市北资优七年级分册 第11章 11.18 a3+b3+c3-3abc的因式分解+张来
市北资优七年级分册 第11章 11.2 第1节整式的乘法 幂的乘方+李业法
11.2 幂的乘方思考一个正方体的边长是10²cm ，则它的体积是多少？这个列式非常简单：（10²）³＝100×100×100＝1 000 000.如果让你写下100个410的乘积，有没有简单的写法呢？根据乘方的意义，100个410相乘，可以写成4100(10).你会计算吗？（1）3233336(2)2222+=⨯==； （2）3[(3)]-＝_________＝___________＝____________；（3）343333()a a a a a =＝___________＝____________.问题根据上述的计算，完成下面的填空：()m n a a=（ ），()()n m m n m mm m m m mn n a a a a a a +++===个个，有()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.值得注意的是：1.这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式和多项式.2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于，一个是“指数_______”，一个是“指数_______”.例1 计算下列各式，结果用含幂的形式表示：（1）45()x ；（2）76[()]x -；（3）2332()()a a --；（4）8236()()()p p p ---；（5）2332[(2)][(2)]a b b a --分析 运算顺序应遵循先乘方后乘法.解 （1）原式＝45()x ＝20x .（2）原式＝674242()()x x x ⨯-=-=（3）原式＝23326612()()a a a a a -=-=-.（4）原式＝1423142320()()()p p p p p --=-=-.（5）原式＝6612(2)(2)(2)a b b a a b --=-.例2 计算：（1）38462332264()7()2()()()x x x x x ++ ；（2）4224223322)()()()()()x x x x x x x x +-----（.解：（1）原式＝2424661224242424472472x x x x x x x x x -+=-+=-.（2）原式＝58433488880x x x x x x x x x x x x +--=+--=.例3 如果2228162n n =，求n 的值.解：34347128162(2)(2)2222n n n n n n n +===，那么7n ＋1＝22,7n ＝21，n ＝3，即n 的值为3. 例4 已知10a ＝5，10b ＝6，求（1）231010a b +的值；（2）2310a b +的值.解：（1）231010a b +＝23(10)(10)a b +＝5²＋6³＝25＋216＝241.（2）2310a b +＝23231010(10)(10)a b a b =＝5²×6³＝25×216＝5400.例5 比较5553，4444，3335的大小.解 5553＝5111111(3)243=，44441111114(4)256==，33331111115(5)125==，而111111111256243125>>，因此444555333435>>.练习11.21.计算：32[()]y -＝_______；1333()()()x x x ---＝___________.2.若n a ＝3，则3n a ＝_____________.3.计算243332()()a a a a -.4.计算322323[()][()]2()(()[()]a b a b a b a b a b +-+-+--+.5.计算：342324525()()2[()]()p p p p -+--.6.若n 是正整数，a ＝－1时，221()n n a +--为（ ）A.1B.－1C.0D.1或－17.等式()n n a a -=-（a ≠0）成立的条件是（ ）A.n 是奇数B.n 是偶数C.n 是正整数D.n 是整数8.下列计算中，正确的有（ ）（1）x ³·x ³＝2x ³ （2）33336x x x x ++==（3）33336()x x x +== （4）23239[()]()()x x x -=-=-A.0个B.1个C.2个D.4个9.已知2a m =，2b n =，求222a b +的值.10.比较753与1002的大小.练习11.2答案1. 6y ，22x -2. 273. 04. 82()a b +5. 183p -6. A7. A8. A9. m ²n ²10. 7510032>11.2《幂的乘方》练习练习11.21.（1）123(2()32()()(()a a a ==== ) ) . （2）2()393m = .（3）33m y =，9m y ＝__________.（4）21()m a +＝________.（5）32()[()]()a b b a -=- .（6）若948162m m =，则m ＝________.（7）若1216x +=，则x ＝_________.2.计算.（1）522(1)[(3)]--（2）223()()()a a a --.（3）2332[()()]x x -.（4）2332()[()]x x +-.（5）32342224()()4()x x x x x x -+-+.（6）2322(32)(23)[(23)]a b b a b a --+-.3.（1）如果28(9)3n =，则n 的值是（ ）.A.4B.2C.3D.无法确定 （2）若436482n ⨯=，则n 的值是（ ）A.11B.18C.30D.334.若22m m x x =（m 为正整数），求9m x 的值.5.（1）若2228162n n =，求正整数n 的值.（2）若1216(9)3m +=，求正整数m 的值.6.已知33m a =，32n b =（m 、n 为正整数），求233242()()m n m n m n ab a b a b +-的值.7.比较1002与753的大小.8.已知1103m -=，1102n +=（m 、n 为正整数），求23110m n ++的值.答案 练习11.21. （1）4,6,9，4a ，6a （2）2＋2m （3）27 （4）22m a + （5）6 （6）1 （7）x ＝32. （1）43- （2）9a - （3）18x （4）62x （5）84x （6）(23)(231)b a b a --+3. （1）B （2）D4. 98m x =5. （1）n ＝3；（2）m ＝36. －77. 1007523<8. 72。
青岛版数学七年级下册第11章测试卷及答案.doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】单元测试卷一、选择题1.计算a ·的结果为( ) A. 1 B.0 C.1 D.a2.下列计算正确的是（ ）A.(a 2)3＝a 5B.2a －a ＝2C.(2a )2＝4aD.a ·a 3＝a 4 3. =( )4.计算的结果是（ ） A. B. C. D.5.如果关于x 的多项式(2)x m -与(+5)x 的乘积中，常数项为15，则m 的值为（ ） A.3 B.－3 C.10 D.－l06. （2015·山东青岛中考）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001 s ，把0.000 000 001 s 用科学记数法可以表示为（ ） A ．80.110s -⨯ B ．90.110s -⨯ C ．8110s -⨯ D ．9110s -⨯7.下列说法中正确的有（ ）（1）当m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m =--成立； （2）式子(2)m m =--2，无论m 为何值时都成立；（3）三个式子：236326236(),(),[()]a a a a a a ==-=---都不成立；（4）两个式子：34343434(2)2,(2)2m m m m n n n n x y x y x y x y =-=---都不一定成立． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列运算结果为a 6的是（ ） A ．32a a +B ．23a aC ．(－a 2)3D ．a 8÷a 29. 现规定一种运算a b ab a b =+-※，则()a b b a b +-※※等于（ ）A.2a b -B.2b b -C.2bD.2b a -10. 如图，图中残留部分墙面（只计算一面）的面积为（ ）A.4xB.12xC.8xD.16x二、填空题11.计算：a ·=__________. 12.现在有一种运算：，可以使，，如果，那么___________.13. 若2()(2)5x a x x x b ++=-+，则a = ，b = ． 14. 如果210a a --=，那么5(3)(4)a a +-= ． 15.计算下列各式，然后回答问题．(4)(3)a a ++= ；(4)(3)a a +-= ； (4)(3)a a -+= ；(4)(3)a a --= ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式的结果． ()()x a x b ++= ．（2）运用上述结论，写出下列各式的结果． ①( 2 012)( 1 000)x x +-= ； ②( 2 012)( 2 000)x x --= ． 16.若互为倒数，则的值为_________.17. 若与的和是单项式，则=_________.18. 定义运算a ⊗b ＝a (1－b )，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2⊗(－2)＝6； ②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ； ④若a ⊗b ＝0，则a ＝0． 其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确的结论的序号)．三、解答题19.计算：（1）2(1)(1)x x x -++；（2）225(21)(23)(5)x x x x x -+++---； （3）(3)(3)(3)(43)x y y x x y x y -+-+-．20.（1）先化简，再求值．22322(1)(2102)x x x x x x x -+-+-，其中12x =-．（2）先化简，再求值．1(912)3(34)n n n n x x x x x ++---，其中3x =-，2n =． （3）已知,m n 为正整数，且63(5)35m x x x nx +=+，则m n +的值是多少？ 21.解下列方程：（1）23(26)3(5)0x x x x ---=-； （2）(24)3(1)5(3)80x x x x x x -+--+=-．22.已知32x =-，能否确定代数式(2)(2)(2)(4)2(3)x y x y x y y x y y x -++--+-的值？如果能确定，试求出这个值．23.某中学扩建教学楼，测量长方形地基时，量得地基长为2 m a ，宽为(224) m a -，试用a表示地基的面积，并计算当25a =时地基的面积． 24.一块长方形硬纸片，长为22(54) m a b +，宽为46 m a ， 在它的四个角上分别剪去一个边长为3 m a 的小正方形，然后 折成一个无盖的盒子，请你求出这个无盖盒子的表面积．25.李大伯把一块L 型的菜地按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是 m a ，下底都是 m b ，高都是()m b a -，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当10 m a =，30 m b =时这块菜地的面积．26.阅读材料并回答问题： 我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：22(2)()23a b a b a ab b ++=++就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1） （2） （3）（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式： ；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示为22()(3)43a b a b a ab b ++=++；（3）请仿照上述方法另写一个含有,a b 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．参考答案1. C 解析：根据同底数幂的乘法的运算法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可得：a ·===1；或者利用负整数指数幂的性质：a ·=a ·=1也可.2. D 解析：(a 2)3=a 6，2a －a =(2－1)a =a ，(2a )2=4a 2， a ·a 3=a 1+3=a 4，故选项A ，B ，C 均错误，只有选项D 正确.3. D 解析：·.4.B 解析：，故选B ．5.B 解析：2(2)(5)2105x m x x x mx m -+=+--，∵ 常数项为15，∴ 515m =-， ∴ 3m =-．故选B ．6. D 解析： 90.000 000 001110-=⨯. 7.B 解析：（1）正确.（2）当m 是偶数时，(2)2m m =-，故此说法错误.（3）236()a a =--，326()a a =-成立，236[()]a a =---，故此说法错误.（4）当m 是偶数时，3434(2)2m m m m x y x y =-，错误；当m 是奇数时，34(2)m x y -=342m m m x y -．故第一个式子不一定成立，所以此说法正确．同理第二个式子也不一定成立．故此说法正确．所以（1）（4）正确，故选B ． 8. D 解析：A 选项中的a 2与a 3不是同类项，所以不能合并；B 选项中利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得23a a ＝5a ；C 选项中综合运用积的乘方和幂的乘方可得 (－a 2)36a -；D 选项中利用同底数幂相除，底数不变，指数相减可得a 8÷a 26a .故选项D 是正确的.9. B 解析：2()()()a b b a b ab a b b a b b a b ab a b b ab +-=+-+-⨯+-=+-+-+※※- 2b a b b b --=-，故选B ． 10.B11.a 3 解析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得2a a ⋅=a 1+2=a 3. 12. 解析：因为，且，，又因为，所以， 所以．13. -7 -14 解析：∵ 2()(2)5x a x x x b ++=-+， ∴ 22225x x ax a x x b +++=-+，∴ 25a +=-，2a b =，解得7a =-，14b =-． 14. -55 解析：∵ 210a a -=-，∴ 21a a =-，∴ 225(3)(4)55605()60a a a a a a +-=--=--. 当21a a -=时，原式516055=⨯-=-.15.2712a a ++ 212a a +- 212a a -- 2712a a -+ （1）2()x a b x ab +++ （2）①2 1 012 2 012 000x x +- ②2 4 012 4 024 000x x +-解析：2(4)(3)a a a ++=712a ++；(4)(3)a a +-=212a a +-；(4)(3)a a -+=212a a --；(4)(3)a a --=2712a a -+．（1）()()x a x b ++=2()x a b x ab +++．（2）①( 2 012)( 1 000)x x +-=2 1 012 2 012 000x x +-； ②( 2 012)( 2 000)x x --=2 4 012 4 024 000x x +-． 16.1 解析：因为互为倒数，所以，所以=.17. 解析：由题意知，与是同类项，所以，所以所以. 18. ①③ 解析：2⊗()=2，所以①正确； 因为⊗=⊗=,只有当时，⊗⊗，所以②错；因为⊗+⊗=+=+=[2]=2,所以③正确； 若⊗==0，则，所以④错．19.解：（1）原式=31x -；（2）原式=32325105(102153)x x x x x x ----+- =32325105102153x x x x x x ---+-+ =32771515x x x ---；（3）原式=22229(43129)x y x xy xy y --+-- =2222943129x y x xy xy y ---++ =22589x y xy ++．20.解：（1）22322(1)(2102)x x x x x x x -+-+- =432432222(2102)x x x x x x -+--+ =38x .把12x =-代入，得原式3318812x ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）1(912)3(34)n n n n x x x x x ++--- =211912912n n n n n x x x x x +++--+ =2n x .把3,2x n =-=代入， 得原式222(3)81n x ⨯==-=. （3）∵ 63(5)35m x x x nx +=+， ∴ 1631535m x x x nx ++=+， ∴ 16m +=，155n =. 解得5m =，3n =， ∴ m n +的值是8．21.解：（1）去括号，得2236183150x x x x ---+=. 合并同类项，得9180x -=. 移项，得918x =.系数化为1，得2x =.（2）去括号，得222243351580x x x x x x -+--++=． 合并同类项，得880x +=. 移项，得88x =-. 系数化为1，得1x =-.22.解：原式=222224(284)26x y xy x y xy y xy -+--++- =22222428426x y xy x y xy y xy -+--++- =24x -.当32x =-时，原式23492⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭．23.解：根据题意，得地基的面积是222(224)(448)(m )a a a a -=-. 当25a =时，2224484254825 1 300(m )a a -=⨯-⨯=． 24.解：纸片的面积是2246422(54)6(3024)(m )a b a a a b +=+； 小正方形的面积是3262() (m )a a =，则无盖盒子的表面积是6426642230244(2624)(m )a a b a a a b +-⨯=+． 25.解：根据题意，得菜地的面积是2212 ()()2a b b a b a ⨯+-=-.当10 m a =，30 m b =时， 原式2223010800(m )=-=． 所以这块菜地的面积为2800 m .26.解：（1）22(2)(2)252a b a b a ab b ++=++； （2）答案不唯一，如图（1）所示（1） （2）（3）恒等式是22(2)()32a b a b a ab b ++=++，如图(2)所示．（答案不唯一） 16台． 中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
市北资优七年级分册 第11章 11.1 第1节整式的乘法 同底数幂的乘法+李稼祥
第一节 整式的乘法11.1 整式的乘法11.1同底数幂的乘法思考1：a n 表示的意义是什么？其中a 、n 分别叫做什么？a n ＝a ×a ×a …×a几个相同因数a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数，a 的n次乘方的结果叫做a 的n 次幂．例如(－3)2、(－32)2、(32)2、(x ＋y )6、(－x －y )6． 注意⑴底数a 可以是任何有理数，也可以是单项式，多项式． ⑵一般地，n 为偶数时，(x －y )n ＝(y －x )n ；n 为奇数时，(x －y )n ＝－(y －x )n ．思考2：式子103×102这个式子中的两个因式有何特点？103×102＝(10×10×10)×(10×10)＝( )＝10( )；(－3)4×(－3)2＝_______＝( )＝(－3)()；(a )4×(a )2＝______×_______＝( )＝a ( )．请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103×102＝10( )；(－3) ×(－3)2＝(－3)( )；a 4×a 2＝a ( )．猜想a m ·a n ＝？(m 、n 都是正整数)a m ·a n ＝(a ·a ·a ·……·a )·(a ·a ·a ·…·a )＝(a ·a ·a ·……·a )＝a m ＋n同底数幂相乘的法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 都是正整数)．例1计算下列各式，结果用含幂的形式表示．⑴(－8)×(－8)5； ⑵(－12) ·(－12)2·(－12)3·(－12)4； ⑶－x 2·(－x )6； ⑷a 3m ·a 2m －1(m 是正整数)；⑸(a －b )3·(b －a )6； ⑹(a －2b )·(2b －a )2·(2b －a )3． n 个a ( )个10 ( )个10 ( )个10 ( )个-3 ( )个-3 ( )a ( )a ( 个am 个a n 个a m +个a解：⑴(－8)12×(－8)5＝(－8)12＋5＝(－8)17．⑵(－12) ·(－12)2·(－12)3·(－12)4＝(－12)1＋2＋3＋4＝(－12)10． ⑶－x 2·(－x )6＝－x 2·x 6＝－x 2＋6＝－⑷a 3m ·a 2m －1＝a 3m ＋2m －1＝a 5m －1． ⑸(a －b )3·(b －a )6＝(a －b )3·(a －b )6 ⑹(a －2b ) ·(2b －a )2·(2b －a )3＝－(a －2b ) ·(a －2b )2·(a －2b )3＝－(a －2b )1＋2＋3＝－(a －2b )6．另解：(a －2b )·(2b －a )2·(2b －a )3＝－(2b －a )·(2b －a )2·(2b －a )3＝－(2b －a )1＋2＋3＝－(2b －a )6． 例2计算：⑴x 3·x 3·x 2－2·x 5·x 3＋x 4·x 4－3·x 8；⑵b 2·b m －2＋b ·b m －1－b 3·b m －5·b 2．解：⑴x 3·x 3·x 2－2·x 5·x 3＋x 4·x 4－3·x 8＝x 8－2x 8＋x 8－3x 8＝－3x 8．⑵b 2·b m －2＋b ·b m －1＋b 3·b m －5·b 2＝b 2＋m －2＋b 1＋m －1－b 3＋m －5＋2＝b m ＋b m －b m ＝b m ．例3求下列各式中的x :⑴a x ＋3＝a 2x ＋1(a ＞1)； ⑵p x ·p 6＝p 2x (p ＞1)解：⑴x ＋3＝2x ＋1，x ＝2．⑵x ＋6＝2x ，x ＝6．例4已知x 2m －n ·x 2n －m ＝x 13(x ＞1)，y m －1·y －1－n ＝y (y ＞1)，求m ，n 的值．解：因为x 2m －n ·x 2n －m ＝x 13，所以2m －n ＋2n －m =13，即m ＋n ＝13；又因为y m －1·y －1－n ＝y ，所以m －1＋(－1－n )＝1，即m －n ＝3；所以⎩⎨⎧m ＋n ＝13m －n ＝3，得⎩⎨⎧m ＝8n ＝5．练习11.11．x 3·x 5＝_________．2．y 2·y 6＝____·y 4＝y ·____＝_________．3．104×10＝________；3×32×33＝____________．4．(－x )2·x 3＝_________；(－a 2) ·(－a )3＝________．5．x 2n ＋1·x n ＋3＝_______；(b －a )3·(b －a )4＝_________．6．计算：(－2)×(－2)3×(－2)5．7．计算：100×103×102．8．计算：－(－a )2·(－a )5·(－a )3．9．计算：3a 2·a 4＋2a ·a 2·a 4－4a 5·a 2．10．x 3m ＋3可以写成( )．(A )3x m ＋1 (B )x 3m ＋x 3 (C )x 3·x m ＋1 (D )x 3m ·x 311．a m ＝2，a n ＝3，则a n ＋m ＝( )．(A )5 (B )6 (C )8 (D )912．已知n 为正整数，试计算(－a )2n ＋1×(－a )3n ＋2×(－a )．13．已知x 2·x 6n －10＝x 5n －6(x ＞1)，求n 的值．14．已知x ＞1，y ＞1，x a －b ·x 2b －1＝x 8，y a －1·y 5－b ＝y 7，求a 、b 的值．参考答案练习11.11．x 82．y 4，y 7，y 83．105，364．x 5，a 55．x 3n ＋4，(b －a )76．(－2)97．107＝10 000 0008．－(－a )10(或－a 10)9．3a 6－2a 710．D11．B12．(－a )5n ＋413．n ＝2 14．⎩⎨⎧a ＝6b ＝3．分析:由题意得⎩⎨⎧a －b ＋2b －1＝8a －1＋5－b ＝7；即⎩⎨⎧a ＋b ＝9a －b ＝3，得⎩⎨⎧a ＝6b ＝3．11.1《整式的乘法》练习11.1同底数幂的乘法练习11．11．⑴10m ＋1×10n －1＝______；－64×(－6)5＝______．⑵x 2·x 5＝_______；a n ·a 6＝_______．⑶－a ·(－a )2＝_______；a ·a 2·a 3＝_________．⑷x 2·____＝x 6；(－y )2·_____＝y 5．⑸(x －y )2n －1·(x －y )2n ＝__________；(x ＋y )2·(x ＋y )5＝______．⑹x 2·x 3＋x ·x 4＝_________；103×100×10＋100×100×100－10 000×10×10＝______．⑺若a m ＝a 3·a 4，则m ＝_______；若x 4·x a ＝x 16，则a ＝_______．⑻若x ·x 2·x 3·x 4·x 5＝x y ，则y ＝_______；若a x ·(－a )2＝a 5，则x ＝______．2．⑴下面计算正确的是( )．(A)b3·b2＝b6 (B)x3＋x3＝x6 (C)a4＋a2＝a6 (D)m·m5＝m6⑵若x≠y，则下面多项式不成立的是( )．(A)(y－x)2＝(x－y)2 (B)(y－x)3＝－(x－y)3(C)(－x－y)2＝(x＋y)2 (D)(x＋y)2＝x2＋y2⑶下列说法中正确的是( )．(A)－a n和(－a)n一定互为相反数(B)当n为奇数时，－a n和(－a)n相等(C)当n为偶数时，－a n和(－a)n相等(D)－a n和(－a)n一定不相等3．计算下列各题：⑴(x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3．⑵(a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3．⑶(－x)2·(－x)3＋2x·(－x)4－(－x) ·x4．⑷x·x m－1＋x2·x m－2－3·x3·x m－3．4．已知1km2的土地上，一年内太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108kg煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少kg？5．若a*b＝x a·x b．⑴试求5*6和3*9的值；⑵比较(a*b)·(c*d)的值与(d*b)·(a*c)的值的大小，并说明理由．参考答案练习11.11．⑴10m＋n，69 ⑵x7，a n＋6 ⑶－a3，a6 ⑷x4，(－y)3 ⑸(x－y)4n－1，(x＋y)7⑹2x5，106＝1 000 000 ⑺m＝7，a＝12 ⑻y＝15，x＝32．2．⑴D⑵D⑶B3．⑴－(x－y)10 ⑵－(a－b－c)6 ⑶2x5 ⑷－x m4．1.248×1015千克6．⑴x11，x12⑵相等，因为(a*b)(c*d)＝x a·x b·x c·x d＝x a＋b＋c＋d，(d*b)(a*c)＝x d·x b·x a·x c＝x a＋b＋c＋d，所以相等．。
上海名校市北数学-.18 a3+b3+c3-3abc的因式分解+张来
11．18 a3＋b3＋c3—3abc的因式分解试一试如何对a3＋b3十c3－3abc进行因式分解？例1分解因式：x3＋y3＋z3—3xyz．分析这是一个三元三次多项式，根据题目结构的特点并由配方的联想，将原多项式的某些项配成完全立方，并使得配成完全立方的式与其余的项能用分组分解法分解因式．解原式＝x3＋y3＋z3－3xyz＝x3＋3xy (x＋y)＋y3—3xy (x＋y)＋z3－3xyz＝(x＋y)3＋z3－3xy(x＋y＋z)＝[(x＋y)＋z][(z＋y)2一(x＋y)2＋z2]－3xy(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋2xy＋y2－xz－yz＋z2)－3xy (x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)．例2 分解因式：(x－1)3＋(z－2)3＋(3－2x)3．解设a＝x－1，b＝x－2，c＝3－2x，则a＋b＋c＝0，由公式a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)知此时a3＋b3 ＋c3＝3abc，所以原式＝3(x－1)(x－2)(3－2x)．例3 分解因式：(2x＋3y)3—8x3—27y3．解(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2z＋3y)3＋(一2x)3＋(一3y)3,因为2x＋3y＋(－2x)＋(－3y)＝0，所以(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2x＋3y)3＋(－2x)3＋(－3y)3＝3(2x＋3y)(一2x)(一3y)＝18xy(2x＋3y)．练习11．181．分解因式：(x2＋y2)3＋(z2－x2)3－(y2＋z2)3．2．求(b＋c－2a)3＋(c＋a－2b)3＋(a＋b－2c)3—3(b＋c－2a) (c＋a－2b)(a＋b－2c)的值．3．分解因式：x6＋64y6＋12x2y2—1．4．设a＋b＋c＝3m，求(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b) (m－c)的值．5．三个整数a、b、c的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是多少？参考答案练习11．181．原式＝3(x2＋y2)( y2＋z2)(x＋z)(x—z)2．由(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)＋(a＋b—2c)＝0，得原式＝03．x6＋64y6＋12x2y2—1＝(x2)3＋(4y2)3＋(－1)3－3x2·4y·(－1)＝(x2 ＋4y2－1)(x4＋16 y4＋1－4x2y2＋x2 ＋4y2)4．令p＝m－a，q＝m－b，r＝m—c，则p＋q＋r＝(m－a)＋(m－b)＋(m—c)＝3m－(a＋b＋c)＝0．①又(m－a)3＋(rn－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)＝p3＋q3＋r3－3pqr＝(p＋q＋r)(p2＋q2＋c2－pq－qr－rp)．②由①，②可知(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b)(m－c)＝05．因为a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c) (a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)，所以a3＋b3＋c3＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＋3abc，又a、b、c为整数且a＋b＋c是6的倍数，所以a、b、c中至少有一个为偶数，否则a＋b＋c为奇数，从而3abc被6整除，因此a3＋b3＋c3被6除昀余数为011．18 a3＋b3＋c3－3abc的因式分解、练习11．181．分解因式：x3＋y3＋3xy－1．2．分解因式：(x—y)3＋(y—x－2)3＋8．3．分解因式：(ax－by)3＋(by－cz)3一(ax－cz)3．4．分解因式：(a－b)3＋(b－c)3＋(c—a)3．5．已知x＋y＋z＝3，x2＋y2 ＋z2＝29，x3＋y3＋z3＝45，求xyz的值．参考答案1．原式＝x3＋y3＋(－1)3－3xy(－1)＝(x＋y－1)(x2＋y2＋1＋x＋y－xy)2．原式＝－6(x－y)(x－y＋2)．提示：由于(x－y)＋(y—z一2)＋2＝0，所以原式＝3(x－y)(y－x－2) ·2＝6(x－y)(y－x－2) ．3．原式＝－3(ax－by)(by－cz)(ax－cz)．提示：由于(ax－by)＋(by－cz)＋[－(ax－cz)]＝0，所以原式＝3(ax－by)(by－cz)[一(ax－cz)]＝一3(ax－by)(by－cz)(ax—cz)4．原式＝3(a一b)(b一c)(c一a)5．由(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz十zx)，x3＋y3＋z3—3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx),32—29＋2(xy＋yz＋zx)，所以23292(xy yz zx) 4533[29()] xyz xy yz zx ì=+++ïí-=-++ïî所以xy＋yz＋zx＝－10，从而15－xyz＝29＋10，即xyz＝－24。
市北资优七年级分册 第11章 11.12 拆项与添项法+滕小红
11.12 拆项与添项法【观察】多项式x4＋2x3＋3x2＋2x＋1可以拆成x4＋x3＋x3＋x2＋x2＋x2＋x＋x＋1．又例如代数式ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)，添项后可变形为ab(a－b)＋bc［(b－a)＋(a－c)］＋ca(c －a)．把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．在代数式中添加两个相反项，叫做添项．拆项和添项都是代数式的恒等变形．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的整式变形．在多项式乘法中有时需要合并同类项，与之相反的变形则为拆项与添项．对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，把某些被合并的同类项恢复原状，创造使用提取公因式或运用公式进行分组分解的条件，使原式的某些项之间能建立起联系，便于进行因式分解．【例1】分解因式：x4＋x3－3x2－4x－4．【分析】原式中x4，x3的系数都等于1，一次项系数与常数项都等于－4，因此把中项－3x2拆成x2－4x2即可分组分解．【解】原式＝x4＋x3＋x2－4x2－4x－4＝x2(x2＋x＋1)－4(x2＋x＋1)＝(x2＋x＋1)(x2－4)＝(x2＋x＋1)(x＋2)(x－2) ．【例2】分解因式：x2－2(a＋b)x－ab(a－2)( b＋2)．【分析】原式中前两项x2－2(a＋b)x可进行配方，添上(a＋b)2－(a＋b)2即可分组分解．【解】原式＝x2－2(a＋b)x＋(a＋b)2－(a＋b)2－ab(a－2)( b＋2)＝［x－(a＋b)］2－［(a＋b)2＋ab(ab＋2a－2b－4)］＝(x－a－b)2－［(a＋b)2－4ab＋2ab(a－b)＋a2b2］＝(x－a－b)2－［(a－b)2＋2ab(a－b)＋(ab)2］＝(x－a－b)2－(a－b＋ab)2＝(x－a－b＋a－b＋ab)( x－a－b－a＋b－ab)＝(x－2b＋ab)(x－2a－ab) ．补充说明：原式是一个关于x的二次三项式，如果将常数项－ab(a－2)( b＋2)变形为(2b－ab)(2a＋ab)，即可用十字相乘法对原式进行因式分解．【例3】分解因式：2x4－15x3＋38x2－39x＋14．【分析】先把多项式的第二项－15x3拆成－2x3和－13x3，把第三项38x2拆成13x2和25x2，把第四项－39x 拆成－25x和－14x，分组提取公因式，在拆项即可解得．【解】原式＝2x4－2x3－13x3＋13x2＋25x2－25x－14x＋14＝2x3(x－1)－13x2(x－1)＋25x(x－1)－14(x－1)＝(x－1)(2x3－13x2＋25x－14)＝(x－1)(2x3－7x2－6x2＋21x＋4x－14)＝(x－1)［(2x3－7x2)－(6x2－21x)＋(4x－14)］＝(x－1)［x2 (2x－7)－3x (2x－7)＋2(2x－7)］＝(x－1)(2x－7)(x2－3x＋2)＝(x－1)(2x－7)(x－1)(x－2)＝(x－1)2(x－2)(2x－7) ．补充说明：在因式分解中，经常出现在同一题的解题过程中一种方法多次使用，或几种方法交替或同时使用，本题先后使用了拆项、分组、提取公因式，再拆项、分组、提取公因式，最后应用了十字相乘法．可见因式分解是一套培养和训练学生思维能力的最好的数学体操之一．【例4】分解因式： x 8＋x ＋1．【解】原式＝x 8－x 5＋x 5－x 2＋x 2＋x ＋1＝(x 8－x 5)＋(x 5－x 2)＋(x 2＋x ＋1)＝x 5(x 3－1)＋x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 5(x 3－1)＋x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 5(x －1)(x 2＋x ＋1)＋x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 6－x 5＋x 3－x 2＋1)．练习11.121．分解因式：x 4＋x 3＋4x 2＋3x ＋3．2．分解因式：x 5＋x ＋1．3．分解因式：6x 4＋7x 3－36x 2－7x ＋6．练习11.12答案1．解法一：原式＝x 4＋x 3＋x 2＋3x 2＋3x ＋3＝x 2(x 2＋x ＋1)＋3(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 2＋3)解法二：原式＝x 4＋3x 2＋x 3＋3x ＋x 2＋3＝x 2(x 2＋3)＋x (x 2＋3)＋(x 2＋3)＝(x 2＋3)(x 2＋x ＋1)2．分析：因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)，所以原式添上－x 2＋x 2，再进行分组分解即可得解．原式＝x 5－x 2＋x 2＋x ＋1＝x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 3－x 2＋1)3．解法一：原式＝6(x 4＋1)＋7x (x 2－1) －36x 2＝6［(x 2－1)2＋2x 2］＋7x (x 2－1) －36x 2＝6(x 2－1)2＋7x (x 2－1) －24x 2＝6(x 2－1)2＋7x (x 2－1) －24x 2＝()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⎣⎦⎣⎦＝(2x 2－3x －2)(3x 2＋8x －3)＝(2x ＋1)( x －2)(3x －1)(x ＋3) 解法二：原式＝222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令t ＝1x x -，则221x x+＝t 2＋2．故 原式＝()2262736x t t ⎡⎤++-⎣⎦＝x 2(6t 2＋7t －24)＝x 2(2t －3)(3t ＋8) ＝2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝(2x 2－3x －2)(3x 2＋8x －3)＝(2x ＋1)( x －2)(3x －1)(x ＋3)11.12 拆项添项法练习11.121．分解因式：bc(b＋c)＋ca(c―a)―ab(a＋b) ．2．分解因式：x5―1．3．分解因式：x4＋y4＋(x＋y) 4．4．分解因式：(1＋y)2―2x2(1＋y2)＋x4(1―y)2．练习11.12答案1．原式＝bc(b＋c)＋ca(c―a)―ab［(b＋c)―(c―a)］＝［bc(b＋c)―ab(b＋c)］＋［ca(c―a)＋ab (c―a)］＝b(b＋c)(c―a)＋a(c―a)( c＋b)＝(b＋c)(c―a)(a＋b)2．原式＝x5―x4＋x4―x3＋x3―x2＋x2―x＋x―1＝x4(x―1)＋x3(x―1)＋x2(x―1)＋x(x―1)＋(x―1)＝(x―1)( x4＋x3＋x2＋x＋1)3．原式＝(x2＋y2)2―2x2y2＋(x2＋y2＋2xy)2＝(x2＋y2)2―2x2y2＋(x2＋y2)2＋4xy(x2＋y2)＋4x2y2＝2(x2＋y2)2＋4xy(x2＋y2)＋2x2y2＝2［(x2＋y2)2＋2xy(x2＋y2)＋x2y2］＝2 (x2＋y2＋xy) 24．原式＝(1＋y)2＋2(1＋y)x2(1－y)＋x4(1―y)2―2(1＋y)x2(1－y)－2x2(1＋y2) ＝［(1＋y)＋x2(1－y)］2―2x2＋2x2y2－2x2－2x2y2＝［(1＋y)＋x2(1－y)］2－(2x)2＝［(1＋y)＋x2(1－y) ＋2x］［(1＋y)＋x2(1－y)－2x］＝［(x2＋2x＋1)＋y－yx2］［(x2－2x＋1)＋y－yx2］＝［(x＋1)2＋y(1－x2)］［(x－1)2＋y(1－x2)］＝(x＋1)［(x＋1)＋y(1－x)］(x－1)［(x－1) －y(x＋1)］＝(x－1) (x＋1) (x＋1＋y－xy)(x－1－yx－y)。
市北资优七年级分册 第11章 11.21 单项式除以单项式+廖才新
11.21 单项式除以单项式问题1一颗人造地球卫星的速度是1.5×108米/时，一架飞机的速度是3×105米/时，问人造地球卫星的速度是飞机的几倍？分析：这是一个除法运算：（1.5×108）÷（3×105）.利用去括号法则和乘法法则：（1.5×108）÷（3×105）＝1.5×108÷3÷105＝（1.5÷3）×（108÷103）＝0.5×103＝500（倍）问题2计算：12a5c2÷3a2.根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与3a2相乘的积等于12a5c2.由于（4a3c2）·3a2＝12a5c2，那么12a5c2÷3a2＝4a3c2.两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.例1计算：（1）24a3b2÷3ab2；（2）－21a2b3c÷13 ab；（3）（6xy2）2÷3xy.解：（1）21a3b2÷3ab2＝（24÷3）×（a3÷a）×（b2÷b2）＝8a3－1×1＝8a2.（2）－21a2b3c÷13 ab＝（－21÷13）a2－1b3－1c＝－63ab 2c . （3）（6xy 2）2÷3xy ＝36x 2y 4÷3xy ＝12xy 3.例2 计算：（1）（4×104）3÷（－2×106） （2）7x 3y 2÷[（－7x 5y 2）2÷49x 8y 3]；（3）27x 4y 4z 3÷（－3xyz ）－（－4x 6y 3z 3）÷（－2x 3z ）.解：（1）原式＝（64×1012）÷（－2×106）＝－32×106＝－3.2×107.（2）原式＝7x 3y 2÷（49x 10y 4÷49x 8y 3）＝7x 3y 2÷x 2y ＝7xy .（3）原式＝－9x 3y 3z 2－2x 3y 3z 2＝－11x 3y 3z 2.例3 已知2223421111533n n n n xyz m x y z x y z ++-+⎛⎫-⋅=÷ ⎪⎝⎭，且正整数x 、z 满足123x z -⋅＝72，求m 的值.解：m ＝2223421111533n n n n x y z x y z xyz ++-+⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭，那么m ＝35xz ，又正整数x 、z 满足123x z -⋅＝72，所以123x z -⋅＝72＝23×32，所以x ＝3，z ＝3，所以m ＝35xz ＝275.练习11.211. ____________÷2ab ＝6ab 2. 2. ____________÷（－5xy 2）＝15xy . 3. 125a 2x 3÷____________＝5a . 4. 24a 3b 2÷____________＝－3ab . 5. x 6y 3z 2÷3x 3y 3＝____________.6.（2×108）÷（5×105）＝____________. 7. 8（x ＋y ）2÷2（x ＋y ）＝____________. 8. 64m 2n 2÷____________＝16mn . 9. ____________÷2a 2b ＝7ab 2.10. 18a 3（m ＋n ）2÷[3a 2（m ＋n ）]＝____________.11. 下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷声”，这是由于光速比声速快的缘故.已知光在空气中的传播速度约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×102米/秒.请计算一下，光速是声速的多少倍？（结果保留两个有效数字） 12. 某长方体体积为16a 3b 2c ，长为2a 2b ，宽为14ab ，求此长方体的高. 13. 计算：[（a －b ）3]2÷[（b －a ）2]3. 14. 计算：24325221(2)52ax a x y a xy ⎛⎫⎛⎫⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15. 计算：4232512963a b c abc abc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16. 计算：()()2323225a b c ab c -÷-.17. 计算： （－3x 3y 2）3·（－4x 2y 3）2÷（－6x 4y 4）.18. 计算：3a 2b －（－2a 2）·（－2b ）＋（4a 3b 2）2÷（－2a 4b 3）.19. 先化简再求值：（－2a 2b ）2－（3a 3b 2）2÷6a 2b 2＋7a 9b 6÷2a 5b 4，其中a ＝－1，b ＝23.练习11.21参考答案1. 12a2b32. －75x2y33. 25ax34. －8a2b5. 13x3z26. 4007. 4x＋4y8. 4mn9. 14a3b310. 6a（m＋n）11. 8.8×10512. 1 3 c13. 114. 165ax415. 5a216. －25ac17. 72x9y818. ―9a2b19. 6a4b2＝8 311.21 单项式除以单项式练习11.211.（1）下列计算错误的是（）.（A）（a2）3·a4＝a10（B）（a4）2÷a4＝a2（C）（－a3b）3÷（12a2b2）＝－2a7b（D）10a3b3÷（－2a）＝－5a2b3（2）下列计算中正确的是（）.（A）a2·（xy3）2·ax2y＝a3x4y8（B）（x2y4）3÷（x2y）2＝x4y10（C）（－2x2）2·2（x2）2·（2x2）2＝32x12（D）（3y3）2÷（－3y2）2＝－y2 2.（1）____________÷（－3xy2）＝6xy.（2）（6×108）÷（－1.5×103）＝____________（用科学记数法表示）. （3）6ab2÷（2ab）＝____________.（4）－36a2b4c÷（6ab）＝____________.（5）2（m＋n）4（n－m）3÷[2（m＋n）（n－m）]＝____________.3.计算：（1）（4ab）2·（－14a4b3c2）÷（－4a3b2c2）.（2）－32a4b5c÷16ab4·（－38a5b5）.（3）（－2a2x3）5÷（－2a3x4）3·（x2＋1）0.（4）（2a2x3）3÷（4ax4）2÷（12 ax）.（5）（3x3y2）4÷（6x2y）2－（－13x3y2）2·（12xy）2.。
市北资优七年级分册 第11章 11.14 换元法+阳初冬
11.14 换元法换元法：“换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式子，使得原式变成含新“元”的式子，然后对含新“元”的式子按要求求出结果，再将其所代替的式子代回，求出原式的结果。
换元法的作用：换元法是数学中的一种重要方法，它可以使不熟悉的问题转化为熟悉的问题；使复杂的问题转化为简单的问题，从而用熟悉或较简单的方法来解决问题，在解题或证明中换元法常常起着桥梁和杠杆的作用。
换元法又称辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展，以前在乘法公式的推导、整式化简、提取公因式及运用公式法等常用方法分解因式时，已包括或运用这一重要数学思想，只不过那时解题过程比较简单，层次比较清楚，虽然没有将引进的新的变元写出，也不会引起混乱，而对一些比较复杂的问题则必须将引进的新的变元写出，否则会引起混乱。
例1 分解因式：2222（x +4x+8)+3x(x +4x+8)+2x解：设248x x y ++= ，则原式＝2232()(2)y xy x y x y x ++=++22222=48)(482)(58)(68)(58)(2)(4)x x x x x x x x x x x x x x ++++++=++++=++++（例2 分解因式：261)(21)(31)(1)x x x x x ----+（ 解：原式＝222671)(651)x x x x x -+-++（ ，令2671x x t -+= ，则26512x x t x -+=+ 原式＝222222(2)2()(661)t t x x t tx x t x x x =++=++=+=--例3 分解因式：22(54)(2)72x x x x -+---解：原式=1)(4)(2)(1)72x x x x --++-（[(1)(2)][(4)(1)]72x x x x =---+-2222(32)6(32)72(38)(5)(2)x x x x x x x x =-+--+-=-+-+练习11.14（1）1、分解因式：22(33)(34)8x x x x ++++-2、分解因式：22(32)(483)90x x x x ++++-3、分解因式：2(27)(25)(9)91x x x -+--4、分解因式：16(61)(23)(31)(1)25x x x x --+-+5、分解因式：2(67)(31)(1)6x x x +++-例4 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-解：令：,a b x ab y +== ，则原式＝222(2)(2)+1-22412x y x y x xy x y y y --=--++-+（） ＝222-2xy+y 2()1()2()1(1)x y x y x y x y --+=---+=--2x＝2221)(1)(1)a b ab a b +--=--（ 例5 分解因式：44(1)(3)272x x +++- 解：令1322x x y x +++==+， 则 原式＝444242(1)(1)2(61)2722(6135)y y y y y y -++=++-=+-＝2222(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y -+=+-+＝42x+5)(x-1)(x 419)x ++（对于形如432Ax Bx Cx Dx E ++++ 的四次多项式，其中A ＝E ，｜B ｜＝｜D ｜，在提取x 2后，可以构造1x x± 的二次多项式 例6 分解因式：43271471x x x x ++++ 解：原式＝22271(714)x x x x x++++ ＝22211[()7()14]x x x x x++++ ＝222221111[()7()12](3)(4)(31)(41)x x x x x x x x x x x x x x++++=++++=++++ 练习11.14（2）1、分解因式：22222)4()x xy y xy x y ++-+（ 2、分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 3、分解因式：222(23)(43)3x x x x x ++++-4、分解因式：44(5)(3)82x x +++-5、分解因式：432653856x x x x +-++6、分解因式：432673676x x x x +--+参考答案练习11.14（1）1、设23x x y += ，原式＝2(1)(4)(38)x x x x -+++2、原式＝22253)(252)90x x x x ++++-（ 令2252y x x =++ ，原式＝2(1)(27)(2512)x x x x -+++3、原式＝22(221)(215)91x x x x ----- ，令22x x y -= 原式＝2(28)(4)(27)x x x x ---+5、原式＝22(24163)x x --6、原式＝2(35)(32)(122819)x x x x ++++练习11.14（2）1、令,x y a xy b +==原式＝22222(2)()a b x xy y -=-+2、设,xy a x y b =+=原式＝(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b x y x y +++-=++--3、令233a x x =++原式＝22(3)(53)x x x x ++++4、设4y x =+ 原式＝22(6)(2)(826)x x x x ++++5、原式＝2211[6()5()50](2)(21)(3)(31)x x x x x x x x x+++-=--++ 6、原式＝2211[6()7()24](21)(2)(31)(3)x x x x x x x x x-+--=+--+。
市北资优七年级分册 第11章 11.6 完全平方公式+任科
11.6 完全平方公式问题1同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，请计算下列四个小题． 2(23)m n +=_______________________, 2(23)m n --=_________________________, 2(23)m n -=_______________________, 2(23)m n -+=_________________________.问题2你能总结出计算结果与多项式中两个单项式的关系吗？222(23)4129m n m mn n +=++, 222(23)4129m n m mn n --=++, 222(23)4129m n m mn n -=-+, 222(23)4129m n m mn n -+=-+. 2()a b +=_____________________.问题3222()2a b a ab b +=++正确吗？如何说明？方法1：从整式乘法运算的角度考虑， 2()()()()()a b a b a b a a b b a b +=++=+++22222a ab b ab a ab b =+++=++方法2：从图形面积的角度考虑， 2212322S S S S a ab b =++=++ 2()S a b =+所以222()2a b a ab b +=++．思考1根据下图如何来说明 222()2a b a ab b -=-+bba由此，我们有了：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．即 222()2a b a ab b +=++， 222()2a b a ab b -=-+． 这两个公式叫做完全平方公式．例1 计算：(1) 2(23)x y + (2) 2(53)x y - (3) 2(3)a b -+ (4) 2(53)c -- 解 (1) 22222(23)(2)2(2)(3)(3)4129x y x x y y x xy y +=++=++ (2) 22222(53)(5)2(5)(3)(3)25309x y x x y y x xy y -=-+=-+ (3) 22222(3)(3)2(3)96a b a a b b a ab b -+=-+-+=-+ (4) 2222(53)(5)2(5)3325309c c c c c --=---+=++注意在应用公式的时候，要明确公式中的字母，可以表示具体的数，也可以表示单项式，甚至多项式．同时要确认式子中的符号.例2 计算： (1) 2()a b c ++ (2) (2)(2)x y x y +--+解 (1) 2222()[()]()2()a b c a b c a b a b c c ++=++=++++ 222222a ab b ac bc c =+++++ 222222a b c ab bc ac =+++++(2) 22(2)(2)[(2)][(2)](2)x y x y x y x y x y +--+=+---=-- 2222(44)44x y y x y y =--+=-+-练习11.61．判断下列各式的计算是否正确，如有错误请改正．(1) 222()a b a b -=- (2) 222(2)24a b a ab b +=++ (3) 222(2)44a b a ab b -=-- (4) 22(7)49a a -=-2．计算：(1) 2(35)x + (2) 2()23x y-(3) 2(2)xyz --(4) 22(23)(49)(49)(23)m n m n m m m n +--++- (5) 2()a b c +- (6) (21)(21)x y x y -++-3. 写出下列等式从左到右的运算过程．(1) 222(1)(2)(3)(4)(5)10(5)24x x x x x x x x ----=-+-+ (2) 222(1)(1)(2)(4)(3)2(3)8x x x x x x x x -+--=----4．在边长为a cm 的正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，再把它折成一个无盖的小盒子，则这个盒子的容积用代数式表示是_______________________.练习11.6答案 1.(1) 错, 正确答案应为222a ab b -+ (2) 错, 正确答案应为2244a ab b ++ (3) 错, 正确答案应为2244a ab b -+ (4) 错, 正确答案应为24914a a -+ 2.(1) 22(35)93025x x x +=++(2) 222()23439x y x xy y -=-+(3) 2222(2)44xyz x y z xyz --=++(4) 2222(23)(49)(49)(23)899m n m n m m m n m n +--++-=-+ (5) 2222()222a b c a b c ab bc ac +-=+++-- (6) 22(21)(21)421x y x y x y y -++-=-+-(1) 22222(1)(2)(3)(4)(54)(56)(5)10(5)24x x x x x x x x x x x x ----=-+-+=-+-+ (2) 22222(1)(1)(2)(4)(32)(34)(3)2(3)8x x x x x x x x x x x x -+--=-+--=---- 4. 2223(2)44x a x a x ax x -=-+《练习册》练习11.61．计算：(1) 222(4)b a + (2) 2(23)m n --(3) 2[(21)(21)]x x +- (4) (23)(23)x y x y +--+(5) 232()43x y - (6) ()()a b c a b c +---(7) 2222(1)(1)(1)x x x +-+ (8) (1)(1)x y x y ++--2．己知23x x a -+为完全平方式, 求a .3. 当M 为什么代数式时, 2942x xy M ++是完全平方式.4. 已知13a a +=,求221a a+的值.5. 按图中所示的方式分割正方形, 你能得到什么结论？（1） （2）练习11.6答案1. (1) 422486b a b a ++ (2) 224129m mn n ++(3) 421681x x -+ (4) 224129x y y -+- (5)2294169x xy y -+ (6) 2222a b ac c --+ (7) 8421x x -+ (8) 2212x xy y --- 2. 2.25 3. 249y 4. 75. (1) 22S a ab ab b =+++ 2()S a b =+ (2) 2()S x y =+ 2()4S x y xy =-+。
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11．18 a3＋b3＋c3—3abc的因式分解
试一试
如何对a3＋b3十c3－3abc进行因式分解？
例1分解因式：x3＋y3＋z3—3xyz．
分析这是一个三元三次多项式，根据题目结构的特点并由配方的联想，将原多项式的某些项配成完全立方，并使得配成完全立方的式与其余的项能用分组分解法分解因式．
解原式＝x3＋y3＋z3－3xyz
＝x3＋3xy (x＋y)＋y3—3xy (x＋y)＋z3－3xyz
＝(x＋y)3＋z3－3xy(x＋y＋z)
＝[(x＋y)＋z][(z＋y)2一(x＋y)2＋z2]－3xy(x＋y＋z)
＝(x＋y＋z)(x2＋2xy＋y2－xz－yz＋z2)－3xy (x＋y＋z)
＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)．
例2 分解因式：(x－1)3＋(z－2)3＋(3－2x)3．
解设a＝x－1，b＝x－2，c＝3－2x，则a＋b＋c＝0，由公式a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)知此时a3＋b3 ＋c3＝3abc，所以原式＝3(x－1)(x－2)(3－2x)．
例3 分解因式：(2x＋3y)3—8x3—27y3．
解(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2z＋3y)3＋(一2x)3＋(一3y)3,
因为2x＋3y＋(－2x)＋(－3y)＝0，所以(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2x＋3y)3＋(－2x)3＋(－3y)3＝3(2x＋3y)(一2x)(一3y)＝18xy(2x＋3y)．
练习11．18
1．分解因式：(x2＋y2)3＋(z2－x2)3－(y2＋z2)3．
2．求(b＋c－2a)3＋(c＋a－2b)3＋(a＋b－2c)3—3(b＋c－2a) (c＋a－2b)(a＋b－2c)的值．
3．分解因式：x6＋64y6＋12x2y2—1．
4．设a＋b＋c＝3m，求(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b) (m－c)的值．
5．三个整数a、b、c的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是多少？
参考答案
练习11．18
1．原式＝3(x2＋y2)( y2＋z2)(x＋z)(x—z)
2．由(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)＋(a＋b—2c)＝0，得原式＝0
3．x6＋64y6＋12x2y2—1＝(x2)3＋(4y2)3＋(－1)3－3x2·4y·(－1)
＝(x2 ＋4y2－1)(x4＋16 y4＋1－4x2y2＋x2 ＋4y2)
4．令p＝m－a，q＝m－b，r＝m—c，则
p＋q＋r＝(m－a)＋(m－b)＋(m—c)
＝3m－(a＋b＋c)＝0．①
又(m－a)3＋(rn－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)
＝p3＋q3＋r3－3pqr
＝(p＋q＋r)(p2＋q2＋c2－pq－qr－rp)．②
由①，②可知
(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b)(m－c)＝0
5．因为a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c) (a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)，所以
a3＋b3＋c3＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＋3abc，又a、b、c为整数且a＋b＋c是6的倍数，所以a、b、c中至少有一个为偶数，否则a＋b＋c为奇数，从而3abc被6整除，因此a3＋b3＋c3被6除昀余数为0
11．18 a3＋b3＋c3－3abc的因式分解、
练习11．18
1．分解因式：x3＋y3＋3xy－1．
2．分解因式：(x—y)3＋(y—x－2)3＋8．
3．分解因式：(ax－by)3＋(by－cz)3一(ax－cz)3．
4．分解因式：(a－b)3＋(b－c)3＋(c—a)3．
5．已知x＋y＋z＝3，x2＋y2 ＋z2＝29，x3＋y3＋z3＝45，求xyz的值．
参考答案
1．原式＝x3＋y3＋(－1)3－3xy(－1)＝(x＋y－1)(x2＋y2＋1＋x＋y－xy)
2．原式＝－6(x－y)(x－y＋2)．提示：由于(x－y)＋(y—z一2)＋2＝0，所以原式＝3(x－y)(y－x－2) ·2＝6(x－y)(y－x－2) ．
3．原式＝－3(ax－by)(by－cz)(ax－cz)．提示：由于(ax－by)＋(by－cz)＋[－(ax－cz)]＝0，所以原式＝3(ax－by)(by－cz)[一(ax－cz)]＝一3(ax－by)(by－cz)(ax—cz)
4．原式＝3(a一b)(b一c)(c一a)
5．由(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz十zx)，
x3＋y3＋z3—3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx),
32—29＋2(xy＋yz＋zx)，
所以
2
3292(xy yz zx) 4533[29()] xyz xy yz zx
所以xy＋yz＋zx＝－10，从而15－xyz＝29＋10，即xyz＝－24。