五角星

习题
• 如图,C是五角星中线段AB上的黄金分割点. • 若AB的长为20cm，求AC的长.
答：Байду номын сангаасC/20=CB/ACACv2=20乘CBBC=20ACACv2=20(20-AC)AC=10根号5-10 AC=-10根号5-10（舍去)
如图，某装潢公司要字该正五角星 中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯， 若BC=（√5-1）米，则需安装闪光 灯多少盏？（请注意单位） • 答：由于该五角星是正五角星，所以B和C 点位于DE线的黄金分割点上，则CD=BE= （√5-1）/2 DE所以 BD=CE= (1-（√5-1） /2)DEBE=DE-BD-CE=DE-(1-（√5-1） /2)DE-(1-（√5-1）/2)DE=（√5-2）DE= （√5-1）米从而可以求出DE，DE=（3+√5） 米 则5边共15+5√5，约为26.18米每隔 0.2米一盏灯，所以共26.18/0.2约为131盏
已知五边形如 图，求五边形 内角和
• • • • • 五角星五个顶点依次为a b c d e 连接任意两个点比如d e 三角形bed内角和=角b+角d+角e+角ced+角abe=180 ad和ce相于O点， 则角a+角c+角aoc=角ced+角abe+角doe=180(内角 和) • 角doe=角aoc(对顶角) • 角ced+角abe=角a+角e • 角b+角d+角e+角a+角e=b+角d+角e角ced+角 abe=180
制作方法
• 要精确地画五角星，徒手是不可能的。在一些画上，不精 确的五角星反而给人轻松的感觉，但是在国旗、国徽、商 标上，五角星必须是完全精确的，五角星任意一条线段上 的比必须等于黄金分割点。这就要借助工具来。其实，徒 手画很难，借助工具画很容易。只需用没有刻度的直尺、 一把圆规就可以画出来，利用了尺规作图法。利用下面的 方法画出来的五角星是绝对精确的。 • 1、在白纸上作一定点O，以O为圆心，以适当长度为 半径，作圆O。 • 2、作一条直径AZ，再作一条与之垂直的直径XY。 • 3、作OY的中点M。 • 4、以M为圆心，MA为半径，作圆弧⌒AN和半径OX 交于N。 • 5、以A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧， 使弦AB=BC=CD=DE=AN。 • 6、连接AD，AC，EB，EC，BD，就得到一个五角 星。
制作方法
正五边形的画法] (1)已知边长作正五边形的近 似画法如下: ①作线段AB等于定长l,并分别以 A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线 交于K. ③以 C为圆心,已知边长 AB为半径画 弧,分别与前两弧相交于M,N. ④顺次连接 A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形. (2) 圆内接正五边形的画法如下: ①以O为圆 心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN 和 AP. ② 平分半径ON,得OK=KN. ③以 K为 圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正 五边形的边长. ④以AH为弦长,在圆周上截得 A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边 形. 3.民间口诀画正五边形 口诀介绍:"九五顶 五九,八五两边分." 作法: 画法: 1.画线段 AB=20mm, 2.作线段AB的垂直平分线,垂足 为G. 3.在l上连续截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm, HD=5.9/5*10mm=11.8mm 4.过H作EC⊥CG, 在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm, 5.连 结DE,EA,EC,BC,CD, 五边形ABCDE就是边 长为20mm的近似正五边形.
初二二班——凌浩
• 尺规画法: • 1画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。 • 2将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心 画半圆，并与之交两点。连接这两点做垂直线，与先前的水平线 相交与(a)点. • 3张开圆规，以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径 在水平线上下第一个圆外分别做两个交点，这样可以得到一条通 过第一个圆圆心的正交线，与第一个圆相交的位于水平线上方的 点称之为(b).这是正五边形的第一个角。 • 4将圆规的一脚放在(a)点上，(a)(b)间距为半径做另一个圆，交水 平线于点(c)。 • 5将圆规的一脚放在(b)点上，(b)(c)间距为半径做圆，交第一个圆 于两点，这是正五边形的第二、三两点。 • 6将圆规的一脚分别放在二、三两点上，同样是(b)(c)间距为半径 交第一个圆于另外两点，这两点就是正五边形的最后两点。 • 7连接相邻两点就构成了正五边形。 • 8如果不是连接相邻两点（即对角线连接），就会得到一个五角 星，在它的中间构成一个小的正五边形。或者延长每一边，得到 一个大的正五角星。
历史起源
• 最早对五角星的使用被发现在美索不达米亚的文献资料 里，距今可以追溯到大约公元前3000年。苏美 • 五星红旗 • 尔语中五角星是被用作“UB”的象形文字，意思是“墙角、 角度、隐蔽处、小房间、空洞、孔、陷阱”，表示一些极 像pentemychos的东西。在Labatt（苏美尔语象形文字字 典）中它代表数字306，并且它被表现为两角向上。在巴 比伦语的文献中，五角星的边可能表示定位：前、后、左、 右和“上”。这些方向同样有一个占星学的含义，代表五 个星球：木星、水星、火星、土星和“天堂的皇后” （Ishtar）金星（代表上位）。
数学几何
• 五角星是边数最少多角形。最简单画它的方法是 先画一个正五边形，把各角用直线相连并擦去原来的 五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交， 从而得到一个大的五角星。 • 黄金分割比（golden ratio）， • 五角星是边数最少多角形。最简单画它的方法是 先画一个正五边形，把各角用直线相连并擦去原来的 五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交， 从而得到一个大的五角星。 • 黄金分割比（golden ratio），
五角星的定义
• 五角星是指一种有五只尖角、并以五条直线画成 的星星图形。英文“五角星”(pentagram)一词出 于希腊语中的πεντάγραμμος，（pentagrammos） 或πεντέγραμμος，（pentegrammos）的名词形 式πεντάγραμμον，（pentagrammon），原意大 概是“五条直线的”或“五条线”。中文“五角 星”的意义则显而易见，指有五只角的星形。然 而，中文“五角星”不一定指“标准”五角星。 中文“五角星”一词有时亦泛指所有有五只角的 星形物。
还有一种方法
• 五角星的五个角对应有五个三角形,五个三 角形底边形成一个五边形,五个三角形五个 角分别为a,b,c,d,e;五边形 的五个角分别为 A,B,C,D,E(A+B+C+D+E)=180°*3=540° 求五个三角形底边对应的底角之和=(180°A)*2+(180°-B)*2+(180°-C)*2+(180°D)*2+(180°-E)*2=1800°(A+B+C+D+E)*2=720°五个三角形内角和 为180°*5=900°
满足：
公式 在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条边都被分割成几段小的线段，如果用一 对线段中较长线段的长度除以较短线段的长度将得到φ。
在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条 边都被分割成几段小的线段，如果用一对线段中较 长线段的长度除以较短线段的长度将得到φ。
公式 大五边形的一条边与一条蓝色线段等长，同样的小五角星 的一条对角线与一条绿色线段等长。 如果线段有长度（线条），那图中就有两个相似的正五边 形。“线段”怎样，线条就怎样，并且它们的交点也可能 变化。例如，在摩洛哥的国旗上，绿色五角星有一个黑色 的外轮廓，它不“穿过”相交的线条。这跟埃塞俄比亚国 旗上五角星中的完全黄色和没有外轮廓，是不一样的。
五角星的使用
• 最早对五角星的使用被发现在美索不达米亚的文献资料里， 距今可以追溯到大约公元前3000年。苏美尔语中五角星 是被用作“UB”的象形文字，意思是“墙角、角度、隐蔽 处、小房间、空洞、孔、陷阱”，表示一些极像 pentemychos的东西（参见下面毕达哥拉斯学说的使 用）。在labat（苏美尔语象形文字字典）中它代表数字 306，并且它被表现为两角向上。在巴比伦语的文献中， 五角星的边可能表示定位：前、后、左、右和“上”。这 些方向同样有一个占星学的含义，代表五个星球：木星、 水星、火星和土星,和“天堂的皇后”（Ishtar）金星（代 表上位）。 • 一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星 是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的 国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到 的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五 边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角 形。 • 由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割 的数值为2Sin18 。