圆与方程及应用(1)
圆的参数方程及其应用
在计算机图形学中的应用
渲染效果
圆的参数方程在计算机图形学中 常用于制作各种渲染效果，如光 照、阴影、反射等。通过参数的 调整，可以创建出逼真的视觉效
果。
动画制作
在动画制作中，圆的参数方程可 以用来描述物体的运动轨迹，例 如旋转、缩放等。通过参数的变 化，可以轻松地实现各种动态效
果。
游戏开发
在游戏开发中，圆的参数方程常 用于物理引擎和碰撞检测。例如， 物体在碰撞时会产生圆形冲击波， 通过参数方程可以精确地描述这
同样地，也可以将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数$theta$，可以得到 $x^2 + y^2 = r^2$。
参数方程的几何意义
参数方程中，$r$表示圆上点到圆心的 距离，即半径。$theta$表示圆心角， 即从圆心出发沿逆时针方向旋转的角 度。
通过参数方程，可以方便地描述圆上 任意一点的坐标和位置关系。例如， 当$theta = frac{pi}{2}$时，点位于 圆的最高点；当$theta = pi$时，点 位于圆的最低点。
05
结论
参数方程在圆的应用中的重要性
参数方程在描述圆的位置和形状时具有直观性和简洁性，能够清晰地表达圆的参数关系，方便数学和 物理问题的解决。
参数方程在解决与圆相关的实际问题时具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域中， 参数方程可以帮助我们更好地理解和分析问题。
对未来研究的展望
随着数学和物理学的发展，参数方程 在圆的应用中将会得到更深入的研究 和应用，例如在解决更复杂的几何和 物理问题时，参数方程可能会发挥更 大的作用。
种效果。
在机器人路径规划中的应用
1 2 3
导航系统
机器人在移动时需要精确地计算路径，圆的参数 方程可以用来描述机器人周围的环境，帮助机器 人规划出最优路径。
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆的一般方程及其应用
圆的一般方程及其应用圆是数学中的常见几何形状之一，具有很多重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍圆的一般方程及其应用，包括圆的标准方程、参数方程以及极坐标方程，并探讨了圆的几何性质和应用实例。
一、圆的一般方程在平面几何中，圆是由到圆心距离固定的点构成的轨迹。
我们可以通过一些数学表达式来表示圆的位置和尺寸。
常见的圆的一般方程有以下几种形式：1. 圆的标准方程设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准方程可表示为：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2其中，(x, y)为圆上任意一点的坐标。
通过标准方程，我们可以得到圆的位置和半径信息，进而进行相关的计算和分析。
2. 圆的参数方程圆的参数方程是用参数表示圆上的点。
对于圆的参数方程，我们可以采用正弦和余弦函数来表示圆的坐标。
以圆的圆心为原点，半径为r，参数θ为自变量，圆的参数方程为：x = h + rcosθy = k + rsinθ其中，(h, k)为圆心坐标。
3. 圆的极坐标方程极坐标方程是利用极坐标系中的角度θ和半径r表示圆上的点。
对于圆的极坐标方程，我们有：r = R其中，R为圆的半径。
二、圆的应用圆作为一种重要的几何形状，广泛应用于日常生活和各个领域。
以下是圆在几个具体应用领域中的应用实例：1. 圆的几何性质圆的几何性质研究了圆的直径、弦、切线等与圆相关的线段和直线的性质。
例如，圆的直径是通过圆心并且两端处于圆上的线段，它恰好是圆的两个切点的连线。
圆的弦是圆上两点连线，它的两个端点都在圆上。
这些几何性质不仅在数学中有重要作用，也在物理、工程和建筑等领域中广泛应用。
2. 圆的运动学应用在运动学中，圆的运动具有特殊的性质。
以圆心为原点建立坐标系，圆的运动可以用极坐标来描述。
通过分析圆的半径、角速度和时间的关系，我们可以得到物体的角位移、角速度和角加速度等运动参数。
3. 圆的电磁学应用在电磁学中，电场和磁场具有圆周对称性。
例如，圆形导线中通过电流时会产生环绕导线的磁场，其磁感应强度的大小和方向都与离导线的距离有关，符合圆周对称性。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。
圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。
本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。
我们来了解一下常见的圆系方程。
在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。
其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。
通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。
一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。
一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。
在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。
首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。
例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。
圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
圆系方程在物理学中也有重要的应用。
例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。
当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。
通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。
圆系方程还在工程领域得到广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。
通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。
在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。
圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
(完整版)圆参数方程及应用
圆的参数方程及应用关于圆的一般方程 (x a)2 ( y b)2R 2 来说，圆的方程还有此外一种表达x a Rcos 形式( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达y b Rsin形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。
【解】圆 x 2y 2 1的参数方程为：x cos 。
y sin则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos3sin 2= 1 cos2sin 2 31cos22 sin 2 cos2= 2 2 sin(22 2k3 （k ∈Z ）时， x 22xy 3 y 2的最大值为： 22 ；k8时， x 2 2xy3y 2 的最小值为 22 。
【评论】解某些与圆的方程相关的条件制问y题，可应用圆的参数方程转变为三角函数问题的) ，则4（ k ∈Z ）8方法解决。
B二、求轨迹OAxC例 2 在圆 x 2y 24 上有定点 A （2，0），及图 1两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向摆列，∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。
3，得∠BOC= 2 4），则 B(2cos θ,2sin【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2))，由重心坐标公式并化简，得：3 3x 22)cos(5，知 0≤x＜ 1，333，由y2sin()33333消去θ得：( x2) 2y24（0≤x＜1＝。
39【评论】用圆的几何性质，∠ BOC=2∠BAC=120 °，再以∠ABO= θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限制。
三、求范围例 3 已知点 P（x，y）是圆x2( y 1)21上随意一点，欲使不等式x+y+c≥0 恒建立，求 c 的取值范围。
解析几何专题2圆的方程及应用
《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。
+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。
+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。
-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。
圆的参数方程及其应用
圆的参数方程及其应用圆形是初中数学中较为基础的一个几何图形，通常描述一个圆形需要知道它的圆心和半径。
而对于一些高等数学问题，我们需要更深入的了解圆的性质和参数方程，以便能更好地解决问题。
圆的参数方程在直角坐标系中描述一个圆需要知道其圆心坐标$(x_0,y_0)$以及半径$r$。
在直角坐标系中我们通常使用$(x,y)$表示坐标。
那么标准的圆形方程为：$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$将式子右侧的$r^2$移动到左侧，拆开开平方得到：$ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = r $这条式子表明，如果我们知道了圆心和半径，我们就可以求出圆上任意一点离圆心的距离$r$。
而数学中还有一种描述距离的方式——参数方程。
参数方程运用较广泛，对于一些求解固定距离的问题，我们通常使用参数方程来描述几何图形的位置。
对于圆形而言，我们可以使用下面的参数方程来描述圆上任意一点的位置：$ x = x_0 + r\cos{t} $$ y = y_0 + r\sin{t} $其中$t$称为参数，$x_0$和$y_0$是圆心的坐标，$r$是圆的半径。
这两个式子利用三角函数，将圆形的几何属性与参数相关联起来。
它与坐标式等价，意思就是说，我们可以设置各种不同的$t$值来得到圆上不同位置的坐标。
使用这种参数方程描述圆，虽然看似比较复杂，但实际上它具有较高的灵活性和泛用性。
例如，一些与圆相关的物理问题，如圆上的匀加速度运动，都可以用参数方程来解决。
圆的应用参数方程描述的圆不仅仅是一些抽象的数学概念，它在现实生活中也有着广泛的应用：1. 圆形运动轨迹在物理学中，我们通常将圆形运动看做是一种匀速运动。
而当圆形在运动的过程中，我们可以使用参数方程来描述它的轨迹。
例如，一些高速旋转的物体，如飞盘、轮胎等，就可以用该方程来描述其运动。
2. 圆上均匀分布的点当需要在圆上均匀随机取点时，参数方程可以用来确定如何选取点。
圆方程的知识点总结
圆方程的知识点总结圆方程的一般形式是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。
在本文中，我们将总结圆方程的知识点，包括圆的标准方程、圆心的坐标、半径的计算、以及圆方程的应用和相关问题。
1. 圆的标准方程圆的标准方程是(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个方程描述了平面上的所有满足给定半径和圆心的点。
通过这个方程，我们可以很容易地确定圆的位置和形状。
2. 圆心的坐标圆心的坐标(h, k)可以通过观察图形或给定的条件来确定。
在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆心的坐标。
3. 半径的计算圆的半径r可以通过观察图形或给定的条件来确定。
在某些情况下，我们可以直接读取出来；在其他情况下，我们需要进行计算或使用相关的定理来确定圆的半径。
4. 圆方程的应用圆方程在几何学和代数学中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以使用圆方程来描述和分析圆形的几何性质，比如圆心的位置、半径的长度、以及与其他几何图形的关系。
在代数学中，我们可以使用圆方程来解决与圆相关的代数问题，比如求解圆与直线或另一个圆的交点、进行坐标变换等。
5. 相关问题与圆方程相关的问题有很多种，包括但不限于：求解给定圆的标准方程；确定给定圆心和半径的圆的方程；利用圆方程分析几何问题；求解圆与其他几何图形的交点；求解圆的参数方程等。
总而言之，圆方程是描述圆形的重要数学工具，在几何学和代数学中有着广泛的应用。
通过掌握圆方程的知识点，我们可以更好地理解和分析与圆相关的问题，掌握解题的方法和技巧，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
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第五讲 圆与方程及应用
一、知识链接
1、圆的定义，圆心，半径的概念
2、圆的方程的标准式，一般式
3、直线与圆的位置关系及判断与应用
二、基本问题
1．方程05242
2=+-++m y mx y x 表示圆的条件是 （ ）
A ．14
1
<<m B ．14
1><
m m 或 C ．41<m
D ．1>m
2．方程03222
2
2
=++-++a a ay ax y x 表示的图形是半径为r （0>r ）的圆，则该圆圆心在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．若方程2
2
2
2
0(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称， 必有 （ ） A ．E F = B ．D F = C ．D E = D ．,,D E F 两两不相等
4．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是 （ ）
A ．－1<a <1
B ． 0<a <1
C ．–1<a <
5
1
D ．－
5
1
<a <1
5．圆2
2220x y x y +-+=的周长是
（ ）
A ．
B ．2π
C
D ．4π
6．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2
－6x =0的连心线方程为 （ ）
A ．x +y +3=0
B ．2x －y －5=0
C ．3x －y －9=0
D ．4x －3y +7=0
7．如果圆x 2+y 2
+D x +E y +F=0与x 轴相切于原点，则
（ ）
A ．E ≠0，D=F=0
B ．D ≠0，E ≠0，F=0
C ．
D ≠0，E=F=0 D ．F ≠0，D=E=0
8．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程为
（ ）
A ．(x －3)2+(y +1)2=4
B ．(x －1)2+(y －1)2
=4
C ．(x +3)2+(y －1)2=4
D ．(x +1)2+(y +1)2
=4
9．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是
（ ）
A ．一条直线及一个圆
B ．两个点
C ．一条射线及一个圆
D ．两条射线及一个圆
10．要使022=++++F Ey Dx y x 与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 （ ）
A ．0,0422>>-+F F E D 且
B ．0,0><F D
C ．0,0≠≠F
D D ．0<F
三、能力提升
1、已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --= 上，求此圆的标准方程．
2、已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△ABC 外接圆的方程．
3、求经过点A(2，－1)，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程．
4、已知圆x 2＋y 2
＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．
四、思考与探索
1、已知圆C :()()25212
2=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈ （1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；
（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．
2、已知圆x 2+y 2
+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．
3、求圆心在直线0x y +=上，且过两圆2
2
210240x y x y +-+-=，2
2
x y +2280x y ++-=交点的圆的方程．
4、已知圆22
:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ． （1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； （2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值； （3）若实数,m n 满足22
-4-14450m n m n ++=,求-3
=+2
n K m 的最大值和最小值．
五、家庭作业
1．已知实数x ，y 满足关系：2
2
24200x y x y +-+-=，则2
2
x y +的最小值 ．
2．已知两圆01422:,10:2
2
22
2
1=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直 线方程_______ ____．
3．过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为 _ _．
4．圆1C ：42
2
=+y x 和2C ：024862
2
=-+-+y x y x 的位置关系是_______ _____．。