数列全部题型归纳(非常全面,经典!)

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. 求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a （2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期 16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠ （1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n na a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134nn n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

6设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且当n N ∈时，总有1312n n S S +=+，求n a 及n S ．7 数列{}n a 满足()11n n p S a -=-，其中p 为正实数，12n S a a =++…()*n a n N +∈ (1)证明：{}n a 为等比数列，并求出它的通项；(2)数列{}n b 中，11b =，1n n n b b a +=+，求{}n b 的通项公式数列求最值的方法 （一）化为函数方法 转化为耐克函数（1）如果数列{}n a 的通项公式是n a =24n n n++，此数列的哪一项最小？并求其最小值（2）如果数列{}n a 的通项公式是n a =2156nn +，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（3）如果数列{}n a 的通项公式是n a ，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为二次函数（4）如果数列{}n a 的通项公式是n a =22n kn ++是单调递增数列，求k 的取值范围。

如果该数列在第四项最小，求k 的取值范围创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*（二）数列的简单单调性求最值的方法： 如果数列{}n a 的通项公式是n a = *111.....()12n N n n n n++∈+++， (1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n ，不等式12log (1)123n a a a >++恒成立求a 的取值范围？（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）数列{}n a 的通项公式是n a =*1,n n N +∈，是否存在自然数m ，使对任意的序号*n N ∈，有n m a a ≥恒成立，若存在，求出m ，如果不存在，请说明理由（2）如果数列{}n a 的通项公式是n a =*9(),10nn N ∈，是否存在自然数m ，使对任意的序号*n N ∈，有n m a a ≤恒成立，若存在，求出m ，如果不存在，请说明理由（3）如果数列{}n a 的通项公式是n a =*9(1)(),10nn n N +∈，是否存在自然数m ，使对任意的序号*n N ∈，有n m a a ≤恒成立，若存在，求出m ，如果不存在，请说明理由（四）数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前n 项和为n S ，且585,()n n S n a n N =--∈ （1） 求n a 的通项公式 （2） 求n S 的通项公式（3） 说说n 为何值时，n S 取得最小值？数列的求和（一）倒序相加法：（1）设()f x =n 项和公式的方法，求：()()87f f -+-+…()0f ++…()()89f f ++的值（2） 01231234....(1)n nn n n n n n n S C C C C nC n C -=++++++（二） 错位相减法 求和：135724816++++ (212)n n -+（三） 公式求和法（1）数列{}n a 中，148,2a a ==且()*2120n n n a a a n N ++-+=∈，1234n S a a a a =++++…n a +，求n S ．（2）)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=----（3）求和22221234++++ (2)n +创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*（三）裂项求和法（1）111,,,153759⋅⋅⋅…（2+…（3） )(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++（4）求数列!n a n n =⋅的前n 项和（四）. 分组求和法（1）111 1,2,3, 248…（2）1，3＋13，32＋132，……，3n＋13n2.奇偶分组（3）已知()()654n nn nan⎧-⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数求数列{}n a的前n项和．3均匀分组（4）1,3,5,7--…（5）求数列：1111111111,,,,,,,,,,223334444…的前100项和； （6）求数列：1,23,456,78910,++++++…的前n 项和．数列的极限 5个“三” 三个定义极限（1）∞→n lim C =C （C 为常数）;（2）∞→n limn1=0; （3）∞→n lim q n =0（|q |＜1）三个不存在的极限lim n n →∞lim(1)n n →∞-lim 2n n →∞三个推导极限 （1）多项式1*1101110,;...(,,0,0)...0,.lim kk k k k l l l n l l al k a n a n a n a k l N a b b b n b nb n b l k ---→∞-⎧=++++⎪=∈≠≠⎨++++⎪>⎩ 3543lim 2-=+++∞→n bn an n ，则.________________,==b a创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*(2)单指数1(1)(1)(1)lim n n n r q q q +→∞+++（3）多指数 若()131lim331nnn n a +→∞=++，求a 的取值范围三个待定形 1）00型 比较 2213lim 12n nn n n→∞++和2213lim 14n n n n n→∞++ 2）∞∞型 比较2232lim 21n n n →∞++和2252lim 21n n n →∞++3）0+0+0+0+0+0+0+0……型∞→n lim .___________)12131211(2222=++⋅⋅⋅++++++n nn n n三个重要条件0(11)lim n n q q →∞=-<< lim nn q→∞极限存在(11)q -<<1lim 1n n a S S q→∞==-(0||1)q <<设数列}{n a 是公比0>q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若∞→n lim 7=n S ，那么1a 的的取值范围是_________ 例1已知数列{}n a 中，)(2,111*+∈==N n a a a n n n（1）求证数列{}n a 不是等比数列，并求该数列的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n a 的前n 2项和为n S 2，若n n n a S ka 222)1(3•≤-对任意*∈N n 恒成立，求k 的最小值.例2定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21（*N n ∈）．（1）若数列}{n a 前n 项的“倒平均数”为421+n ，求}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足：当n 为奇数时，1=n b ，当n 为偶数时，2=n b ．若n T 为}{n b 前n 项的倒平均数，求n n T ∞→lim ；（3）设函数x x x f 4)(2+-=，对（1）中的数列}{n a ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，1)(+≤n a x f n对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．例3设满足条件)(2:*12N n a a a P n n n ∈≥+++的数列组成的集合为A ，而满足条件)(2:*12N n a a a Q n n n ∈<+++的数列组成的集合为B .（1）判断数列n a a n n 21:}{-=和数列n n n b b 21:}{-=是否为集合A 或B 中的元素？（2）已知数列3)(k n a n -=，研究}{n a 是否为集合A 或B 中的元素；若是，求出实数k 的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知*231(1)log (,)i n a n i Z n N =-⋅∈∈，若}{n a 为集合B 中的元素，求满足不等式60|2|<-n a n 的n 的值组成的集合.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*例4对于数列}{n x ，如果存在一个正整数m ，使得对任意的n （*∈N n ）都有n m n x x =+成立，那么就把这样一类数列}{n x 称作周期为m 的周期数列，m 的最小值称作数列}{n x 的最小正周期，以下简称周期. 例如当2=n x 时}{n x 是周期为1的周期数列，当sin()2n y n π=时}{n y 是周期为4的周期数列.（1）设数列}{n a 满足n n n a a a -=++12（*∈N n ），b a a a ==21,（,a b 不同时为0），求证：数列}{n a 是周期为6的周期数列，并求数列}{n a 的前2012项的和2012S ；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2)1(4+=n n a S .① 若0>n a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； ② 若01<+n n a a ，试判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；例5已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c 。