高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学)

D
解：
exydxdy =
1
dx
e l1 x y dy (
1e x dx)(
1e y dy) (e 1)2
00
0
0
D
12 设 I= R2 x2 y2 dxdy ,其中 D 是由 x2+y2=Rx 所围城的区域，求 I ( 1 R3 )
D
3
13、计算二重积分 | x2 y2 4 | dxdy ，其中 D 是圆域 x 2 y 2 9
1
dx
x e x2 dy
1
dy
y e y2 dx e 1
0
0
0
0
D
15、计算二重积分 x y dxdy ，D： x2 y 2 1, x y 1.
D x2 y2
解：
D
x x2
y y2
dxdy =
2 d
0
1 1
cos sin
r(cos r2
sin )rdr
4 2
§3 三重积分
4、设 是由三个坐标面与平面 x 2y z =1 所围成的空间区域,则
xdxdydz=(
).
A1 48
B 1 48
C1 24
D 1 . 24
5
、设
是锥面
z c
2 2
x2 a2
y2 b2
(a
0,
b
0,
c
0)
与平面
x
0,
y
0,
z
c
所围成的
空间区域在第一卦限的部分,则
xy z
dxdydz
=(
x2 yR2
R
3
6、求圆柱体 x2 y 2 2Rx 包含在抛物面 x2 y 2 2Rz 和 xoy 平面之间那部分立
体的体积
解： V
1 (x2 y 2 )dxdy 3R3
2R x2 y2Rx
4
第九章 自测题
一、选择题: （40 分）
1、
1
dx
1x f (x, y)dy =(
00
上的连续函数，则二重积分 f (x2 y2 )dxdy 为（ ）
D
A 2 f (x2 , y2 )dxdy
B 4 f (x2 , y2 )dxdy
D1
D1
C 8 f (x2 , y2 )dxdy
D1
D 1 f (x2 , y2 )dxdy 2 D1
7、.设 f(x,y)为连续函数，则
a
dx
1 x1
）
A
1dy y1
0 1
f
( x,
y)dx
2 dy y21
1 1
f
(x,
y)dx
B
1
y 1
dy f (x, y)dx
0
1
C
1dy y1
0 1
f

( x,
y)dx
2
1
dy1
y2 1
f
(x,
y)dx
D 02dy1 y21 f (x, y)dx
5、设有界闭域 D1、D2 关于 oy 轴对称，f 是域 D=D1+D2 上的连续函数，则二重
）
A ： 7 ln 3 ln 2 1
8
2
C ： 9 ln 3 ln 2 1
8
2
B ： 9 ln 3 ln 2 1
8
2
D ： 9 ln 3 ln 2 1
8
4
2、设 D 是由不等式 x y 1所确定的有界区域，则二重积分 ( x y)dxdy 为
D
（
）
A ：0
B： 1
C ：2
D： 1
)
A
1 x
dy
1
f (x, y)dx
0
0
C
11
dy f (x, y)dx
00
B
1
1 x
dy f (x, y)dx
00
D
1
dy
1 y
f (x, y)dx .
00
2、设 D 为 x2 y2 a2 ,当 a (
)时, a2 x2 y2 dxdy .
D
A1
B
3
3
2
C
3
3
4
D
1
3
2
3、设 I (x2 y2 )dxdy ,其中 D 由 x2 y2 a2 所围成,则 I =( B ).
D
A
2
d
a a2rdr a4
0
0
B
2
d
a r 2 rdr 1 a 4 ;
0
0
2
C
2
d
a r2dr 2 a3
0
0
3
D
2
d
a a 2 adr 2a 4 .
0
0
（）
A ( 4 ,0,0 ) 3
B ( 5 ,0,0 ) 3
C ( 5 ,0,0 ) 4
(4)、 质量分布均匀(密度为 )的立方体所占有空间区
D ( 7 ,0,0 ) 4
域: {(x, y, z) | 0 x 1,0 y 1,0 z 1},该立方体到 oz 轴的转动惯量 IZ=( )
x f (x, y)dy 为(
)
0
0
A
a
a
dy f (x, y)dx
0
y
B
a
y
dy f (x, y)dx
0
a
C
a
y
dy f (x, y)dx
0
0
D
a
x
dy f (x, y)dx
0
0
8、求
I
D
x2 y2
dxdy
，其中 D : 由 x=2,y=x,xy=1 所围成.
(9) 4
9、设 I=
2、设 是由曲面 x2+y2=2z , 及 z=2 所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三
重积分 f (x, y, z)dxdydz 表示为累次积分，I=（
）
A
2
1
2
d d 2 f(cos , sin , z)dz
0
0
0
B
2
2
2
d d 2 f(cos , sin , z)dz
0
0
0
C
1、设 是由 x=0，y=0，z=0 及 x+2y+z=1 所围成的空间有界域，则 xdxdydz 为
(
)
A
1
1
1x2 y
dx dy xdz
0
0
0
B
1
1 y
1x2 y
dx 2 dz
xdy
00
0
C
1
1 x
1x2 y
dx 2 dy
xdz
00
0
D
111
dx dy xdz
000
第十章 重积分
§1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
I
D
( I
D
x2 y2 dxdy
其中 D 为： x2 y 2 4
x2 y 2 dxdy=.4.2 1 ..4.2 16 )
3
3
2、设 D 为圆域 x2 y 2 a2 , a 0, 若积分
a
2
2
0
x2 y2 1z2
4、设 是由曲面 z=xy, y=x, x=1 及 z=0 所围成的空间区域，求 xy2 z3dxdydz (1/364)
5、设 是球域： x2 y 2 z 2 1，求 z ln(x2 y2 z2 1) dxdydz x2 y2 z2 1
(0)
6、计算 (x2 y2 )dxdydz 其中 为：平面 z=2 与曲面 x2 y 2 2z 2 所围成的
I1 ln(x y)dxdy, I2 [ln(x y)]2 dxdy ，比较 I1 , 与 I 2 的大小关系
D
D
解：在 D 上， ln( x y) [ln( x y)]2 ,故 I1 I 2
5、 设 f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2 y 2 1, 和曲面 z [ f (xy)]2 所围的
f ( x2 y 2 z 2 dxdydz
t t0
4 x2 y2 z2 t 2
=
lim
t 0
1 t 4
2
d
0
d
0
t 0
f (r)r 2 sindr
lim t 0
4
t r 2 f (r)dr
0
t4
f '(0)
§4
重积分的应用
1、(1)、由面积 x2 y2 =2x, x2 y2 =4x,y=x,y=0 所围成的图形面积为（
）
A 1 ( 2) 4
B 1 ( 2) 2
C 3 ( 2) 4
D 2
(2) 、位于两圆 2sin 与 4sin 之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0, 5 ) 3
B (0, 6 ) 3
C (0, 7 ) 3
D (0, 8 ) 3
(3)、由抛物面 z 2 y2 4x 和平面 x=2 所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是
3
dx
ln x f (x, y)dy ,交换积分次序后 I 为：
1
0
I=
3
dx
ln x f (x, y)dy =
ln 3
dy
3
f (x, y)dx
1
0
0
ey
10、改变二次积分的次序：
02dx0x