数学方法论
数学方法论——精选推荐
数学方法论1所谓数学思想是对数学知识的本质认识是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点2 什么叫数学方法是指从数学角度提出问题，解决问题的过程中采用的各种方式，手段，途径等3 怎样区分数学思想与数学方法强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法4 数学方法的特点具有过程性和层次性的特点5 数学知识数学方法数学思想是数学知识体系的三个层次6 数学教育的三大功能科学技术功能思维功能社会文化功能7 数学思想方法对学生有什么作用数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用8数学思想方法教学的特点隐喻性活动性主观性差异性9，什么是化归思想方法从方法论的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或简单的.熔岩的问题，从认识论的角度看，化归思想方法是用一种联系，发展，运动变化的观点来认识问题，通过对原问题的转换，使之成为另一问题加以认识。
它们的科学概括就是数学解决问题的基本思想方法-化归10，数学语言分为哪几种？图形语言，文字语言，符号语言。
11，什么是归纳推理方法归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。
12，什么是类比推理方法类比是在两个或两类事物间进行对比，找出若干相同或相似点后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。
13.什么叫联想联想是由某种概念或结果而引起其他相关概念或结果的思维形式。
14，什么叫解析法将平面几何问题转化为解析几何问题的化归方法就是通常所谓的解析法15，什么叫数学抽象1 内容上的特殊性—数学抽象仅抽取事物或现象的量的关系和空间形式而舍弃其他一切2 方法上的特殊性==数学抽象是一种构造性活动，是借助定义和推理进行的逻辑建构3 程度上的特殊性—数学抽象的程度远远超过自然科学中的一般抽象16，什么叫迁移所谓迁移，是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响既包括积极的促进作用，也包括消极的干扰作用。
数学方法论
一、辩证解题思想.,)∞,2[∪]2-,∞-()∈,(02-.1222的取值范围求上有根在设方程例b a R b a b ax x ++=++?51,4131.2的值为，那么，为实数，且、、、例cabc ab abca c ca cb bc b a ab c b a ++=+=+=+(1)5.{}().(1){};(2)2,,),.n n n n n a a a n S n a p q n n a +++=∈N +>∈N 例已知各项均为正数的数列的前项和为求数列的通项是否存在正整数对所有正整数均成立并证明你的结论.2241:.6+于条对角线长度之和不小的凸四边形的周长及两任何面积等于证明例.18-25-2,013-.7223452的值求的根是方程设例++=+a a a a a x x a 恒为多少？展开式中整理后的常数年湖北理例5)212).(142005(8++xx.)3-2()],([)(,-12)(.951-121的值求已知例f x f f x f xxx f n n ==)2-)(2-(4)2-(:.02-,,,.102c b a b c a a b c b c a c b a ++≥+≠+求证且为常数设例.∠.1,2,3,,90∠,,1.11的度数求内一点且是中在如图例BPC PB PC PA ABC P BC AC ACB ABC o ===∆==∆.)111(,126449,,,.13222的值求且为整数已知例abccb ac b a c b a c b a ++++≤+++ 27-.3-.335-.22-.,62,,).112005(1422D C B A b a b a R b a 最小值则设年福建卷例+=+∈).(---.15b a b a b x x a x >=+的方程解关于例二、一般化的作用例5. (1)n 个整数的和为100,试证其平方和不可能为10001. (2)n 个整数的和为100,试证其平方和不可能为奇数三、化归思想).111)(111111(,10.422x xx x x x x x x ---+--+--++<<化简设例.,012)1(,0)12(,03244.622222的取值范围求数根中至少有一个方程有实设三个方程例m m mx x m m x m x m m mx x =-++-=+++=++++.66:.7x x =-+解方程例?01)1(,.82的两个根都是整数的方程关于是什么整数时当例=++--m x m x x m.,)1()1(2)6(.92的取值范围求轴有交点的图像与的函数已知关于例m x m x m x m y x ++-++= .,0105,,.102的值和求且小于的两根都大于方程为整数已知例c b c bx x c b -=++.),100,,2,1(.,,,100,2,.1210021210021的值求记个不同的点边上有中例m m m i C P BP AP m P P P BC AC AB ABC i i i i +++=⋅+===∆.?,)2(;,)1(.30),,0(),3,0(),0,1(,,.),0,2(,,.13'''的取值范围并求出每种位置关系时有哪几种位置关系与圆直线上移动时在线段当点两点的直线的解析式的坐标和经过求点且三点的坐标分别为又和点轴交于原点与圆的坐标为点在直角坐标系中如图例b O BE OC E C B A b b E C B A O x O O <<-例14.把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是P ,怎样设计才能使冲成的零件面积最大?并求出它的最大面积..:.)2(;)1(,,,.15222222zr xy x r x z z y x r z y x ==-=+求证满足若正实数例例16.请观察图形,依据图形面积间的关系,不需要添加辅助线,试得到一个你所熟悉的公式..312:.172qq p q p <-满足不等式、不存在自然数求证例 ).1(433221)(:.18432<-⋅+⋅-⋅=x x x x x S 数试求下列幂级数的和函例)1(433221)(:.912<+⋅+⋅+⋅=x x x x S 数试求下列幂级数的和函例四、观察法、归纳法..cos 2),(2,2sin ,sin .42121n k k k a a a a N k k a a 求通项时当设有数列例---⋅=∈>==θθθ }.{,)1sin(cos ,cot .511n n n a x n x a a x a 试求数列设例--==-预备定理(最小数定理):自然数的任何非空集合A 必有一个最小数,即这数小于集合A 中所有其他的数. 证明:由于A 不是空集,其中必含有一个自然数.我们在A 中任取一个数m ,因为从1到m 共有m 个自然数,所以在A 中不大于m 的数最多只有m 个.显然在这有限个数中存在着最小的数,我们用l 来代表它.那么,l 就是A 中最小的数.事实上,l 对于A 中不大于m 的数来说,它是最小的;而A 中其余的数都比m 大,因而更比l 大,所以l 就是A 中最小的数.定理2(第二数学归纳法):如果与自然数n 有关的某个命题T 对于数1是正确的,而且在假定它对于小于n 的自然数都正确时(此处n ＞1),能证明它对于n 也正确,那么这个命题对于所有自然数都是正确的.•证明:用反证法.如果命题T 不是对于所有自然数都成立,那么使命题T 不成立的自然数的集合M 不是空集.根据预备定理中的最小数原理,M 中必有一最小数L,因为L ∈M ,所以命题T 对于L 不成立.由于1能使命题成立,所以L ≠1,即L ＞1.但L 是集合M 的最小数,即命题T 对于小于L 的所有自然数都成立.因而根据本定理的题设,能证明命题T 对于L 也成立.这个矛盾说明命题T 对于所有自然数都是成立的.].)251()251[(51:),3(,1,1:)(,21,13,8,5,3,2,1,1.22121nn n n n n u n u u u u u F --+=≥+===--求证并且按照下列法则组成数列如果数列例..,;,.63213333231223222111312112的大小和试比较其中最大的为个数小数也得到在各列中再取每列的最其中最小的为个数大数而得到在各行中先取每行的最成以下形式个互不相等的实数排列把例y x y n x n a a a a a a a a a a a a a a a a n nnn n n n n n五、抽象法例1、 7只茶杯,杯口朝上,将其中4只翻转来(杯口朝上的变为杯口朝下的,杯口朝下的变为被扣朝上的),称为一次“运动”.试问:是否能经过有限次运动,使得茶杯的杯口全部朝下?例2. 在除数(在同余数理论中,称为模数)确定了的情况下(不妨设模数为3),同余的关系显然满足对称性、传递性和自反性(注:a ,b 是属于集合的元素,R 是关系.).例3. 关于虚数的概念(虚数源于方程的研究).333332332331093109(3106727422742:),(0,16--+-+==--+--+++-=∈=++x x x pq q p q q x R q p q px x 的根为方程利用这个公式可以求得的公式解亚发现了三次方程意大利数学家塔尔塔利世纪前半叶)1)(1)1(8121212:,z y ,.4222222z y x xyzz z y y x x zyz x R z y x ---=-+-+-=++∈（求证且、、设例 六、以退求进解题策略.,1:.),≤≤≤1(,:)2≥,≤1}(,,,{11-1-21-12112121n nnij j i n n a a a a a a a a A a a a a n j i j i p n a a a a a a A =++++++=<<<= 且证明中至少有一个属于两数与对任意的具有性质已知数集例 2.1.0.1-.)()2009()0)(2-(-)1-()()0)(-1(log )()(.22D C B A f x x f x f x f x x x f x f R 的值为则和满足上的函数定义在例>=≤=.}{,,21)11(,1,}{311的通项公式求数列设中在数列例n n n n n n n b n a b n a n a a a =+++==+.∠,,,),(2:)2(;)1(.33,3)0,0(1-:.400222222的大小为定值证明交于不同的两点与双曲线处的切线上动点是圆设直线的方程求双曲线右准线方程为的离心率为已知双曲线例AOB B A C l y x P y x O l C x b a by a x C =+=>>=例5.设掷一颗均匀的正方体玩具两次,此玩具的6个表面分别刻有数字1,2,2,3,3,3.求掷得的点数之和小于等于5的概率.倍到左焦点距离的到右焦点的距离等于它使点上求一点在椭圆例4,1925.622P P y x =+∑21-1-]1-)1[(,1∈,∈.7nk k k n n x kC n n n N n R x ==+>求证且设例七、正难则反.,≠∩},0,1≤≤1-),{(},1-2-)2-(2-4),{(.122的取值范围求实数若集合已知集合例p O B A y x y x B p p x p x y y x A />=+==.,,6-24-)2-()(.22的取值范围求实数轴的负半轴上其中至少有一个在轴有两个交点的图像与若函数例m x x m mx x m x f +=.,)∈(0)1()()-1(.32的取值范围求实数没有实数根若二次方程例λλλλR i x i x i =++++.1,,,:,12,20,∈,,,4821821821821中至少有一个小于求证且、若例a a a a a a a a a R a a a <=++++ .⊂:.∈,//,∈,//:.6αααb b A a b A a 求证直线直线点平面直线已知例.:.,)1,1(,12-:.722不存在这样的直线证明的中点、的两个交点与双曲线是直线且点作直线过点给定双曲线例l Q P C l B l B y x C = 例1.求证:若两条直线平行于第三条直线,则这两条直线平行..31≥--,,,∈,:],1,0[∈,.2成立使必存在满足条件的对于求证设例by ax xy y x R b a y x.,,)0≠(2.32的垂直平分线不是直线何给定的一条弦试证对于该抛物线的任于两点的焦点且与抛物线相交过抛物线直线例CD l CD x px y l =.,∩,}13≤{},)1log ()1log-3({.622的取值范围求实数都有实数若对于任意均为非空集复数集例k O B A x x z z B i kk x k k x z z A /=+=++++== .,]1,1-[04-.7的取值范围求上有解在若方程例m mx x =+.2,20,0.833≤+=+>>q p q p q p 求证且已知例 .1.945++a a 因式分解例10.某林场去年底木材存量为a ,从今年起以每年25%的增长率生长,同时每年冬天要砍伐的木材量为x ,要实现经过20年达到木材存量至少翻两翻的目标,求x 的最大值.(取lg2=0.3).)3(.121111数之和展开式中所有无理项系求二项式例b a +.)(0)1()()-1(.132有两个虚根为何值时二次方程例R x i x i x i ∈=++++λλλ.---:,2,,.1422ab c c a ab c c b a c R b a +<<+>∈+求证且设例.:,,2,22.153成等差数列、、求证为锐角、、且已知例C B A C B A tgB tgC Ctg A tg== 八、数形结合.2-1-.2的值域求函数例x x y =.4)3(;3)2(;2)1(:,-3-2-)(.32个零点函数有个零点函数有个零点函数有的取值范围求满足下列条件的设函数例a a x x x f =?,2]2,0[∈,sin 2sin )(.5的取值范围是则个不同的交点仅有有且的图像与直线函数k k y x x x x f =+=π.,22与直线数形结合求得可型的无理函数的值域一、形如d cx x b ax x y +++++=.54-4.622的值域求函数例+++=x x x y .,)0≠(2得可与抛物线数形结合求型的无理函数的值域和二、形如ac d cx b ax y cbx ax kx y +±+=++=的值域求函数例22-.72++=x x x y.,)0≠()0(2形结合求得可与椭圆或双曲线的数型的无理函数的值域和三、形如am d nx mx b ax y ac d cx b ax y ++±+=≠+±+=的值域求例x x y 3-514-.8+=.)3≥(3-2--32.92的值域求例x x x x y +=?,014-.1022的最大值为那么满足等式、如果实数xyx y x y x =++{的最值求有解已知方程组例r ry x y x ,)4-(44.1122222=+=+的横坐标的取值范围是点钝角时为当为其上动点点、的焦点为椭圆例P PF F P F F y x ,∠,,149.12212122=+ .-,1,)-1(.13131的最大值求时满足当复数已知复数例z z z z i i z ==.,22i -2-.14的模的最大值、最小值求满足已知复数例z z z = .-4-5.152x x x ≥解不等式例.,111.≥c --0,0,0:.16222222等号成立时当且仅当都有对任何求证例ca b c ac a c b b b ab a c b a ==+++++>>>。
数学的学习方法论
数学的学习方法论数学作为一门学科，对于许多人来说是具有一定难度的。
但是，只要掌握了正确的学习方法论，就能够事半功倍地提高数学水平。
本文将介绍一些有效的数学学习方法，帮助读者更好地掌握数学知识。
一、培养数学思维数学思维是解决数学问题的关键。
要培养数学思维，可以通过以下几个方面来实践。
1.注重理论学习：建立对数学的基本概念和原理的理解。
通过学习相关的数学理论，能够使我们更好地理解和掌握数学知识。
2.解决实际问题：将数学知识应用到实际问题中，培养自己的逻辑思维和解决问题的能力。
3.培养创造性思维：通过解决一些有趣和有难度的数学题目，提升自己的创造力，并开拓自己的思维方式。
二、理解数学概念理解数学概念是掌握数学的基础。
以下是一些帮助理解数学概念的方法。
1.阅读相关教材和参考书：通过阅读教材和参考书，可以更深入地理解数学概念和原理。
2.举例和应用：通过具体的例子和应用来加深对数学概念的理解。
将抽象的数学概念与实际生活中的问题相连接，能够更容易地掌握和记忆。
3.与他人讨论：与同学或老师进行讨论，互相交流对数学概念的理解和应用，可以帮助更好地理解数学。
在讨论中，可以澄清疑惑，并且从不同的角度思考问题。
三、多做练习题做练习题是提高数学水平的有效方法之一。
以下是一些方法来做好练习题。
1.选择适合的难度：根据自己的实际情况，选择适合自己的练习题难度。
既不能太简单以至于没有挑战性，也不能太困难以至于让自己感到无从下手。
2.注重基础练习：掌握数学基本概念和方法是学好数学的关键。
在做练习题时，要注重基本题目的练习，不断巩固基础知识。
3.分析解题过程：在解题过程中，要注意分析每一步的解题思路和方法。
查看解答过程和解题思路，并且理解其中的推理和逻辑关系。
这有助于提高解题的能力。
四、利用科技工具现代科技工具提供了许多便利的学习资源，这些资源能够帮助我们更好地学习数学知识。
1.数学软件和应用程序：利用数学软件和应用程序，例如图形计算器、数学绘图软件等，可以更直观地理解数学概念和解题方法。
数学方法论
数学方法论一、熟记公式，找准基点1、数学有很多公式，但不能每个都背下来，只要把重要的，常用的记在心里就可以了。
2、如果公式比较难记，可以先记住常用的几个公式。
二、理解概念，抓住本质四、应用规律，学会举一反三4、把握联系，抓住区别。
5、区分内容和形式。
6、研究性问题和方程问题。
7、类比转化。
6、追求精，忽视量。
7、正反比例。
8、讨论交流时，忽略最后结论。
9、证明书写时不看书。
10、忽视证明过程的推导。
11、因果关系与结论混淆。
12、思考不全面。
13、忽视解题格式。
14、多次运用的知识没用上。
15、粗心大意，漏写、少写解题步骤。
16、思路混乱。
17、运算顺序不当。
18、草稿打得不整洁。
19、忽视估算。
20、缺乏灵活性。
21、证明不严谨。
22、盲目套用定理。
23、列表不完整。
24、缺乏创造性。
25、习惯思维与逆向思维。
26、遇到难题，不敢思考。
27、知识间没有进行迁移和拓展。
28、思维太局限。
29、选择了不恰当的定理。
30、解题时犹豫不决。
31、忽视细节。
32、按照固定思维模式思考。
33、思维呆板。
34、忽略试卷上的小陷阱。
35、忽视合理的联想。
36、同类项搞错。
37、过于复杂，不利于审题。
38、受到干扰时，方向迷失。
39、不会变通。
40、忽略步骤之间的逻辑关系。
41、没有认真阅读题目。
42、理科学习注意总结。
43、平均用力，浪费时间。
44、思路太开阔，知识掌握不牢固。
45、为考试而学，只知道做题。
46、忽视细节，盲目追求速度。
47、机械训练，枯燥乏味。
48、低级错误频繁出现。
49、做题时没有想清楚就落笔。
50、孤立地解决问题。
51、马虎大意，经常丢分。
52、忽视错误，以为粗心导致错误。
53、忽略常见题型的答题技巧。
54、计算能力差，解题时易出错。
三、对称思维，化难为易8、观察发现，多观察，多发现问题，并寻找规律。
中学数学教学中的数学方法论研究
数学方法论概述
数学方法论是研究数学思想、方法及其发展变化的学科，涉及数学基础、数 学方法、数学思维和数学素养等多个方面。在中学数学教学中，数学方法论的重 要性主要体现在以下几个方面：
首先，数学方法论可以帮助教师和学生掌握数学思想和方法的本质。数学思 想是人们对数学知识的认识和总结，是解决数学问题的基本观点。数学方法是解 决具体数学问题的技巧和手段，是数学思想的具体体现。通过研究数学方法论， 教师可以明确不同数学思想和方法之间的和区别，从而更好地指导学生学习。
这种方法有利于提高学生的归纳能力和推理能力，同时也可以帮助他们更好 地理解和记忆数学概念和公式。
3、案例三：数学建模法
数学建模法是一种将实际问题转化为数学模型的方法。在数学教学中，这种 方法可以用于教授应用题，帮助学生理解和解决实际问题。
例如，在教授一元一次方程的应用题时，我们可以使用数学建模法。首先， 通过具体的应用题实例，引导学生理解题意并找到题目中的等量关系；然后，让 他们用数学符号和语言表示这个等量关系，建立相应的数学方程；最后，通过解 方程得出答案。
二、数学方法论与教学案例
1、案例一：函数图像法
在解决某些代数问题时，我们可以使用函数图像法。例如，在求解二次方程 时，我们可以先画出相应的二次函数图像，通过观察图像来解决方程。
例如，对于方程x2+2x-3=0，我们可以通过以下步骤来求解： (1)画出对应的二次函数y=x2+2x-3的图像；
(2)观察图像，找出y=0时的x的值， 即为方程的解。
这种方法不仅直观，而且可以用于解决更复杂的问题。通过这种方法，学生 可以更好地理解二次方程及其解的概念，同时提高他们的数形结合能力。
2、案例二：归纳推理法
归纳推理法是一种常见的数学方法论，它通过观察和总结特例，得出一般规 律。在数学教学中，这种方法可以用于教授数列、组合数学等概念。
数学方法论第一章绪论
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
第一讲
绪论
一、研究数学方法论的意义
促进数学发展 发挥数学的功能 改革数学教育 培养数学人才
二、数学方法论的定义及分类
1.方法、方法论和科学方法论
二、数学方法论的定义及分类
2.数学方法的分类
•具体方法 •一般方法 •数学思想方法
三、数学方法论的性质及研究对象
则有
1 1 1 1 1 1 b0 x2 2 x2 2 x2 2 0 1 2 n
即
x 2 x2 x2 0 b0 1 2 1 2 1 2 1 2 n
数学方法论
张龙军 909242428
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头
脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
x x x 1 2 1 2 1 2 2 0 4 n 比较这个方程与方程（**） x2项的系数，
2 2 2
得出
1 1 1 1 2 2 2 6 2 3
于是有
对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新 的并且还来没有这样用过。” 欧拉又用这种方法重新发现了著名的莱布尼 兹级数的和：
17 世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢 的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数 ，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法 进入了数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的解析几 何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不 仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运 用到几何乃至整个数学铺平了道路。
数学方法论简明教程
《数学方法论简明教程》是2006年南京大学出版社出版的图书。
《数学方法论简明教程》共10章，在介绍数学方法论的学科性质、研究对象、发展简史、研究意义的基础上，结合实际介绍化归法、类比与归纳、联想与直觉、抽象方法、论证方法、模型方法、试验方法、美学方法等最重要最基本的数学思想方法及其数学语言的运用等，既包括数学中的逻辑方法。
当前，人类社会正由工业时代向信息时代转变，世界性的新技术革命正在到来，在现代科学技术的飞速发展中，方法论正在迅速崛起，成为一门引人注目的新兴学科。
数学方法论是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视，本章首先对什么是数学方法论，数学方法论的学科性质、研究对象、发展简史和研究意义进行介绍。
《数学方法论》
《数学方法论》教学大纲数学方法论是关于数学研究的基本方法，是数学研究的基本策略。
数学思想方法是数学教育的重要依据。
通过中学数学思想方法概论的学习，让学生理解观察、实验、类比、归纳、联想、分析、综合、抽象、概括等基本的研究方法，把握数学的逻辑方法、思维方法、模型方法等。
通过这些内容的学习无疑有益于学生数学教育素养的提高。
一、课时总数： 108学时，其中自学52学时，面授56学时。
二、课程内容：第一章数学的起源与发展第一节数学发展各个时期简析第二节中国数学的起源与发展第三节数学发展的动力本章内容要求学生了解数学史的分期,初步掌握数学发展的规律,把握中国数学发展的线索,通过了解九章算术认识中国数学的历史,正确认识数学与世界的关系,正确认识数学。
把握数学发展的动力。
P．60练习题1—15第二章数学概观第一节数学的对象和特征第二节数学的地位第三节辩证唯物主义数学观第四节数学基础论及其简要评价通过本章学习，要求学生了解关于数学的特征的主要观点，把握数学的三大特征，认识数学在科学、自然科学、人类文化中的地位和作用。
形成辩证唯物主义的数学观，能运用辩证唯物观去把握数学、理解数学，了解数学悖论形成的原因，了解逻辑主义、直觉主义、形成主义等数学三大学派的主要观点，并能指出其不足。
P．108 练习题1～11，13，14，15，17第三章数学研究的一般方法第一节观察与实验第二节划分与比较第三节分析与综合第四节抽象与概括第五节特殊与一般通过本章学习,认识观察与实验、划分与比较、分析与综合、抽象与概括、特殊与一般在数学研究中的重要作用，要求学生掌握观察与实验的一般规律,了解概念划分的原则，理解划分的标准，掌握划分的方法；能灵活运用分析与综合方法去解决各种问题，理解抽象与概括的涵义，学会抽象与概括数学概念、原理等；掌握特殊化与一般化解决问题的策略。
P．144 练习题 3～5，6～8， 9，10第四章数学中的逻辑方法第一节逻辑思维的基本形式第二节形式逻辑方法与辩证逻辑方法第三节逻辑推理规则第四节常用的逻辑推理方法第五节数学证明与逻辑推理错误剖析通过本章学习，让学生理解概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式，理解概念的内涵与外延的涵义以及概念间的各种关系；认识判断与推理的各种形式，了解形式逻辑与辩证逻辑的关系；掌握命题基本形式以及逻辑等价的涵义，灵活运用逻辑推理规则，掌握正确的逻辑推理方法，理解数学证明的意义，避免逻辑推理中的错误。
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1方法论，就是人们认识世界、改造世界的一般方法，是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题。
概括地说，世界观主要解决世界“是什么”的问题，方法论主要解决“怎么办”的问题。
2方法是人们在认识和改造客观世界中所采用的方式、手段的总称
3数学方法论是研究数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现发明，与创新法则的一门学问。
4数学方法论的研究意义:一有利于培养数学能力与改革数学教育二，有利于充分发挥数学的功能三有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律
5合情推理:归纳法，类比法，演绎推理；非逻辑推理:数学美学法，直觉法；数学问题的来源:（外）哥尼斯堡七桥问题，（内）哥德巴赫猜想，一笔画问题
6波利亚怎样解题表:理解题目，拟定方案，执行方案，检查回顾
7数学典型方法:模型法，公理法（布尔巴基），构造法（直觉），化归法
8数学解题的四种模式:双轨迹模式，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式
数学问题在数学发展以及数学教育的意义
（一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。
”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。
以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。
希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。
”
由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。
但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。
只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。
正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。
古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。
早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。
成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。
《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。
它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。
（二）数学问题的类型及其数学教育价值
由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。
1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。
21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。
随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。
任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。
数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。
数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。
将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。
非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。
因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。
培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。
“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
”[2](1)
2.探究性问题。
通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。
这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。
“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。
教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。
”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的过程。
例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。
通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。
3.开放性问题。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。
[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。
例如，在△ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin
B ，成等差数列，等等。
[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。