圆系方程及其应用
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆系方程-高中数学知识点讲解
圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
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过两点的圆系方程推导
过两点的圆系方程推导
摘要：
一、过两点的圆系方程概述
二、构造法推导过两圆交点的圆系方程
三、圆系方程的应用
正文：
【一】过两点的圆系方程概述
过两点的圆系方程，是一种数学工具，用于描述过两个已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的所有圆。
这个方程可以表示为：(x1*x2)*(y1*y2)[(x1*y2 -
x2*y1)^2] / (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2)。
【二】构造法推导过两圆交点的圆系方程
1.设圆A的方程为x^2 + y^2 - x1^2 - y1^2 + 2gx1 + 2fy1 = 0，圆B 的方程为x^2 + y^2 - x2^2 - y2^2 + 2gx2 + 2fy2 = 0。
2.求出两个圆的公共弦方程，即(x1^2 - x2^2) + (y1^2 - y2^2) - 2g(x1 - x2) - 2f(y1 - y2) = 0。
3.新构造一个圆，其方程为x^2 + y^2 - 2gx - 2fy + (x1^2 + y1^2) * (x2^2 + y2^2) / [(x1 * x2) + (y1 * y2)] = 0。
4.此新构造的圆方程即为过两圆交点的圆系方程。
【三】圆系方程的应用
1.过两已知点A(x1, y1)和B(x2, y2)的圆系方程可以用于描述这两个点确定的圆系，特别是在处理与圆有关的问题时，如圆的切线、法线等。
2.在几何问题中，圆系方程可以帮助我们理解两个相交圆的性质，如交点、公共弦等。
3.圆系方程也可以用于解决一些实际问题，如在物理中，描述物体在圆周运动时的轨迹等。
聚焦直线系、圆系方程的应用
聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1， 此时所求直线方程为：20x y -=； 当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 三、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０ ∵（0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
圆与方程
圆的方程（一）圆的方程1、圆心在原点，半径为r的圆方程为：x2+y2=r2。
2、圆心在(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
3、圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 。
其中待定系数D、E、F，由以下方程组解出：（二）圆方程的应用1、由圆的方程研究圆的自身性质——确定圆心和半径2、点与圆的位置关系：设点P(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2，则点P在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2点P在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2点P在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2<r23、直线与圆的位置关系：设直线Ax+By+C=0和圆(x-a)2+(y-b)2=r21）设圆心(a,b)到直线距离是d，d=r时，相切；d<r时，相割；d>r时，外离2）圆的切线方程：过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是：x0x+y0y=r2。
类比：过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、两圆的位置关系：设⊙O1圆心为O1，半径为r1；⊙O2圆心为O2，半径为r2当 |O1O2|>r1+r2时，两圆外离；当|O1O2|=r1+r2时，两圆外切；当 |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2时，两圆相交；当|O1O2|=|r1-r2|时，两圆内切；当 |O1O2|<|r1-r2|时，两圆内含。
圆的方程圆的标准方程：，其中为圆心，为半径.(1) 如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2) 圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.圆心的三个重要性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
圆系方程及其应用
圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。
圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。
本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。
我们来了解一下常见的圆系方程。
在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。
其中最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。
通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。
一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。
一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。
在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。
首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。
例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。
圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。
圆系方程在物理学中也有重要的应用。
例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。
当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。
通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。
圆系方程还在工程领域得到广泛应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。
通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。
在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。
圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
过两点的圆系方程推导
过两点的圆系方程推导（原创实用版）目录1.圆系方程的概念2.过两点的圆系方程的推导过程3.应用示例正文一、圆系方程的概念圆系方程是指描述两个或多个圆之间关系的数学方程。
在解析几何中，圆系方程是一个重要的研究对象，它可以帮助我们更好地理解和解决圆与圆的位置关系问题。
二、过两点的圆系方程的推导过程假设在平面直角坐标系中，已知两个圆的方程分别为：(x - a1)^2 + (y - b1)^2 = r1^2 和 (x - a2)^2 + (y - b2)^2 = r2^2。
现在我们需要推导一个过这两圆公共点的圆系方程。
1.假设这两个圆有一个公共点 P(x0, y0)，那么可以得到以下两个方程：(x0 - a1)^2 + (y0 - b1)^2 = r1^2(x0 - a2)^2 + (y0 - b2)^2 = r2^22.对上述两个方程进行整理，可以得到：(x0 - a1)^2 = r1^2 - (y0 - b1)^2(x0 - a2)^2 = r2^2 - (y0 - b2)^23.将上述两个方程相减，得到：(a1 - a2)(x0 - a1) - (b1 - b2)(y0 - b1) = r1^2 - r2^24.将上式整理为一般式的圆系方程：(x - a1)(x - a2) + (y - b1)(y - b2) = r1^2 - r2^2三、应用示例假设有两个圆，圆心分别为 A(1, 2) 和 B(3, 4)，半径分别为 1 和2。
我们可以通过上述推导过程得到过这两圆公共点的圆系方程：(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 1 - 4(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = -3这就是过两点的圆系方程的推导过程和应用示例。
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圆系方程及其应用
This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
圆系方程及其应用
一、常见的圆系方程有如下几种：
1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=> 与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０
2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）
3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）
特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=
二、圆系方程在解题中的应用：
1、利用圆系方程求圆的方程：
例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。
解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。
（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。
） 解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：
1．两交点的中垂线与直线相交；
2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；
3．两圆心连线与直线相交。
解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。
例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．
解：方法3：由题可设所求圆的方程为：
（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０
∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２
故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x
即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：
例2（1）：求过两圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。
自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。
为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。
则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆225x y +=和22(1)(1)16x y -+-=的公共弦方程为22110x y +-=
过直线22110x y +-=与圆225x y +=的交点的圆系方程为
2225(2211)0x y x y λ+-++-=，即2222(1125)0x y x y λλλ+++-+=
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心(,)λλ--必在公共弦所在直线22110x y +-=上。
即22110λλ--+=，则114λ=-
代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448x y -
+-= 例２（2）; 求经过直线l ：2x ＋y ＋4＝０与圆Ｃ：22y x +＋2x －4y ＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．
解：设圆的方程为：22y x +＋2x －4y ＋1＋λ（2x ＋y ＋4）＝０
即22y x +＋y x )4()1(2-++λλ＋（1＋4λ）＝０则
[]
54)58(45)41(4)4()1(4412222+-=+--++=λλλλr ，当λ＝58时，2r 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255y x +＋26x －12y ＋37＝０
练习：
1．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +7=0的两个交点且过原点的圆的方程。
（常数项为零）
2．求经过圆x 2+y 2
+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且圆心在x 轴上的圆的方程。
（圆心的纵坐标为零）
3．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且面积最小的圆方程。
（半径最小或圆心在直线上）
4．求经过圆x 2+y 2+8x -6y +21=0与直线x -y +5=0的两个交点且与x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。
（圆心到x 轴的距离等于半径） 3、利用圆系方程求参数的值：
例3：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值。
分析：此题最易想到设出1122(,),(,)P x y Q x y ，由OP OQ ⊥得到12120x x y y +=，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m 的方程，最后验证得解。
倘若充分挖掘本题的几何关系OP OQ ⊥，不难得出O 在以PQ 为直径的圆上。
而P ，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线230x y +-=与圆2260x y x y m ++-+=的交点的圆系方程为：
226(23)0x y x y m x y λ++-+++-=，即
22(1)2(3)30x y x y m λλλ++++-+-=………………….①
依题意，O 在以PQ 为直径的圆上，则圆心1(,3)2λλ+-
-显然在直线230x y +-=上，则12(3)302
λλ+-+--=，解之可得1λ=又(0,0)O 满足方程①，则30m λ-=，故3m =。
4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：
例4 圆系22y x +＋2k x ＋（4k ＋10）y ＋10k ＋20＝０（k ∈Ｒ，k ≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何
解：圆系方程可化为：22y x +＋10y ＋20＋k （2x ＋4y ＋10）＝０
∵ 与k 无关 ∴ ⎩⎨⎧=+++=++020*********y y x y x 即⎩
⎨⎧=++=++5)5(05222y x y x 易知圆心（０，-５）到直线x ＋2y ＋5＝０的距离恰等于圆22)5(++y x ＝５的半径．故直线x ＋2y ＋5＝０与圆22)5(++y x ＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．
总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。