导学设计18直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程的应用
直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点【答案】圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．若P地居民选择在A地购买此商品，则，整理得．即点P在圆的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）.【答案】【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以解得，.所以圆的方程为把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点【答案】直线CP过定点（0，―r）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．令C（x0，y0），则D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直线CP的方程为．即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D 交于E、F，求证：EF平分CD．证明：令圆O方程为x2+y2=1．①EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，将H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】【解析】如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，∴k AQ≤k QM≤k QB．又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即．∴的最大值为，最小值为．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．答案与解析【答案】【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为∴r2=2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为，∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2+1≥1，当且仅当a=b时取等号，此时．由，得或，∴r2=2．故所求的圆的方程为(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．【答案】3【解析】由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，设的坐标分别为，，由可得：===0解得：析【答案与解析】1．【答案】B【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．2．【答案】B【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）故选B．3．【答案】D【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值是．故选D．4．【答案】C【解析】结合圆的几何性质，得圆心C到直线的距离d满足1＜d＜3．所以．解得－17＜k＜－7或3＜k＜13．故选C．5．【答案】B【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为．6．【答案】B【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．7．【答案】B【解析】设点（x，y）与圆C1的圆心（―1，1）关于直线x―y―1=0对称，则，解得，从而可知圆C2的圆心为（2，―2），又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x―2)2+(y+2)2=1．8．【答案】B【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．9．【答案】(x+1)2+y2=2【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2．10．【答案】2x―y=0【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．11．【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．12．【答案】―1 x2+(y―1)2=1【解析】由题可知，又k1k PQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．13．【答案】x2+y2―6x+2y―6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x―6+(x2+y2―4y―6)=0（≠―1），即，∴圆心坐标为．又∵圆心在直线x―y―4=0上，∴，即，∴所求圆的方程为x2+y2―6x+2y―6=0．14．【答案】（1） h后观测站受到影响，影响时间是 (2) M城 h后受到影响, 影响时间是【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则．即，故．∴，故÷90≈，即约 h后观测站受到影响，影响时间是（h）.（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟（h）受到影响，故M城 h后受到影响，影响的时间是 h．15．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为，最小值为【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为．。
直线与圆的方程的应用教学设计
直线与圆的方程的应用教学设计引言在中学数学中，直线与圆的方程是一个重要的知识点。
在实际生活中，我们经常会遇到直线与圆的方程的应用问题，例如确定一条直线与一个圆的交点、求两个圆的交点等。
本文将介绍一种应用教学设计，帮助学生理解直线与圆的方程，并能够灵活运用于实际问题中。
教学目标通过本教学设计，学生将能够： - 掌握直线与圆的方程的基本概念； - 理解直线与圆的方程的应用背景和实际意义； - 能够运用直线与圆的方程解决简单的实际问题。
教学内容1.直线与圆的方程的基本概念–直线的方程：一般式、斜截式、点斜式等；–圆的方程：标准式、一般式等；2.直线与圆的方程的应用背景和实际意义–实际问题的引入，例如求两条直线的交点、求直线与圆的交点等；–直线与圆的方程在实际问题中的应用，例如求圆的切线等；3.直线与圆的方程的解题方法与实例演练–通过解题演示，让学生理解和掌握直线与圆的方程的解题方法；–通过实例演练，让学生灵活运用直线与圆的方程解决实际问题。
教学步骤1.导入引导–展示一个实际问题，例如已知直线和圆的方程，求直线与圆的交点；–引导学生思考如何解决这个问题，激发学生学习的兴趣。
2.基本概念讲解–介绍直线和圆的方程的基本概念，并解释不同形式的方程的特点；–演示如何根据已知条件和方程求解未知量。
3.应用背景与实际意义–引导学生思考直线与圆的方程在实际问题中的应用背景和实际意义；–举例说明直线与圆的方程在几何图形的创作、建筑设计等方面的应用。
4.解题方法与实例演练–分步讲解解题方法，例如直线与圆的方程联立求交点的步骤；–通过实例演练，让学生跟随教师一起解题，巩固所学知识。
5.练习与巩固–给学生布置一些相关练习题，让学生独立完成；–教师巡回指导并批改学生的答案，让学生对所学知识进行巩固。
6.总结与拓展–对本节课所学内容进行总结，强调直线与圆的方程的重要性；–拓展引导，让学生思考其他几何图形的方程与实际应用。
教学评估1.课堂互动评价–教师观察学生的思考情况，评估学生对直线与圆的方程的理解程度；–提问学生解题思路，鼓励学生表达自己的观点和解题方法。
直线与圆的方程的应用 课件
命题方向1 ⇨直线方程的实际应用
典例 1 如图所示，有一块五边形的铁皮 ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝ 80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边 分别落在 BC 和 CD 上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
[解析] 分别以 AB，DE 所在的直线为 x 轴、y 轴建立坐标系，以 1 cm 为 1 个单位长度(如图所示)．
∵3m0＋2n0＝1，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)·[80－20(1－3m0)]＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)． 故当 m＝5 时 S 有最大值，这时||EPAP||＝15． 答：使矩形的一个顶点 P 在 AE 上，且||EPAP||＝15时，沿 PQ，PR 剪开，可使截 得的矩形铁皮面积最大．
2．与圆有关的最值问题 ①点 P(x，y)是⊙C 上的动点，Q(a，b)是定点，求yx，yx－－ba，x2＋y2，(x－a)2 ＋(y－b)2,2x＋y 的取值范围时，利用代数表达式的几何意义，数形结合求解． ②点 P(x，y)是⊙C 上的动点，l 是直线，Q 是直线 l 上的动点，求|PQ|或 P 到 l 的距离的最值时，利用数形结合法求解． ③⊙C 经过定点 A，圆心 C 在直线 l 上运动，求半径最小的圆或求经过两定 点 A、B 的最小的圆，用数形结合法讨论求解． ④P 在⊙C 内，求经过点 P 的直线与圆相交最短弦长，用数形结合法求解． ⑤P、Q 分别在⊙C1 与⊙C2 上运动，求|PQ|的最值，用数形结合讨论求解．
『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．解析法的关键是建系，合理适 当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.3 直线与圆的方程的应用一、知识点回顾与归纳直线与圆的方程的应用主要是两方面：一是直线与圆的方程的实际应用；二是用坐标法解决平面几何问题。
1、直线与圆的方程的实际应用用直线和圆的方程解决实际生活问题的步骤（1）建立适当的直角坐标系，求出直线和圆的方程，把一个实际问题转化为数学问题；（2）解决这个数学问题；（3）解释它的实际意义，回归实际问题。
2、坐标法解决几何问题坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。
这就是用坐标法解决平面几何问题的：“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
二、典型例题讲解与方法总结例1、已知一个圆形的公园，其半径长为2km，有两个村庄A和B，其中村庄A在公园的正东方向4km处，村庄B在公园的西北方向处（A，B相对公园的位置都是指相对公园的中心位置，现在要修一条连接村庄A和B的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A，B沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点，试问两种方案哪种更好？例2、已知圆内接四边形的两条对角线互相垂直，求证：经过对角线交点作任意一边的垂线必平分这一条边的对边。
例3、如图，圆O上任取一点M，以点M为圆心的圆与圆O的直径AB相切于点D，圆M与圆O相交于,E F，求证：EF平分MD。
例4、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、知识点回顾与归纳1、空间直角坐标系的概念从空间中某一定点O 引三条互相垂直的数轴，通常用,,x y z 表示，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，统称为坐标轴，这三条坐标轴中的每两条都确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面。
直线与圆的方程的应用-PPT精选文档14页
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
10 2 b 2 r 2 源自02 (4 b)2
.......... r2
...解得 b
10 .5, r 2
14 .52
所以，圆的方程是： x 2 ( y 10 .5) 2 14 .52
把（5， y0）代入方程得：52 （ y0 10 .5）2 14 .52 因为 0 y0 4....所以 y0 3.1.....因为3 3.1 答 : 该船可以通过拱桥。
其中 335.745)
解: 如图A， 所 B 以 在直 x轴线 ， O为 所 P 以在直 y轴线 建立直角坐标系
则A, B, P, P2的坐标分别为（10,0）,(10,0),(0,4),(2, y2) 设圆弧所在的圆的方为程：x2 (y b)2 r2.代入B, P两点 坐标得：
02 （4b）2 r2 102 (0b)2 r2 解得：b 10.5,r2 14.52 所以，圆的方程x是2 (y 10.5)2 14.52
证明：
如图，以A四 BC 边 互 D形 相垂直的 C对 ,ABD 所 角在 线 直线分x轴 别， 为 y轴，建立直.设 角坐标系
A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
分别作O1M , O1N ,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为 M , N , E ,则它们分别是弦 AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
.
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步: 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题;
教学设计：直线与圆的方程的应用
４.２.３直线与圆的方程的应用（一）
教学要求：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 教学重点：直线的知识以及圆的知识
教学难点：用坐标法解决平面几何.
教学过程：
一、复习准备：
(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么?
(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?
(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?
(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?
(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?
二、讲授新课：
1．标准方程问题
例1. 求圆()()
22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离
2.轨迹问题
充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式。
例2.求过点A(4,0)作直线交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程
3.弦问题
主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题。
一般是构成直角三角形来计算
例3. 直线经过点，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为，求的方程。
练习：求圆922=+y x 与圆044222=---+y x y x 的公共弦的长。
4.对称问题
圆关于点对称，圆关于圆对称
例4.求圆()()22
114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 练习：求圆
()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 作业。
直线与圆的方程的应用教学设计
直线与圆的方程的应用教学设计教学目标：1.知识目标：掌握直线与圆的方程的应用，能够正确推导出直线与圆的交点坐标和直线是否与圆相交的判断。
2.能力目标：培养学生运用直线与圆的方程解决实际问题的能力。
3.情感目标：培养学生合作探究、独立思考的态度和习惯。
教学重点：理解直线与圆交点坐标的推导过程，掌握对应方法与技巧。
教学难点：利用直线与圆的方程解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）通过展示一个例子，引出问题：“给定一个圆和一条直线，如何确定它们的交点的坐标？”二、知识讲解（15分钟）1.提要求：教师依次向学生提问，引导学生思考求解交点坐标的问题。
-如何找到直线与圆的交点？-如何确定直线与圆是否相交？2.教师讲解：教师介绍直线与圆的方程及其应用，并讲解求解直线与圆交点坐标的步骤。
- 直线方程：y = kx + b-圆方程：(x-a)²+(y-b)²=r²-求解交点坐标：联立直线方程和圆方程，解方程组得到交点坐标。
-判断直线与圆是否相交：将直线方程代入圆方程，判断是否有实数解，若有则相交，若无则不相交。
3.导入问题解决：教师给出具体的例题，引导学生利用所学知识求解交点坐标。
三、示范演练（20分钟）1.教师示范演练：教师选取一道典型的例题，结合黑板和投影仪，演示如何通过解方程组求解交点坐标。
2.学生模仿演练：学生在纸上模仿教师的示范演练，逐步求解其他例题。
教师及时指导和纠正。
四、合作探究（20分钟）1.学生小组活动：将学生分为小组，每个小组选择一道直线与圆的问题，并自主解决。
学生之间可以互相讨论、合作，但每个学生需独立写出解题过程和答案。
2.小组汇报：每个小组派一名代表进行汇报，其他小组可以提问和讨论。
教师在汇报过程中及时指导、点评和纠正，引导学生探讨和总结在实际问题中应用直线与圆方程的方法。
五、拓展延伸（15分钟）1.学生自主拓展：学生自选一个与直线与圆相关的问题，并通过求解方程组来解决问题。
直线与圆的方程的应用教案
直线与圆的方程的应用教案教案主题：直线与圆的方程的应用教案目标：1.了解直线和圆的方程的基本形式及意义。
2.掌握直线与圆的方程的应用，包括求直线与圆的交点、条件判断等。
3.能够运用直线与圆的方程解决实际问题。
教学内容：1.直线方程的基本形式与意义a.直线方程的一般形式：Ax+By+C=0b. 直线方程的斜截式：y = kx + b，斜率k和截距b的意义c.直线方程的点斜式：y-y₁=k(x-x₁)，点斜式与斜截式的转换2.圆的方程的基本形式与意义a.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心坐标为(a,b)、半径为rb.圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，圆心坐标为(-D/2,-E/2)、半径为√(D²+E²-4F)/23.直线与圆的交点的求解a.直线与圆联立方程求解：将直线方程代入圆的方程，得到二次方程，求解交点坐标。
4.条件判断a.判断直线和圆的关系：联立直线方程和圆的方程，判断二次方程的解情况。
b.判断直线是否与圆相切、相交或相离。
5.应用实例分析与解决a.实际问题的建模：将实际问题转化为直线与圆的方程，并解决问题。
b.计算过程的解释：解释每一步的计算过程，以增强学生对于问题求解思路的理解。
教学步骤：导入与引导：1.出示一个直线和一个圆的图形，询问学生如何表示直线和圆的方程。
2.引导学生回顾直线方程的三种形式和圆的两种形式，并讲解各个形式的意义。
知识讲解与归纳：3.讲解直线方程的一般形式、斜截式和点斜式的含义，并分别以实例进行演示。
4.讲解圆的标准方程和一般方程的含义，并以实例进行演示。
知识运用与练习：5.分组进行讨论，给出一个直线方程和一个圆的方程，要求求解直线与圆的交点。
6.学生自主运用直线与圆的方程进行计算，掌握求解直线与圆交点的方法。
7.组织学生进行条件判断练习，判断直线与圆的关系（相切、相交、相离）。
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山西大学附中高二年级（上）数学导学设计编号18
直线与圆的方程的应用
【学习目标】理解直线与圆的位置关系的几何性质；利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系．
【学习重点】会建立适当的平面直角坐标系解决直线与圆的问题.
【学习难点】会建立适当的平面直角坐标系解决直线与圆的问题.
【学习过程】
一.导学
用坐标法解决具体问题.
用坐标法解决实际问题（或几何问题）的步骤：
第一步：建立适当的，用坐标和方程表示问题中的要素（或几何元素），将实际问题（或平面几何问题）转化为代数问题；
第二步：通过代数，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论（或几何结论）．
补充：某圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高4m，建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求靠
）。
边的一根支柱的高度（精确到0.1m，21 4.58
二．导练
1. 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑.
(1)建立适当的坐标系，写出圆弧的方程;
(2)求支柱A2B2的高度(精确到0.01米).
2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
3.如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200cm，B 轮的直径为120cm，C轮的直径为250cm，且∠A＝45°．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离(精确到1cm)．
三.当堂检测：
1.某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上（C 为垂足），且距C 分别为2,(0)a a a >的点A 和B ，进攻队员沿直线AD 向安全线跑动，防守队员沿直线沿直线方向向前拦截，设AD 和BM 交于M ，若在M 点，防守队员比进攻队员先到或同时到，则进攻队员失败，已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度不同，问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜？
2.有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。
求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货
4.求通过直线230x y -+=与圆222410x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方
程。
5.已知,x y 是实数，且2246120x y x y +--+=，求下列各式的最大值和最小值：
⑴x y -；⑵
y x ；⑶22x y +。