经济数学上
《经济数学微积分》微分方程
ln y kx C1 (C1为任意常数） y ekxC1 即 y ekx eC1
令 C eC1 ,得 y Cekx
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含
量 M 成正比,已知 M t0 M 0,求衰变过程中铀含
量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
其中比例常数k=a-b，a为自然出生率，b 为自然死亡率.
3、商品的价格调整模型 设某商品在时刻t的售价为P,需求函数
和供给函数分别为
D(P) a bP 与 S(P) c dP
其中a、b、c、d均为正常数，那么在时刻t 的售价P(t)对于时间t的变化率与该商品在同 一时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，则有
d2 x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt )
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 0
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
dx
x A,
2.解法 作变量代换
u y, x
即 y xu,
dy u x du ,
dx 代入原式,得
u
dx x
du
(u),
dx
du (u) u
= dx x
可分离变量的方程
例4 求解微分方程 ( x 3 y 3 )dx 3 xy 2dy
解
dy dx
x3 y3 3 xy2
y x
3
1
3
y x
2
经济数学知识点总结
经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。
112 函数的值域：函数值的集合。
113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。
116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。
2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。
211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。
212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。
213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。
二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。
经济数学1参考答案
A. B. C. D. 参考答案： C
12、
A. k=0 B. k=1 C. k=2 D. -1/2 参考答案： C
13、
A. （n+1）阶无穷小 B. n阶无穷小 C. 同阶无穷小 D. 高阶无穷小 参考答案： A
14、
A. 不含有对数函数 B. 含有反三角函数 C. 一定是初等函数 D. 一定是有理函数 参考答案： C
一、单项选择题
1、
A. л B. 2л C. 4л D. 6л 参考答案： C
2、
A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在 参考答案： C
3、
A. 1 B. 2 C. 6 D. 1/6 参考答案： C
4、
A.
B. C. D. 参考答案： B
5、
A. B. C. D. 参考答案： C
6、
A. 5/6 B. 1/2 C. -1/2 D. 1 参考答案： A
A. [0,л] B. （0,л） C. [-л/4,л/4] D. （-л/4,л/4） 参考答案： C
26、 若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）
A. 一个 B. 两个 C. 无穷多个 D. 都不对 参考答案： C
27、
A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 参考答案： A
7、
A.
B.
C. D.
参考答案： B
8、 若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）
A. 一个 B. 两个 C. 无. 参考答案： B
10、 数列有界是数列收敛的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件
D. 既非充分也非必要 参考答案： B
经济数学基础12第二章极限的四则运算法则
经济数学基础12第二章极限的四则运算法则
在极限都存在的情况下，和差积商的极限，等于极限的和差积商。
用数学的话表达就是：
lim(A+B)limA+limB
lim(A-B)=limA-limB
limAB=limA×limB
lim(A/B)limA/limB
前提是以上各个极限都存在。
极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、差、积、商的极限和这两个函数的极限的和、差、积、商都相等。
对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积﹔并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。
在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。
经济数学01
1.1 函数
例7 某化工厂生产的化肥，若每袋售价为50元，每月可销售10 000袋；
若每袋售价降5元，每月可增售2 000袋.试求该化肥的线性需求函数.
解
以Q表示需求量，p表示价格，根据线性需求函数公式
可得
Q a bp
解之得
10 12
000 000
a a
50b， 45b
因此可得
a b
30 000， 400
y 1 x2，y cos2 x，y ln x cos x sin x
等都是初等函数.
1.1 函数
1.1.5 常见经济函数
1.需求函数
需求是在一定的时期，在一既定的价格水平下，消费者愿意并且能够购买的商品数量.在某一价格下，消 费者愿意购买的某一商品的总数量称为需求量.一种商品的市场需求量Q与该商品的价格p关系密切. 通常，降 低商品价格可使需求量增加，提高商品价格将使需求量减少.
不是相同的函数.
1.1 函数
若函数 y f (x) 在它的定义域的不同区间(或不同点)上有不 同的表达式，则称这个函数为分段函数.
1，x 0 例如，函数 y sgn x 0，x 0 称为符号函数，它就是一
1，x 0
个分段函数，其定义域D (， )，值域 W 1，0 ，1 ，其
图形如图1-1所示。
周期函数的周期有无穷多个，通常所说的周期指的是最小正周期.周期函数的特征是：在定义域内每 个长度为T 的区间上，函数图像有相同的形状.例如，正弦函数y=sinx 为周期函数，周期为2π，且在每个长 度为的2π区间上，函数图像有相同的形状.
1.1 函数
1.1.3 反函数
引例
设某种商品的单价为p，销售量为x，则收入y是销售量x的函数，即 y px，
经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R(Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R(Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ
L(Q ) (d b) 2(e a )Q
由L(Q) 0， 得唯一驻点 Q0 (d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L(a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c
例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为
Q a c ，其中 Pb
a,b,c 均为正数，且 a>bc.
（1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( Pb c ( P b) 2 ab R( P ) 2 ( P b) ab b 令R( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
x 2
解 (1) R( x ) P x 10x e
【精品】经济数学1(高等数学,极限与连续)
经济数学前言一、“高等数学”的学科定位“高等数学”，是以极限论为工具研究变量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。
研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。
以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。
1、高等数学初等数学，2、，其主要内容是微分学和积分学两部分。
而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。
3、同样是微积分，还有层次的高低问题。
4、在内容的系统上，其主线是运用极限论工具对函数的各特性进行讨论。
这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。
因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。
若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。
为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。
但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。
希望大家一定要正确对待这一难关。
我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实质。
二、在学习中要注意的一些思想方法人们往往对数学有一个看法，认为数学很难，这一看法辨证地说既对又不对。
所谓难与不难是相对的，关键在认识方法上，若方法对路，相对较难的内容也能较容易地掌握。
根据高数的特点，我们列举出以下几对矛盾，希望同学们在学习的全过程中，随时多想想，找到问题的症结，对症下药，对学习会有一定的帮助。
1、常量与变量的矛盾2、内容和形式上的矛盾3、感性和理性的矛盾4、有限和无限的矛盾5、局部和整体的矛盾6、连续和离散的矛盾三、准备首先在这里先给两个数学符号，是全课程中大量运用的符号。
1）符号“∀”，即任意选取一个，或说对于每一个∀：即在区域D中任意选取一个Dx∈元素x，或说对于D中的每个x。
2）符号“∃”：至少存在一个∃：即在D中存在一个元素x。
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
经济数学第一章极限与连续
3x 1,
例
2 设函数
f
(x)
1,
2 x ,
x0 x 0 ，求定义域和函数值 f (1) 、 f (0) 、 f (4) ， x0
并作出此函数的图像．
解 函 数 的 定 义 域 D ,， f (1) 3 1 1 2 ， f (0) 1，
f (4) 24 16 ．图像如图 1.2 所示．
关系相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关．
2.分段函数
有些函数对于定义域内的自变量 x 的不同的值，不能用一个统一的解析式表示出来，而
要用两个或两个以上的解析式来表示，这种在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示
的函数，称为分段函数．
例 1 我国寄到国内（外埠）信函的邮资标准是：首重 100 克内，每重 20 克（不足 20
y 按照某种对应关系，都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作
y f (x), x D,
其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量． x 的取值范围 D 称为函数的定义域，而数集
f (D) y | y f (x), x D
称为函数 y f (x) 的值域．当 x x0 时，与 x0 相对应的 y 值称为函数值，记作 y xx0 或 f (x0 ) ．
第一章 极限与连续
函数是现代数学最基本的概念之一．它不仅是初等数学的主要内容，也是高等数学研究 的主要对象．微积分学是研究函数关系的一门数学学科．极限方法是微积分学的基本方法， 微积分学中的许多概念都是在极限概念的基础上建立的．连续性是函数的重要性态，微积分 学是以连续函数作为主要研究对象的．
本章在中学的基础上，进一步学习函数的有关内容和经济问题中的常见函数，学习函数 极限的概念及其运算，讨论函数的连续性，为学习微积分打下基础.
大学《经济数学上》试题及答案
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大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别： 网教 专业：会计、管理、金融 20 年 12 月 课程名称【编号】： 经济数学上 【0177】 A 卷 大作业 满分：100分
一、填空题 选做两题每小题10分，共20分
1、=+--→2
38
lim 2
32x x x x -12 。
2、x
x
y cos 1sin 1++=
，求)2(πy '
3、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0
0e
)(2
x k
x x x f x
在0=x 处连续，则k 。
4、
=+⎰
dx x x )cos (sin 2
π
2 。
二、计算题 选做两题每小题30分，共60分
1、曲线由参数方程⎩
⎨⎧-=+=t y t
x 11所确定，求在0=t 处的切线方程。
2、
dx x x ⎰-+-213
22
3、设
)1sin(]2)(3[2x dt t t f x
+=+⎰π
，求函数)(x f 。
4、生产某种产品q 件的成本函数为2
01.0702500)(q q q C ++=（元）， 问：生产多少件产品时平均成本最小？最小成本为多少？
三、论述题 20分
为何把定积分的牛顿——莱布尼兹公式称为“微积分学基本定理”，它有何重大意义？。