化归思想在方程中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用化归思想是数学中一种非常重要的思想方法，它在初中数学教学中有着广泛的应用。
化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题，并通过解决简单问题来解决复杂问题。
化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。
一、化归思想在初中数学解题中的应用在初中数学解题中，我们经常会遇到一些复杂的问题，如方程、不等式、几何图形的证明等等。
而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题，从而更容易得到解答。
1.方程的化归在解方程时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程，从而更容易求解。
例如，对于一个三次方程，我们可以通过令新的变量等于该方程的根，再进行适当的变换，将该三次方程化归为一个二次方程。
这样一来，我们只需要求解这个二次方程，就可以找到原方程的解。
2.几何证明的化归在几何证明中，有时我们遇到的问题相对复杂，而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。
例如，在证明一点为某个角的平分线时，我们可以通过绘制一条垂直平分线，将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。
这样一来，我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。
3.不等式的化归在解不等式时，通过引入新的变量或进行恰当的变换，也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。
例如，对于一个含有绝对值的不等式，我们可以通过将绝对值拆分为两个情况，分别进行讨论，从而化归为不含绝对值的简单不等式。
这样一来，我们只需要分别求解这两个简单不等式，就可以得到原不等式的解集。
二、化归思想在初中数学教学中的教学模式化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用，即可以用来引导学生形成良好的解题习惯，提高学生解题能力。
1.引导学生合理化归问题在教学中，教师可以通过设计一些具体问题，引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。
例如，在教学解一次方程时，教师可以设计一些与现实生活有关的问题，让学生先找到问题中的未知数，并通过列方程解决问题。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。
在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。
化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。
本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。
一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。
化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。
化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。
在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。
1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。
几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。
很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。
在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。
这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。
2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。
有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。
在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。
对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。
解方程的本质是化归
杂的形式转化为较简单 的形式 ， 亟待解决 、 将 不很熟
悉 或较 难 解 决 的 问 题 ， 化 为 已经 解 决 的问 题 ； 者 ， 转 或
整理 ， 解 得 ： ＋３ （ １一 Ｏ 分 （ ） 一 ） ，
。 ．
…… ②
． １ ～ ３ ２ １ 一 ， 一 ．
经过多次转化 ， 将其转 化为形式 更简洁 、 更便 于解 决
的根 本 目的．
点 评 ： 里 的 步 骤 ① ， 原 方 程 左 边 的 三 次 多 项 这 将
式分解成 了三 个一 次 因式的积 的形 式（ 通常 称为 降
次 ）达 到 了 简化 形 式 的 目的 ； ， 步骤 ② 将 原 来 的 一 元 三
次 方程 转 化 为 三 个一 元 一 次方 程 ， 而一 元 一 次 方 程 是
不 等 式 的 问题 ． 这一 系列 的 转 化 过 程 ， 数 与 形 之 间 的 转 化 ， 有 有
纯代数问题之问的形式的转化 （ 讨论方程 的解——讨
论 多 项式 的值 — — 讨 论 不 等 式 的 解 集 ） 最 终 实 现 了 ， 化 繁 为 简 ， 现 了 化难 为 易 ． 实 综 上所 述 ， 方 程 的本 质 是 化归 ！ 解
‘ ．
．
＝
＋ ｍ 的 图 象 的公 共 点 的 问题 — — 何 时 它们 有 两
原 方 程 可 变 为 Ｙ 一７ 一４ 一Ｏ 。 ４ ，
… …① … …② … …③
个公 共 点 ？ 何 时 只 有 一个 公 共 点 ？何 时没 有 公 共 点？
分解 因式 ， （， １ ）． ４ 一Ｏ 得 ． １ （， ） ， ） 一 ） ＋ 解 得 Ｙ 一 ｌ ，２ 一４ １ １Ｙ 一 ．
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
化归思想──小学数学思想方法的梳理
化归思想──小学数学思想方法的梳理二、化归思想1．化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2．化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
例谈小学数学化归思想的渗透
例谈小学数学化归思想的渗透
小学数学化归思想是指将一个复杂的问题转化为与之等价的更简单的问题，以便更容易地解决原问题的思想和方法。
化归思想在小学数学中有着广泛的应用，无论是在数学知识的掌握还是解决实际问题中都有重要作用。
以下是几个例子。
1. 分数的通分
在小学数学中，分数的通分是基础操作之一。
例如，要将分数$\\frac{2}{3}$ 和 $\\frac{3}{4}$ 归为同一分母，可以使用化归思想，将它们化为 $\\frac{8}{12}$ 和 $\\frac{9}{12}$，这样就可以直接进行比较和运算了。
2. 方程的化简
在解决方程时，运用化归思想可以将一些复杂的式子简化为更简单的形式。
例如，对于方程 $3(x+2)+4x=2x+5(x+4)$，可以化简为 $7x+6=7x+20$，进而得到 $x=-2$。
3. 线性方程组的解法
解决线性方程组时，也可以使用化归思想。
例如，对于方程组$\\begin{cases}2x+3y=7\\\\3x-2y=5\\end{cases}$，可以先将第二个方程化简为 $y=\\frac{3}{2}x-\\frac{5}{2}$，再代入第一个方程得到 $2x+3(\\frac{3}{2}x-\\frac{5}{2})=7$，解出 $x$ 后再代入式子求得 $y$。
4. 图形的相似性质
在几何学中，使用化归思想可以证明两个图形相似。
例如，当两个三角形的各对应角度相等时，可以将它们化归为两个直角三角形来比较它们的边长比。
综上所述，小学数学中化归思想的应用范围很广，可以在数学知识的掌握和实际问题的解决中起到重要的作用。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用化归思想是数学中常见且重要的思想方法之一，它在高中数学函数学习中有着广泛的运用。
化归思想通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决函数的性质和应用。
本文将从函数的基本性质、函数图像和函数的应用三个方面介绍化归思想在高中数学函数学习中的具体的运用。
化归思想在函数的基本性质中的运用。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等，这些性质是研究函数的重要基础。
在求解函数的基本性质中，化归思想可以通过等价变形、代入等方法将问题转化为简单的形式。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，要求该函数的顶点，可以先通过求导的办法得到导函数y'=2ax+b，令y'=0，解得x=-\frac{b}{2a}，即可得到x坐标，再将x代入原方程求得对应的y坐标，从而得到顶点。
这里通过将问题转化为代数方程求解的方式，简化了求解的过程，提高了求解的效率。
化归思想在函数图像的研究中的运用。
对于函数的图像研究，化归方法可以将复杂的曲线转化为简单的曲线，从而更好地进行分析和研究。
对于一元高次函数y=x^n (n>0)，为了研究其图像特点，可以先将x的取值范围限制在正数或负数上，然后通过变换坐标轴的方式，得到相应的图像。
在具体研究时，可以通过改变n的值，比较不同情况下曲线的图像特点，从而深入理解函数的性质和特点。
由于一元高次函数的图像较为复杂，通过化归思想可以提取其重要特征，从而更好地进行分析和讨论。
化归思想在函数的应用中的运用。
函数的应用是数学学科的重要组成部分，通过将实际问题抽象为数学问题，然后通过函数的性质和方法进行求解，从而得到问题的解答。
在函数的应用中，化归思想可以将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，从而更好地进行求解。
在函数的最值问题中，可以通过化归思想将问题转化为函数的极值问题，然后通过求导和讨论函数的单调性，得到函数的最值点。
这种化归思想的运用，既减小了问题的复杂度，又提高了求解的效率和准确性。
化归思想在中学数学方程中的运用
化归思想在中学数学方程中的运用数学方程是数学中最基础和重要的课题，也是数学实践中最有用的工具。
在解决复杂数学问题时，可以利用数学方程来求解，这是最有效的方法。
数学方程分为一元、二元、多元三类，并且，运用不同的解法和方法来解决这些方程，占据着重要的地位。
因此，学习和提高数学方程的解法和解题技巧是一项必不可少的任务。
化归思想是中学数学方程最基本的解法思想和技巧之一，其在解决中学数学方程非常重要。
它的基本要求是：将复杂的问题分解成更容易解决的小问题，并以此类推，直到问题得以解决。
具体的步骤是：一、分析问题，分解问题并重新安排顺序。
二、进行化简，将复杂的问题简化为容易管理的小问题，并记录每一步的解题过程。
三、运用定理、公式及其他方法解决小问题，求出变量的值。
四、检验结果，以确保无误。
综上所述，化归思想在解决中学数学方程时极具重要性。
不仅通过这种思想，可以解决一类较复杂的问题，而且可以帮助学生将问题分解成更加容易理解、更易于把握的小问题，以便有效地解决问题。
另外，当学习到某一步之后，也可以使用化归思想，将其前面的知识联系起来，回顾学习过程，从而更深刻地理解及掌握已学到的知识，这也是解决问题的很好方法。
最后，通过大量的练习，我们可以更好地掌握化归思想，从而提高解决数学方程的能力。
因此，数学老师在上课时也应该结合练习，让学生们加强对数学思维和化归思想的掌握，这样，学生们才能在解决数学方程时，能够用自己的理论知识与实践经验结合能量，把问题解决的更加熟练，更有效率。
综上所述，化归思想在解决中学数学方程中占据着重要的地位，可以帮助学生把复杂的问题分解成更容易解决的小问题，加深学生对数学思维以及相关知识的理解，这样，学生们就能在解决数学方程时，得到最有效的解决方案。
总之，学习和掌握数学方程的解法和解题技巧，化归思想是必不可少的，更是一项必修课，学生们应该加强训练，以达到良好的学习效果。
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化归思想在方程中的应用
【摘要】在数学教育中，化归方法是”问题”的一种重要手段和方法。
本文从化归的功能，化归的实质，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，着重归纳了用化归思想方法解题的三个注意点，力求比较全面地体现化归思想在方程解题中的作用和地位。
【关键词】化归方法方程
【中图分类号】g718 【文献标识码】a 【文章编号】
2095-3089（2013）01-0236-02
什么是化归方法，从字面上看，所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”，是指数学家把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
化归方法也称为化归原则。
在数学史上，曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。
例如，笛卡尔在《指导思想的法则》一书中就曾提出过如下的“万能方法”：
第一，将任何种类的问题化归为数学问题；
第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；
第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。
化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。
其一般模式是把所
要解决的问题a经过某种变化，使之归结为另一个问题a*，再通过问题a*的求解，得原有问题a的解答。
用框图表示如下：
化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。
要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的策略。
我们知道，在初等代数中方程的分类可列表如下：
方程代数方程有理方程整式方程一次方程二次方程高次方程分
式方程分式方程超越方程指数方程对数方程三角方程反三角方程
解一元代数方程，最基础的是要掌握一元一次方程ax+b=0（a≠0）和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法。
解一元分式方程和一元无理方程的基本方法都是通过适当的变形转化为解整式方程。
四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式。
解初等超越方程最终都转化为最简超越方程。
类型有：（1）指数方程ax=c（a>0，a≠1）；（2）对数方程logax=c（a>0，a≠1）；（3）幂函数方程xa=c（a是有理数）；（4）三角方程sinx=c，cosx=c，tanx=c。
而在解初等初等超越方程的过程中，又往往其转化成代数方程形式去解，最后才转化为最简单的超越方程的求解。
一、代数方程的求解
（1）解方程x4-25x2+144=0
分析：令x2=y，将上式转化成一元二次方程y2-25y+144=0求解（2）解方程6x4-25x3+12x2+25x+6=0
分析：将原方程变形为6x-2-25x-+24=0.令x-=y，将其转化成一
元二次方程6y2-25y+24=0去求解
（3）解方程x2+x+1=
分析：由于x2+x与互为倒数
解设x2+x=y，原方程可变形为
y+1=
解这个方程，得y1=-2，y2=1。
当y=-2时，x2+x=-2。
∵δ<0，∴该方程无实根；
当y=1时，x2+x=1，
∴x=
经检验，x=是原方程的根，所以原方程的根是x=。
（4）解方程--=0
分析：求根式方程的关键是去根号，将上式移项--方程两边同时平方得： =2，再次平方将其转化为一元二次方程6x2-x-5=0去求解。
二、超越方程的求解
（1）解方程6x+4x=9x
分析：将方程的两端分别除以9x，得x+x=1，令x=y，将其转化成一元二次方程x2+y-1=0求解。
（2）解方程log16-3x（x-2）=log82
分析：因为log82=，故有（16-3x）=x-2，从而可将其转化成一元二次方程x2-x-12=0去求解。
（3）解方程sin（2x）-12（sinx-cosx）+12=0
分析：一般的说，凡是可以求解的三角方程，总是通过恒等变形将原方程的求解转化为最简单三角方程的求解。
具体到此题，令sinx-conx=t，于是又t2=1-sin2x，从而可将原方程转化为
t2+12t-13=0去求解。
最后，又将所得sinx-cosx=1转化成最简三角方程sin（2x）=0去求解。
三、方程组的求解
（1）解方程组x+y+z=0............（1）x2+y2-z2=20 (2)
x4+y4-z4=560 (3)
分析：求解各种特殊类型的代数方程组的基本途径是将高次方程转化为低次方程，将多元方程化归为一元方程。
解：由（1）得x+y=-z （4）
由（2）得x2+y2=（x+y）2-2xy=20+z4，再利用（4）式，得
z2-2xy=20+z2，即xy=-10
由（3）得x4+y4=（x2+y2）2-2（xy）2=560+z4
于是有（20+z2）2-200=560+z4，解得z=±3
因此，将原方程组转化成两个二元二次方程组
x+y=3xy=-10与x+y=-3xy=-10
又将此两方程组转化成一元二次方程
t2+3t-10=0与t2-3t-10=0去求解
（2）解方程组sin2x+sin2y=x-y=
分析：先将原方程组转化为与它同解的方程组
cos（x+y）cos（x-y）=x-y=
再将它转化为代数方程去求解
x+y=（2n+1）πx-y=
参考文献：
1. 王子兴《数学方法论》中南工业大学出版社，1997.7
2.殷堰工.《数学解题策略精编》上海科技教育出版社， 1999.7
3. 黄文斐，徐凡等.《思维点拔与能力训练》辽宁大学出版社2000.7。