河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合10,2x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则()()R R A B ⋃=（ ）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--【答案】B【解析】先根据题意得(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，再根据集合运算即可求解. 【详解】因为集合{}210,42x A x B x x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，所以(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，[2,1)A B ⋂=--，()()()(,2)[1,)RRRA B A B ⋃=⋂=-∞-⋃-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，考查运算能力，是基础题.2．设a R ∈，若复数1ia i-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y x =上，则a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】化简复数写出其在复平面内对应的点的坐标，再代入直线方程即得参数. 【详解】 化简221(1)()1(1)11i i a i a a ia i a a -----+==+++，故复平面内对应点的坐标是2211,11a a a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为复数1i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =上，所以221111a a a a +--=++，所以0a =. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数在复平面内对应的点的特征，属于基础题. 3．设()πxf x -=，()πlog g x x =，()πxh x =，则()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 的大小关系是（ ）A ．()()()0.30.30.3g f h <<B ．()()()0.30.30.3f g h <<C ．()()()0.30.30.3f h g <<D ．()()()0.30.30.3g h f <<【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 取值范围，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得()0.3000.3ππ1f -<=<=，()0.30.3π1h =>，根据对数函数的性质，可得()π0.3log 0.30g =<， 所以()()()0.30.30.3g f h <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a 的值为3，则输出结果为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】根据程序框图，列出循环过程中的a与对应的i，计算循环结果. 【详解】根据程序框图，列出循环过程中的a与i，a 3 10 5 16 8 4 2 1i 1 2 3 4 5 6 7 8所以输出的结果为8i=.故选：C【点睛】本题考查程序框图，重点考查循环过程，属于基础题型.5．函数()21sin()21xxxf x-⋅=+的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】先判断出()f x 的奇偶性，然后通过特殊值()1f 与0的关系即可确定出()f x 所对应的函数图象. 【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()()()21sin 12sin 21sin 211221xxxxxxx x x f x f x ---⋅--⋅--⋅-====+++，所以()f x 是偶函数，排除A ，D ；又因为(21)sin1(1)021f -=>+，排除B.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，难度一般.分析函数解析式对应的函数图象可从函数的奇偶性、函数的单调性、特殊值等方面入手.6．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动.为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下： 你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选） A ．体育类如：羽毛球、足球、毽球等 B ．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等 C ．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等 D ．文化类如：公关演讲、书法、文学社等 E.其他由两个统计图表可以求得，选择D 选项的人数和扇形统计图中E 的圆心角度数分别为（ ） A ．500，28.8° B ．250，28.6°C ．500，28.6°D ．250，28.8°【答案】A【解析】根据扇形统计图和条形统计图得选择A 的人数为300，占比为15%，进而得接受调查的学生的总人数为2000，故选D 的人数为500，进而得E 的圆心角度数. 【详解】解：设接受调查的学生的总人数为x ， 由调查结果条形图可知选择A 的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%， 所以30015%x=，解得2000x =， 而选择D 的人数为：200025%500⨯=，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(115%12%40%25%)36028.8︒︒----⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的应用，考查数据分析与处理，是中档题. 7．已知M 为抛物线2:4C x y =上一点，C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ，过点P 向C 再作另一条切线2l ，则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】先根据C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，求出a 的值，再求得点3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再求过点P 抛物线的切线方程. 【详解】设()00,M x y ，由题意知，214y x =，则12y x '=， C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，所以001122x x y x =='=所以01x = ，则11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-，即111:24l y x =- 抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- 则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ， 则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，解得04x =-或01x =（舍去）， 则(4,4)N -，所以2l 的方程为24y x =--. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题. 8．已知||||1CA CB ==，设2a CA CB =-，22b CA CB =+.若0a b ⋅=，则sin ,CA CB 〈〉的值为（ ）A．0 B ．2C ．1D ．1-【答案】C【解析】依题意设12,CA e CB e ==，由0a b ⋅=可得120e e ⋅=，从而得到1e ，2e 的夹角为2π，即可得解； 【详解】解：根据题意，设12,CA e CB e ==，则121e e ==，则122a e e =-，1222b e e =+.因为0a b ⋅=，即)()1212220e e e -⋅+=，即2211222220e e e e +-⋅=，所以120e e ⋅=，所以向量1e ，2e 的夹角为2π，sin 12π=.故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律，向量夹角的计算，属于中档题.9．如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C【解析】||cos2AB d α=⋅，故选项A 不正确；||||sin DC BD d α==，故选项D 不正确；2||sin NC d α=⋅，故选项B 不正确；2||(||)2dDC d AB =⋅-，故选项C 正确. 【详解】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽，所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查几何选讲和三角函数，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】根据题意做出图形，取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，取OA 上离O 点近的三等分点记为F ，自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，再根据几何关系计算即可得答案. 【详解】解：如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角， 所以AOC △是边长为34232⨯=33OE =. 在POE △中，30POE ︒∠=， 所以23PE =.又433CE =， 所以133PC R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的外接球的半径求解，考查空间思维能力，是中档题.11．已知函数2(),()2ln ,()4x f x e g x x h x x x m ===-+，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B .若对任意12,[1,]t t e ∈都有()2||AB h t >成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2ee -∞+ B ．(,4)e -∞+ C ．()2,5e e-∞-D ．(,3)e -∞+【答案】D【解析】先根据题意将恒成立问题转化成最值问题，再利用导数求最值，计算参数范围即可. 【详解】由题意，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B ，故||2ln xAB e x =-设()()2ln 1xF x e x x e =-≤≤，则问题可以转化为在区间[1,]e 内min max ()()F x h x >.因为12()20xF x e e x'=-->，所以()F x 在[1,]e 上单调递增，故min ()(1)F x F e ==.因为2()4h x x x m =-+，其对称轴2x =，所以在区间[1,]e 上，(1)()f f e > 即max ()(1)143h x h m m ==-+=-，所以e 3m >-，即3m e <+.故选：D. 【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数最值和利用二次函数求最值，属于中档题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2021220210122021(12)x b b x b x b x -=++++，数列{}n a 的首项12202111122021,222n n n b b b a a S S ++=+++=⋅，则2021S =（ ） A ．12021-B ．12021C ．2021D ．2021-【答案】A【解析】通过对二项展开式赋值12x =求解出1a 的值，然后通过所给的条件变形得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而求解出{}n S 的通项公式，即可求解出2021S 的值. 【详解】令12x =，得202112202102202111202222b b b b ⎛⎫-⨯=++++= ⎪⎝⎭. 又因为01b =，所以1220211220211222b b b a =+++=-. 由111n n n n n a S S S S +++==-，得111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，所以1111n n S S +-=-， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =-，公差为1-的等差数列，所以11(1)(1)nn n S =-+-⋅-=-， 所以1n S n =-，所以202112021S =-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意11n n n a S S ++=-的运用.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,,3,x y y x x +⎧⎪≤⎨⎪⎩则232z y x =-+的最小值为__________.【答案】9-【解析】化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合找到最优解，联立方程组求出最优解的点的坐标，代入目标函数即可求出结果. 【详解】 由约束条件作出由232z y x =-+，得3222z y x -=+， 作直线3:2l y x =，将直线l 平移经过M 点时在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值. 联立203x y x +-=⎧⎨=⎩ 解得：(3,1),M -代入232z y x =-+可得：min 9z =- 故答案为：9-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，属于基础题.14．在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】先由余弦定理求出AC =sin B =，再由正弦定理可得答案. 【详解】在ABC中，易求sin 3B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin 3AC r B ===，所以4r =.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题. 15．已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________. 【答案】815【解析】分三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，分别计算概率即可. 【详解】可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以2211223233332222264646C C C C C C 1681C C C C C 3015P =⨯+⨯+⨯==.故答案为：815【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件与相互独立事件的概率计算，考查分类讨论的思想.16．过椭圆2221(1)x y a a+=>上一点P 及坐标原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[2,)+∞【解析】将||||PA PB 整理化简得22||||1||PA PB a OP =+-结合22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，得21||||PA PB a ≤⋅≤，即可得2211a a ≤-≤，解不等式即可. 【详解】 如图所示：22||||(||||)(||||)1||PA PB OA OP OA OP a OP =-+=+-.又因为22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，所以21||||PA PB a ≤⋅≤.若存在一点P ，使得2||||1a PA PB =+，即2211a a ≤-≤，解得2a ≥故答案为：2,)+∞ 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，涉及不等式的性质，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()1,3n n S ++在抛物线2y x 上.（1）求n a ；（2）求数列{}9n a -的前n 项和n T .【答案】（1）21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩；（2）2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩. 【解析】（1）由条件可得222n S n n =+-，当1n =时，111a S ==；当2n 时，由1n n n a S S -=-可求出答案.（2）28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩,分4n 和5n ，分别求和，得出答案.【详解】解：（1）因为点()1,3n n S ++在抛物线2yx 上，所以23(1)n S n +=+，所以222n S n n =+-. 当1n =时，111a S ==； 当2n 时()22122(1)2(1)221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.所以21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩（2）易求28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩当4n 时，22922972n n T S n n n n n n =-+=--++=-++； 当5n 时，[]()22449(4)142222936726n n T T S S n n n n n n =+---=++---+=-+. 综上，2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩【点睛】本题考查根据前n 项和求通项公式，等差数列加绝对值的求和问题.属于中档题.18．近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占7，而务农户中对新政策满意的占1.（1）完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.附表：2.072参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.【解析】（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35，随机变量满足二项分布，即：3~5,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的知识求解即可.【详解】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2200(70503050)258.333 6.635100*********k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是12032005=，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35.由题意知3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，05053232(0)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 141532240(1)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 232532720(2)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3235321080(3)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 414532810(4)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 505532243(5)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为3()535E X np ==⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题. 19．如图，四边形ABCD 是菱形，2,22,AB AP BG DE DE ===⊥平面ABCD .（1）证明：P ，E ，C ，G 四点共面.（2）若2,23PA AC ==，求二面角P CE D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15. 【解析】（1）取PA 的中点M ，根据条件可证明四边形PMBG 和四边形MECB 是平行四边形，利用平行的传递性可证明四边形PGCE 是平行四边形，从而证明四点共面；（2）由菱形和AC 的长，可求出60BAD ︒∠=，又AP ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取PA 的中点M ，连接,EM BM . 因为22AP BG MP ==，所以MP BG =， 所以四边形PMBG 是平行四边形， 所以PG MB =.由题意知,ME AD AD BC ==，所以ME BC =， 所以四边形MECB 是平行四边形， 所以MB EC =，所以PG EC = 所以四边形PGCE 是平行四边形， 所以P ，E ，C ，G 四点共面.（2）解：因为DE⊥平面ABCD，//AP DE，所以AP⊥平面ABCD.在ABC中，由余弦定理得2222222(23)23cos222223AB AC BCBACAB AC+-+-∠===⋅⨯⨯，所以30BAC︒∠=，所以60BAD︒∠=.以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,2),(3,3,0),(0,2,1),(0,2,0),(3,3,2),(3,1,1),(0,0,1) P C E D PC CE DE=-=--=设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则0,0,n PCn CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111113320,30.x y zx y z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令11y=，得1132,xz⎧=⎪⎨⎪=⎩所以3,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面CDE的法向量为()222,,m x y z=，则0,0,m DEm CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.zx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，得223,0,yz⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以(1,3,0)m=-.设二面角P CE D--的平面角为θ，所以222223131013cos,4||||3121(3)3n mn mn m⨯+⋅〈〉===⎛⎫++⨯+⎪⎝⎭，所以2115sin 144θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以二面角P CE D --的正弦值为15. 【点睛】本题考查空间向量求二面角，考查证明点共面，考查学生的空间想象能力以及计算能力，熟记定理和公理是解决立体几何证明的关键，本题属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是32，短轴长为2，A ，B 分别是E的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）21-. 【解析】（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆E 的离心率32c e a ==，短轴长为2，所以1b =. 又因为222a b c =+，解得2,3a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y nx ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B -所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥，因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++.又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++.设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大.联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S==+. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆中三角形面积的最值问题，属于中档题.21．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈=.（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求函数的导数，再分1a ≤和1a >两种情况讨论求函数的单调区间；（2）结合题意分析可知1a a e -<+，由1x e a >+，可证明1111a a a +>-+，再利用分析法转化为证明11111a e a a -+>+-+，通过构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】 （1）解：由题意，()222222()x x x x a x x a f x e e --+-++-'==， 令2()22,44g x x x a a =-++-∆=-.①当1a 时，0∆，此时()0f x '，函数()f x 在R 上单调递减；②当1a >时，>0∆，令()0g x =，则11x =21x =，当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<，所以()f x 单调递减，当(1x ∈-+时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当(1)x ∈++∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减.综上所述，当1a 时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间为(,1-∞-和(1)++∞，单调递增区间为(1+.（2）证明：由（1）知1a >，因为(1)0g >，所以210a g e -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得1a a e -<+， 要证1111a a a +>-+，只需证11111a e a a -+>+-+. 对于函数()1x h x e x =--，有()1x h x e '=-.因为()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=， 所以()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，即不等式1x e x +恒成立，当且仅当0x =时“=”成立，故当1a >时，1a e a >+，即11a e a ->+①. 因为1a a e -<+且1a >，所以1a a e --<， 可得11a e a >-，所以111e a >>-②. 由①+②得，11111a e a a -+>+-+， 故1111a a a +>-+得证. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，重点考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第二问，需构造函数()1xh x e x =--，通过分析函数的性质，以及转化变形，证明不等式. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，a R ∈）. （1）若1a =，求1C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，若1C 与2C 相切，求实数a 的值.【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=；（2）73a =或133a =-. 【解析】（1）消去参数θ，直接可得曲线1C 的普通方程；（2）将参数方程，极坐标方程都化为普通方程，由直线与圆相切列方程即可得a 值.【详解】（1）当1a =时，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去θ， 所以22(1)(1)4x y -+-=；（2）曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 消去θ可得22()(1)4x a y -+-=，所以曲线1C 是圆心为(,1)a ，半径为2的圆，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，可化为3410x y +-=， 若1C 与2C 相切，则1C 的圆心到2C 的距离等于1C 的半径，即2d ==， 解得：73a =或133a =-. 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查了转化与化归的思想.23．已知函数()2123f x x x =-++.（1）求不等式21239x x -++≤的解集；（2）若关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1k k ≤-或}4k ≥. 【解析】（1）分类讨论法去绝对值、解不等式组、求并集即可；（2）将问题转化为方程()f x =23k k -有解，再根据绝对值三角不等式求最小值，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）原不等式等价于12(21)(23)9x x x ⎧>⎪⎨⎪-++≤⎩或3122(21)(23)9x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--++≤⎩或32(21)(23)9x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩ 解得1724x <≤或3122x -≤≤或11342x -≤<-， 所以不等式的解集为11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为212321234x x x x -++≥---=，方程2()30f x k k -+=有解，关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，只需234k k -≥，解得1k ≤-或4k ≥.所以实数k 的取值范围为{1k k ≤-或}4k ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，方程有解问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.。
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试(历史)含答案
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试历史本试卷6页。
总分100分。
考试时间90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．春秋时期，居于中原之地的鲁、卫、宋、郑、陈、蔡、曹、许等国多数都变成了二等、三等的小国，晋、楚、齐、秦等边地之国却成为当时的大国。
其原因在于这些边地之国A．多竞争磨砺且易于拓展疆域B．不断汲取中原地区的文明C．善于学习少数民族的文化D．重视改革且实现了封建化2．战国时期，赵武灵王力主学习少数民族的长处，倡导胡服骑射。
北魏时期，孝文帝力主迁都洛阳，全面实行汉化政策。
他们共同的目的是A．巩固对中原地区的统治B．提升军事实力C．顺应民族交融的潮流D．促进本民族发展3．唐朝，计赃计罪罚皆以绢帛计算，表1为《唐律疏义》中的相关规定。
这反映出唐朝表1A．统治者重视商品经济的发展B．工商业者的社会地位提高C．绢帛具有货币的重要地位D．封建政府重视吏治清明4．汉朝董仲舒主张“君权神授”，宋朝程朱理学主张“天即理也”。
二者本质的相同之处在于A．倡导天人合一B．传承儒学精华C．因时革新文化D．宣扬封建迷信5．明朝前期，大部分士人收取酬金为他人作应酬性文章，他们既要看买主的身份及操行，又不写违心的内容。
明朝中期后，润笔成为士大夫增加经济收入的重要途径，无论买主品德如何，一律有求必应。
这种现象反映出当时A．阶级矛盾日趋激化B．士人的生活方式发生变化C．士大夫阶层逐渐崛起D．儒家伦理道德的影响力增强6．表2为历史学家吕思勉对近代中国某一运动失败原因的总结。
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试英语试题及答案
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试英语第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卜上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题.从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C.1. What will the man do this evening?A. Do exercise.B. Take a test.C. Study at home.2. What is the probable relationship between the speakers?A. Manager and receptionist.B. Salesgirl and customer.C. Doctor and patient.3. What does the woman think of the rooms?A. They are small.B. They are large.C. They are clean.4. What are the speakers talking about?A. The story of losing weight.B. The life of staying at home.C. The experience of getting together.5. Where does the conversation probably take place?A. At home.B. In a hospital.C. In an office.第二节（共15小题；每小题1.5分.满分22.5分）听下面5段对话或独白。
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试(生物)
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试生物本试卷8页。
总分100分。
考试时间90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1．高温使蛋白质分子的空间结构变得伸展、松散，容易被蛋白酶水解，因而煮熟的鸡蛋容易被消化。
下列说法正确的是A．高温破坏蛋白质的肽键，使蛋白质变得伸展、松散B．胃蛋白酶催化鸡蛋蛋白分解的过程中，会有水的生成C．胃蛋白酶是水解蛋白质的酶，自身不会被蛋白酶分解D．胃蛋白酶、鸡蛋中的蛋白质，都是在核糖体上合成的2．我国科研人员在研究细胞迁移的过程中发现了一类由细胞膜包被形成的新的细胞器——迁移小体，该迁移小体与细胞迁移、细胞信息交流有关。
细胞迁移导致TSPAN4蛋白及胆固醇在细胞局部高度富集，增大了富集区域膜的弯曲度，形成直径约为3μm的囊泡，即迁移小体。
最终，这些迁移小体会释放到细胞外。
下列说法错误的是A．迁移小体的形成说明细胞膜具有一定的流动性B．迁移小体释放后可能会被周围的细胞吞噬利用C．迁移小体中可能含有溶菌酶、抗体等信号分子D．抑制TSPAN4蛋白的合成，可能会抑制癌细胞扩散3．启动子是基因的组成部分，控制基因表达的起始时间和表达程度。
多数真核生物基因的启动子中都有一段位于转录起始点上游的DNA序列，其碱基序列为TATAAA（TATA区）。
启动子通过与转录因子及聚合酶结合来实现对基因表达的控制，而单独的启动子本身并不能控制基因活动。
下列说法错误的是A．启动子通过与转录因子以及DNA聚合酶结合来控制基因的复制和转录B．受精卵有些基因的启动子突变可能会影响细胞分裂、分化甚至个体发育C．有些基因的启动子突变可能会引发基因表达的调节障碍而导致性状改变D．将启动子中的TA TA区彻底水解，可以得到4种产物4．电子传递链是一系列电子载体按对电子的亲和力逐渐升高的顺序组成的电子传递系统，其所有组成成分都嵌合于生物膜中。
河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试英语试题
河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试英语试题英语第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题.从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C.1. What will the man do this evening?A. Do exercise.B. Take a test.C. Study at home.2. What is the probable relationship between the speakers?A. Manager and receptionist.B. Salesgirl and customer.C. Doctor and patient.3. What does the woman think of the rooms?A. They are small.B. They are large.C. They are clean.4. What are the speakers talking about?A. The story of losing weight.B. The life of staying at home.C. The experience of getting together.5. Where does the conversation probably take place?A. At home.B. In a hospital.C. In an office.第二节（共15小题；每小题1.5分.满分22.5分）听下面5段对话或独白。
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试
1.设集合 A = {x | x2 − 4x + 3 0} ， B = {x Z |1 x 5} ,则 A B =
A.{2}
B.{3}
2.若复数 z =1− i ,则| z |= 1− z
C.{2,3}
D.{1,2,3}
A.1
B. 2
C. 2 2
D. 4
3.某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动,如果要求至少有 2 名女生
则 M 的轨迹的长度为
.
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
在①对任意 n 1 ,满足 Sn+1 + Sn−1 = 2(Sn + 1) ,② Sn+1 − 2 = Sn + an ③ Sn = nan+1 − n(n + 1) 这三 个条件中任选一个,补充在下面问题中.
绝密★启用前
河北衡水中学 2021 届全国高三第一次联合考试
数学
本试卷 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符题目要求的。
两点,则下列说法一定正确的是
A. | AB | 的最小值为 2
B. 线段 AB 为直径的圆与直线 x = −1 相切
2021届河北省衡水中学高三第一次联合考试(全国卷)英语试题(解析版)
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）英语本试卷8页。
总分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.答案是C.1. What is the woman doing?A. Reading a paper.B. Writing a story.C. Watching night news.2. How will the speakers go to the new shopping mall?A. By car.B. By bus.C. On foot.3. What are the speakers talking about?A. Travel experience.B. The holiday plan.C. European countries.4. What is the relationship between the speakers?A. Boss and secretary.B. Professor and student.C. Interviewer and applicant.5. How much is the typical rent for a two-bedroom flat in Dalton?A. ￡850.B. ￡900.C. ￡950.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试(化学)
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试化学本试卷8页。
总分100分。
考试时间90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Si 28 S 32 Co 59 Zn 65一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法正确的是A．生产SMS医用口罩所用的原料丙烯，主要来源于石油的裂化B．纸浆纤维漂白剂NO2在低温时形成无色液体，该过程属于物理变化C．经分析嫦娥四号采样返回器带回的月球矿物含有CaO·MgO·2SiO2，该物质属于氧化物D．干雾过氧化氢空气消毒机在新冠抗疫中被广泛使用，其原理是利用了过氧化氢的氧化性2．下列有机物命名正确的是A． 3-甲基-1，3-丁二烯B． 2，4，6-三硝基甲苯C． 1-甲基-1-丙醇D．酚醛树脂3．某兴趣小组在实验室中用饱和食盐水、NH3、CO2等试剂模拟“侯氏制碱法”原理，下列仪器在实验中一定用不到的是A．①③B．②⑤C．④⑥D．③⑦4．NA是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．60 g二氧化硅中含有Si—O键的数目为2N AB．在密闭容器中加入2 mol SO2和1 mol O2，充分反应后可得到SO3分子的数目为2N AC．常温下，18 g H2O中含有氢键的数目小于2N AD．1 mol二环[2.2.1]庚烷中含d键的数目为8N A5．丙酮与柠檬醛在一定条件下反应可以合成假紫罗兰酮，再进一步可以合成有工业价值的α-紫罗兰酮和β-紫罗兰酮，转化过程如图所示：下列说法错误的是A．丙酮与柠檬醛合成假紫罗兰酮的过程中先后发生加成反应和消去反应B．假紫罗兰酮、α-紫罗兰酮和β-紫罗兰酮互为同分异构体C．α-紫罗兰酮和β-紫罗兰酮分别与足量Br2发生加成反应的产物分子中都含有4个手性碳原子D．柠檬醛中所有碳原子可能处于同一平面上6．X、Y、Z、W四种元素原子的质子数依次增多，W是原子序数最大的短周期主族元素，X 与Y形成的化合物M为沼气的主要成分，雷电天气时可形成一种具有杀菌作用的Z单质。
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河北衡水中学 2021 届全国高三第一次联合考试
数学
本试卷 4 页。
总分 150 分。
考试时间 120 分钟。
注意
事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符题目要求的。
1.设集合A ={x | x2 - 4x + 3 0} ，B ={x ∈Z |1 <x < 5} ,则A B =
A.{2}
B.{3}
C.{2,3}
D.{1,2,3}
2.若复数z =1-i,则|
z
1 -z
|=
2
A.1
B. 2
3.某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动,如果要求至少有 2 名女生参加,那么不同的选派方案种数为
A.19
B. 38
C. 55
D. 65
4.数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,是意大利著名数学家斐波那契于 1202 年在他撰写的《算盘全书》中提出的,该数列的特点是:从第三项起,每一项都等于它前面两项的和在该数列的前 2020 项中,偶数的个数为
A. 505
B. 673
C. 674
D. 1010
5.已知非零向量a , b 满足| a | = | b | ,且| a + b | = | 2a - b | ,则a 与b 的夹角为 A. 2 π 3
B. π 2
C. π 3
D. π 6 6.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取合并检测法,即将多人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的,若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测,每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相
互独立的,每人检测结果呈阳性的概率为 p ,且检测次数的数学期望为 20,则 p 的值为
1 1
1 1
A.1 ( )20
20
D. 1 - ( )21
21
7.已知未成年男性的体重G (单位:kg )与身高x (单位:cm )的关系可用指数模型G = a e bx 来描述,根据大数据统计计算得到 a = 2.004 , b = 0.0197 .现有一名未成年男性身高为 110cm ,体重为 17.5kg ,预测当他体重为 35kg 时,身高约为(ln2≈0.69)
A. 155 cm
B.150cm
C. 145 cm
D. 135 cm
8.已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为2 , M 为CC 1 的中点,点 N 在侧面 ADD 1 A 1 内,若 BM ⊥ A 1 N .则△ABN 面积的最小值为
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 1
D. 5
二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。
9.已知cos(α+π
) =
3
,则sin(2α-
3
π) =
A. -
24
25
1
2
5 5 5
B. -
12 25 C.
12 25 D.
24 25 10.已知抛物线C : y 2 = 4x ,焦点为 F ,过焦点的直线l 抛物线C 相交于 A (x , y ) , B (x , y )
1 1
2
2
两点,则下列说法一定正确的是 A. | AB | 的最小值为2 B. 线段 AB 为直径的圆与直线
x = -1 相切 C . x 1 x 2 为定值
D. 若
M (-1, 0) ，则∠AMF = ∠BMF 11.已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,其图象关于直线 x = 1 对称,则 A. f (x + 4) = f (x ) B. f (x ) 在区间(-2, 0) 上单调递增 C . f (x ) 有最大值
D. f (x ) = sin
πx
是满足条件的一个函数
2
12.若存在实数t ,对任意的 x ∈ (0, s ] ,不等式(2x - x 2 - t )(1 - t - x )
0 恒成立,则 s 的值可以
为
A.
5 -1 2 B. 5 + 1 2
C.
3 - 5
2
D.
3 + 5 2
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知 F ，F 为双曲线 x 2 - y
4
= 1的左、右焦点, P 为双曲线右支上一点,且| PF 1 |= 2 | PF 2 |
则 △PF 1F 2 的 面 积 为 .
14.已知实数 a ，b ∈ ( 2, +∞) ,且满足 1 - 1
a 2
b 2
> ln b
，则a ，b ， ab 的大小关系是 .
a
15.数学多选题有 A,B,C,D 四个选项,在给出选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为 B,D ,小明同学不会做这道题目,他随机地填涂了至少一个选项,则他能得分的概率为 .
16.在三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥ AB , PA = 4 ， AB = 3 ,二面角 P - AB - C 的大小为 30°, 在侧面△PAB 内(含边界)有一动点 M ,满足 M 到 PA 的距离与 M 到平面 ABC 的距离相等, 则 M 的 轨 迹 的 长 度 为 .
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
2
在①对任意n > 1 ,满足S
n+1 +S
n-1
= 2(S
n
+ 1) ,② S
n+1
- 2 =S
n
+a
n
③S
n
=na
n+1
-n(n + 1) 这三个
条件中任选一个,补充在下面问题中.
问题:已知数列{a
n } 的前n 项和为S
n
, a
2
=4 , ,若数列{a
n
} 是等差数列,求
数列{a
n } 的通项公式;若数列{a
n
} 不一定是等差数列,说明理由.
(注:如果选择多个条件分别作答,则按第一个解答计分)
18.(12 分)
振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数,记录了某天所有工人每人的
制造件数,并对其进行了简单随机抽样统计,统计结果如下：
制造电子产品的件数[40,50)[50, 60)[60, 70)[70,80)[80,90)[90,100]工人数 1 3 11 x 4 1
(1)若去掉[70,80) 内的所有数据,则件数的平均数减少 2 到 3(即大于等于 2,且小于 3),试求样本中制造电子产品的件数在[70,80) 的人数x 的取值范围;(同一区间数据用该组区间数据
的中点值作代表)
(2)若电子厂共有工人1500 人,且每位工人制造电子产品的件数X N (70,112 ) ,试估计制造电子产品件数小于等于48 件的工人的人数.
附:若X N (μ,σ2 ) ,则P(μ-σ<x
μ+σ) ≈ 0.68 ，P(μ- 2σ<x
A
D μ + 2σ ) ≈ 0.96 .
19.(12 分)
如图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , AC 与 BD 相交于点 O , OB ⋅ sin ∠ABD = OD ⋅ sin ∠ADB ∠ABC = π
， AB = 3BC = 3 . 3
D
(1)求sin ∠DAC ; C (2)若∠ADC = 2π ,求四边形
ABCD 的面积. O
3
A
B
20.(12 分)
如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,平面 PAC ⊥底面 ABCD , PA = PC = AC . (1)证明: AC ⊥ PB .
(2)若 PB 与底面所成的角为45︒ ,求二面角 B - PC - A 的余弦值.
P
21.(12 分)
B C
知椭圆C 的焦点在 x 轴上,并且经过点(0,1) ,离心率为 3
.
2
(1)求椭圆C 的标准方程; (2)动直线l 与圆O : x 2 + y 2 = 1 相切于点 M ,与椭圆C 相交于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 D ,求△OMD 面积的最大值,并求此时点 D 的坐标. 22.(12 分) 已知函数 f (x ) =
x e
x -1
- x ln x
(1)求函数 y = f (x ) 在 x = 1 处的切线方程 (2)证明:(i ) f (x ) < 2 ;
(ii )意 n ∈ N * , e n -1 < (2n - ln n )n .。