电网络分析4
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国家电网考试之电网络分析理论：不讲!第四章网络的代数方程回路割集及例题(3)
T
T
网络的端口电流列向量
u u1 , u2 , , u2 p , u2 p1 , , u2 pq
F(u) f1 (u1 ), f 2 (u2 ),
T1 T
网络的端口电压列向量
f 2 p (u2 p ), f 2 p1 (u2 p1 ),
u2 p 1 u2 p
式中
1 Tk ( k ) f 1
(k ) r
i2 p 1
D1
－
fm (um ) I sm (eum /UTm 1)
i2 p q Dq
＋
u2 p q
－
外部非线性网络的方程
i TF(u)
i i1 , i2 , , i2 p , i2 p1 , , i2 pq
Q f YbQT f Ut Q f I s Q f Y b Us
定义
Yt Q f YbQT f
割集导纳矩阵
J t Q f I s Q f Yb U s 割集电流源列向量
割集电压方程的矩阵形式
Yt Ut J t
例题
二、非线性电阻电路方程的矩阵形式
非线性电阻电路的方程的基本形式: • 标准形式 • 一般形式
T称为表格矩阵
TW V
• 对于非线性电阻电路
Aib (t ) 0
ub (t ) AT un (t ) 0
h(ub , i b ) 0
例题
•添加支路法
KCL : 节点p流出电流 I bk 节点q流出电流 I bk KVL : Ubk U p U q 0 VAR : I bk GUbk 0 相应的送值表如下表所示
T Bf F(Bf I l Is ) Bf Us
T
网络的端口电流列向量
u u1 , u2 , , u2 p , u2 p1 , , u2 pq
F(u) f1 (u1 ), f 2 (u2 ),
T1 T
网络的端口电压列向量
f 2 p (u2 p ), f 2 p1 (u2 p1 ),
u2 p 1 u2 p
式中
1 Tk ( k ) f 1
(k ) r
i2 p 1
D1
－
fm (um ) I sm (eum /UTm 1)
i2 p q Dq
＋
u2 p q
－
外部非线性网络的方程
i TF(u)
i i1 , i2 , , i2 p , i2 p1 , , i2 pq
Q f YbQT f Ut Q f I s Q f Y b Us
定义
Yt Q f YbQT f
割集导纳矩阵
J t Q f I s Q f Yb U s 割集电流源列向量
割集电压方程的矩阵形式
Yt Ut J t
例题
二、非线性电阻电路方程的矩阵形式
非线性电阻电路的方程的基本形式: • 标准形式 • 一般形式
T称为表格矩阵
TW V
• 对于非线性电阻电路
Aib (t ) 0
ub (t ) AT un (t ) 0
h(ub , i b ) 0
例题
•添加支路法
KCL : 节点p流出电流 I bk 节点q流出电流 I bk KVL : Ubk U p U q 0 VAR : I bk GUbk 0 相应的送值表如下表所示
T Bf F(Bf I l Is ) Bf Us
电路分析基础 4网孔法
5
4
6
• 独立KVL回路选择： • 方法1. 每选一个回路，让该回路包含新的支路，
选满b-n+1个为止。（如上例中1、3、7回路。） • 方法2. 对平面电路， b-n+1个网孔是一组独立
回路。（如上例中1、2、4回路。）
一、电路分析方法
1、 2b法: （2b个联立方程）
例9 求图示电路的输入电阻（不含受控源）
Ri
Ri 1
例10 求图示单口网络的输入电阻 R。i
i A+
u
RL
B-
解： i u 2i
RL
i u
2i
RL
Ri
u i
RL
结论：对于不含独立源但含有受控源的单口网络可 以等效为一个电阻，而且等效电阻还可能为负值。
X
第二章 电阻电路的基本分析法
本章重点： 1、了解支路分析法 2、熟练掌握网孔分析法 3、熟练掌握节点分析法 4、掌握含运放电路的分析
KCL方程的独立性
对于节点1、 2、 3、 4可列出KCL方程(电流流出
节点取“+”号， 流入取“-”号)为
2
（1） i1 i4 i6 0
1
2
（2） i1 i2 i3 0
1
3
3
（3） i2 i5 i6 0
（4） i3 i4 i5 0
4
5
4
6
有线性代数知识：上述4个方程线性不独立，其 中任意3个方程可组成独立方程组。独立的KCL方程 数为n-1个。
§2. 1 支路分析法
问题：已知b条支路，n个节点的电路 如何求解？有无规范化的方法?
待求变量：b个支路电压、 b个支路电流
2b变量需2b个方程
电路分析基础第四章(李瀚荪)
一、陈述 对任意含源单口网络N，都可以用一个电压源 与一个电阻相串联来等效。 R0 i i + + 即 + 等效 u N u u oc _ _ _
电压源的电压等于该网络的开路电压uoc， 这个电阻等于从此单口网络两端看进去，当网 络内部所有独立源均置零(No)时的等效电阻R0 i =0
+
4.6 戴维南定理
7Ω
10Ω
例（2） a 44 b
20 60 60
20
20 60
22
结论 只含电阻单口网络 等效为一个电阻
只含 电阻
R
2.含独立源电路 1V 例(1)
+
_
2
3
0.5A
0.2A 5
0.5A
5
5 0.3A
+ 1.5V _
结论 含独立源单口网络 等效为实际电压源 或实际电流源 含独立 源和电 阻电路
试用电压源与电流源等效变换的方 法计算2电阻中的电流。
1 2A
解:
I
1 3 2A 2A 6
1
3 + 6V –
6 + – 12V (a)
1 2
(b)
– 2V 2
I + +
由图(d)可得
82 I A 1A 2 2 2
2 2 +
2 2 4A
–
8V (d)
(c)
+
– 2V 2
第四章
分解方法及单口网络
——用等效化简的方法分析电路
本章的主要内容： 1、分解、等效的概念； 2、二端网络的等效化简，实际电源 的等效变换 ; 3、置换、戴维南、诺顿定理， 最大功率传递定理； 4、三端网络T形和形的等效变换。
电网络分析
u(t ) Ri (t )
和
（1-1-9）
i(t ) Gu(t )
（1-1-10）
1.1.2 电容元件
如果一个 n 端口元件的端口电压向量 u 和端口电流向量 i 之间为代数成分关系：
f C (u (t ), q (t ), t ) 0
（1-1-11）
则称该元件为电容性 n 端口元件，或 n 端口电容元件。下面侧重研究一端口（二端）电 容元件。
i(t )
得到下列几种 u q 特性的情形：
dq(t ) dt
（1-1-17）
（1）压控性非线性时变电容。元件特性为：
q(t ) f (u(t ), t )
-4-
（1-1-18）
则 u i 关系方程为：
i(t )
d f (u, t ) du f (u, t ) f (u (t ), t ) dt u dt t
q(t ) C (t )u(t )
（1-1-15）
式中 C (t ) 是线性电容元件于 t 时刻的电容之值。如果 C (t ) 是不随时间而改变的常数，即电 容元件特性方程为：
q(t ) Cu(t )
（1-1-16）
则该电容元件称为时不变的，反之则是时变的。如不特别声明，一般电容器的电路模型就是 线性时不变电容。 对于电网络的四个基本变量 i 、 u 、 q 、 ，在网络分析与综合以及工程实践中经常使 用的是电压与电流这两个便于检测的变量， 可称为常用网络变量。 由于电容元件的特性不是 由常用网络变量 i 、 u 关系来定义的，故有必要研究电容元件于电压电流之间的关系。为了 根据电容元件的 u q 特性得到 u i 关系方程，应用关系式：
重庆交通大学 电路分析 第四章
求单口网络VAR的方法:
1.列电路的方程，求u、i关系。
2.端钮上加电流源，求入端电压，得
到u、i关系。 3.端钮上加电压源，求入端电流，得
到u、i关系。
例1.求图示电路的VAR。
解（1）列电路方程
（2）外加电流源，求入端电压
解：设外加电流源电 流值为I，入端电压为 U。则，列节点电压方 程为： 1
例如，要求出下图中a、b端的等效电阻， 必须将R12、 R23、 R31组成的三角形连接化为 星形连接，这样，运用电阻串、并联等效电 阻公式可方便地求出a、b端的等效电阻。
先看148页图4-62，记住各电阻的标记方法
1、 已知△形连接的三个电阻来确定等效Y
形连接的三个电阻的公式为：
R1 R2 R3
思考：端口等效为电流源 行吗？为什么
§4-4 Equivalent Circuit of the Two-portnetwork
• 等效(equivalence)的定义：如果一个单口
网络N的伏安关系和另一个单口网络N`的伏 安关系完全相同，则这两个单口网络便是 等效的。 • 尽管这两个网络可以具有完全不同的结构， 但对任一外电路M来说，它们却具有完全相 同的影响，没有丝毫区别。
• 一个元件的伏安关系，是由这个元件本 身所确定的，与外电路没有关系。
• 同样，一个单口网络的伏安关系也是由
这个单口网络本身所确定的，与外电路 无关，只要这个单口网络，除了通过它 的两个端钮与外界相连接外，别无其它
联系。
分解法的基本步骤：
1. 把给定的网络分为两个单口网络 N1和N2。 2.分别求N1，N2的VAR。 3. 联立VAR，求单口网络端钮上的电压u和 电流i。 4. 分别求单口网络N1，N2中的电压，电流。
电力系统稳态分析4(复杂电力网络的潮流估算)
4、从上式可以看出，当系统网络参数已知时，线路上的有功和无
功损耗仅仅是电压变量的函数。 当两母线系统中电压向量不能确定时，系统的有功和无功损 耗也不能确定。在非线性方程的迭代过程中，只要迭代没有收敛， 系统的有功和无功损耗就不能确定。
以上方程的物理意义及其特点： 5、两母线系统中有12个变量（用注入功率表示时有8个变量）， 但只有4个方程，因此必须根据系统的实际情况，给定4个值，使未 知数减少到4个，该非线性方程组才有解。 从理论上讲任意给定4个变量，由方程解出其他四个变量，但
Yij Yij Yij yij
Yij Yij Yij yij
④ 在原有网络的节点 、j 之间的导纳
i
相当于切除一条导纳为 支路。
yij 的支路，增加一条导纳为 yij 的
y ij
yi. j
yij yij
i
j
导纳矩阵阶数不变； 原矩阵中：
Yii Yii Yii yij yij
2、功率平衡方程
n ~ ˆ ˆ Si Pi jQi U i U jYij (i 1、 n) 2 j 1
实部与虚部分解
ˆ ˆ Pi Re (U i U jYij )(i 1、 n) 2
j 1
n
n
ˆ ˆ Qi I m (U i U jYij )(i 1、 n) 2
六、用阻抗矩阵形式表示的网络方程
第二节 功率方程及其迭代求解
一、两母线系统的功率方程
以上方程的物理意义及其特点：
1、四个功率方程包含电压的平方和三角函数，是一组非线性的代 数方程组。 2、两个有功方程式相加反映了两母线系统的有功平衡。 3、两个无功方程式相加反映了两母线系统的无功平衡。
电力系统分析第4-6章课后习题参考答案
4-1.选择填空1．电力系统稳态分析中所用阻抗指的是（ A ）A．一相等值阻抗B．两相阻抗C．三相阻抗D．四相阻抗2．节点导纳矩阵为方阵，其阶数等于（ B ）A．网络中所有节点数B．网络中除参考节点以外的所有节点数C．网络中所有节点数加1 D．网络中所有节点数减23．牛顿-拉夫逊潮流计算的功率方程是由下列什么方程推导得到的（C）A.回路电流方程 B.支路电流方程C.节点电压方程D.以上都不是4．对PQ节点来说，其待求量是（ A ）A．电压的大小U和电压的相位角δ B. 有功功率P和无功功率QC. 有功功率P和电压的大小UD. 无功率Q和节点电压的相位角δ5．对PV节点来说，其待求量是（D）A．电压的大小U和电压的相位角δ B. 有功功率P和无功功率QC. 有功功率P和电压的大小UD. 无功率Q和节点电压的相位角δ6）PQ节点是指（ B ）已知的节点。
A．电压的大小U和电压的相位角δ B. 有功功率P和无功功率QC. 有功功率P和电压的大小UD. 无功率Q和节点电压的相位角δ7．以下说法不正确的是（B）A．功率方程是非线性的。
B．雅可比矩阵是对称的。
C．导纳矩阵是对称的。
D．功率方程是从节点电压方程中推导得到的。
8．潮流计算的P—Q分解法是在哪一类方法的基础上派生而来的（C）A．阻抗法B．直角坐标形式的牛顿—拉夫逊法C．极坐标形式的牛顿—拉夫逊法D．以上都不是9．如果已知某一电力网有6个独立节点，其中1个平衡节点，3个PQ节点，2个PV节点，则以下说法不正确的是（ D ）。
A．其导纳矩阵为6阶。
B.其B'矩阵为5阶。
C．其B''矩阵为3阶。
D.其雅可比矩阵为6阶。
10．P—Q分解法和牛顿—拉夫逊法进行潮流计算时，当收敛到同样的精度时，二者的迭代次数是（A）A.P—Q分解法多于牛顿—拉夫逊法B.牛顿—拉夫逊法多于P—Q分解法C.无法比较D.两种方法一样4-2.填空1．用牛顿-拉夫逊法进行潮流计算是指（用牛顿-拉夫逊迭代法求解电力网的非线性功率方程组）。
电网络分析选论梁贵书
u L di dt
＋
iL u
2、非线性电感 （1）流控电感
Li
三、电感元件 (续)
（2）链控电感 约夫逊结(Josephson Junction)
i I0 sin K （3）单调电感
绝大多数线圈的电感模型 属于此类，且具有饱和特性。
0
i
（4）多值电感 铁芯线圈的电感模型属于此类，具有磁滞回线
2 i2
i0 i1 i2
in
1 i1
in n
n口元件的端口电压、电流列向量
i0
0
u u1,u2 , ,un T
i i1,i2 , ,in T
5. 容许信号偶和赋定关系
• 可能存在于（多口）元件端口的电压、电流向量随时 间的变化或波形称为容许的电压—电流偶,简称容许信
号偶(Admissible Signal Pair),记作 u(t),i(t) 3Ω电阻的伏安关系为 u 3i 3cost,cost 容许信号偶
四、忆阻元件(Memristor)
定义：赋定关系为Ψ和q之间的代数关系的元件
M (q, ) : fM (q, ) 0
分类：
（1）荷控忆阻 （2）链控忆阻 （3）单调忆阻
＋i
u
－
（4）多值忆阻
建议符号
四、忆阻元件(续)
在线性情况下
Mq
与线性电阻等价。
d M dq u Mi
dt
dt
线性电路无需忆阻元件
● 基本变量和高阶基本变量又可统一成 u( )和 i( ) 两种
变量 ，其中α和β为任意整数。
动态关系
• 基本表征量之间存在着与网络元件无关 的下述普 遍关系：
u(t) d(t) dt
＋
iL u
2、非线性电感 （1）流控电感
Li
三、电感元件 (续)
（2）链控电感 约夫逊结(Josephson Junction)
i I0 sin K （3）单调电感
绝大多数线圈的电感模型 属于此类，且具有饱和特性。
0
i
（4）多值电感 铁芯线圈的电感模型属于此类，具有磁滞回线
2 i2
i0 i1 i2
in
1 i1
in n
n口元件的端口电压、电流列向量
i0
0
u u1,u2 , ,un T
i i1,i2 , ,in T
5. 容许信号偶和赋定关系
• 可能存在于（多口）元件端口的电压、电流向量随时 间的变化或波形称为容许的电压—电流偶,简称容许信
号偶(Admissible Signal Pair),记作 u(t),i(t) 3Ω电阻的伏安关系为 u 3i 3cost,cost 容许信号偶
四、忆阻元件(Memristor)
定义：赋定关系为Ψ和q之间的代数关系的元件
M (q, ) : fM (q, ) 0
分类：
（1）荷控忆阻 （2）链控忆阻 （3）单调忆阻
＋i
u
－
（4）多值忆阻
建议符号
四、忆阻元件(续)
在线性情况下
Mq
与线性电阻等价。
d M dq u Mi
dt
dt
线性电路无需忆阻元件
● 基本变量和高阶基本变量又可统一成 u( )和 i( ) 两种
变量 ，其中α和β为任意整数。
动态关系
• 基本表征量之间存在着与网络元件无关 的下述普 遍关系：
u(t) d(t) dt
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2014-6-10 电网络分析第四章
§4-1 状态变量法的基本概念
有记忆部分
x
H
m
有记忆部分
h
x1 f1 xn
m1
无记忆部分
mn
y1 yr
f
g
y
fp
一般线性常态网络，其范式状态方程的向量形式为：
x = Ax + Bf y = Cx + Df
电网络分析第四章
§4-2 网络复杂性的阶数和状态变量的选取
电网络分析第四章
2014-6-10
§4-2 网络复杂性的阶数和状态变量的选取
二、状态变量的选取(非唯一) 1、对于线性时不变网络，常选一组独立的电容电 uC t ）. 压和电感电流作为状态变量（iL t ， 2、对于线性时变网络宜选取一组独立的电容电荷和 电感磁链作为状态变量[ q(t ), (t ) ]. 3、在某些情况下，网络中的某些变量（支路电流、 节点电压、割集电压、回路电流及它们的导数等）与 一组独立的 uc , iL 或( q, )之间存在非奇异的线性变换关 系，则这些变量也可选作状态变量. 4、对于非线性网络，不一定能建立起状态方程，因 此非线性网络中状态变量的选取主要考虑能否建立起 状态方程.
上式左端为：
uL Q u [Q
T L T L
T T T T uL Q u Q u Q u Q L VL V CL C GLuG
u d L 0 i T 1] [QLu 1] dt u L 0 L L iL
《电网络分析4》
研究生 课程 主讲人： 杨向宇
2014-6-10
电网络分析第四章
第四章:网络分析的状态变量法
§4-1 状态变量法的基本概念
一、即时网络（无记忆网络）与动态网络（记忆网络） 1.即时网络 由非储能元件构成的网络，在某一时刻的输出量只决 定于该时刻的输入量，与它过去的工作状态无关，这样的 网络称为即时网络。 y(t)=G[f(t)] [y=G(f)] 2.动态网络 若网络中含有储能元件，则网络在某一时刻的输出量不 仅取决于该时刻的输入量，而且取决于该时刻以前所有输 入量。 N[f(t),y(t)]=0 (N为积分、微分算子) y(t)=F[f(t0,t)]
§4-2 网络复杂性的阶数和状态变量的选取
说明: ①纯电容割集和纯电感回路不会改变网络的阶数. ②网络的非0值自然频率的数目等于网络复杂性的 阶数减去独立的纯电感回路数和独立的纯电容割集数. ③ 当网络中存在受控源时，网络的阶数难于确定.
结论:一般而言，若网络中储能元件的总数为NLC，独 立纯电容回路数为Nc，独立纯电感数割集数为NL， 则网络阶数N满足。 NLC-Nc- NL≥N≥ 0
a b c d
a b c d
①
②
2014-6-10
电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
三、非源二端元件的电压电流关系（网络的一次 参数矩阵）
1、电容元件
CC iC d i dt 0 S 0 uc u Cs s
由①（d）可得：
T T QVS uV QCS uC uS 0 T T T QVR uV QCR uC QGR uG uR 0 T T T T QVLuV QCLuC QGLuG QLu u L 0 QT u QT u QT u QT u u 0 CI C GI G I I VI V
子阵。由于电容尽可能划在树支，由电容连支构成的基本回路中 QGS 0, QS 0. 必定不含电阻和电感。所以，
2014-6-10
电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
由于电感尽可能划在树余中，由电感树支决定的 基本割集中必定不包含电阻和电容，故 QR 0, QS 0. 因此
2014-6-10
电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
0 d CC 0 1 iC QCS iS [1 QCS ] u u T C T V dt QVS QCS 0 CS d T T = C Q C Q u Q C Q C CS S CS C CS S VS uV dt = QCRiR QCLiL QCI iI (右边)
一、基本子阵Ql
对于含线性电阻、电感、电容和独立源的非常态 网络，选取网络的一个规范树。按先树支后连支的顺 序对各支路编号。对于树支再按电压源、电容、电导 和倒电感的顺序编号，对于连支再按倒电容、电阻、 电感和电流源的顺序编号。则支路电压向量和支路电 流向量分块如下：
ub uV
uC
uG
u
uS
T 令 C CC QCSCSQCS 则： ~
d ~ T C u Q C Q u C CS S VS V QCR iR QCLiL QCI iI dt
2014-6-10 电网络分析第四章
③
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
(2) 由②（C）得:
2014-6-10 电网络分析第四章
§4-3 线性非常态网络的状态方程
线性非常态网络的范式方程形式为：
• • x = Ax + B1f + B 2 f • y = Cx + D1f + D2 f
状态方程 输出方程
2014-6-10
电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
Qf ib 1t Ql ib 0
1l ub 0
T B f ub Ql
iV QVS iS QVR iR QVLiL QVI iI 0 iC QCS iS QCRiR QCLiL QCI iI 0 iG QGRiR QGLiL QGI iI 0 i QLiL QI iI 0
3.电阻元件
2014-6-10
iG GG u 0 R
0 uG i RR R
电网络分析第四章
的一次参数矩阵。
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
四．网络的范式状态方程
1.网络的二次参数矩阵
(1) 由①（b）得 iC QCS iS QCR QCLiL QCI il
QVS Q Ql CS 0 0 QVR QCR QGR 0 QVL QCL QGL QL QVI QCI QGI QI
2014-6-10
电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
二、基本割集KCL方程和基本回路KVL方程
2014-6-10 电网络分析第四章
§4-1 状态变量法的基本概念
二.状态变量法
借助于一组被称为状态变量的辅助变量 ，建立起一组联系状态变量与输入变量的一 阶微分方程组（状态方程），和一组联系输 出变量、状态变量和输入变量的代数方程组 （输出方程）。先求解状态方程，得出状态 变量，然后再根据输出方程求得输出变量。
2014-6-10 电网络分析第四章
§4-3 线性非常态网络的状态方程
一、规范树（normal tree）
选一种树，使其包含网络中的全部电压源，尽可能多的电容，尽可能少的电感
和必要的电阻。但不包含任何电流源，这样的树称为规范树 规范树中所有树支电容电压和连支电感电流都是线性独立的，可构成一组状态 变量。
S R L I QVS QVR QVL QVI V C Q Q Q Q Ql Btt CS CR CL CI QGS QGR QGL QGI G Q Q Q Q R L I S 式中 Bt为基本回路矩阵 B f 中表示基本回路与树支关联关系的
一.网络复杂性的阶数
网络状态变量的总数称为网络复杂性的阶数（ order of complexity） 网络复杂性的阶数又等于网络中可指定的独立的初始条件 的个数。 常态网络：无纯电容（独立电压源）回路和无纯电感（含 独立电流源）割集的网络。 非常态网络：含有纯电容或纯电感割集（或两者兼有）的 网络 在不含受控源的常态网络中，网络的复杂性阶数等于网络 中储能元件的总数；非常态网络的阶数等于网络中储能元 件的总数 ——独立纯电容回路数和独立的纯电感割集数。 Nc:由电容和电压源构成的子网络（的独立回路数） NL：由电感元件和电流源构成的子网络（的基本割集数） 电网络分析第四章 2014-6-10
二、线性非常态网络的状态方程建立步骤
1、选取一个规范树。 2、选取状态变量，以规范树中的树支电容电压（uC1 ）和连支电感电流（ iL 2 ）作 为网络的状态变量。 3、建立电容树支所属基本割集的KCL方程和电感连支所属基本回路的KVL方 程。 4、将上述方程中非状态变量及其一阶导数用状态变量、输入量和它们的一阶导 数表示（电容连支所述基本回路方程和电感树支所属基本割集方程，电阻树支 所属基本割集方程和电阻连支所属基本回路方程）。 5、将4中各式代入3中方程，消去非状态变量及其一阶导数，经整理后写成矩阵 形式。
上式左端可改写为：
iC d CC 0 uC iC QCS iS [1 QCS ] [1 QCS ] u i 0 C dt S S S
由②（a）得：
0 uC 1 u T uC T uV 则： S QCS QVS
2014-6-10
电网络分析第四章
§4-1 状态变量法的基本概念
有记忆部分
x
H
m
有记忆部分
h
x1 f1 xn
m1
无记忆部分
mn
y1 yr
f
g
y
fp
一般线性常态网络，其范式状态方程的向量形式为：
x = Ax + Bf y = Cx + Df
电网络分析第四章
§4-2 网络复杂性的阶数和状态变量的选取
电网络分析第四章
2014-6-10
§4-2 网络复杂性的阶数和状态变量的选取
二、状态变量的选取(非唯一) 1、对于线性时不变网络，常选一组独立的电容电 uC t ）. 压和电感电流作为状态变量（iL t ， 2、对于线性时变网络宜选取一组独立的电容电荷和 电感磁链作为状态变量[ q(t ), (t ) ]. 3、在某些情况下，网络中的某些变量（支路电流、 节点电压、割集电压、回路电流及它们的导数等）与 一组独立的 uc , iL 或( q, )之间存在非奇异的线性变换关 系，则这些变量也可选作状态变量. 4、对于非线性网络，不一定能建立起状态方程，因 此非线性网络中状态变量的选取主要考虑能否建立起 状态方程.
上式左端为：
uL Q u [Q
T L T L
T T T T uL Q u Q u Q u Q L VL V CL C GLuG
u d L 0 i T 1] [QLu 1] dt u L 0 L L iL
《电网络分析4》
研究生 课程 主讲人： 杨向宇
2014-6-10
电网络分析第四章
第四章:网络分析的状态变量法
§4-1 状态变量法的基本概念
一、即时网络（无记忆网络）与动态网络（记忆网络） 1.即时网络 由非储能元件构成的网络，在某一时刻的输出量只决 定于该时刻的输入量，与它过去的工作状态无关，这样的 网络称为即时网络。 y(t)=G[f(t)] [y=G(f)] 2.动态网络 若网络中含有储能元件，则网络在某一时刻的输出量不 仅取决于该时刻的输入量，而且取决于该时刻以前所有输 入量。 N[f(t),y(t)]=0 (N为积分、微分算子) y(t)=F[f(t0,t)]
§4-2 网络复杂性的阶数和状态变量的选取
说明: ①纯电容割集和纯电感回路不会改变网络的阶数. ②网络的非0值自然频率的数目等于网络复杂性的 阶数减去独立的纯电感回路数和独立的纯电容割集数. ③ 当网络中存在受控源时，网络的阶数难于确定.
结论:一般而言，若网络中储能元件的总数为NLC，独 立纯电容回路数为Nc，独立纯电感数割集数为NL， 则网络阶数N满足。 NLC-Nc- NL≥N≥ 0
a b c d
a b c d
①
②
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电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
三、非源二端元件的电压电流关系（网络的一次 参数矩阵）
1、电容元件
CC iC d i dt 0 S 0 uc u Cs s
由①（d）可得：
T T QVS uV QCS uC uS 0 T T T QVR uV QCR uC QGR uG uR 0 T T T T QVLuV QCLuC QGLuG QLu u L 0 QT u QT u QT u QT u u 0 CI C GI G I I VI V
子阵。由于电容尽可能划在树支，由电容连支构成的基本回路中 QGS 0, QS 0. 必定不含电阻和电感。所以，
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电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
由于电感尽可能划在树余中，由电感树支决定的 基本割集中必定不包含电阻和电容，故 QR 0, QS 0. 因此
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电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
0 d CC 0 1 iC QCS iS [1 QCS ] u u T C T V dt QVS QCS 0 CS d T T = C Q C Q u Q C Q C CS S CS C CS S VS uV dt = QCRiR QCLiL QCI iI (右边)
一、基本子阵Ql
对于含线性电阻、电感、电容和独立源的非常态 网络，选取网络的一个规范树。按先树支后连支的顺 序对各支路编号。对于树支再按电压源、电容、电导 和倒电感的顺序编号，对于连支再按倒电容、电阻、 电感和电流源的顺序编号。则支路电压向量和支路电 流向量分块如下：
ub uV
uC
uG
u
uS
T 令 C CC QCSCSQCS 则： ~
d ~ T C u Q C Q u C CS S VS V QCR iR QCLiL QCI iI dt
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③
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
(2) 由②（C）得:
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§4-3 线性非常态网络的状态方程
线性非常态网络的范式方程形式为：
• • x = Ax + B1f + B 2 f • y = Cx + D1f + D2 f
状态方程 输出方程
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电网络分析第四章
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
Qf ib 1t Ql ib 0
1l ub 0
T B f ub Ql
iV QVS iS QVR iR QVLiL QVI iI 0 iC QCS iS QCRiR QCLiL QCI iI 0 iG QGRiR QGLiL QGI iI 0 i QLiL QI iI 0
3.电阻元件
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iG GG u 0 R
0 uG i RR R
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的一次参数矩阵。
§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
四．网络的范式状态方程
1.网络的二次参数矩阵
(1) 由①（b）得 iC QCS iS QCR QCLiL QCI il
QVS Q Ql CS 0 0 QVR QCR QGR 0 QVL QCL QGL QL QVI QCI QGI QI
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§4-4对不含受控源的线性网络建立状态方 程的系统公式法
二、基本割集KCL方程和基本回路KVL方程
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§4-1 状态变量法的基本概念
二.状态变量法
借助于一组被称为状态变量的辅助变量 ，建立起一组联系状态变量与输入变量的一 阶微分方程组（状态方程），和一组联系输 出变量、状态变量和输入变量的代数方程组 （输出方程）。先求解状态方程，得出状态 变量，然后再根据输出方程求得输出变量。
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§4-3 线性非常态网络的状态方程
一、规范树（normal tree）
选一种树，使其包含网络中的全部电压源，尽可能多的电容，尽可能少的电感
和必要的电阻。但不包含任何电流源，这样的树称为规范树 规范树中所有树支电容电压和连支电感电流都是线性独立的，可构成一组状态 变量。
S R L I QVS QVR QVL QVI V C Q Q Q Q Ql Btt CS CR CL CI QGS QGR QGL QGI G Q Q Q Q R L I S 式中 Bt为基本回路矩阵 B f 中表示基本回路与树支关联关系的
一.网络复杂性的阶数
网络状态变量的总数称为网络复杂性的阶数（ order of complexity） 网络复杂性的阶数又等于网络中可指定的独立的初始条件 的个数。 常态网络：无纯电容（独立电压源）回路和无纯电感（含 独立电流源）割集的网络。 非常态网络：含有纯电容或纯电感割集（或两者兼有）的 网络 在不含受控源的常态网络中，网络的复杂性阶数等于网络 中储能元件的总数；非常态网络的阶数等于网络中储能元 件的总数 ——独立纯电容回路数和独立的纯电感割集数。 Nc:由电容和电压源构成的子网络（的独立回路数） NL：由电感元件和电流源构成的子网络（的基本割集数） 电网络分析第四章 2014-6-10
二、线性非常态网络的状态方程建立步骤
1、选取一个规范树。 2、选取状态变量，以规范树中的树支电容电压（uC1 ）和连支电感电流（ iL 2 ）作 为网络的状态变量。 3、建立电容树支所属基本割集的KCL方程和电感连支所属基本回路的KVL方 程。 4、将上述方程中非状态变量及其一阶导数用状态变量、输入量和它们的一阶导 数表示（电容连支所述基本回路方程和电感树支所属基本割集方程，电阻树支 所属基本割集方程和电阻连支所属基本回路方程）。 5、将4中各式代入3中方程，消去非状态变量及其一阶导数，经整理后写成矩阵 形式。
上式左端可改写为：
iC d CC 0 uC iC QCS iS [1 QCS ] [1 QCS ] u i 0 C dt S S S
由②（a）得：
0 uC 1 u T uC T uV 则： S QCS QVS
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