【成才之路】2016年春高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第4课时 数列的综合应用同步课件 新人教B版必修5
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列
的通项公式an＝________.
[答案] 2n
[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则 a1＋5d＝12 则 3×2 3a1＋ 2 d＝12
a1＋5d＝12 即 a1＋d＝4
，
a1＝2 ，解得 d＝2
[解析] (1)解法一：设等差数列{an}的公差为 d，则依题设 d>0. 由 a2＋a7＝16，得 2a1＋7d＝16. 由 a3· a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55. 220，即 256－9d2＝220， ∴d2＝4.又 d>0，∴d＝2.代入①得 a1＝1. ∴an＝1＋(n－1)· 2＝2n－1. ① ②
3．等比数列的通项公式及前 n 项和公式
a1· qn－1 首项为 a1，公比为 q，则通项公式 an＝____________ ，前
na1q＝1 a11－qn q≠1 1 － q n 项和公式 Sn＝__________________.
4．等比数列{an}的主要性质 qn－m (1)an＝am·__________ ；
罗马，每人有 7骡，每骡负7袋，每袋盛有 7个面包，每个面包
有7把小刀随之，问列举之物全数共几何？”
1．等差数列的通项公式及前 n 项和公式 数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则通项公式
na1＋an a1＋(n－1)d ，前 n 项和公式 Sn ＝ ________________ 2 an ＝ ____________ ＝ 1 na1＋2n(n－1)d _______________.
3．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利
为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票 的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年 利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额(不包括a元的投资) 为( ) A．4a(1.06n－1)元 C．0.24a(1＋6%)n－1元 [答案] A B．a(1.06n－1)元 D．4(1.06n－1)元
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 数 列
第二章
2．3 第4课时 等比数列 数列的综合应用
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练习
中世纪，意大利数学家斐波那契 (1170 ～ 1250) 在 1202年发 表《算盘全书》一书，书中有这样一题：“今有 7老妇人共往
2 2
5 所以{bn}是以4为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式 5 n－1 － 为 bn＝4· 2 ＝5· 2n 3.
5 n 1 － 2 4 5 5 n－2 (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ ＝5· 2 －4， 即 Sn＋4＝ 1－2 5· 2n－2， 5 Sn＋1＋4 5· 2n－1 5 5 所以 S1＋4＝2， n－2＝2， 5 ＝5· 2 Sn＋4 5 5 因此{Sn＋4}是以2为首项，公比为 2 的等比数列.
2．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝
1，那么a10＝(
A．1 C．10 [答案] A
)
B．9 D．55
[解析] ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝1. 即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.
[点评]
将实际问题化为数学问题，而本例中数学问题就 的数列求通项问题．
a1＝b 是形如 an＋1＝can＋d
农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地
区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收 入为1 350元)预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收 入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根 据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于( A．4 200元～4 400元 C．4 600元～4 800元 [答案] B ) B．4 400元～4 600元 D．4 800元～5 000元
等差、等比数列的实际应用 某林场2008年年底森林木材储存量为330万立方 米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从2009年起，每年
冬天要砍伐的木材量为 x 万立方米，为了实现经过 20 年木材储
存量翻两番的目标，每年砍伐的木材量 x 的最大值是多少？ (lg 2≈0.3) [ 分析 ] 本例既要考虑到增长问题，又要考虑到砍伐问 题，增长率问题是等差数列的题目，砍伐问题是一个常量．
课堂典例讲练
等差、等比数列的综合应用 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足 a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式； b1 b2 b3 bn (2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝ 2 ＋22＋23＋„2n (n 为正整数)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
[解析] 设 n 年后他拥有的红利与利息之和为 an 元，则 a1＝a· 24%＝0.24a， a2＝a· 24%＋a1(1＋6%)＝0.24a＋0.24a· 1.06， a3＝a· 24%＋a2· 1.06＝0.24a＋0.24a· 1.06＋0.24a· 1.062， „ an＝0.24a＋0.24a· 1.06＋0.24a· 1.062＋„＋0.24a· 1.06n－1 ＝0.24a(1＋1.06＋1.062＋„＋1.06n－1) 1－1.06n ＝0.24a· 1－1.06 ＝4a(1.06n－1)．
成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加 上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； 5 (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：数列{Sn＋4}是等比 数列．
[解析]
d.
(1)设成等差数列的三个正数分别为 a－d，a，a＋
由①得 2a1 ＝ 16 － 7d ，将其代入②得 (16 － 3d)(16 ＋ 3d) ＝
解法二：由等差数列的性质得：a2＋a7＝a3＋a6，
a3a6＝55 ∴ a3＋a6＝16
，
由韦达定理知 a3，a6 是方程 x2－16x＋55＝0 的根，解方程 得 x＝5 或 x＝11. a6－a3 设公差为 d，则由 a6＝a3＋3d，得 d＝ 3 . 11－5 ∵d>0，∴a3＝5，a6＝11，d＝ 3 ＝2， a1＝a3－2d＝5－4＝1. 故 an＝2n－1.
.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.
1 1 1 1 1 5.4－8＋16－32＋„－1 024＝________. [答案] 171 1 024
1 1 1 1 1 [解析] 原式＝22－23＋24－25＋„－210 1 19 4[1－－2 ] 171 ＝ 1 ＝1 024. 1－－2
6．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，
1 ．如果数列 {an} 满足 a1 ， a2 － a1 ， a3 － a2 ，„， an － an －
1，„，是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝(
)
A．2n＋1－1 C．2n－1 [答案] B
B．2n－1 D．2n＋1
[解析] an－an－1＝a1qn 1＝2n 1，
－ －
a2－a1＝2 a3－a2＝22 即 ⋮ n－1 a － a ＝ 2 n n －1 相加得 an－a1＝2＋22＋„＋2n－1＝2n－2 故 an＝a1＋2n－2＝2n－1.
2 bn＝ n＋1 2
n＝1 . n≥2
当 n＝1 时，S1＝b1＝2； 当 n≥2 时，Sn＝b1＋b2＋b3＋„＋bn b21－2n－1 n＋2 ＝2＋ ＝2 －6. 1－2 ∵当 n＝1 时上式也成立， ∴当 n 为正整数时都有 Sn＝2n 2－6.
＋
bn 解法二：令 cn＝2n，则有 an＝c1＋c2＋„＋cn， an＋1＝c1＋c2＋„＋cn＋1， 两式相减得 an＋1－an＝cn＋1. 由(1)得 a1＝1，an＋1－an＝2. ∴cn＋1＝2，cn＝2(n≥2)，即当 n≥2 时，bn＝2n＋1，
2．等差数列{an}的主要性质 (n－m)d ； (1)an＝am＋__________
(2) 若 m 、 n 、 p 、 q 为 正 整 数 ， m ＋ n ＝ p ＋ q ， 则
am＋an＝ap＋aq __________________ ；
(3) 等差数列 {an} 的前 m 项和 Sm ，则 Sm ， S2m － Sm ， S3m － 等差 数列． S2m，„，成________
a4 ＝ 12 ，数列 {bn} 满足 b1 ＝ 4 ， b4 ＝ 20 ，且 {bn － an} 为等比数 列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 a4－a1 12－3 d＝ 3 ＝ 3 ＝3. 所以 an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，„)． 设等比数列{bn－an}的公比为 q，由题意得 b4－a4 20－12 q＝ ＝ ＝8，解得 q＝2. b1－a1 4－3
3
所以 bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1， 从而 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，„)．
(2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，„)． 3 数列{3n}的前 n 项和为2n(n＋1)，数列{2n－1}的前 n 项和为 1－2n 1× ＝2n－1. 1－2 3 所以，数列{bn}的前 n 项和为2n(n＋1)＋2n－1.
[解析] 设从 2008 年起的每年年底木材储存量组成数列为 {an}，则 a1＝330 ， 5 a ＝an1＋25%－x＝4an－x n＋1 5 则 an＋1－4x＝4(an－4x)， an＋1－4x 5 即 ＝4. an－4x
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.1 第1课时 合情推理
1-2
三 归纳推理
1．定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出
这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简 称归纳)．
即：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”，得出“一 切金属都能导电”． 2．归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质． (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
第二章
推理与证明
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1-2
5．换元法 换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变 量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代 换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来 新的启迪和方法．
第二章
推理与证明
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第二章
2.1
第1课时
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1-2
观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， „„ 照此规律，第n个等式可为_________________________． [答案] (n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2n×1×3ׄ×(2n－1)．
第二章
2.1
第1课时
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1-2
六 几种常见类比
1．类比定义 关键要找出两个概念的相似性和不同点，得出结论的异 同． 2．类比性质
关键要深刻理解已知性质的内涵与外延及应用，通过类比
《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件： 第2章 平面向量 2.2.3
)
第二章
2.2
2.2.3
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1 2．将12[2(2a＋8b)－4(4a－2b)] 化简成最简式为( A．2a－b C．a－b B．2b－a D．b－a
)
[ 答案]
[ 解析]
B
1 1 原式＝12(4a＋16b－16a＋8b) ＝12[(4－16)a＋(16＋
第二章
2.2
2.2.3
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2．向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律： 设 λ、μ 为实数，则
(λμ)a (1)λ(μa)＝________ ； λa＋μa ； (2)(λ＋μ)a＝________ a＋λb (3)λ(a＋b)＝λ ________( 分配律)． －(λa) ＝ ________ λ(－a) ， λ(a － b) ＝ 特别地，我们有 ( － λ)a ＝ ________ λa－λb ． ________
1 8)b] ＝12(－12a＋24b)＝2b－a
第二章
2.2
2.2.3
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→ → → 3．在▱ABCD 中，AB＝2a，AD＝3b，则AC等于( A．a＋b C．2a＋3b B．a－b D．2a－3b
)
[ 答案]
[ 解析]
C → → → AC＝AB＋AD＝2a＋3B．
2.2
2.2.3
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●自主预习 1．向量的数乘
定义 长度 λ>0 方向 λ＝0 λ<0
向量 ， 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_______
【成才之路】2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二课件：章末归纳总结4
利用转化与化归的思想将方程解的个数问题转化
为两个函数图象的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用 图象形结合的思想求解．
第四章
章末归纳整合
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第四章
章末归纳整合
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已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
y (1)求x的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
第四章
章末归纳整合
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[解析]
(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为
圆心，半径为 3的圆． y 设x＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆(x－2)2＋y2＝3 相切 |2k－0| 时，斜率 k 取得最大值和最小值，此时有 2 ＝ 3，解得 k k ＋1 y ＝± 3故x的最大值为 3，最小值为－ 3.
第四章
章末归纳整合
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32 2 求圆心在圆(x－2) ＋y ＝2 上，且与 x 轴和直 1 线 x＝－2都相切的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 32 2 1 ∵圆(x－2) ＋y ＝2 在直线 x＝－2的右侧， 且所求的圆与 x 1 轴和直线 x＝－2都相切， 1 1 ∴a>－2.∴r＝a＋2，r＝|b|.
第四章
章末归纳整合
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过点 P( － 2 ，－ 3) 作圆 C ： (x － 4)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 9
2015-2016学年高中数学 第二章 数列章末归纳总结课件 新人教A版必修5
[分析]
此数列的通项公式为 an＝2n＋ 1 2n＋1
1 2n＋1
，而数列{2n}
是一个等差数列，数列{ 和法．
}是一个等比数列，故采用分组求
1 1 1 1 [解析] Sn＝24＋48＋616＋…＋(2n＋ n＋1) 2 1 1 1 1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋23＋24＋…＋ n＋1) 2 1 1n n2n＋2 22[1－2 ] ＝ ＋ 2 1 1－2 1 1 ＝n(n＋1)＋2－ n＋1. 2 [方法规律总结 ] 如果一个数列的通项公式能拆成几项的
－
且 n＝1 时，a1＝9 也适合上式， ∴an＝9×10n－1.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝101＋1＝11， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(10n＋1)－(10n 1＋1)
－
＝9×10n－1， 而 n＝1 时，a1＝11，不适合上式，
11，n＝1， ∴an＝ n－1 9 × 10 ，n≥2.
[分析] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 求 an 时，要注意运用 an 和 Sn 的关系，即
S1，n＝1， an＝ Sn－Sn－1，n≥2.
[解析] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝9， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(10n－1)－(10n－1－1) ＝10n－10n－1 ＝9×10n 1，
求数列1,3,7,13,21，…的一个通项公式． [分析] 通过观察发现，该数列中从第二项起每一项与它 的前一项的差是等差数列，故可利用累加法求解． [解析] ∵a2－a1＝3－1＝2， a3－a2＝7－3＝4，
a4－a3＝13－7＝6，
… an－an－1＝2(n－1)．
以上n－1个等式左右两边分别相加，得 an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝(n－1)n， ∴an＝n2－n＋1， 且n＝1时，a1＝1适合上式，
成才之路人教B版数学必修5同步课件：2-3-2《等比数列的性质》
A．10
B．25
C．50
D．75
[答案] B
第二章 2.3 第2课时
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[解析] 解法一：∵a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，∴ a8·a9·a10·a11＝52＝25.
解法二：由已知得a1q6·a1q11＝a21q17＝5， ∴a8·a9·a10·a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10 ＝a41·q34＝(a21q17)2＝25.
又a2＝1，∴a1＝aq2＝
1＝ 2
2 2.
第二章 2.3 第2课时
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3．等比数列{an}中，a1a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q的值 为__________．
[答案] 2，－2，12或－12
第二章 2.3 第2课时
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第二章 2.3 第2课时
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答案： 1．(1)qn－m (2)ap·aq a2p 2．an－1 an－k＋1 3．(1)①cq ②|q| (2)q1·q2
第二章 2.3 第2课时
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这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
成才之路人教A版数学必修2-2.2.3
第二章
2.2
2.2.3
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互动课堂
第二章
2.2
2.2.3
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●典例探究
对线面平行性质定理的理解
求证： 如果一条直线和两个相交平面都平行， 那 么这条直线和它们的交线平行．
第二章
2.2
2.2.3
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[拓展] 解决线面平行问题的策略 解决证明问题的策略是由求证想判定，由已知想性质，总 是对“判定”和“性质”进行转化，最终就能统一起来，即找 到了证明思路．
第二章
2.2
2.2.3
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第二章
2.2
2.2.3
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[破疑点] 法．
(1)性质定理可以作为直线与直线平行的判定方
(2)若a∥α，在平面α内找到一条直线b，使b∥a的作法是： 经过已知直线作一个平面和已知平面相交，则交线和已知直线
a平行．此交线就是要找的直线b.
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
成才之路人教A版数学必修2-2.3.2
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平
面角是(
)
A．∠ABC B．∠ABB1 C．∠ABA1 D．∠ABC1 [答案] C [解析]
第二章
2.3
2.3.2
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3 ．如图所示，已知 AB⊥平面 BCD ， BC⊥CD ，则图中互
面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二 面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
第二章
2.3
2.3.2
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2．平面与平面垂直
(1) 定 义 ： 两 个 平 面 相 交 ， 如 果 它 们 所 成 的 二 面 角 是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直， __________ α⊥β 记作__________. (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成 横边 垂直．如图所示． 与水平平面的__________
2.3.2
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●课标展示 1 ．了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大 小． 2．掌握两个平面互相垂直的定义和画法．
《成才之路》2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.3.4
第二章 2.3 2.3.4基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．(陕西高考文)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.3．(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)[答案] A[解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ．5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( ) A ．－6B ．6C ．2D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．(2015·济南模拟)若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2[答案] A[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)， a －m b ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2) ∵(2a ＋b )∥(a －m b ) ∴－1＝(1＋3m )×2 ∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．(2015·北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为________． [答案] λ＝u[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )． 又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． [解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标． [解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11. 能力提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是( ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量 D ．不共线[答案] B[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b 共线且方向相反．2．(2015·福州高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 32×13＝sin αcos α，sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3．(重庆高考文)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[思路点拨] 分别求出a ＋b,4b －2a ，将向量共线的条件转化为坐标运算，从而求出x 的值．[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[答案] C[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)． 二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k 3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P 的坐标为________．[答案] (45，34)[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )，由题意得⎩⎨⎧x －2＝23(－1－x )，y ＋1＝23(3－y )，解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35. 三、解答题7．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)． 由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎨⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0. ∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)， ∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。
成才之路·人教A版数学选修课件2-3 2.3.2
nn－1· n－2！ ＝i(i－1)· i· i－1· i－2！[n－2－i－2]！
i 2 C ＝n(n－1)__________. n－2
－
第二章
2.3
2.3.2
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∴ i(i－1)Cinpi(1－p)n
设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 分布列为 x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn
由 Y＝aX＋b(a，b 为常数)知 Y 也是离散型随机变量．Y 的
第二章
2.3
2.3.2
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Y P
ax1＋ ax2＋ b p1
n
b p2
„ „
axi＋ b pi
„ „
axn＋ b pn
由数学期望的线性性质得 E(Y)＝aE(X)＋b，于是 D(aX＋b)＝D(Y)＝ (axi＋b－E(Y))2pi
i＝1
＝ (axi＋b－aE(X)－b) pi＝ (axi－aE(X))2pi
2 i＝1 i＝1
n
n
a (xi－E(X))2pi 2D(X) a ＝ i 1 ＝______________________＝__________．
3 ．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏
均值 的平均程度，方差(或标准差 )越小，则随机变量 离于________ 越小 ． 偏离于均值的平均程度________
第二章
2.3
2.3.2
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成才之路人教A版数学必修2-3.3.3、4
第三章
3.3
3.3.3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
新知导学 1．点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
|Ax0＋By0＋C| 2 2 A ＋ B d＝________________.
第三章
3.3
3.3.3
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2． 两平行直线 x＋y＋2＝0 与 x＋y－3＝0 的距离等于( 5 A．2 2 C．5 2
[答案] A
)
2 B． 2 D． 2
[解析] 直线 x＋y＋2＝0 与 x 轴的交点是 P(－2,0)，点 P |－2＋0－3| 5 到直线 x＋y－3＝0 的距离 d＝ 2 2 ＝2 2，即这两条平 1 ＋1 5 行线间的距离为2 2.
(3)公式 一般地，已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋ By＋C2＝0(C1≠C2)．设 P(x0，y0)是直线 l2 上的任意一点，则 Ax0＋By0＋C2＝0，即 Ax0＋By0＝－C2，于是 P(x0，y0)到直线 l1： Ax＋By＋C1＝0 的距离 |Ax0＋By0＋C1| |C1－C2| d＝ ＝ 2 2 2 2. A ＋B A ＋B 此式就是两条平行直线 l1 与 l2 间的距离公式．
规律总结：透析点到直线的距离公式：
(1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短距 离； (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况，特 别地点在直线上时，该距离为0；
(3)求点到直线的距离的步骤： ①将直线方程化为一般式 Ax＋By＋C＝0； |Ax0＋By0＋C| ②将点(x0，y0)代入公式 d＝ ，计算可得． 2 2 A ＋B