悬索桥计算

*第八节悬索悬索有许多工程应用，常见的有高压输电线、架空索道、悬索桥等。

悬索结构两端固定，它和梁的主要区别在于悬索不能抵抗弯曲，只能承受拉力。

在初步的力学计算中，假设悬索具有充分的柔软性，故称为柔索。

本节讨论的悬索均为柔索。

对于已经处于平衡状态的悬索，根据刚化原理可知，作用在悬索上的力应该满足刚体的平衡条件。

同时需要注意的是，绳索不是刚体，平衡方程表示绳索平衡的必要条件但非充分条件。

工程实际中经常碰到的问题是：在给定载荷作用下，求悬索的形状、索内拉力和绳索长度，以及它们与跨度、垂度、载荷之间的关系，以作为设计、校核悬索的根据。

悬索在工作中受到的载荷可以分为两类：（1）集中载荷；（2）分布载荷。

其中分布载荷中最常见的是水平均布载荷、沿索均布载荷。

当不计钢索自重时，旅游胜地高空缆车的索道受到车厢集中力（即重力）的作用（图8-39a）；装有吊篮的架空索道，同样受吊篮的集中力（即重力）的作用。

这些都是悬索受集中载荷作用的例子。

悬索直拉桥主索上承受的载荷可看成是水平均布载荷（图8-39b)。

高空输电线（图8-39c)和舰船的锚链上承受的载荷可看成是沿索均布载荷。

(a) (b)(c)图8-39当悬索两支座A和B高度相同时，两个支承点之间的水平距离称为跨度；在载荷作用下，悬索上每一点下垂的距离称为垂度，由悬挂点到最低点的垂直距离称为悬索的垂度。

在悬索计算中，跨度和索上最低点的垂度通常是已知的。

一、集中载荷设绳索（柔索）连接在两个固定点A和B并有n个垂直集中载荷P1、P2、…、P n，如图8—39(a)所示，绳索的重力与绳索承受的载荷相比可以忽略。

因此当绳索系统处于平衡状态时，相邻载荷之间的绳索段AC1、C1C2、C2C3和C3B均被拉紧成直线段，即在集中载荷作用下，绳索成折线状。

故绳索段AC1、C1C2、C2C3和C3B均可以当作二力杆，绳索中任意点的内力可简化为沿绳索方向的张力。

图8—39(a)中，已知悬挂点A 到每个载荷的水平距离x 1、x 2、…、x n ，画出绳索系统的受力图，如图8—40a 所示，悬挂点A 的约束反力为A x 、A y ，悬挂点B 的约束反力为B x 、(a) (b) (c)图8—40B y ，共有4个未知量，而平面一般力系独立的平衡方程只有3个，所以不能由整体的受力分析求出A 、B 点的约束反力，必须考虑绳索某一部分的平衡，得到一个附加方程。

由于悬挂点的垂度y 1、y 2、…、y n 未知，所以绳索的平衡位置是不确定的，图8—40a 表示了3种可能的平衡位置。

下面计算绳索的形状及绳索各部分的张力T 。

设绳索中任取一点D ，横坐标为x ，如果垂度y 已知，则图8—40b 所示部分可以列写平衡方程)(=∑F D M。

由于索上最低点C 3的垂度y 3通常是已知的，所以当D 点取在索上最低点C 3时，用截面法取出左半部分（或右半部分），得到补充方程0)(3=∑F C M，与绳索整体系统的3个平衡方程联立求解，得到约束反力为A x 、A y 、B x 、B y 。

求出A 、B 处的约束反力后，可以利用截出部分（图8—40b 、c ）的力平衡方程∑∑==00Y X 及求出绳索上任意一点的张力。

由于xA T -=θcos ，故绳索上任意一点的张力的水平分量均相同。

张力θcos x A T -=，故θ越大，θcos 越小，T 也越大。

例8-12 如图8—41a 所示，绳索AE 在B 、C 、D 三个点承受垂直载荷。

已知C 点位于左端支承A 之下5m ，计算（1）支承处A 、E 的约束反力； （2）点B 、D 的高度； （3）各段绳索的张力； （4）各段绳索的斜率。

(a) (b) (c)(d) (e) (f)图8—41解 （1）取整个绳索为隔离体，画出图8—41b 所示受力图，列写整个绳索系统的平衡方程：0=+x x E A (a) 0kN 22=-+y y E A (b)0m kN )1543012406(6020=⋅⨯+⨯+⨯+-=∑y x EA A M(c)由于C 点高度已知，故取隔离体ABC ，画出图8—41c 所示受力图，列写隔离体ABC 对C 点的力矩平衡方程：0m kN 106305=⋅⨯+--=∑y x CA A M(d)联立（a ）、（b ）、（c ）、（d ）四式，求得kN18-=x A kN5=y A kN18=x EkN17=y E（2）为求点B 的高度，取隔离体AB ，画出图8—41d 所示受力图，列写隔离体AB 对B 点的力矩平衡方程：0m kN 20518=⋅⨯-=∑B By M解得m 56.5=B y ，B 点在A 点之下为求点D 的高度，取隔离体ABCD ，画出图8—41e 所示受力图，列写隔离体ABCD 对D 点的力矩平衡方程：0m kN )1512256455(18=⋅⨯+⨯+⨯-+-=∑D Dy M解得m 83.5=D y ，D 点在A 点之上（3）求各段绳索的张力 列写A 点的力平衡方程：01=+x x T A 01=-y y T A解得AB 段绳索拉力kN 181=x T kN 51=y T kN 7.1821211=+=y x T T T由于绳索上任意一点张力的水平分量均相同，故kN 184321====x x x x T T T T 。

列写隔离体AB 垂直方向的力平衡方程（图8-41d ）：kN 6kN 52=+-y T解得BC 段绳索拉力kN12=y TkN0.1822222=+=y x T T T列写隔离体ABC 垂直方向的力平衡方程（图8-41c ）：12kN -kN 6kN 53=+-y T解得CD 段绳索拉力kN133=y TkN 2.2223233=+=y x T T T列写E 点垂直方向的力平衡方程：yy T E 4-=0解得DE 段绳索拉力kN174=y TkN8.2424244=+=y x T T T所以绳索张力的最大值出现在DE 段，kN 8.244max ==T T 。

（4）求各段绳索的斜率在图8-41d 中，AB 段绳索的斜率278.02056.520tan 1-=-=-=B y θ 015.15-=θ在图8-41e 中，BC 段绳索的斜率056.0105tan 2=-=B y θ22.3=θ 在图8-41f 中，CD 段绳索的斜率722.015583.5155tan 3=+=+=D y θ 038.35=θ 在图8-41f 中，DE 段绳索的斜率945.01583.5201520tan 4=-=-=D y θ44.43=θ二、水平均布载荷 如图8—42（a ）所示，直拉式悬索桥的绳索重量远小于桥面道路的重量，这时绳索受到沿水平方向均匀分布的载荷，w 表示载荷集度，其量纲为N/m 。

选择绳索最低点C 为坐标原点，建立Cxy 坐标系，C 到绳上任意一点D(x,y)的绳索部分承受的载荷总共为W=w x ，图8—42取绳索的CD 段为隔离体，如图8—42b 所示，由力平衡方程∑∑==00Y X 及，求出W T T T ==θθsin ,cos 0，故D 点的张力02220tan T wxx w T T =+=θ （8—23）图8—42b 中，合力W 作用线与C 、D 两点在水平方向上为等距离，由0)(=∑F DM得到020=-y T xwx整理上式，进而求得绳索形状方程022T wx y =（8—24）由式（8-24）可知，在水平均布载荷作用下，悬索呈抛物线形状。

讨论公式（8—23），可以得到：（1） 悬索最低点的拉力为最小，其值为0T ； （2） 固定点A 、B 处的拉力为最大，分别为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22202220B B AA x q T T x q T T （8—25）按照导数定义θtan =dx dy ，将公式（8—23）代入得到0T wx dx dy =，因此绳索总长度为dxT x w dx dx dy ds s B ABAx x x x ABAB ⎰⎰⎰+=+==202221)(1对于实际工程问题，可以利用力学计算软件对上式进行数值积分，也可以利用二项式定理将20221T x w +展成无穷级数，有））（）（ +-+-+-+=+-+=+-+=+=⎰⎰4044202240442022405420324044202220224061()4061(4068211T x w T x w x T x w T x w x T x w T x w x dx T x w T x w dx T x w s AAA BBB x xx x x x AB BAB A BA由式（8-24）可知B B A A y T wx y T wx ==02022,2，令a x b x A B -==,，故上式有 ])(52)(321[])(52)(321[4242 +-+++-+=a ya y ab y b y b s A A B B AB （8—26）比值B B x y <0.5时级数收。

多数情况下，比值B B x y 都很小，只需要计算级数的前两项，即)(3222a y b y L s A BAB++≈ （8—27）式中L 为跨度，a 、b 分别为悬索两端固定点A 、B 到最低点C 的距离。

例8—13悬索桥有两根平行的主索，其中之一如图8—43所示，跨度L=100m ，中点的垂度h=16m ，每根主索承受的桥面重量可视为水平均布载荷，其集度w =3kN/m ，主索和吊索的重量与载荷相比很小，可忽略不计。

试求主索两端和中点的拉力以及主索的全长。

图8—43解 取主索中点C 为坐标原点，建立Cxy 坐标系，如图8—43所示，可以看出m h y m b L x B B 16,502=====，m h y m a L x A A 16,502==-=-=-=。

由公式（8—24）得到022T wx y BB =，即 kN234N 1625010322320=⨯⨯⨯==B B y wx T由公式（8—25）得到kN 278kN 5032342222220=⨯+=+==A B A x q T T T因为5.05016<=B B x y ，所以主索的长度可用近似公式（8—27）计算m8.106m )50165016(32100)(322222=+⨯+=++≈a y b y L s A B AB三、沿索均布载荷设载荷沿索长均匀分布，载荷集度为w ，如图8—44（a ）所示，取悬索最低点C 为坐(a) (b)图8—44标原点，建立Cxy 坐标系，绳上任取一点D(x,y)， 取隔离体CD 段，画出图8—44b 所示受力图，由力的平衡方程可得ws W T T T ===θθsin ,cos 0即sT w s w T T 02220tan ,=+=θ （8—28）故s T wdx dy 0tan ==θ （a ）又 dx T ws dx dx dy ds 20211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=所以201⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=T ws ds dx积分可得1010sinh C s T ww T x +=- （b ）其中）（0-1/w sinh T s 为反双曲正弦函数，C 1为积分常数。