ________.
2. 已知直线 l 过点 2,0 ，当直线 l 与圆 x 2 y 2 2 x 有两个交点时，其斜率
k 的取值范围是( C )
A. (2 2, 2 2)
B. ( 2, 2)
2 2
,
C.
4
4
解析：易知圆心坐标是 1,0 ，半径是 1，直线 l 的斜率存在.
3
( x 1) ，即 x 3 y 4 0 .
3
综上，所求切线方程为 x 3 y 4 0 或 x 3 y 4 0 .
3
.
3
（2）设圆心 O 到直线 AC ，BD 的距离分别为 d1 ，d2 d1 ，d2 0 ，则 d12 d 22 | OM |2 3 .
所以，所求切线 l 的方程为 y 1 ，或 4x 3 y 5 0 .
交，则可利用勾股定理求得弦长.
例 2 过点 P(2 ，
1) 作圆 O : x 2 y 2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.
解法 1：设切线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y 1 k ( x 2) ，
设直线 l 的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0 ，
由点到直线的距离公式，得
解得
2
2
.故选 C.
k
4
4
| k 2k |
k2 1
1 ，即 k 2
1
，
8
1 1
D. ,
8 8
2 2
3. 直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB ________.
2. 已知直线 l 过点 2,0 ，当直线 l 与圆 x 2 y 2 2 x 有两个交点时，其斜率
k 的取值范围是( C )
A. (2 2, 2 2)
B. ( 2, 2)
2 2
,
C.
4
4
解析：易知圆心坐标是 1,0 ，半径是 1，直线 l 的斜率存在.
3
( x 1) ，即 x 3 y 4 0 .
3
综上，所求切线方程为 x 3 y 4 0 或 x 3 y 4 0 .
3
.
3
（2）设圆心 O 到直线 AC ，BD 的距离分别为 d1 ，d2 d1 ，d2 0 ，则 d12 d 22 | OM |2 3 .
所以，所求切线 l 的方程为 y 1 ，或 4x 3 y 5 0 .
人教A版高中数学必修二课件：圆的方程的综合应用 (共49张PPT)
点A29, 0．
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
《直线和圆方程》课件
《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第四章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
基 础 梳 理
练习 1：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 表示圆心在__________，半 径为________的圆．
答案：(a，b)
2
r
栏 目 链 接
练 习 2 ： y ＝ 1－x 表 示 圆 心 在 __________ ， 半 径 为 ________的半圆．
答案：(0,0)
1
练习 3：y＝b－ r2－x－a2表示圆心在__________，半径 为________的下半圆．
)
栏 目 链 接
解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线 x＋y＝0 上， 故关于直线 x＋y＝0 对称． 答案：D
自 测 自 评
2．若直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝m 相切，则 m 为( A．0 或 2 B．2 C. 2 D．无解
栏 目 链 接
)
|m| 解析：圆心(0,0)到直线 x＋y＋m＝0 的距离 d＝ 2 ＝ m，m＝2. 答案：B
自 测 自 评
3 3．一直线经过点 P－3，－2被圆 x2＋y2＝25 截得
的弦长为 8，求此弦所在的直线方程．
3 解析：当斜率存在时，设直线方程为 y＋ ＝k(x＋3) 2 3 即 kx－y＋3k－ ＝0， 2 由已知得，弦心距|OM|＝ 52－42＝3. 3 |k · 0－0＋3k－ | 2 3 ∴ ＝3，解得 k＝－ . 2 4 k ＋1
答案：(a，b)
r
思 考 应 用
用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？
解析： 用坐标方法解决平面几何问题的基本思
栏 目 链 接
想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系
的主要工具就是平面直角坐标系．