线性代数论文矩阵在自己专业中的应用及举例
矩阵在自己专业中的应用及举例
摘要：
I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。
II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。
III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。
关键词：
矩阵可逆矩阵图形学图形变换
正文：
第一部分引言
在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重
要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。
图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。
第二部分 研究问题及成果
1. 矩阵的概念
定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表
?
?
???
??
??
???ann an an n a a a n a a a 2
1222
21112
11 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。
下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵
仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为
a=(a11,a12,.....a1n).
仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如
a= ????
?
???????12111an a a 。
(2) 零矩阵
A=?
?
???
????
???0000
00000000
0000 记为o 或者0.
(3) 方阵。行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如：
A= ????
?
????
???ann an an n a a a n a a a 212222111211 为n n ?矩阵，称为n 阶方阵或者n 阶矩阵，简记为A=（an ）n ，过元素a11，a22，a33,a44,.....ann,的直线为主对角线，主对角线上的元素为主对角元。按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。 （4） 对角矩阵。主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵，常记为：
A=????
?
????
???ann a a 0002200011 (5） 单位矩阵。主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵，简记为E 或者I ：
A= ?
?
???
????
???100010
001 (6) 数量矩阵 。主对角线上全相等的对角矩阵。例如：
?
?
???
????
???c c c 00
00
00 （其中c 为常数） 为一阶数量矩阵。
（7） 三角矩阵。主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上（下）三角矩阵。
????
?
?
???
???ann n a a n a a a 00222011211 为n 阶上三角矩阵。
（8） 对称矩阵与反对称矩阵，在方阵A=（aij ）n ，中，如果aij=aji （ij=1,2,3.。。。。。），则称A 为对称矩阵，如果A 还为实矩阵，那么A 为实对称矩阵。如果aij=-aji ，则称A 为反对称矩阵。 定义：两个同类型的矩阵，如果对应的元素相等，则称矩阵A 等于矩阵B 。 2 .矩阵的运算 2.1 矩阵的加法 ⑴A+B=B|+A(加法交换律)
⑵(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律） ⑶A+0=0+A=A ⑷A+(-A)=0.
2.2 数乘矩阵
定义1：数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。
????
?
????
???=kann kan kan n ka ka ka n ka ka ka kaij 212222111211)( 定义2：设A B 为同类型的矩阵，k ，l 为常数，则 ⑴1A=A
⑵k （lA ）=（kl ）A ⑶k （A+B)=KA+KB ⑷(K+L)A=KA+LA. 2.3 矩阵的乘法
（1）矩阵的乘法不满足交换律。 （2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。 （3）矩阵的乘法不满足消去律。 命题：（1）设A 为p m ?矩阵，则
O o
P K m
k A ??=,O O N M N P A ??=
(2)设A 为n m ?矩阵，则
A A A A E E
N m
==,
其中E 为单位阵
（3）设A 为m*p 矩阵，B 为p*q 矩阵，k 为数，则 A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)
(4)J 矩阵满足数乘的分配律，矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。
2.4 矩阵的转置 定义2.7 称m n ?矩阵
?
?
???
??
??
???ann an an n a a a n a a a 2
1222
2111211 的转置为 ????
?
????
???ann n a n a an a a an a a 212221212111 命题：设A,B,C,1A ,2A n A 是矩阵，且让它们相应的行数和列数使相应的运算有意义，k 是数，则 （1）A 的转置的装置等于A
（2）B 与C 的和的转置等于它们转置的和 （3）T T kA kA =)( （4）T T T A B AB =)(
（5）若A 为n 阶矩阵，则M T T M A A )()(=
（6）A 为对称矩阵的充要条件是A A T =,A 为反对称矩阵的充要条件为A A T -=
2.5 可逆矩阵
定义 设A 为n 阶矩阵，若存在n 阶矩阵B ，使得 E BA AB ==,
则称矩阵A 可逆,B 是A 的可逆矩阵，记作1-=A B 定理 如果n 阶矩阵A 可逆，则它的逆矩阵唯一。
定义 设n ij a A )(=为n 阶矩阵，ij A 为A 中的元素ij a 的代数余子式，
ij=1.2.3.......n ，则称矩阵 ?
?
???
???????nn n n n n A A A A A A
A A A 2
1
22221
11211 为A 的伴随矩阵，记为*A .
由伴随矩阵的定义，不难验证A E A A AA ==**
定理 n 阶矩阵A 可逆的充要条件为0≠A ，如果A 可逆，则 *
11A A
A =
-. 若n 阶矩阵A 的行列式不为零，即0≠A ,即称A 为非奇异矩阵，否则称A 为奇异矩阵，由上述公式可以求出A 的伴随矩阵。 推论 对n 阶矩阵A ，若有n 阶矩阵B 使得 E AB =或者E BA =, 则称矩阵A 可逆，且B A =-1. 克拉默法则 设
??
?????
?????=nn n n n n a a a a a
a a a a A 2
1222
2111211，??????? ??=n b b b 21β，?????
?
??????=321x x x x ， 如果矩阵A 可逆，则线性方程组Ax=β存在唯一解β1-=A x 。 2.6 可逆矩阵的性质
命题 设A ，B,),2,1(m i A i =为n 阶可逆矩阵，k 为非零常数，则
n A A A AB kA A 211,,,-也是可逆矩阵，且
（1）A A =--11)(; （2）;1
)(11--=A k
kA
（3）;)(,)(11121121111-------==A A A A A A A B AB m n
（4）;)()(11--=T T A A （5）;11A
A =
- （6）;)()(11m m A A --=m 为正整数。
3 .矩阵的初等变换与矩阵的秩
3.1 矩阵的初等变换
定义 对矩阵的行（列）实行下列三种操作（或变换）之一，称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换： （1）交换矩阵的两行（列）；
（2）矩阵的某一行（列）的元素乘以一个不等于零的数； （3）将矩阵某一行（列）的元素加上另一行（列）对应元素相同的倍数。
定义 满足一下条件的矩阵称为行阶梯型矩阵，简称为阶梯型矩阵； （1）非零行（元素不全为零的行）的标号小于零行（元素为零的行）的标号；
（2）设矩阵有r 个非零行，第i 个非零行的第一个非零元素所在的列号为i t ，,,2,1r i =则.21n t t t ???
定理 任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯形矩阵。 定义 一个阶梯型矩阵如果满足： （1）每一个非零行的第一个元素都为1；
（2）每一个非零行的第一个元素所在的列的其他元素都为零， 则称它为简化的阶梯型矩阵（也称为规范的阶梯型矩阵）， 定义 如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵，其他位置的元素都为
零，则称这个矩阵为标准型矩阵。 3.2 矩阵的秩
定义 在矩阵n m ij a A ?=)(中任取k 行和k 列{}),,m in 1(n m k ≤≤位于这k 行和k 列的交叉点的2k 个元素，按照它们在矩阵A 中的相对位置组成的k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。
定义 若矩阵n m ij a A ?=)(中有一个r 阶子式不为零，而A 中所有的r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则称r 为矩阵A 的秩，记为)(A r 或
).(A rank 规定零矩阵的秩为零。
命题 （1）一个矩阵的秩是唯一的。
（2）设,)(n m ij a A ?=则{}.,m in )(0n m A r ≤≤0)(=A r 的充要条件是A=0. （3）若矩阵A 中有一个r 阶子式不为零，则;)(r A r ≥若矩阵A 中所有的r 阶子式全为零，则.)(r A r ≤
（4）在矩阵A 中，任选s 行t 列，位于这s 行t 列交叉上的元素按它们在A 中的相对位置所构成的矩阵称为A 的一个子矩阵。若1A 是A 的一个子矩阵，则).()(1A r A r ≤ （5）).()(A r A r T =
（6）阶梯型矩阵的秩等于它非零行的个数。
设,)(n m ij a A ?=如果),)(()(n A r m A r ==则称A 为行（列）满秩矩阵，简称满秩矩阵。
定理 初等变换不改变矩阵的秩。 3.3 初等矩阵的概念与性质
定义 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵都是初等矩阵。
定理 用一个m 阶初等矩阵左乘一个n m ?阶矩阵A ，相当于对矩阵A 进行相应的初等行变换；用一个n 阶初等矩阵右乘一个n m ?阶矩阵进行初等列变换。
推论 初等矩阵都是可逆矩阵。
定理 对于任意的n m ?阶矩阵A ，存在m 阶初等矩阵,,,21s R R R 使得
A R R R s 12 为阶梯型矩阵（或简化的阶梯型矩阵）；存在n 阶初等矩阵s C C C ,,21使得
,r
2112n
m n S O O O E C C AC R R R ????? ??= 其中).(A r r =
推论1 对任何n m ?阶矩阵A ，存在m 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q ，使得
.)(
n m r O O
O E PAQ ?=
推论2 对任何n 阶矩阵A ，A 可逆的充要条件为A 的标准型矩阵为n 阶单位矩阵。
推论3 矩阵A 可逆的充要条件为,21n P P P A =其中n p p p 21,是初等矩阵。
推论4 任何一个可逆矩阵A 经过单纯的初等行变换都可以化为单位矩阵。
推论5 设矩阵A 为 n m ?矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶可逆矩阵，则
()()()).(PAQ r AQ r PA r A r ===
矩阵的等价
定义如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（或相抵）。
4. 二维变换及观察
图形变换是计算机图形学领域的重要内容之一。为方便用户在图形交互式处理过程中对图形进行各种观察，需要对图形实施一系列变换。计算机图形学中图形变换主要有几何变换、坐标变换和观察变换。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。而这些变换正是通过矩阵的变换来实现的，因此，线性代数中的矩阵方面与计算机图形学联系还是很紧密的，不可分离的。
4.1 几何变换
一般来说，图形的几何变换是指图形的几何信息通过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。也就是图形在方向、尺寸和形状方面的变换，需要改变图形对象的坐标描述。应对应几何变换可以使静止的图形按照一定的几何规则运动，从而更加有利于形体的设计。
复杂图形的几何变换可以通过变换矩阵对构成图形的基本元素（点，线和面）的作用而实现，其中点的矩阵变换是这些变换的基础。例如：对于线框图的变换，以点的变换为基础，将图形学的一系列点作几何变换后，根据原因的拓扑关系连接新的顶点即可产生新的图形。对于参数方程的描述的图形，可以对参数方程作几何变换，实现图形的变换。
4.2 齐次坐标
齐次坐标技术是从几何学发展起来的。齐次坐标表示在投影几何中是一种证明定理的工具。有时在n 维空间中比较难解决的问题，转换到n+1维空间比较容易解决。通过齐次坐标技术应用到计算机图形学中，使图形变换转化为表示图形的点集矩阵与某一变换矩阵相乘这一单一问题，因而可以借助计算机的高速计算功能，很快得到变换后的图形，从而为高速动态的计算机图形提供了可能性。
所谓齐次坐标表示就是n+1维向量表示n 维向量。例如：二维平面上的点P （x ，y ）的齐次坐标表示),,(h h h y x 。这里，h 是任一不为零的比例系数。类似地三维空间中坐标点),,(z y x P 的齐次坐标表示为
),,(h hy hx 。推而广之，n 维空间中的坐标点),(2,1n p p p p 的齐次坐标表
示为),(2,1h hp hp hp n ，其中0≠h 。
这里要注意，n 维空间用非齐次坐标表示一个点向量具有n 个坐标分量),,,(21n p p p 且是唯一的。若用齐次坐标表示该向量则有n+1个坐标分量),,(,21h hp hp hp n 且不唯一。例如，二维点（x ，y ）的齐次坐标表示为),,(h hy hx .（10,20,4），（6,10,2）和（3,5,1）均为（3,5）这一二维点的齐次坐标表示。为了简化计算，这里采用规范化齐次坐标表示来保证唯一性。
规范化齐次坐标表示就是1=h 的齐次坐标表示。从其次坐标转换到规范化齐次坐标的方法如下：一个n 维向量的齐次坐标表示为
),,(21h hp hp hp n ，将其转化为规范化齐次坐标为
),,,
(
2
1
h
h h hp h
hp h
hp n
，即)1,,,(''2'1n p p p ，如此就完成了它到规范化齐次坐标表示的转换。
规范化齐次坐标表示提供了用矩阵运算将二维，三维甚至更高维空间中的一点集从一个坐标系转化另一个坐标系的方法。 4.3 二维变换矩阵
假设点),(y x p 为xoy 平面上二维图形变换的一点，变换后该点变为),('y x p 。在引入规范化齐次坐标表示后，点p 可以用一个矩阵表示，这个矩阵可以是行向量矩阵，也可以是列向量矩阵，即
[]1y x
或 ????
?
?????1y x 这里用行向量矩阵形式。
这样，二维空间中的可以表示成点的齐次坐标矩阵与三阶矩阵
D T 2相乘，即[
]
[][]????
?
?????==s m l q d
c p b
a y x
T y x
y x D 1112''
式中，D T 2为二维齐次坐标变换矩阵，简称二维变换矩阵。 从功能上可以将D T 2分为4个子矩阵。其中，?
?
?
?
??=d c b a T 1是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换，[]m l T =2是对图形进行平移变换；???
???=q
p T 3是对图形进行投影变换；[]S T =4是对图形进行整体比例变
换。
5 基本几何变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，有平移、旋转、缩放、反射和错切等。在本章后面的内容中，如果没有
特别说明，均假定用),(y x p 表示xoy 平面上一个未被转换的点，该点经某种变换后变为新的点，用),('''y x p 表示。 5.1 平移变换
平移是指将p 点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。其中y x T T ,称为平移矢量，表示沿着坐标轴正方向分别平移了y x T T ,的距离。P 点经过平移变换后有
y x
T y y T x x +=+='
'
平移是一种不产生变形而移动物体的刚性变换，即物体上的每一个点移动相同的数量的坐标。引入规范齐次化坐标表示和二维矩阵后，平移变换的计算形
[]
[][
]
11010
001
11''
y x y
x T y T x T T y x
y x
++=???
?
?????
?=
5.2 比例变换
这里的比例变换是指对p 点相对于坐标原点沿着x 方向缩放x s 倍，沿着y 方向缩放y s 倍，其中x s y s 称为比例系数。对于p 点来说，经过变换后有
y
x ys y xs x ==''
比例变换的齐次坐标计算形式如下：
[][][
]
110
00
0011''y x y x
ys xs s s y x
y x =????
?
?????=
比例变换改变的是物体的大小。当1≥=y x s s 时，图形沿着两个坐标轴方向等比例放大；反之，图形沿着坐标轴方向等比例缩小；当二
者不相等时，图形沿着两个坐标轴做非均匀的比例变换，这时相对于原来图形会产生一定的变形。
当1>=y x s s 时，变换称为整体比例变换，可以利用一下矩阵进行计算：[][][]??
??
??==??
??
?
?????=10001000111''s y s x
s y x s y x
y x 式中，齐次坐标[]s y x 与??
?
?
??1s y s
x 表示同一个点，因此用等号。 整体比例变换时，若s 大于1，图形整体缩小，否则图形整体放大，若s 小于0，发生相对于原点对称的等比例变换。 5.3 旋转变换
二维旋转是指将p 点绕坐标原点转动某个角度θ得到新的'p 的重定位过程，对于给定的),(y x p 点，其绕极坐标形式为：
?
=?=sin cos r y r x
于是)','('y x p 表示为θ
θθ
θcos sin 'sin cos 'y x y y x x +=-=
由于旋转变换通过围绕原点旋转某一个角度得到，因此需要规定旋转角的方向。通常规定，图形围绕原点逆时针旋转旋转角度为正，顺势针旋转旋转角度为负。在xoy 平面上，二维图形绕原点逆时针旋转θ角的齐次坐标计算形式为[][]????
?
?????-=10
0cos sin 0sin cos 11''θθ
θθ
y x
y x 二维图形绕原点顺时针旋转齐次坐标形式为
[][]????
?
?????-=10
0cos sin 0sin cos 11''θθ
θθy x
y x 值得注意的是，在动画及其它包含许多小旋转角的应用中，必须考虑旋转变换的计算效率。考虑到当不间断的旋转一个物体时，为了使旋转过程连续、逼真，每次所转过的角度必须很小，此时有1cos ≈θ且θθ≈sin 这里θ为弧度值，于是旋转变换的矩阵计算形式可以写成 [][]??
??
??????-=100010111''θθy x
y x 当然，实际系统中还必须考虑积累误差的问题，即在误差积累变得太大时，需要重新计算物体的位置。 5.4 对称变换
对称变换也叫做反射变换或镜像变换，变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。 （1）.关于x 轴对称
点p 经过关于x 轴的对称变换后形成点'p ，则x x ='且y y -='，写成齐次坐标形式为[][][]110001000111''y x y x
y x -=??
??
?
?????-= 类似的，可以写出关于原点、y 轴，x y =轴以及x y -=轴的对称变换矩阵的计算形式。 （2）.关于y 轴对称 [][][]110001000111''y x y x
y x -=??
??
?
?????-=
（3）.关于原点对称 [][][]110001000111''y x y x y x --=??
??
?
?????--= （4）.关于x y =轴对称 [][][]110000101011''x y y x
y x =??
??
?
?????=
（5）.关于x y -=轴对称 [][][]110000101011''x y y x
y x --=??
??
?
?????--= 5.5 错切变换
在图形学应用中，有时需要产生弹性物体的变形处理，这就是错切变换，也称为剪切或错位变换，在前述变换中，变换矩阵的非对角线元素大都为0，若变换矩阵中非对角元素不为0，则意味着x ，y 同时对图形的变换起作用，也就是说，变换矩阵中非对角线元素起着把图形沿着x 方向或者y 方向错切的作用。X 值y 值越小，错切量越小；x 值y 值越大，错切来量越大。
其变换矩阵为 [][][]1100010111''y bx cy x c b y x y x ++=??
??
?
?????= （1）.沿x 方向的错切 当0=b 时，有
y
y cy x x =+=''
此时，图形的y 坐标不变，x 坐标值随初值（x ，y ）及其变换系数c 作线性变换。
（2）.沿两个方向错切 当0≠c ，且0≠b 时，有
y
bx y cy x x +=+=''
图形沿x ，y 两个方向作错切位移。
以上分析均以点的变换为基础，但所得到的变换矩阵计算形式可以推广到直线、多边形等二维图形的几何变换中，即二维图形的几何变换均可以表示成齐次坐标与三阶的二维变换矩阵T 的乘法形式。
5.6二维图形几何变换的计算
一般地，几何变换均可表示成P'=PT 的形式，其中，P 为变换前二维图形的规范化齐次坐标矩阵，P'为变换后图形的规范化齐次坐标矩阵，T 为变换矩阵。 （1）.点的变换
首先将点表示成规范化齐次坐标的矩阵形式，则P'=PT 可以写成
[]1''
y x = []1y x T
（2）.直线的变换
直线的变换是将变换矩阵作用于直线的两个端点，按照新的端点坐标绘制即得到变换后的直线。将直线两个端点表示成规范化齐次坐标的矩阵形式
???
?????112
2
11y
x y
x
然后与变换矩阵相乘，此时的P'=PT,即
????????11'
''
'2
2
11y x y x =???
????
?112
211y
x y x T （3）.多边形的变换
多边形的变换是将变换矩阵作用到每个顶点的坐标位置，并按照新的顶点坐标值和当前属性设置来生成新的多边形。具体操作如下：首先将各个顶点坐标写成矩阵形式，然后集中在一起与变换矩阵相乘。例如，有n 个顶点的多边形，表示成规范化齐次坐标的矩阵形式
P n =???
?????
?
?????????11113
32
21
1y x y
x y x y x
n n
然后与变换矩阵相乘，则T P P n n =',即
??????????????????1111'
''
''''
'3
32211y x y x y x y x n
n
=???
?????
??????????11113
32
21
1y x y
x y x y x n n T （4）.曲线的变换
通常，曲线的变换可以通过变换曲线的每一点并依据这些点重新画线来完成。但对某些特殊曲线，该过程可以得到简化。如圆的平移与旋转，可以在平移与旋转圆心后，在新的圆心上画圆。再者，对于可用餐时表示的曲线、曲面的图形，若无几何变换仍然基于点，则计算工作量和耗费的存储空间都最大，可以对参数表示的点、曲线及曲面直接进行几何变换，以提高执行几何变换的效率。值得注意的是，