《数学方法论》复习提纲
数学方法论稿
数学方法论稿在数学研究领域中，有一个知识面受到了专家们深刻关注，那就是数学方法论。
它不仅涉及到数学基础知识本身，更涉及到数学基本思想、数学原理和数学解决问题的方法。
以下是有关数学方法论的研究课题，向大家介绍数学方法论的主要内容。
第一，数学方法论是一种以推理思维为基础的科学方法。
它涉及到各种数学问题解决方法、数学原理和结论的推演以及结果的证明。
它强调对数学问题的理解，对数学原理的分析、发现推论，为此，需要不断发掘新的信息，建立紧密的联系，以便更好地理解和求解数学问题。
第二，数学方法论还涉及许多技术方法和思维方式的综合利用，如选取问题的先决理论、步骤分析、构造和优化等。
因此，数学方法论强调数学模型构建和分析，不仅要学会利用现有的数学知识模型，还要完善模型，解决实际问题。
第三，数学方法论还要求把数学知识联系到实际应用，也就是要能够将数学知识和技巧应用于实际问题，甚至未来问题中。
这样才能有效地综合利用数学解决问题，为社会和全人类发展积累出贡献。
从上面可以看出，数学方法论不仅涉及研究借鉴的知识面与技术性的实践，也涉及到综合运用多个理论和技术，以实际应用为真正的目的，以及完成任务时的逻辑推理的能力等。
因此，要想熟练掌握数学方法论，除了具备良好的基本理论外，还需要提升技术水平，加强对数学原理的理解，以及培养实践分析问题、解决问题的思维能力。
数学方法论作为数学学科的一部分，扮演着不可替代的作用。
它为不同层次的数学研究提供了普遍的思路和框架，不仅仅可以拓展数学的基本知识，而且可以教会学生如何有效地应用数学知识来解决实际问题，从而提高学生的分析思维能力，培养实际解决问题的能力。
总之，数学方法论是深入研究和有效探讨数学问题的重要研究课题，它不仅涉及到数学基本知识本身，也牵涉到推理分析、技术应用和思维训练等内容。
只有及早了解数学方法论的重要性，才能为未来的学习和研究打下良好的基础。
2016年7月数学方法论复习资料
1.什么是数学方法论？数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
2.张奠宙先生在著作《数学方法论稿》给出了数学方法的四个层次分别是什么？基本的重大的数学思想方法：与一般科学方法相应的数学方法：中学中的特有的方法：中学数学中的解题技巧：3.数学思想与方法的关系是什么？数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；数学思想和数学方法又具有相对性．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想．4.笛卡儿在它未完成的著作《思维的法则》里，设计了一种能解各种问题的“万能方法”，即首先，把任何问题化为数学问题；次，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到一个解方程问题。
5.20世纪下半叶，在国际上以波利亚的三部名著分别是：《怎样解题》（1944）、《数学与猜想》（1954）、《数学的发现》（1961）6．《怎样解题》中，波利亚共给出了解题过程的四个阶段分别是：弄清问题、拟定计划、执行计划、回顾反思.7.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.8. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全体对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.9.欧拉公式：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系是.10.联想是一种思维形式，它的三个组成部分（即三要素）分别是：某种概念，相关概念，联想因素与联想效应的相关性。
数理方法复习提纲
复变函数论复数平面：在直角坐标平面xOy 上，把复数iy x z +=用坐标为),(y x 的点来表示，这个直角坐标平面xOy 叫做复数平面。
复数平面复数的模：复数iy x z +=的对应点),(y x 的极坐标的极径或矢量→Oz 的长度ρ称为复数z 的模z ，记做22y x z +==ρ。
复数的辐角：复数iy x z +=对应点),(y x 的极坐标的极角或向量→Oz 与x 轴正方向的夹角θ称为z 的辐角，记做θ=Argz 。
一个复数iy x z +=的辐角可以取无穷多个值，并且彼此相差π2的整数倍，通常把满足条件ππ≤<-Argz 或π20<≤Argz 的一个特定值，称为辐角的主值，表示为z arg ，则z 的任意辐角可表示为： ,...)2,1,0(2arg ±±=+==k k z Argz πθ复数iy x z +=的三角式： )sin (cos θθi r iy x z +=+= 复数iy x z +=的指数式：θθθθθθi i re z i e i r iy x z =⇒⎭⎬⎫+=+=+=)(sin cos )sin (cos 欧拉公式 复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次乘方的三角和指数形式：θθθin n n n e r n i n r z =+=)sin (cos复数)sin (cos θθi r iy x z +=+=的n 次方根的三角和指数形式：)1,...1,0(2arg ,)sin (cos -=+==+==n k k z e r ni n r z w n innnπθθθθ复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z +==⇒⎭⎬⎫+==+=初等复变函数：指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 例题：)2222()4sin 4(cos 3343i e i e ei+=+=--+-πππ三角函数： ()iz iz e e i z --=21sin , z z z cos sin tan =, zz z sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。
数学方法论
数学方法论一、熟记公式，找准基点1、数学有很多公式，但不能每个都背下来，只要把重要的，常用的记在心里就可以了。
2、如果公式比较难记，可以先记住常用的几个公式。
二、理解概念，抓住本质四、应用规律，学会举一反三4、把握联系，抓住区别。
5、区分内容和形式。
6、研究性问题和方程问题。
7、类比转化。
6、追求精，忽视量。
7、正反比例。
8、讨论交流时，忽略最后结论。
9、证明书写时不看书。
10、忽视证明过程的推导。
11、因果关系与结论混淆。
12、思考不全面。
13、忽视解题格式。
14、多次运用的知识没用上。
15、粗心大意，漏写、少写解题步骤。
16、思路混乱。
17、运算顺序不当。
18、草稿打得不整洁。
19、忽视估算。
20、缺乏灵活性。
21、证明不严谨。
22、盲目套用定理。
23、列表不完整。
24、缺乏创造性。
25、习惯思维与逆向思维。
26、遇到难题，不敢思考。
27、知识间没有进行迁移和拓展。
28、思维太局限。
29、选择了不恰当的定理。
30、解题时犹豫不决。
31、忽视细节。
32、按照固定思维模式思考。
33、思维呆板。
34、忽略试卷上的小陷阱。
35、忽视合理的联想。
36、同类项搞错。
37、过于复杂，不利于审题。
38、受到干扰时，方向迷失。
39、不会变通。
40、忽略步骤之间的逻辑关系。
41、没有认真阅读题目。
42、理科学习注意总结。
43、平均用力，浪费时间。
44、思路太开阔，知识掌握不牢固。
45、为考试而学，只知道做题。
46、忽视细节，盲目追求速度。
47、机械训练，枯燥乏味。
48、低级错误频繁出现。
49、做题时没有想清楚就落笔。
50、孤立地解决问题。
51、马虎大意，经常丢分。
52、忽视错误，以为粗心导致错误。
53、忽略常见题型的答题技巧。
54、计算能力差，解题时易出错。
三、对称思维，化难为易8、观察发现，多观察，多发现问题，并寻找规律。
高考数学复习提纲和学习方法
高考数学复习提纲和学习方法高考数学复习提纲和学习方法高考数学是高中阶段最重要的一个科目之一，对考生的总分占比很重要，对于考生来说复习备考是一个不可缺少的环节。
接下来就来讲一下如何制定高考数学复习提纲和高效的学习方法。
1. 制定高考数学复习提纲1.1 整理知识架构首先，为了有一个清晰的目标，考生需要整理知识架构，梳理各个部分的内容，从而使整个复习显得条理清晰。
可根据高考大纲分类型逐项梳理而成，这样有一个明确的知识提纲，有利于复习效率的提高。
1.2 定制实际提纲随着学习量不断的增加，考生在复习数学时需要制定实际提纲，具体到需要掌握的知识点、题型以及难度等级，并有整体复习时间的限定，这样可以更具有目的性，有针对性的复习，从而更为有效的攻克各个部分的知识点。
1.3 制定备课计划制定备课计划包括每次复习的内容和时间表，以及复习的重点、难点，每次复习后的巩固及补充等方面。
这样可以更好的掌握复习进度和效果。
2. 高效的学习方法2.1 提高做题效率做题是数学学习的重头戏，在复习阶段更为重要。
可以通过多做题提高做题效率。
可分阶段训练法、定量想象法、寻求同学合作讨论等以提高做题的效率。
2.2 举一反三在学习的过程中，有时候一个知识点需要去了解它的逻辑和特点。
但是再深入一步，需要举一反三，向左右看，如何举一反三，如何将它运用到其他知识点中去，这样能够看到事物的本质和特征，可以提高我们的把握能力。
2.3 学会记录笔记可以将学习过程中的笔记记录下来，以备复习。
笔记可以分为两部分，一是学习笔记，二是复习笔记，在复习笔记中，可以总结出那些知识点是自己的薄弱环节。
2.4 对错题解答与讲解在学习的过程中，做题是必不可少的，做错题也正是我们进步的地方，所以，对错题解答解析要不放过，正确理解解析后在笔记本上做出简要标注，备忘于后。
3. 复习技巧3.1 合理安排时间高中的学生们，一般会有较多课外集训、补习、竞赛、兴趣班等其它活动以及高三紧张的课业压力等，加之高考数学考试时间较短，复习时间有限，如果把其他的时间复习数学，就显然没有必要。
数学方法论整理
第七章1.数学公理化方法的含义：所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公设）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法2. 实质公理化方法与形式公理化方法特点如何正确的认识实质公理化方法与形式公理化方法？一方面，由于形式公理化较之实质公理化有更高层次的科学抽象，因此，能更深刻地突出反映事物的某些本质特征，才必然带来高度的概括性和应用广泛性。
另一方面，这种形式化的抽象过程又必然舍弃了事物客体的种种次要环节，因此，最后反而不能较细致地逼真地描绘出事物内在本质中相互联结在一起的诸环节，就这一点来说，实质公理化却比形式公理化更加贴近实体对象的本性和体貌。
这是形式公理化方法难以取代的。
5.中学几何体系的特点：☐ 不明确指出哪些是原始概念,对基本对象通过直观进行描述；☐ 对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法；☐ 扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，不加证明地去使用；☐ 尽管扩大公理体系，公理仍不完备第八章数学美的表现形式：1.对称美例1：对偶命题(1)“两点确定一条直线”与“两直线确定一点”；(2)“不共线的三点确定一个三点形”与“不共点的三直线确定一个三线形”；(3)“若两个三点形对应顶点的连线共点，则它们的对应边的交点共线。
”（笛沙格定理）与“若两个三线形对应边的交点共线，则它们的对应顶点连线共点。
”（笛沙格逆定理）2.简单美3.和谐美黄金分割 勾股定理例:(1)数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性 ;(2)几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式 ;(3)三角中的万能代换、解几中的圆锥曲线的统一公式等都是数学关系和谐统一的明显例4.奇异美魏尔斯特拉斯（weierstrass)函数：处处连续处处不可微第九章7474444=⨯⨯⨯ 个证明和推理之间的联系和区别：证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程。
数学方法论考点(重师)
数学方法论考点（重师）1数学的基本特点：a 高度的抽象性；b 逻辑的严谨性；c 应用的广泛性；d 独特的语言符号系统（数学史）2 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学。
按照恩格斯所说，数与形是数学的两个基本柱石之。
整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。
3新课程数学观所揭示的数学教育价值的多维性。
新课程所确定的数学观充分反映了人们对数学认识的进步和深入。
它以这样一些维度来展示数学的本质的特征：（1）“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象。
”（2）“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。
”（3）“数学作为一种普遍使用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，”数学“为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。
”（4）“数学在提高人的推理能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。
”（5）“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
”4 数学方法论的研究对象（总体）数学的发展规律、数学的思想方法、数学中的发现发明与创新等法则。
5 数学方法论的形成与发展一、数学方法的出现（数学萌芽时期）二、数学方法论的萌芽（常量数学时期）三、数学方法论的形成（变量数学时期）四、数学方法论学科的建立（近现代数学时期）6 数学思想方法的几次重大突破一、从算术到代数二、从综合几何到几何代数化三、从常量数学到变量数学四、从必然数学到豁然数学五、从明晰数学到模糊数学六、从手工证明到机器证明7对今后的教学的作用、意义（自己观点）数学方法论在数学中的作用和地位：一、对数学科学发展的作用1）对数学发展规律的研究促进数学的发展2）思想方法的创新对数学发展起决定性作用二、开拓数学的应用环境三、对数学教与学的意义。
在教师教导方面的意义（数学思想是教材体系的灵魂；是进行教学设计的指导思想；是课堂教学质量的重要保障）。
数学史和方法论 自学考试提纲
第一章数学的萌芽 1古埃及的数学 公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。
从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。
例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。
现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。
2埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。
除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。
两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。
3古埃及的计数制 埃及很早就用十进记数法，古埃及人的计数系统是叠加制，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。
例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将 1重复三次。
埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。
他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。
占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。
兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N 从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。
为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。
这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。
纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。
计算的结果相当于用 3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。
根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。
总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。
4埃及几何的突出成就：古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔等都需要测量，尼罗河水泛滥后冲刷了许多边界标记，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。
因此古埃及人的几何学知识较为丰富，在两种纸草书中，有26个十几何问题,许多与金字塔有关，如：在莫斯科纸草书中有：一个截顶金,字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2求体积。
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柯奇雪花曲线
从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个 和整体相似的图形.
经过n次
2. 某机床厂2001年初用98万元购进一台数 控机床，并立即投入生产使用，计划第一 年维修、保养费用12万元，从第二年开始， 每年所需维修、保养费用比上一年增加4万 元，该机床使用后，每年的总收入为50万 元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万 元.
思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观 察上式中三个根式的结构特征，可以发现：
x2 xy y 2 x2 y 2 2xy cos60,
y 2 yz z 2 y 2 z 2 2 yz cos60,
z2 zx x2 z2 x2 2zx cos60.
五、高等数学中蕴含的美学思想
1. 高等数学中蕴含的美学思想主要有哪些？ 2. 求 sin 2nxdx(n为自然数）并分析其解决思路中蕴涵的数学思想方法.
0 sin x
六、中国数学简史概说 简述中国数学发展的主要阶段
及中国传பைடு நூலகம்数学的特点.
七、合情推理
设a、b、c都是正数，求证： an bn cn a pbqcr arb pcq aqbrc p， 其中n N，p、q、r都是非负整数，
以及这个题目的推广式的证明！！！
例8.如图，圆的三条弦AB、CD、EF分别相交 于点P、Q、R，AP=EQ=DR，CP=FR=BQ.
求证：⊿PQR为等边三角形.
C
A
ba P
x
y
aQ
Rb
E
z
F
b
a
B
D
三、勾股定理的证明与 推广的相关问题
四、数学文化
1.设初始正三角形的面积为1， 试推算经过无穷多次的迭代以 后产生的柯奇雪花的面积.
例5. 已知：a、b、c、m、n、p R ， 且a m b n c p k， 求证：an bp cm k2.
思路分析：注意到上式的特点，可 以构造一个边长为k的正三角形和三个 小三角形，借助直观图形，利用三角形 面积之间的关系可证此题.
例6.设x、y、z R，求证 x2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x2 .
且p q r n.
论述题： （1）试论述数学美的涵义，并举例阐释
高等数学中的美. （2）试论述数学方法论的定义、学科定
位和研究的意义. （3）试论述数学思想方法教学的重要意
义和作用.
祝大家新年快乐、 万事如意！！！
（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正
值）； （3） 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处
理该机床； (ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该
机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的 理由.
数学方法论 复习提纲
简答题 计算或证明 论述题
考题类型
10分1题，共3题，共30分 15分1题，共3题，共45分
共1题，25分
一、 概述
1.数学方法论的主要研究内容有哪些？ 2.阐述数学方法论的发展简史. 3.研究数学方法论的意义 4.美国《NCTM数学课程标准》中培养学生数
学素养有哪五项目标？
二、 数形结合
各个例题均需要加以注意，要注意题目的思路 分析.
例3. 设 0 a l,0 b l, ，求证下面的不等式：
a2 b2 (l a)2 b2 a2 (l b)2 (l a)2 (l b)2 2 2l
思路分析：这是一个不等式的证明题，如果直 接用代数方法证明相当繁琐.注意到上式是一 个关于a，b的对称式，且根号下面始终是两个 数的平方和，联想勾股定理，构造满足不等式 的几何图形，利用三角形三边的关系可得证.