新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元授课计划导学案
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 导学案 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程导学案
21.1一元二次方程学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解什么是一元二次方程及其一般形式；2、理解一元二次方程的定义.3、方程的解的定义 【重点难点】1、一元二次方程的概念及其一般形式；2、方程的解知识概览图新课导引某学校为了美化校园，准备在东西长50m 、南北宽38m 的矩形场地上铺设东西与南北方向两条宽度相等的矩形水泥路面，余下的部分作为花坛、绿地，且花坛、绿地的总面积为160m 2.求所铺设路面的宽为多少.【解析】为了便于理解，我们可以利用平移的知识将小路假设平移至场地一边，如右图所示，设路面宽为x m ，由矩形面积公式可得（50－x ）（38－x ）＝160，解这个方程即可.这个方程便是我们即将学习的一元二次方程.教材精华知识点1 一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.概念：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中a ，b ，c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项解：使方程左右两边相等的未知数的值一元二次方程例如：4x2＝19，x2＋3x＝0，3y2－5y＝7等都是一元二次方程.判定一个方程是一元二次方程需同时满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程.知识点2 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）. 这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.拓展（1）一元二次方程的一般形式的特点为方程的右边为0，方程的左边是关于x的二次整式.（2）a≠0是一元二次方程定义的一部分，不可丢掉. 否则，方程中没有了二次项，就不是一元二次方程了. b，c是否为零不限制.（3）一元二次方程的项及系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，写项或项的系数时都包括它前面的符号. 比如4x2－3x－2＝0的二次项、一次项、常数项分别为42x，－3x，－2、二次项系数、一次项系数、常数项分别为4，－3，－2.知识点3 方程的解的定义使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 例如：x＝3，x＝2都是一元二次方程x2－5x＋6＝0的根.规律方法小结判断未知数的值是否为所给一元二次方程的解的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等.探究交流（1）判断方程x（x＋10）＝x2－3是否是一元二次方程；（2）方程3x2＋2x＝1的常数项是1，方程3x2－2x＋6＝0的一次项系数是2，这种说法对吗？点拨（1）判断一元二次方程一般应先化简，再判断，因为方程x(x＋10)＝x2－3化简后为10x ＋3＝0，所以它是一元一次方程，不是一元二次方程.（2）要想正确确定方程的系数，首先要将一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，然后再确定a，b，c. 方程3x2＋2x＝1化为一般形式为3x2＋2x－1＝0，因此常数项为－1.方程3x2－2x ＋6＝0的一次项是－2x，一次项系数是－2. 所以这种说法不对，注意：项及项的系数包括它们前面的性质符号.课堂检测基本概念题1、下列关于x的方程中，哪些是一元二次方程？（1）x3-2x2＋5＝0 （2）x2＝1；（3）2160 5x x +=-；（4）2x2－x(2x＋1)＝0；（5）x3－x＋x2＝x3－1；（6）ax2＋bx＋c＝0.基础知识应用题2、把方程（3x＋2）2＝4（x－3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.综合应用题3、若关于x的方程（k－3）x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，则k的值为.4、判断下列关于x的方程是否是一元二次方程.（1）（a2＋1）x2＋3x－6＝0；（2）（a＋1）22x2＋3x－6＝0.探索创新题5、m取何值时，关于x的一元二次方程mx2＋m2x－1＝x2＋x没有一次项？体验中考1、已知整式x2－52x的值为6，则2x2－5x＋6的值为A. 9B. 12C. 18D.242、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米3600元，比2008年同期房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（）A. （1＋x2）＝2000B. 2000（1＋x）2＝3600C.（3600－2000）（1＋x）＝3600D.（3600－2000）（1＋x）2＝3600学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查的是一元二次方程的概念. 方程（3）不是整式方程，因此排除. 方程（1）中未知数的最高次数是3，也被排除. 化简后可知方程（4）是一元一次方程，故也排除. 方程（6）中a的取值范围未定，因此排除.解：（2）（5）是一元二次方程.【解题策略】判定一个方程是否为一元二次方程必须将其进行化简.2、分析本题考查的是一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式是等号左边为关于未知数的降幂排列，右边为0.解：去括号得9x2＋12x＋4＝4x2－24x＋36，移项，合并同类项，得5x2＋36x－32＝0，∴这个一元二次方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是－32.3、分析本题综合考查一元二次方程的概念、绝对值不等式的解法以及解不等式. 由题意可知||1230kk-=⎧⎨-⎩，≠，即±3kk=⎧⎨⎩，≠3.所以k＝－3. 故填－3.【解题策略】一元二次方程强调两点：①x的最高指数是2；②指数为2的项的系数不为零.4、分析判断是否是一元二次方程，关键是看含有字母的二次项系数是否为0.解：（1）∵a2＋1≠0，∴方程（a2＋1）x2＋3x－6＝0是一元二次方程.（2）当a＋1≠0，即a≠－1时，原方程为一元二次方程；当a＋1＝0，即a＝－1时，原方程为一元一次方程.规律·方法当一元二次方程的二次项系数是字母时，我们经常要讨论二次项系数是否为0.5、分析本题主要考查的是通过某些字母的取值探索一元二次方程成立的条件.解：将方程化为一般形式为（m－1）x2＋(m2－1)x－1＝0.根据题意得2101mm⎧-=⎨-⎩，≠0，解得m＝－1，∴当m＝－1时，原方程没有一次项.规律·方法研究一元二次方程各项系数时，应先将该方程化为一般形式，另外，必须保证二次项系数不为0.体验中考1、分析 由条件知x 2－52x ＝6，这是关于x 的一元二次方程. 但是本题不是求x 的值，而是求2x 2－5x ＋6的值，所以只需对 x 2－52x ＝6进行变形即可，x 2－52x ＝6，2x 2－5x ＝12. 所以2x 2－5x ＋6＝12＋6＝18。
秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程.解一元二次方程..因式分解法导学案新版新人教版
第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法学习目标：1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.重点：运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.难点：根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.一、知识链接1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.用学过的方法解一元二次方程(3)(5)=0.二、要点探究探究点1：因式分解法解一元二次方程问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度(单位：m )为10x －4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?思考1 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程10x －4.9x 2=0？思考2 解方程10x －4.9x 2时，二次方程是如何降为一次的？要点归纳：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 试一试 以下各方程的根分别是多少？； (2) (y +2)(y －3)=0； (3) (3x +6)(2x －4)=0； (4) x 2=x .P 14例3)解以下方程：(1) 220x x x ； (2) 2213522.44x x x x 练一练 解以下方程：(1) (x +1)2=5x +5； (2)x 2-6x +9=(5-2x )2．拓展提升：十字相乘法试一试 解方程x 2+6x -7=0.x 2 + 6x -7 -x +7x =6x 练一练 解以下方程：(1)x 2-5x +6=0； (2)x 2(3)(x +3)(x -1)=5； (4)2x 2探究点2：灵活选用方法解方程例2 用适当的方法解方程：(1) 3x (x +5)=5(x +5)； (2) (5x +1)2=1；(3) x 2－12x =4； (4) 3x 2 = 4x + 1.要点归纳：解法选择根本思路1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax 2+c =0)，应选用直接开平方法；2.假设常数项为0(ax 2+bx =0)，应选用因式分解法；3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax 2+bx +c =0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选用因式分解法，否那么选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.x x 7 -1 =_______________.1.填空.① x2－3x+1=0；② 3x2－1=0；③ －3t2+t=0；④ x2－4x=2；⑤ 2x2－x=0；⑥ 5(m+2)2=8；⑦ 3y2－y－1=0；⑧ 2x2+4x－1=0；⑨ (x－2)2=2(x－2).适合运用直接开平方法；适合运用因式分解法；适合运用公式法；适合运用配方法 .2.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= ，x2= .3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程(x－5)(x+2)=18.解：原方程化为：(x－5)(x+2)=3×6. ①由x－5=3，得x=8；②由x+2=6，得x=4；③所以原方程的解为x1=8或x2=4.4.解方程.(1) 241210x； (3)2x2-5x+1=0；x x； (2) 2363(4)x2+4x-2=2x+3； (5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0．5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．挑战自我(1)三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，那么这个三角形的周长是________;(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，那么此三角形的周长为________;(3)等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，那么该等腰三角形的周长是________.参考答案自主学习一、知识链接1.①变形：化方程为一般形式；②确定系数：用a，b，c写出各项系数；③计算：b2－4ac的值；④判断：假设b2－4ac≥0，那么利用求根公式求出；假设b2－4ac<0，那么方程没有实数根.2.解：方程整理得x2-8x+15=0,配方得x2-8x+16=1,即〔x-4〕2=1.开平方，得x-4=1，或x-4=-1,解得x1=5,x2=3. 课堂探究二、要点探究探究点1：因式分解法解一元二次方程问题1：解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即10x-4.9x2 =0.配方法解方程10x-4.9x2=0.。
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程全章复习》学习任务单及作业设计【学习目标】对本章内容进行梳理总结并建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 【课前学习任务】复习《一元二次方程》一章相关知识点.【课上学习任务】学习任务一：例 1：已知关于 x 的方程是一元二次方程，则m 的值为 .学习任务二：例 2：关于 x 的一元二次方程.（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）若方程的一个实数根为-1，求 m 的值及方程的另一个实数根.学习任务三：例 3：关于 x 的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．学习任务四：例 4：随着经济建设的发展，某省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业. 据统计，2019年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的5/3倍；到2022 底，全省5G基站的数量将达到17.34万座.（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座?（2）按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.【作业设计】请同学们在作业本上完成下面三道课后作业：1.若关于x的一元二次方程 (m-1)x2+x+m2-1=0 有一根为0，则m= .2. 已知关于x的一元二次方程 x2-6x+2k-1=0 有两个相等的实数根，求k的值及方程的根.3. 用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.【参考答案】1. m=-1；2. k=5；x1=x2=3；3. 能围成一个面积为75cm2的矩形，长15cm，宽5cm.不能围成一个面积为101cm2的矩形，因为方程 x2-20x+101=0 无实根.。
人教版数学九年级第一学期第二十一章《一元二次方程》全章导学案
第二十二章二次函数22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是( A )A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：______．(5)在同一坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象，找出图象的异同． 点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P 41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式． 解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2，∴只能取m ＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y 随x 的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)．(1)求a的值；(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．重点：会作函数的图象．难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是( C)A．(4，4) B．(1，－4)C．(2，2) D．(0，4)2．抛物线y ＝x 2－16与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为__64__． 点拨精讲：与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值，即可求出两个交点的坐标．3．画出二次函数y ＝x 2－1，y ＝x 2，y ＝x 2＋1的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1 抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2±c 有什么关系？解：(1)抛物线y ＝ax 2±c 的形状与y ＝ax 2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ；抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝－2，c －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)1．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )A ．y ＝x 2－4B ．y ＝－34x 2＋3 C ．y ＝32(2－x)2 D ．y ＝32(x 2－2) 3．二次函数y ＝－x 2＋4图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y 随x 的增大而增大．4．抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－3x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y ＝－3x 2＋5，它是由抛物线y ＝－3x 2向__上__平移__5__个单位得到的．5．将抛物线y ＝－3x 2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y ＝3x 2＋4．6．已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝5x 2＋1的图象关于x 轴对称，则a ＝__－5__，c＝__－1__．点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．画函数y＝－12x2、y＝－12(x＋1)2和y＝－12(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－12x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．教材P35练习题；2．抛物线y＝－12(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－12x 2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象． (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？ 解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象． 点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点． 探究2 已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合．(1)求平移后的抛物线l 的解析式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上，且－12<x 1<x 2，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)∵y ＝x ＋1，∴令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 的解析式为y ＝－2(x ＋1)2.(2)由(1)可知，抛物线l 的对称轴为x ＝－1，∵a ＝－2<0，∴当x>－1时，y 随x 的增大而减小，又－12<x 1<x 2，∴y 1>y 2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．不画图象，回答下列问题：(1)函数y ＝3(x －1)2的图象可以看成是由函数y ＝3x 2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数y ＝3(x －1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(3)函数有哪些性质？(4)若将函数y ＝3(x －1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增减性、最值来说．2．与抛物线y ＝－2(x ＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y ＝2(x ＋5)2．3．对于函数y ＝－3(x ＋1)2，当x>－1时，函数y 随x 的增大而减小，当x ＝－1时，函数取得最大值，最大值y ＝0．4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位长度得到y ＝x 2－2x ＋1的图象，则b ＝－6，c ＝9．点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质(3)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．2．能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．难点：能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 35～36“例3、例4”，掌握y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2＋k 的相关性质，完成填空．总结归纳：一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，位置不同，把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h 个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x ＝h ；顶点坐标是(h ，k)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟1．教材P 37练习题2．函数y ＝2(x ＋3)2－5的图象是由函数y ＝2x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；3．抛物线y ＝－2(x －3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x ＝3，当x>3时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1，便于解答．探究2 已知y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a ，h ，k 的值；(2)在同一坐标系中，画出y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝－12x 2的图象；(3)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：(1)∵抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y ＝－12(x －1)2＋2，∴a ＝－12，h ＝1，k ＝2； (2)函数y ＝－12(x －1)2＋2与y ＝－12x 2的图象如图； (3)观察y ＝－12(x －1)2＋2的图象可知，当x<1时，y 随x 的增大而增大；x>1时，y 随x 的增大而减小；(4)由y ＝－12(x －1)2＋2的图象可知，对于一切x 的值，y ≤2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．将抛物线y ＝－2x 2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y ＝－2(x －3)2＋2．点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．2．若直线y ＝2x ＋m 经过第一、三、四象限，则抛物线y ＝(x －m)2＋1的顶点必在第二象限．点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．3．把y ＝2x 2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2－3．4．已知A(1，y 1)，B(－2，y 2)，C(－2，y 3)在函数y ＝a(x ＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2<y 3<y 1．点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质(1)1．会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．重点：会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空． 总结归纳：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是x ＝h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x<h 时，y 随x 的增大而增大，当x>h 时，y 随x 的增大而减小；用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ；则二次函数的图象的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝－b 2a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大(最小)值，当a<0时，函数y 有最大值，当a>0时，函数y 有最小值．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．求二次函数y ＝x 2＋2x －1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 将下列二次函数写成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．(1)y ＝14x 2－3x ＋21；(2)y ＝－3x 2－18x －22. 解：(1)y ＝14x 2－3x ＋21 ＝14(x 2－12x)＋21 ＝14(x 2－12x ＋36－36)＋21 ＝14(x －6)2＋12 ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x ＝6.(2)y ＝－3x 2－18x －22＝－3(x 2＋6x)－22＝－3(x 2＋6x ＋9－9)－22＝－3(x ＋3)2＋5∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x ＝－3.点拨精讲：第(2)小题注意h 值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．探究2 用总长为60 m 的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S 最大？(1)S与l有何函数关系？(2)举一例说明S随l的变化而变化？(3)怎样求S的最大值呢？解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225画出此函数的图象，如图．∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－b2a，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是2a，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y ＝a(x －h)2＋k ，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，可设函数的关系式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．二次函数y ＝4x 2－mx ＋2，当x<－2时，y 随x 的增大而减小；当x>－2时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时，y 的值为22．点拨精讲：可根据顶点公式用含m 的代数式表示对称轴，从而求出m 的值．2．抛物线y ＝－x 2＋6x ＋2的顶点坐标是(3，11)．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )A ．a<0B ．b>0C ．c>0D ．ac>0第3题图 第4题图 第5题图4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( A )A ．0B ．－1C ．1D ．2点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x 轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a －b ＋c 的值．5．如图是二次函数y ＝ax 2＋3x ＋a 2－1的图象，a 的值是－1．点拨精讲：可根据图象经过原点求出a 的值，再考虑开口方向．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1.探究2 已知一抛物线与x 轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．解：设解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)，则有a(2－3)(2＋1)＝9，∴a ＝－3，∴此函数的解析式为y ＝－3x 2＋6x ＋9，其顶点坐标为(1，12)．点拨精讲：因为已知点为抛物线与x 轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x 轴交点的坐标．2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，且关于直线x ＝12对称，那么它的图象还必定经过原点．3．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；2.顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；3.交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．2 二次函数与一元二次方程(1)1．理解二次函数与一元二次方程的关系．2．会判断抛物线与x 轴的交点个数．3．掌握方程与函数间的转化．重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x 轴的交点个数．难点：掌握方程与函数间的转化．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．总结归纳：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x ＝x 0时，函数的值是0，因此x ＝x 0就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：当b 2－4ac>0时，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2－4ac<0时，抛物线与x 轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．观察图中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程x 2＋x －2＝0的根是：x 1＝－2，x 2＝1；方程x 2－6x ＋9＝0的根是：x 1＝x 2＝3；方程x 2－x ＋1＝0的根是：无实根．2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y ＝－x 2＋2x ＋3中，y 为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x 值是方程－x 2＋2x ＋3＝m(m ＝4，3，0)的根．错误! 错误!,第3题图) 3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c －3＝0的根是x 1＝x 2＝1．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)探究 已知二次函数y ＝2x 2－(4k ＋1)x ＋2k 2－1的图象与x 轴交于两点．求k 的取值范围．解：根据题意知b 2－4ac>0，即[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k 2－1)>0，解得k>－98. 点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)1．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x ＝1．。
最新人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.根据题意，得x(0.5-x)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题：情景：请把方程(x+3)2=5化成一般形式，并由一名学生口答.问题：(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)2.学习目标：(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点：重点：用配方法解一元二次方程.难点：配方的方法.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成下面的探究提纲，如果觉得有困难就先完成②，③，再完成①.(4)探究提纲：①解方程x2+6x+4=0.移项：把常数项移到方程的右边，得x2+6x= -4；配方：两边都加9，使得左边配成x2+2b x+b2的形式，得x2+6x+9=；变形：把左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5；降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x+3=±；求解：解两个一元一次方程，得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空：a2+2ab+b2=(a+b )2，x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导：根据具体情况指导学生配方.(2)生助生：小组内相互交流研讨，订正错误.4.强化：(1)配方的依据和步骤.(2)试一试：对下列各式进行配方：1.自学指导：(1)自学内容：教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：认真阅读分析和解答过程，注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲：①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1)，然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范.②差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？2教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课，重在让学生自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，建立自信心.(2)在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高了自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2－x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0；(2)4x2-12x－7=0;解：移项,x2+10x=-9, 解：移项，4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1，x2-3x=,(x+5)2=16, 配方，x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1，x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72，x2= -12.(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12解：移项,x2+2x= -2, 解：化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时，原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题：(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗？我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标：(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用求根公式解一元二次方程.难点：计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲：②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意：上述的叙述，反过来也成立.③当Δ≥0时，一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x－3=2x－4；x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)公式的推导，判别式定义解读；(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导：(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲：①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0；2x2-22x+1=0；5x2-3x=x+1；x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？先将方程化为一般形式，确定a,b，c的值；计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根.计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.4.强化：(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac＞0C. b2-4ac＜0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是(C)A. 5，，6B. 5，6，C. 5，-6，D. 5，-6，-4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2－3x－32=0；(2) 16x2－24x+9=0；方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2－42x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8x.解：Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解：方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程：二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.解：有错误，方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度(单位：m)为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？(板书课题)2.学习目标：(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：可先解答②，再解答①.(4)自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：移项，合并同类项，因式分解，写出一元二次方程的根.④解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：(1)用因式分解法解方程的一般步骤：第一步，把方程变形为x2+p x+q=0的形式；第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题，并点评.1.自学指导：(1)自学内容：教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：先独立作业，然后小组互相改正.(4)自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.(2)生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题，并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导：(1)自学内容：选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p；配方法适用于哪种形式的方程？(m x+n)2=p；公式法适用于哪种形式的方程？a x2+b x+c=0(a≠0)；因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点？③解一元二次方程的基本思想是什么？④选择适当的方法解下列方程：。
新人教版九年级第21章一元二次方程全章导学案
新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程全章导学案21．1 一元二次方程（1）学习目标1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．学习重、难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．学习过程：一、激趣定标1、课本引言问题，导入。
2、引入课题，并板书，展示目标二、自学互动（适时点拨）互动1 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为____，宽为____．列方程____，化简整理，得____．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为4×7＝28．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他____个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28，化简整理，得____．②1.探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？(2)它们最高次数分别是几次？归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是____，只含有____未知数(一元)，并且未知数的最高次数是___的方程．2．一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．互动2 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__是二次项，___是二次项系数，____是一次项，___是一次项系数，____是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．三、测评训练：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：师点拨：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑．1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.本课课时安排数：总课时数：21．1 一元二次方程（2）学习目标1．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．2．会进行简单的一元二次方程的试解，理解方程解的概念．学习重、难点重点：一元二次方程的一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；理解方程解的概念．学习过程：一、激趣定标1、说出一元二次方程3x2－8x－10＝0的二次项系数、一次项系数、常数项2、一元二次方程的一般形式是，它有什么要求？3、板书课题，展示目标。
新人教版第二十一章一元二次方程全章导学案
x21.1 一元二次方程一、一元二次方程问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？思考：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，方程中含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____. 归纳：1.一元二次方程定义：2. 一元二次方程的一般形式: 二、应用举例:例：1.将方程(82)(52)18x x --=化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．2.下列方程是一元二次方程的是有 ： （1），（2）(x+1)(x-1)=0， （3），（4）01122=-+xx ，（5）， （6）05322=-+y x3. 若21(3)50m m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．4.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则（ ）.A m≠0，n=3B m≠3，n=4C m≠0，n=4D m≠3，n≠0 5.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.6.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; ⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x 。
三.一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
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新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元授课计划导
学案
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解一元二次方程及有关概念；
（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；
（3）能用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根或两个实数根是否相等；
（4）了解一元二次方程根与系数的关系；
（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理；
（6）能依据具体问题中的数量关系建立一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键
1．分析实际问题，建立一元二次方程的数学模型．
2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
21．1 一元二次方程1课时
21．2 降次──解一元二次方程6课时
21．3 实际问题与一元二次方程4课时
复习 2课时。