北师大版高中数学必修4课件1.2角的概念的推广 课件
1.2 角的概念的推广
新课导入
1.角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角。 ②角的第二种定义是角可以看成平面 内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形。
探究新知
角的有关概念
① 角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2. 象限角与轴线角的概念：
象限角定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴 的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角。
轴线角定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴 的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在坐标轴上， 我们就说这个角是轴线角。
例题解析
巩固练习 请说出角 、 、 各是多少度？ (教材P3图1.1-3)
210
0
巩固练习
请说出角 、 、 (教材P3图1.1-3)
各是多少度？
－ 150
巩固练习
请说出角 ， ， 各是多少度？ (教材P3图1.1-3)
660
0
探究新知
例1 如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
y
45°
y
o
⑴
x
60°
o
⑵
30°
x
例题解析 例2 在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限 的角。
(1)60 ;(2)120 ;(3)240 ;(4)300 ;(5)420 ;(6)480
探究新知 终边相同的角的表示： 所有与角 终边相同的角，连同 在内，可构成一 个集合
例题解析 例3 在 0 ~ 360 范围内，找出与下列各角终边相等的角，
并判断它们是第几象限角。
(1) 120 ;(2)640 ;(3) 950 12
'
例题解析 例4 写出终边在
y
轴上的角的集合(用 0 ~ 360 的角表示)。
例题解析 例5 写出终边在 y
x 上的角的集合 S ，并把 S 中适合不等式
②角的名称
B
终边
始边
O
顶点
A
③ 角的分类
正角：按逆时针方向旋转形成的角。 零角：射线没有任何旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
注意！
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”
⑵零角的终边与始边重合，如果 是零角 = 0° ⑶角的概念经过推广后，已包括正 角、负角和零角。
课后作业
1、阅读教材P2-P5； 2、教材P5练习第1-5题；
3、教材P9习题1.1第1、2、3题。
360 ＜720 的元素 写出来。
小结:
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 1.任意角的概念： 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 (1)置角的顶点于原点 (2)始边重合于X轴的正半轴 (3)终边落在第几象限就是第几象限
2.象限角：
3.与α终边相同的角组成的集合： S | k 3600 , k Z
S | k 3600 , k Z 即任一与角
终边相同
Байду номын сангаас
的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
注意: ⑴ k Z ；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
终边相同的角有无限个，它们相差 360 的整数倍；
⑷ 角 k 720 与角 终边相同，但不能表示与角 终边相同的所有角。
第一章角的概念推广、象限角及其表示-【新】北师大版高中数学必修第二册PPT全文课件
又k∈Z,所以k=1,或k=2. 当k=1时,β=435°; 当k=2时,β=795°.
第一章角的概念推广、象限角及其表 示-【新 】北师 大版高 中数学 必修第 二册PP T全文 课件【 完美课 件】
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激趣诱思
知识点拨
微思考1 60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系? 提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°, 420°=60°+360°,780°=60°+2×360°. 微思考2 如何表示与60°终边相同的角的集合? 提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
第一章角的概念推广、象限角及其表 示-【新 】北师 大版高 中数学 必修第 二册PP T全文 课件【 完美课 件】
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 概念辨析问题的求解方略 对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接 判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基 本概念才能作出正确的判断.
探究三
当堂检测
反思感悟 象限角的判定 1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的 表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限. 2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首 先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终 边所在的位置.
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
【数学】1.2《角的概念的推广》课件(北师大版必修4)
小结： 1.任意角 任意角 的概念 2.象限角 象限角
正角：射线按逆时针方向旋 正角： 转形成的角 负角： 负角：射线按顺时针方向 旋转形成的角 零角： 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于 轴的非负半轴 始边重合于X轴的非负半轴 始边重合于
终边落在第几象限就是第几象限角
与α终边相同的角的一般形式为 终边相同的角的一般形式为 α＋K · 3600，K ∈ Z ＋ 注:（1） K ∈ Z （ ） （2） α 是任意角 ）
（3）K·360°与α 之间是“+”号，如 之间是“ 号 ） ° K·360°-30 °，应看成 应看成K·360 °+（-30 ° ） ° （ （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终 ）终边相同的角不一定相等， 边一定相同，终边相同的角有无数多个， 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍 相差 °
写出终边落在Y 例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形 900 +K ·3600 y
1800
+K·
3600
o
x 或3600＋K ·3600 +K· 3600
00 +K
· 3600
2700
例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 终边落在ｙ S1={β| β=900+K·3600,K∈Z} | ∈Z} ={β| β=900+2K·1800,K∈Z} ∈ ={β| β=900+1800 的偶数倍 数倍} 终边落在ｙ 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K·3600,K∈Z} ∈ ={β| β=900+1800+2K·1800,K∈Z} ∈ ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} （ ） ∈ ={β| β=900+1800 的奇数倍 数倍}
数学北师大版必修4课堂导学：1.2角的概念的推广 含解
课堂导学三点剖析1.任意角和象限角的概念【例1】在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法，像这种动作名称表示的角度是多大？思路分析:利用角的定义及正角、负角的概念，“转体三周”即转过3个360°（或-360°），“两周半”即2.5个360°（或-360°），则问题迎刃而解.解:如果是逆时针转体，则分别是360°×3=1 080°和360°×2.5=900°；若是顺时针转体，则分别为-1 080°和-900°.友情提示分清正角是按逆时针转动的角，负角是按顺时针转动的角,是学习角的关键.各个击破类题演练1若将时钟拨慢5分钟，则分针转了______度；时针转了______度.解析：将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角这时，分针转过的角度是：360°12=30°;时针转过的角度是：30°12=2.5°.答案:30 2.5变式提升1时针走过两小时，则分针转过______度.解析：分针按顺时针方向旋转，所以形成的角为负角.为-360°×2=-720°.答案：-7202.终边相同的符号表示【例2】在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.（1）908°28′；（2）-734°.思路分析:将题中角化成α+k·360°（k∈Z），α在0°—360°之间的形式即可.解:（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限角；（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.友情提示一般地，化角x为α+k·360°(k∈Z)时，可由x除以360°来确定k及α的值，对不合要求的α可以通过修正k来进一步求解.类题演练2在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.解析:与60°角终边相同的角的集合为：{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，令-720°≤60°+k·360°≤720°,得k=-2，-1,0，1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°，从而S={-660°,-300°,60°,420°}.变式提升2求终边在直线y=-x上的角的集合.解析:在0°—360°范围内满足条件的角为135°和315°，∴终边在直线y=-x上的角的集合为{α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}.3.任意角的概念【例3】 下列命题中，正确的是（ ）A.终边相同的角一定相等B.锐角都是第一象限角C.第一象限的角都是锐角D.小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z }，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C 错;小于90°的角也可以是负角，因此D 错；正确答案为B. 答案：B友情提示（1）准确区分各类型的角以及它们的差异是解决本题的关键.小于90°的角不要误认为就是锐角，它包括锐角、零角和负角，只有小于90°的正角才是锐角，要特别注意从现在起角已经推广到了零角和负角.(2)对于本题，还可结合集合知识推广出去.类题演练 3设E={小于90°的角}，F={锐角}，G={第一象限的角}，M={小于90°但不小于0°的角}，那么有（ ） A.F G E B.F E G C.M （E∩G ） D.（E∩G ）∩M=F解析：E={α|α＜90°},F={α|0°＜α＜90°},G={α|2kπ＜α＜2kπ+2,k ∈Z },M={α|0°≤α＜90°}, ∴(E∩G)∩M=F,故选D.答案：D变式提升 3设集合M={大于90°的角}，N={第二象限角}，则M∩N 等于( )A.{钝角}B.{大于90°的角}C.{第二象限角}D.以上均不对解析：第二象限角包括钝角和终边落在第二象限的角；大于90°的角也包括钝角和第二象限角，故选D.答案：D。
高一数学必修4总复习课件
y
P(x,y)
r
o
●
x
2 2
r x y
当点P在单位圆上时，r =1 (2) 三角函数值的符号：
y y y
O
x
O
x
O
x
sin
cos
tan
6. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系：sin cos 1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影． 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos 的乘积
a x1 , y1 , b x2 , y2 a , b非零向量
AB
x2 x1 y2 y1
2
2
a x1 , y1 , b x2 , y2 a , b非零向量
(1)垂直:
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
(2)平行:
a // b b a x y x y
定理 (1)有关向量共线问题: 的应 (2)证明三点共线的问题: 用:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题:
AB CD AB // CD 直线AB // 直线CD AB与CD不在同一直线上
平面向量基本定理:
如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
(二)二倍角公式
C2 cos 2 cos2 sin 2 2 tan T2 tan 2 1 tan
高中数学必修四课件全册
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
二、象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：
S { | k 360 , k Z} （角度制）
{ | 2k , k Z} （弧度制）
例1、求在 0 到 360（ 0到2）范围内，与下列各角终边相同的角
混用角度制和弧度制
180 180 1 rad
1
rad
180
57.30
1 rad
180
（4）弧长公式和扇形面积公式.
lr
S r2 1 r2 1l r
2
2
2
l
n 360
2
r
n
180
r
S
n 360
r2
n
360
r2
2、角度与弧度的互化
2 360
1弧度 (180) 57.30 5718,
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练1.2角的概念的推广 Word版含答案
课后训练1．设A＝{锐角}，B＝{小于90°的角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()．A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D2．在四个角－20°，－400°，－2 000°，600°中，第四象限的角的个数是()．A．0个B．1个C．2个D．3个3．将－885°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()．A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是()．A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k×360°－45°≤α≤k×360°＋120°，k∈Z}D．{α|k×360°＋120°≤α≤k×360°＋315°，k∈Z}5．若角α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为()．A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限6．α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－240°，则β＝()A．－240°B．－60°C．k×180°－60°(k∈Z)D．k×360°－60°(k∈Z)7．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第__________象限角．8．(1)角α终边上一点的坐标是(3，－3)，则角α的集合是__________．(2)把25°角的终边按顺时针方向旋转4.5周，所得的角是__________．9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．10．如图所示：(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．参考答案1答案：D2答案：C3答案：B4答案：C5答案：C6答案：D7答案：一或三8答案：(1){α|α＝315°＋k×360°，k∈Z}(2)－1 595°9答案：(1)－190°(2)170°10答案：(1)终边落在OA上的角的集合为{α|α＝k×360°＋135°，k∈Z}，终边落在OB 上的角的集合为{β|β＝k×360°＋330°，k∈Z}(2){α|k×360°－30°≤α≤k×360°＋135°，k∈Z}。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
高中数学人教B版必修4第一章_1.1.1角的概念的推广课 件
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1
本 课 时 栏 目 开 关
α 例 3 已知 α 是第二象限角，试确定 2α， 的终边所在的位置． 2 解 因为 α 是第二象限角， 所以 k· 360° ＋90° <α<k· 360° ＋180° ，k∈Z. 所以 2k· 360° ＋180° <2α<2k· 360° ＋360° ，k∈Z， 所以 2α 的终边在第三或第四象限或终边在 y 轴的非正半轴上． 因为 k· 360° ＋90° <α<k· 360° ＋180° ，k∈Z， α 所以 k· 180° ＋45° <2<k· 180° ＋90° ，k∈Z， α 所以当 k＝2n，n∈Z 时，n· 360° ＋45° < <n· 360° ＋90° ， 2 α 即 的终边在第一象限； 2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.1.1
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应 用“运动”的观点下定义，理解这一概念时， 要注意“旋转
本 课 时 栏 目 开 关
方向”决定角的“正负”， “旋转幅度”决定角的“绝对值 大小”． 2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成 一个集合 S＝{β|β＝α＋k· 360° ， k∈Z}， 即任一与角 α 终边相 同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和． 注意：(1)α 为任意角． (2)k· 360° 与 α 之间是“＋”号，k· 360° －α 可理解为 k· 360° ＋(－α)．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1
例 2 写出终边落在直线 y＝x 上的角的集合 S，并把 S 中适合 不等式－360° ≤β<720° 的元素 β 写出来． 解 直线 y＝x 与 x 轴的夹角是 45° ，在 0° ～360° 范围内，终边
北师大版高中数学必修四 角的概念与推广课件
解：①与-20终边相同:的 -角 20 为 k36,0kZ
当 k1时， 3400,360
-20与 34终 0 边相同都在第四象限
②与-20 终边相同:的 7角 40为 k36,0kZ
当 k2时， 20 0,360
74与 020 终边相同都在第一象限
A k36 ,k 0 Z
y
B 9 k 0 3 ,k 6 Z 0
x
C 1 8 k 3 0 ,k 6 Z 0 O
D 2 7 k 3 0 ,k 6 Z 0
3、练一练：写出下列角的集合
（1）终边落在第一象限
（2）终边落在第二象限
（3）终边落在第三象限
C 1 8 k 3 0 ,k 6 Z 0
O
x
D 2 7 k 3 0 ,k 6 Z 0
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行