初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。
9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。
11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。
12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题4(附答案详解)
（2）关于 x 的一元二次方程 kx2+（k﹣1）x﹣3=0 有一个根为 3，求 k 的值及另一个根．
26．己知：负整数 a 是关于 x 的方程 x2 2bx a 0 的一个根． （1）则 a 2b = __________． （ 2 ）当 2a b 3 的值是非负数时，试说明方程 (a b)x2 2(m 1)x m(m 2) 0
28．已知一元二次方程 x2 2x m 1 0 ．
1 若方程有两个实数根，求 m 的范围； 2 若方程的两个实数根为 x1 ， x 2 ，且 x1 3x2 2m 8 ，求 m 的值．
29．已知关于 x 的方程 x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0 有两个不相等的实数根，试判断直线 y ＝(2m－3)x－4m＋7 能否经过点 A(－2，4)，并说明理由．
【分析】
根据根与系数的关系即可得出 α+β 的值．
【详解】
∵一元二次方程 x2﹣3x=1，即 x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根为 α，β，
∴α+β=3．
故选 A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x1+x2=
﹣ ，x1•x2= ．
8．定义运算：a⋆ b=2ab．若 a，b 是方程 x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆ a -(b+1)⋆ b
的值为（ ）
A．0 B．2 C．4m D．-4m
9．若关于 x 的一元二次方程 x2 mx m 4 0 有一根为 0，则 m 的值为
A．4
B． 4
C．2
D． 2
10．若关于 x 的一元二次方程 2x2 4x m 0 有两个相等实数根，则 m 的值是（ ）
初三数学根与系数的关系练习题
初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。
问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
因此，已证明了问题一中的两个关系式。
问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。
(含答案)韦达定理(根与系数的关系)
根与系数的关系（韦达定理）练习题一、填空：1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0（B ）正数（C ）－8（D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C )－2 (D)－5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B)－6 (C )21(D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。
一元二次方程[韦达定理、根和系数的关系练习+答案]
WORD 格式 .可编辑韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x23x m0 ，当时，方程有两个正数根；当 m时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为 0。
2、已知一元二次方程2x23x 1 0 的两根为 x1、 x2，则 x1x2．3、如果 x1， x2是方程x25x 6 0 的两个根，那么 x1x2．4、已知x1，x2是方程x26x 3 0 的两实数根，则x2x1的值为 ______．x1x25、设x1、x2是方程2x24x 3 0 的两个根，则 ( x1 1)( x2 1)．24x 30 的两根为、，则 a 22．6、若方程2x2aββ7、已知 x1、x2是关于x的方程(a 1) x2x a 2 1 0 的两个实数根，且x1＋x2＝1，则x1x2＝．38、已知关于x的一元二次方程mx24x60 的两根为 x1和 x2，且 x1 x2 2 ，则 m， x1 x2x1 x2。
9、若方程2 x25x k0 的两根之比是2：3，则k．10、如果关于x的方程x26x k0 的两根差为2，那么k。
11、已知方程2x2mx40 两根的绝对值相等，则 m。
12、已知方程x2mx20的两根互为相反数，则 m。
13、已知关于x的一元二次方程(a21)x 2(a 1)x10 两根互为倒数，则 a。
14、已知关于x的一元二次方程x22(m 1)x m20 。
若方程的两根互为倒数，则 m；若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m。
15、一元二次方程px 2qx r0(p0) 的两根为和－，则p: q。
116、已知方程3x2x 1 0 ，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为。
917、已知方程x24x2m0 的一个根比另一个根小4，则；； m。
WORD 格式 .可编辑19、已知关于x的方程x23mx2(m 1)0 的两根为 x1、x2，且113，则 m。
x1x2420、若方程x24x m0 与 x2x2m0 有一个根相同，则 m。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（ ） A ．1a >-B ．2a >-C ．1a >且0a ≠D ．1a >-且0a ≠2．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≠0C ．k ＞1D ．k ＜03．一元二次方程ax 2+x ﹣2=0有两个不相等实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a 18<B ．a= 18-C ．a 18>-且a≠0 D ．a 18> 且a≠0 4．下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ） A ．x 2﹣5x+6=0 B ．x 2﹣5x ﹣6=0 C ．x 2+5x ﹣6=0 D ．x 2+5x+6=05．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根是3，则另一个根是（ ） A ．-1B ．1C ．-2D ．26．已知方程x 2+2x-1=0，则此方程（ ）A ．无实数根B ．两根之和为2C ．两根之积为-1D ．有一个根为21+7．已知方程x 2﹣4x +k ＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( ) A ．1B ．0C ．﹣5D ．58．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋1＝0的两个实数根是x 1，x 2，且x ＋x ＝24，则k 的值是()． A ．8B ．－7C ．6D ．59．关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（ ）A ．－1或5B ． 1C ．5D ．－110．已知一元二次方程2310x x -+=的两根是1x 、2x ，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-11．若方程25320x x --=的两个实数根为,m n ，则11m n+的值为__________． 12．若方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，则m=_____，n=_____． 13．已知a ，b 是一元二次方程220180x x --=的两个实数根，则22________a a b--=；14．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=____．15．若关于x的方程的两根互为倒数，则= .16．如果一元二次方程2x2﹣5x+m=0有两个实数根，那么实数m的取值范围为_____．17．写出一个二次项系数为2，一个根比1大，另一个根比1小的一元二次方程__________．18．若－2是一元二次方程x2―2x―a＝0的一个根，则a的值为____．19．若关于的方程有两个相等的实数根，则k的值为▲ . 20．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是___________________．21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围（2）若α，β是方程的两个实数根，且满足11αβ+＝﹣1，求m的值．23．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求n mm n+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn ＝﹣1，所以222()2121n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-＝﹣3． 根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x 2+10x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝ ，x 1x 2＝ ．（2）类比探究：已知实数m ，n 满足7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ，求m 2n +mn 2的值：（3）思维拓展：已知实数s 、t 分别满足19s 2+99s +1＝0，t 2+99t +19＝0，且st ≠1．求41st s t++的值．24．已知关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+(2k+1)x+k ＝0. (1)依据k 的取值讨论方程解的情况.(2)若方程有一根为x ＝﹣2，求k 的值及方程的另一根.25．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．26．已知关于的一元二次方程x 2－4x ＋k ＋1＝0（1）若=－1是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；（2）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？请说明理由．27．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根． ()1若m 为正整数，求此方程的根．()2设此方程的两个实数根为a 、b ，若2221y ab b b =-++，求y 的取值范围．28．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ． (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1、x 2，且满足12111+?=2x x ，求m 的值．29．关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数．30．已知关于ｘ的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．【详解】∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．2．A【解析】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2−4k>0，解得：k<1.故选：A.3．C【解析】【分析】根据已知得出b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，求出即可．【详解】∵一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，∴b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，解得：a＞-18且a≠0，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b 2-4ac ，当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根． 4．D ． 【解析】试题分析：设两根是﹣2和﹣3的方程为：x 2+ax+b=0，根据根与系数的关系，可得（﹣2）+（﹣3）=﹣a=5，（﹣2）×（﹣3）=b=6，故方程为：x 2+5x+6=0．故选D ． 考点：根与系数的关系． 5．C 【解析】 【分析】设该一元二次方程的另一根为t ，则根据根与系数的关系得到36t =-，由此易求t 的值． 【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则36t =-， 解得2t =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 6．C ． 【解析】试题解析：A 、△=22-4×1×（-1）=8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项错误； B 、设该方程的两根分别是α、β，则α+β=-2．即两根之和为2，故本选项错误； C 、设该方程的两根分别是α、β，则αβ=-1．即两根之积为-1，故本选项正确；D 、根据求根公式1=-±1-+1-．故本选项错误； 故选C ．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．【解析】 【分析】利用根与系数的关系，即可求出. 【详解】设该方程的另一根为m ， 利用根与系数的关系：12b x x a+=- 得：m ﹣1＝4， 解得：m ＝5． 故选：D ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根数系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答. 【详解】 由韦达定理，即，x 1·x 2＝.而x ＋x ＝24＝（）2－2 x 1·x 2＝36－2（k ＋1），解出k ＝5.所以，答案选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键. 9．D 【解析】试题分析：设,αβ是方程022=+-a ax x 的两个根，则,2a a αβαβ+==，又225αβ+=，所以22()245a a αβαβ+-=-=，解得a =－1或5，当a=-1时，9=V ＞0，当a=5时，16=-V ＜0，所以a=5不合题意舍去，所以选：D ． 考点：根与系数的关系．【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，即可得出答案． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2−3x+1=0的两个根， ∴x 1+x 2=3， 故选A.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a. 11．32-【解析】 【分析】因为方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，所以32,55m n mn +==-，而11m n +=m nnm +，将所得的式子代入计算即可. 【详解】解：∵方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，∴32,55m n mn +==-， ∴11m n +=m n n m +=3525-=32-.故答案为32-.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解. 12． 2 5【解析】∵方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，∴由一元二次方程“根与系数的关系”可得：2+（﹣5）=﹣（m+1），2×（﹣5）=﹣2n，解得：m=2，n=5．故答案为2，5．13．2017【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2=a+2018，所以a2-2a-b化简为-（a+b）+2018，再利用根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a为方程x2-x-2018=0的根，∴a2-a-2018=0，即a2=a+2018，∴a2-2a-b=a+2018-2a-b=-（a+b）+2018，∵a、b是一元二次方程x2-x-2018=0的两个实数根，∴a+b=1，所以原式=-1+2018=2017．故答案是：2017．【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程解的定义．14．﹣2 【解析】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=4-=-2 2.15．-1．【解析】试题分析：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，由方程有解，得到，解得：，又mn=，∴=1，解得：=1（舍去）或=-1，则=-1．故应填为：-1.考点：根与系数的关系．点评：此题要求熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac≥0时，方程有解，然后利用韦达定理得出，．16．m≤258【解析】 【分析】此题根据方程有实数根,可得25420,m -⨯≥解这个不等式即可得出答案. 【详解】解:关于x 的一元二次方程2250x x m -+=有两个实数根,由一元二次方程根的判别式,得25420,m -⨯≥解得：25.8m ≤ 故答案为：25.8m ≤ 【点睛】一元二次方程根的判别式:△＞0时,一元二次方程有两个不等实根; △=0时,一元二次方程有两个相等实根; △＜0时,一元二次方程没有实根; △≥0时,方程有实数根.17．2240x x -=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可设一根为2，另一根为0，再计算出2+0=2，2×0=0，然后根据根与系数的关系写出新方程，再把二次项系数化为2即可． 【详解】解：设一根为2，另一根为0， ∵2+0=2，2×0=0，∴以2和0为根的一元二次方程可为x 2-2x=0， 当二次项系数为2时，方程变形为2x 2-4x=0． 故答案为2240x x -=． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根时，12bx x a +=-，12c x x a=. 18．8【解析】解析：把x=-2代入方程得：4+4-a=0， 解得：a=8.考点：一元二次方程的解． 19．8 【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b 2-4ac=0，建立关于k 的等式，求出k 的值．解：由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b 2-4ac=36-4k-4=0， 解得k=8． 20．34＜m≤1． 【解析】 【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m 的取值范围，最后综合所有情况得出结论． 【详解】∵方程x 2-2x+m=0的两实根为a ，b ， ∴有△=4-4m≥0， 解得：m≤1，由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m ， 若a ，b ，1可以作为一个三角形的三边之长， 则必有a+b ＞1与|a-b|＜1同时成立，故只需（a-b ）2＜1即可， 化简得：（a+b ）2-4ab ＜1，把a+b=2，a•b=m 代入得：4-4m ＜1， 解得：m ＞34， ∴34＜m≤1， 故本题答案为：34＜m≤1． 【点睛】主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系． 21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3， ∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（1）m ＞﹣34；（2）m ＝3． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m 的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即△＝（2m +3）2﹣4m 2＞0，解得m ＞﹣34； （2）∵α，β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣（2m +3），αβ＝m 2． ∵211(23)1m mαβαβαβ+-++===-， ∴﹣（2m +3）＝﹣m 2，解得m 1＝3，m 2＝﹣1（舍弃）． ∴m ＝3． 【点睛】考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝ca是解答此题的关键． 23．（1）-2，-15；（2）﹣17；（3）﹣15．【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m +n ＝1，mn ＝﹣17，再利用因式分解的方法得到m 2n +mn 2＝mn （m +n ），然后利用整体的方法计算；（3）先把t 2+99t +19＝0变形为19•（1t ）2+99•1t +1＝0，则把实数s 和1t可看作方程19x 2+99x +1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s +1t ＝﹣9919，s •1t ＝119，然后41st s t ++变形为s +4•s t +1t，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）x 1+x 2＝﹣105＝﹣2，x 1x 2＝﹣15；故答案为﹣2；﹣15；（2）∵7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ， ∴m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0， ∴m +n ＝1，mn ＝﹣17，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17×1＝﹣17；（3）把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0，实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，∴s+1t＝﹣9919，s•1t＝119，∴41st st++＝s+4•st+1t＝﹣9919+4×119＝﹣15．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．也考查了解一元二次方程．24．(1)k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；k＜﹣18时，原方程没有实数根；(2)k＝6，方程的另一根为﹣35.【解析】【分析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△＝8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于ba-及方程的一根为x＝﹣2，可求出方程的另一根.【详解】解：(1)a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k，∵△＝b2﹣4ac＝(2k+1)2﹣4×(k﹣1)×k＝8k+1，∴当k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；当k＜﹣18时，原方程没有实数根.(2)将x＝﹣2代入原方程，得：(k﹣1)×(﹣2)2+(2k+1)×(﹣2)+k＝0，解得：k＝6，∴原方程为5x2+13x+6＝0，∴方程的另一根为x ＝﹣135﹣(﹣2)＝﹣35. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根”；（2）代入x=-2求出k 值． 25．0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 26．（1）k=" -6" ，方程的另一根是5． （2）不存在．理由见解析. 【解析】试题分析：（1）把已知的根代入原方程，求出k ，然后根据根与系数的关系，求得另一根； （2）根据一元二次方程的跟的判别式求出k 的范围，然后再根据根与系数的关系表示出x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，根据已知的不等式求出k 的范围，从判断是否存在. 试题解析：（1）k="-6" ，方程的另一根是5． （ 2 ） 不存在．理由：由题意得Δ＝16－4（k ＋1）≥0，解得k≤3． ∵x 1，x 2是一元二次方程的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1， 由x 1x 2＞x 1＋x 2得k ＋1＞4， ∴k ＞3，∴不存在实数k 使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 27．()11m =，1212x x ==．()724y ≤． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出114m 1m 04=-⨯=-≥V ，由此吉可求得m 的取值范围，根据m 为正整数，可得出m 的值，将m 代入原方程求出x 的值即可； （2）根据根与系数的关系以及一元二次方程根的定义可得1ab m 4=，21b b m 04-+=，由此可得3y m 14=+，根据m 的取值范围进行求解即可. 【详解】()1∵一元二次方程21x x m 04-+=有两个实数根，∴114m 1m 04=-⨯=-≥V ， ∴m 1≤．∵m 为正整数， ∴m 1=，当m 1=时，此方程为21x x 04-+=， ∴此方程的根为121x x 2==； ()2∵此方程的两个实数根为a 、b ，∴1ab m 4=，21b b m 04-+=， ∴()22113y ab 2b 2b 1ab 2b b 1m 2m 1m 1444⎛⎫=-++=--+=--+=+ ⎪⎝⎭， ∵()4m y 13=-， 又∵m 1≤， ∴()4m y 113=-≤， ∴y 的取值范围为7y 4≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的根等，综合性较强，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键. 28．（1）相交线；（2）m=110-． 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可; （2）首先利用根与系数的关系可以得到x 1+x 2，x 1x 2，接着利用根与系数的关系得到关于m 的方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：因为一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O 的根的判别式 △=(4m+1)2－4（2m-1）=16m 2+8m+1-8m+4=16m 2+5．因为不论m 取何值时，m 2≥0，所以16m 2+5总大于0，即不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程两根为x 1、x 2，所以x 1+x 2=－（4m+1），x 1x 2=2m －1， 因为12111+=,2x x 所以121212x x x x +=，所以()411212m m -+=-，所以m=110-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握(1) △>0,方程有两个不相等的实数根；(2) △=0，方程有两个相等的实数根；(3) △<0,方程没有实数根,是解答本题的关键. 29．（1）证明见解析；（2）2或3． 【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x 1=，x 2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x 1==1+为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m 的值．解：（1）∵△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=， ∴x 1==，x 2==1；∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x 1==1+，必为正整数，∴m-1=1或2， ∴m=2或m=3．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 30．k≥-13且k≠0． 【解析】试题分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=[2（k+1）]2-4×k×（k-1）=12k+4≥0，解得：k≥-13，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．所以：k的取值范围为：k≥-13且k≠0．考点：根的判别式．。
初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案
初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A.x2+3x+4=0B.x2+4x−3=0C.x2−4x+3=0D.x2+3x−4=02. 一元二次方程x2−2x+b=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于( )A.−2B.bC.2D.−b3. 若x1,x2是一元二次方程2x2−7x+5=0的两根，则x1+x2−x1x2的值是（）A.1B.6C.−1D.−64. 若关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0的两根之积为4，则这个方程的两根之和为( ）A.3 4B.−34C.12D.−125. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（）A.2x2−4x+3=0B.2x2−2x−3=0C.2y2+4y−3=0D.2t2−4t−3=06. 王刚同学在解关于x的方程x2−3x+c＝0时，误将−3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝−4，则原方程的解为（）A.x1＝−1，x2＝−4B.x1＝1，x2＝4C.x1＝−1，x2＝4D.x1＝2，x2＝37. 已知x1，x2是方程x2=2x+1的两个根，则1x1+1x2的值为（）A.−12B.2 C.12D.−28. x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是()9. 设方程x2−4x−1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）A.−4B.−1C.1D.010. 若2，3是方程x2+px+q=0的两实根，则x2−px+q可以分解为（）A.(x−2)(x−3)B.(x+1)(x−6)C.(x+1)(x+5)D.(x+2)(x+3)11. 设x1，x2是方程5x2−3x−2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________.12. 若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则另一个根是________.13. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根分别为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________.14. 已知α，β是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则α+β−αβ的值是________.15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，那么代数式2n2−mn+2m+2009=________．16. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________．17. 若m，n是方程x2+3x−2019=0的两个实数根，则m2+4m+n的值为________．18. 设方程x2+3x−4=0的两个实数根为x1，x2，求1x1+1x2=________．19. 试写出一个以−1，−3为两根的一元二次方程________．20. 已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x−1＝0的两个实数根，则α+β的值是________．21. 已知关于x的方程x2+5x−c=0一根为2，求另一根及c的值．x1+x2+12√x1x2．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a<0时，比较y与−a2+3a−9的大小，并说明理由．23. 已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求x2x1+x1x2的值．24. 已知a，b是关于x的方程x2+2x−3=0的两个实数根．求a+b与ab的值．25. 已知实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，求ba +ab的值．26. 已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，不解方程求下列各式的值．(1)x12+x22；(2)1x1+1x2.27. 已知方程x2+4x−2=0的两个实数根分别为x1，x2，试求：(1)x12+x22；(2)1x12+1x22．28. 在一元二次方程x2−2ax+b=0中，若a2−b>0，则称a是该方程的中点值．(1)方程x2−8x+3=0的中点值是________；(2)已知x2−mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．29. 关于r的一元二次方程x2−4x−k−3=0的两个实数根是x1,x2（1）已知k=2（2）若x=3x试求上的值30. 已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根分别为x1，x2.(1)求x1−x2的值；(2)若x12+x22=10，求m的值．31. 阅读材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数关系得m+n=1，mn=−1，所以nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3.根据上述材料解决以下问题：(1)一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_______，x1x2=_______；(2)类比探究：已知m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，求m2n+mn2的值；(3)思维拓展：已知p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，求p2+9q2的值．32. 已知x1,x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，则x1+x2=________.33. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．34. 已知关于x的方程x2+x+a−1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．35. 设一元二次方程x2−6x+3=0的两根为x1和x2，求x2x1+x1x2的值．36. 若x1，x2是方程x2+2x−2007=0的两个根，试求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2；(3)(x1−5)(x2−5)；（4）|x1−x2|．37. 先阅读，再回答问题：如果x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2，x1x2与系数a、b、c的关系是：x1+x2=−ba ，x1x2=ca，例如：若x1、x2是方程2x2−x−1=0的两个根，则x1+x2=−ba =−−12=12，x1x2=c a =−12=−12．若x1、x2是方程2x2+x−3=0的两个根．（1）求x1+x2，x1x2；（2）求x2x1+x1x2的值．38. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)= 42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．(3)试求x22−x12的值．39. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x、x，有如下结论：3x2−x−2019＝0的两根分别为x1、x2，求(x1+2)(x2+2)的值．40. 韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程−2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．解：该一元二次方程的△=b2−4ac=42−4×(−2)×1=24>0由韦达定理可得，x1+x2=−ba =−4−2=2，x1⋅x2=ca=1−2=−12x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2×(−1 2 )=5然后解答下列问题：（1）设一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；（2）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+(k2−1)x+(k−1)2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．参考答案与试题解析初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】由根与系数的关系求得p ，q 的值． 【解答】解：方程两根分别为x 1=3，x 2=1，则x 1+x 2=−p =3+1=4，x 1x 2=q =3 ∴ p =−4，q =3，∴ 原方程为x 2−4x +3=0． 故选C ． 2. 【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】根据“一元二次方程x 2−2x +b ＝0的两根分别为x 1和x 2”，结合根与系数的关系，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： x 1+x 2=−−21=2.故选C . 3.【答案】 A【考点】根与系数的关系 【解析】首先利用韦达定理计算，再代入求值即可. 【解答】解：由题可知， x 1+x 2=72，x 1x 2=52， 所以x 1+x 2−x 1x 2=72−52=1. 故选A .【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】设出两根，利用根已悉数的关系，构造方程，解出即可. 【解答】解：设两根分别为x1，x2，由根与系数的关系可知，x1+x2=3k ，x1x2=1k=4，∴k=14，∴x1+x2=3k=3×4=12.故选C.5.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】利用判别式对A进行判断；根据根与系数的关系对B、C、D进行判断．【解答】解：A、△=(−4)2−4×2×3<0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、两个实数根的和等于1，所以B选项错误；C、两个实数根的和等于−2，所以C选项错误；D、两个实数根的和等于2，所以D选项正确．故选D．6.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．【解答】依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝−4．则c＝1×(−4)＝−4，则原方程为x2−3x−4＝0，整理，得(x+1)(x−4)＝0，解得x1＝−1，x2＝4．7.【答案】D根与系数的关系【解析】先把方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=−2，x1⋅x2=−1，再把原式通分得x1+x2x1x2，然后利用整体思想进行计算．【解答】解：方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据题意得x1+x2=2，x1⋅x2=−1，∴原式=x1+x2x1x2=2−1=−2．故选D．8.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2⋅=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．【解答】解：a=1，c=−1，所以x1⋅x2=ca =−11=−1．【答案】 D【考点】根与系数的关系 【解析】本题考查了根与系数的关系这一知识点． 【解答】解：根据根与系数的关系可得p =−(2+3)=−5，q =2×3=6． 因此x 2+5x +6=(x +2)(x +3)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】−32【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵ 方程x 1,x 2是方程5x 2−3x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=35，x 1x 2=−25， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=35−25=−32．故答案为：−32. 12.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】设方程的两根分别为x 1，x 2，则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3，由x 1=1可得x 2=−4． 【解答】解：根据题意，设方程的两根分别为x 1，x 2，令x 1=1， 则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3， ∵ x 1=1， ∴ x 2=−4． 故答案为：−4． 13.【答案】 2【解析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于−b，两根之积a .根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2，x1x2=2，将等于ca其代入所求式子中即可求出结论．【解答】解：根据题意得，x12−4x1=−2，x1x2=2，x12−4x1+2x1x2=−2+4=2.故答案为：2.14.【答案】1【考点】根与系数的关系【解析】据根与系数的关系α+β=−1，αβ=−2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x−2=0的两个实数根，∴α+β=−1，αβ=−2，∴α+β−αβ=−1+2=1.故答案为：1.15.【答案】2020【考点】根与系数的关系【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，可知m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=−3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2−mn+2m+2015=2(n+3)−mn+2m+2015=2n+6−mn+2m+2015=2(m+n)−mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，所以m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=−3，又n2=n+3，则2n2−mn+2m+2009=2(n+3)−mn+2m+2009=2n+6−mn+2m+2009=2(m+n)−mn+2015=2×1−(−3)+2015=2+3+2015=2020．故答案为：2020．16.【答案】2【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2、x1x2=2，将其代入x12−4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】∵一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12−4x1=−2，x1x2=2，∴x12−4x1+2x1x2=−2+2×2=2．17.【答案】2016【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵m，n是方程x2+3x−2019=0的两个根，∴m2+3m=2019，m+n=−3，∴m2+4m+n=m2+3m+(m+n)=2019−3=2016．故答案为：2016．18.【答案】34【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，再变形1x1+1x2得到x1+x2x1x2，然后利用代入法计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x−4=0的两根是x1，x2，∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−3−4=34．故答案为：34．19.【答案】x 2+4x +3=0 【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系：两根之和=−ba，两根之积=ca，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【解答】解：∵ −1+(−3)=−4，(−1)×(−3)=3， ∴ 方程为：x 2+4x +3=0， 故答案为：x 2+4x +3=0． 20.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 【考点】根与系数的关系 【解析】 暂无 【解答】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 22. 【答案】解：(1)14x 2+(a −2)x +a 2=0，∵ △=(a −2)2−4×14×a 2≥0，∴ a ≤1，根据题意得x 1+x 2=−4(a −2)，x 1x 2=4a 2， ∵ 0≤a ≤1，∴ y =−4(a −2)+a =−3a +8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．【考点】根与系数的关系【解析】（1）先把方程化为一般式得到14x2+(a−2)x+a2=0，再利用判别式得到a≤1，根据根与系数的关系得到y=−4(a−2)+a=−3a+8，然后计算当0≤a≤1时对应的y的范围；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，然后利用求差法比较大小．【解答】解：(1)14x2+(a−2)x+a2=0，∵△=(a−2)2−4×14×a2≥0，∴a≤1，根据题意得x1+x2=−4(a−2)，x1x2=4a2，∵0≤a≤1，∴y=−4(a−2)+a=−3a+8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．23.【答案】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得x1+x2=−6，x1⋅x2=3，然后将其代入整理后的所求的代数式求值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．24.【答案】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.25.【答案】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=−1，再利用完全平方公式变形得到ba +ab=b2+a2 ab =(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．26.【答案】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=3−1=−3．【考点】根与系数的关系【解析】无无【解答】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−1=−3．27.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 1x 12+1x 22 =x 12+x 22x 12x 22=20(−2)2=5.【考点】根与系数的关系 【解析】（1）将原式变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后代入计算即可； （2）将原式变形为含有x 1+x 2和x 1x 2，然后代入计算即可. 【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 112+122 =x 12+x 22x 12x 22=202=5. 28. 【答案】 4(2)∵ m2=3，∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在方程x2−8x+3=0中，a=4，b=3，∴a2−b=42−3=13>0，符合题意，∴ a=4是该方程的中点值.故答案为：4.(2)∵m=3，2∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.29.【答案】(1)−1；(2)k=−6.【考点】根与系数的关系【解析】(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2= 4，x1×x2=−5，代入即可求得代数式的值；(2)先求得x2=1，x1=3，再代入求得答案.【解答】解：(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2=4，x1×x2=−5，所以x1+x2+x1×x2=4−5=−1；(2)x1+x2=4，x1=3x2，即3x2+x2=4，解得：x2=1，所以x1=3，即：x1x2=−k−3=3，解得：k=−6.30.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【考点】根与系数的关系【解析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=−2，x1⋅x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=−1符合题意，此题得解．【解答】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【答案】−2；−15(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .【考点】根与系数的关系【解析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m、n可看作方程7x2−7x−1=0，利用根与系数的关系得到m+n=1，mn=−17，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2=mn(m+n)，然后利用整体的方法计算；（3）把p、3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，利用根与系数的关系得到p+3q=9，p⋅(3q)=6，再利用配方法得到p2+9q2=(p+3q)2−6pq，然后利用整体的方法计算；【解答】解：(1)x1+x2=−105=−2，x1x2=−15.故答案为：−2；−15.(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .32.【答案】【考点】根与系数的关系【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）,当方程有两根据x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.据此求解即可.【解答】解：x1+x2=−ba =−−21=2.故答案为：2.33.【答案】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．【考点】根与系数的关系【解析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x1+x2−ba=4，x1x2=ca=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【解答】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．34.【答案】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．【考点】根与系数的关系【解析】将x=1代入方程x2+x+a−1=0可得a的值，再将a的值代回方程，解方程得出另一个根．【解答】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=3，再利用通分和完全平方公式把x 2x 1+x 1x 2变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．36.【答案】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．【考点】根与系数的关系 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）将x 12+x 22变形为(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果； （2）将1x 1+1x 2变形为x 1+x 2⋅，再代入计算即可求得结果；（3）将(x 1−5)(x 2−5)变形为x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25，再代入计算即可求得结果； （4）将|x 1−x 2|变形为√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果． 【解答】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．【考点】根与系数的关系 【解析】（1）直接利用根与系数的关系解答即可；（2）通分变形后，整体代入（1）中的数值得出答案即可． 【解答】 解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．38.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.【考点】根与系数的关系 【解析】(1)由根与系数的关系可得x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1，将其代入到1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2即可得；(2)将x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1代入到(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2即可得；(3)根据x 22−x 12=−(x 12−x 22)，结合(2)中结果即可得．【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.39. 【答案】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．【考点】根与系数的关系 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673，再将(x 1+2)(x 2+2)变形为x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4代入计算即可求解． 【解答】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．40.【答案】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0 ∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1． 【考点】根与系数的关系 【解析】（1）先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算即可；（2）根据一元二次方程(k −1)x 2+(k 2−1)x +(k −1)2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k 的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．【解答】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1．。
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韦达定理（根与系数的关系)
韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么
1212,b c x x x x a a
+=-= 说明:定理成立的条件0∆≥
练习题
一、填空：
1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ．
2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = .
3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝ ．
4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ .
5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = .
6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 .
7、以13+,13-为根的一元二次方程是 .
8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 .
１0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 .
１1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ．
12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 .
13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = .
14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:
(1)2212x x += ； ﻩ(2）2
111x x += ; （3）=-221)(x x ＝ ;
(4))1)(1(21++x x = .
三、选择题: 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是( )
(A ）0 (B ）正数 (C ）-8 （Ｄ)－４
2、已知方程122-+x x ＝０的两根是1x ,2x ,那么=++12
21221x x x x ( )
(A )-７ （Ｂ) 3 (C ) ７ (D ） -3
３、已知方程0322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么2111x x +=（ ） (A )-31 (B) 3
1 （C ）3 (D ） －3 ４、下列方程中,两个实数根之和为2的一元二次方程是( ）
(A)0322=-+x x (B ） 0322=+-x x
（Ｃ）0322=--x x (D)0322=++x x
5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）
(A ）5或－2 (B) ５ (C ) －2 （Ｄ) -5或2
6、若方程04322=--x x 的两根是1x ,2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是( ）
(Ａ )-21 (B ） -6 (C ） 21 (Ｄ) －2
5 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）
（Ａ)0162=++y y (B) 0162=+-y y
（Ｃ）0162=--y y (D)0162=-+y y
四、解答题:
1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5,求另一个根及m 的值．
2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根,且这两根平方和比两根积大２1. 求m 的值.
3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9． 求m 的值.
4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.
5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数,求m 的值.
６、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和,求m 的值.
7、已知方程m x x 322+-=0,若两根之差为-4,求m 的值.
8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ,使12123(2)(2)2
x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值；若不存在,请您说明理由．
（２) 求使
1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.
ﻬ
答案:
ﻬ
ﻬ。