2020届山东省菏泽一中高三3月线上模拟考试数学试题(解析版)
绘制该函数的图像如下所示：
对 A：如图所示直线 l1 与该函数有 7 个交点，故 A 正确；
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对 B：当 1 x1 x2 1 时，函数不是减函数，故 B 错误；
对
C：如图直线
l2
:
y
1
，与函数图交于
1,1
,
5 2
,1
，
故当
f
x 的最小值为
1
时， a
1,?52
，故
C
bb a
ac b bb a
0
，
c c a ，故 B 错误； b ba
由
a
1，
0
c
b
1，
logb
a
1 loga
b
， logc
a
1 loga
c
，则 loga
c
loga
b
0
，ga c 0 ，可得 logb a logc a ，故 C 正确；
由a
1， 0
c
b
1，
b
b a
摸到的球颜色相同的概率 p 9 3 21 7
故选： C
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【点睛】 本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.
7．函数 f (x) sin(ex ex ) 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】判断函数为偶函数，取特殊点 0 f 0 sin2 1，判断得到答案.
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点，则 AB AC AE （ ）
A． 8
【答案】D
B．12
C．16
D． 20
【解析】由数量积的几何意义可得 AB AC 8 ， AB AE 12 ，又由数量积的运算律
可得
AB AC AE AB AC AB AE ，代入可得结果.
【详解】
∵ AB AC AE AB AC AB AE ，
换底公式，取 logb
a
1 loga
b
，logc
a
1 loga
c
，运用对数函数单调性，可判断 C
；运
用作差法和不等式的性质，可判断 D .
【详解】
由 a 1， 0 c b 1，可得 ab ac ，故 A 正确；
由 a 1， 0 c b 1， c c a b ba
可得
cb ca bc ba
下列叙述正确的是（
）
A．这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100
B．这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1 4
C．该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市 12 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】ABD
【解析】根据折线图和 AQI 指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.
D．2
【解析】先求得 z1 z2 (x2 1) (x2 1)i ,由实数可知,其虚部为 0,进而求解即可
【详解】
解: z1 1 i, z2 x2 i(x R) ,
z1 z2 (1 i)(x2 i) (x2 1) (x2 1)i ,
由 z1 z2 为实数,则 x2 1 0 ,即 x 1 ,
【点睛】
本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.
10．已知 a 1， 0 c b 1，下列不等式成立的是（ ）
A． ab ac
B． c c a b ba
C． logb a logc a
【答案】ACD
D． b c ba ca
【解析】由指数函数的单调性可判断 A ；由作差法和不等式的性质可判断 B ；可根据
故第七组的频数为：100100.008 8 .
故选： A .
【点睛】
本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.
4．设函数
f
x
的定义域为
R，满足
f
x
2
2
f
x ，且
f
x
2x1, x 0,1
ln( x
2),
x
1,
2
则 f e （ ）
A． 2e1
B． 2e
C． 2e1
D． ln e 2
【详解】
对于 A，取 AD 的中点为 E ，连接 CE, NE ，设 CE MD F ，如图1所示
则 NE//AB1, NE 平面 B1AM , B1A 平面 B1AM ，NE// 平面 B1AM .
四边形 AMCE 是平行四边形，CE//AM ，同理可证 CE// 平面 B1AM .
故选:C 【点睛】 本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用 3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到 140 分之间 （满分 150 分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取 100 名学生的考试成绩作 为样本进行统计.将这 100 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组
c
c a
bc ba cb ca
b ac a
ab c b ac a
0
可得
b c ，故 D 正确. ba ca 故选: ACD
【点睛】
本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.
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11．已知定义域为
R
的奇函数
f
x ，满足
f
x
2 , 2x 3
A． (0, 3 ] 2
【答案】C 【解析】【详解】
B． (0, 3] 4
C．[ 3 ,1) 2
D．[ 3 ,1) 4
当 P 是椭圆的上下顶点时, F1PF2 最大,
120 F1PF2 180,60 F1PO 90, sin 60 sin F1PF2 sin 90,
F1P
a, F1O
c,
3 2
c
1则椭圆的离心率 e 的取值范围为
a
3 2
,1
,故选
C.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图
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形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出 a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考 查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立 和判别式解不等式求出离心率的范围.
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60,70 ，第二组70,80 ，第三组80,90 ，…….如图是按上述分组方法得到的频率
分布直方图的一部分.则第七组的频数为（ ）
A．8
B．10
C．12
【答案】A
【解析】直接根据频率和为 1 计算得到答案.
【详解】
设第七组的频率为 p ，
D．16
则 0.004 0.012 0.016 0.03 0.02 0.006 p 0.00410 1，故 p 0.008 .
【答案】B
【解析】取 x e 2 ，代入 f x 2 2 f x ，计算得到答案.
【详解】
f e 2 f e 2 2 2e1 2e .
故选： B . 【点睛】 本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
5．在直角梯形 ABCD 中， AB 4 ， CD 2 ， AB / /CD ， AB AD ， E 是 BC 的中
【详解】
对 A：将这 20 天的数据从小到大排序后，第 10 个数据略小于 100，第 11 个数据约为
120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于 100 是正确的，故 A 正确；
对 B：这 20 天中，AQI 指数大于 150 的有 5 天，故中度污染及以上的天数占 1 是正确 4
的，
2
2
【答案】AC 【解析】根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结
合解决问题. 【详解】
因为该函数是奇函数，故 f x 在 R 上的解析式为：
x
2
2 ,(x 2x 3 2x 2, (2
2) x
0)
f
x
0, x 1
x2 2x 2, (0 x 2)
2 , (x 2) 2x 3
手段，值得总结.
12．如图，矩形 ABCD ， M 为 BC 的中点，将 ABM 沿直线 AM 翻折成 AB1M ，连
接 B1D ， N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得 CN AB1;
B．翻折过程中， CN 的长是定值
C．若 AB BM ，则 AM B1D ；
D．若 AB BM 1，当三棱锥
B1 AMD 的体积最大时，三棱锥 B1 AMD 的外接球的表面积是 4 .
【答案】BD
【解析】对于 A，取 AD 的中点为 E ，连接 CE, NE ，设 CE MD F .通过证明平面
CNE// 平面 B1AM ，得 NF //MB1 .假设 CN AB1 ，得到 EN CN ， EN NF ，这 是不可能的，故 A 不正确；对于 B，在 CEN 中，由余弦定理得 NC2 是定值，故 NC 是 定值，故 B 正确；对于 C，若 AM B1D ，可证 AM 平面 ODB1 ，得到 OD AM ，
【详解】
0 f 0 sin2 1，且 f x f x ，函数为偶函数
故选：D 【点睛】 本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
8．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的两焦点为 F1, F2 ，若椭圆上存在点 P ，使
F1PF2 120 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为( ).
2024年菏泽市高三数学3月份模拟考试卷及答案解析
2024年菏泽市高三数学3月份模拟考试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）2024.03第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线28x y =的焦点坐标为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,0D ．()0,22．已知集合2{|340}M x x x =--≤，(){|ln 2}N x y x ==-，则M N ⋂=（）A ．()2,4B ．(]2,4C ．(]1,4-D ．[]1,4-3．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强4．已知{}n a 为等差数列，15863415,33a a a a a a ++=++=，则9a =（）A ．6B ．12C ．17D ．245．函数()3612f x x x =+-的极小值点为（）A ．()4,10-B ．()2,10--C ．4D ．2-6．在ABC 中，()2221sin ,224B A a c b -=+=，则sinC =（）A ．23B ．32C ．12D ．17．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．898．已知抛物线C 的方程为214y x =，F 为其焦点，点N 坐标为()0,4-，过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，D 是x 轴上一点，且满足DA DB DN ==，则直线AB 的斜率为（）A ．152B ．112±C ．2±D ．3二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．设α，β是关于x 的方程220x px q ++=的两根，其中p ，R q ∈.若2i 3(i α=-为虚数单位)，则（）A ．2i 3β=+B ．38p q +=C ．6αβ+=-D ．213αβ+=10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为BC 的中点，点P 为正方形1111D C B A 内(包含边界)的动点，则（）A ．满足//MP 平面1A BD 的点P 的轨迹为线段B ．若22=MP P 的轨迹长度为π3C ．直线AB 与直线MP 所成角的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．满足MP AM ⊥的点P 511．已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1M ，是AA '中点，P 是AB 的中点，点N 满足[]()0,1D N D C λλ'''=∈，平面MPN 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为12V V ，，则下列判断正确的是（）A ．12λ=3B ．12λ=时，12V V =C ．12V V -随着λ的增大先减小后增大D ．12V V -的最大值为512第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右两焦点分别是1F 、2F ，其中122F F c =．椭圆C上存在一点A ，满足2124AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率的取值范围是13．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．22222;3sin 4cos ;310;10y x x y x x x xy x y x x =-=+-+=+---=①②③④．14．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点()()122020,，,F F -，动点P 满足126PF PF ⋅=，则12PF F △面积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F．(1)求证：PB ⊥平面;DEF (2)求二面角B DE F --的正弦值．16．设数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，371022120a a S +==，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b a a +=+n 项和为n T ，求n T ．17．已知函数()()21e x f x x ax =--，R a ∈.(1)当e 2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()0f x a +=有三个不同的实根，求a 的取值范围．18．兵乓球（table tennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．(1)若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为23，甲接球时获胜的概率为12，甲先发球，求单局比赛中甲11:2获胜的概率；(2)若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为23，每局比赛结果相互独立，记X 为比赛结束时的总局数，求X 的期望．（参考数据6646656=）19．已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<<<=L ，和式()()11ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为[],a b 上的“绝对差有界函数”，注：121ni n i a a a a ==+++∑ .（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在,02p轾-犏犏臌上是“绝对差有界函数”；（2）记集合(){|A f x =存在常数0k >，对任意的[]12,,x x a b ∈，有()()1212f x f x k x x -≤-成立.求证：集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数()cos,01{20,0x x f x x x π<≤==不是[]0,1上的“绝对差有界函数”.1．D【解析】抛物线交点坐标为(0,)2p，算出p 即可.【详解】由282x y px ==，得4p =，故抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2.故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.2．B【分析】解二次不等式与求对数型函数定义域化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为2{|340}{|14}M x x x x x =--≤=-≤≤，(){|ln 2}{|2}N x y x x x ==-=>，所以{|24}M N x x ⋂=<≤=(]2,4.故选：B.3．D【分析】根据方差的性质判断A ，根据百分位数计算规则判断B ，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C ，根据相关系数的概念判断D.【详解】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D 4．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意，结合等差数列的基本量的运算，求得2d =和35a =，结合936a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为15863415,33a a a a a a ++=++=，可得()()8641353315198a a a a a a d ++-++=-==，解得2d =，又由13515a a a ++=，可得1353315a a a a =+=+，解得35a =，所以93656217a a d ==+⨯=+.故选：C.5．D【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出极值点.【详解】函数()3612f x x x =+-的定义域为R ，且()()()2232123x x f x x '=-=-+，所以当22x -<<时()0f x ¢>，当<2x -或2x >时()0f x '<，所以()f x 在()2,2-上单调递增，在(),2-∞-，()2,+∞上单调递减，所以()f x 在2x =-处取得极小值，在2x =处取得极大值，即极小值点为2-，极大值点为2.故选：D 6．C【分析】利用余弦定理的边角变换得到2cos 2cos a B b A c -=-，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为22222a c b +=，所以22222a b c -=-，因为2222222cos ,2cos a c b ac B b c a bc A +-=+-=，两式相减，得222222cos 2cos ,2cos 2cos a b ac B bc A c a B b A c -=-=-∴-=-，由正弦定理，得2sin cos 2sin cos sin A B B A C -=-，即()2sin sin B A C --=-，因为()1sin 4B A -=，所以1sin 2C =.故选：C.7．C【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得.【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为31223525332222C C C C A 150A A ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，其方法数为311333A C C 54=.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为54915025P ==．故选:C ．8．B【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0D a ，直线AB 方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程，消元，得到124x x =-，再由224DA DB DN a ===+可得()11,A x y ，()22,B x y 是方程222160x y ax +--=的解，将1y kx =+代入方程，由124x x =-求出k .【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0D a ，直线AB 方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得2440x kx --=，显然0∆>，所以124x x =-．又224DA DB DN a ===+()()22222211224x a y x a y a -+-+=+即221112160x y ax +--=，222222160x y ax +--=，故()11,A x y ，()22,B x y 是方程222160x y ax +--=的解，将1y kx =+代入方程222160x y ax +--=，整理得()()22122150k x k a x ++--=，显然0∆>，1221541x x k ∴-==-+，2114k ∴=，即112k =．故选：B ．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.9．BCD【分析】根据虚根成对原理可得2i 3β=--，再由韦达定理求出p 、q ，最后计算模即可.【详解】因为α，β是关于x 的方程220x px q ++=的两根，其中p ，R q ∈且2i 3α=-，所以2i 3β=--，所以()()2i 32i 362pαβ+=-+--=-=-，所以12p =，()()2i 32i 3132qαβ⋅=-⋅--==，所以26q =，则38p q +=，故A 错误，B 正确，C 正确；()()()22223232213αβ+=-+-+-=D 正确.故选：BCD 10．AD【分析】利用正方体的特值构造面面平行可判定A ，利用圆的定义与弧长公式可判定B ，设P 坐标，利用正切函数的单调性计算判定C ，利用线面垂直及勾股定理可判定D.【详解】对于A ，如图所示，取棱111111,,,,BB A B A D D D DC 的中点分别为,,,,E F G H I ，连接EF FG GH HI IM ME 、、、、、，根据正方体的特征易知11////,////,////EM A D GH EF A B HI GF BD MI ，则,,,,,E F G H I M 共面，且//BD 平面EFGHIM ，1//BA 平面EFGHIM ，又1,BD BA ⊂平面1BDA 且相交于B ，故平面1BDA //平面EFGHIM ，所以满足//MP 平面1A BD 的点P 的轨迹为线段FG ，故A 正确；对于B ，设M 到上底面的投影为N ，易知2MN =，而22=MP ，所以2NP =，即P 在以N 为圆心，半径为2的圆上，且P 在正方形1111D C B A 内，如图所示，即 JK上，易知π3JNK ∠=，所以 JK 的长度为2π3，故B 错误；对于C ，如图所示建立空间直角坐标系，取AD 的中点Q ，连接MQ ，作PL MQ ⊥，设()[](),,2,0,2P x y x y ∈，则()1,,0L y ，()1,2,0M ，易知直线AB 与直线MP 所成角为PMQ ∠，显然当P 为11B C 的中点时，此时π,22PMQ y ∠==，当2y ≠时，()214tan 2x PLPMQ LMy-+∠==()(]2142,20,2x y -+≥-∈，若PMQ ∠最小，则需1,0x y ==，此时π4PMQ ∠=，故C 错误；对于D ，取11111,44CS DC RC D C ==，可知//,RN SM RN SM =，即R N M S 、、、共面，在底面正方形中易知1,2CS BMABM SCM CM AB==∠=∠，则90SCM MBA AMS ~⇒∠= ，结合正方体的性质可知MN ⊥底面ABCD ，AM ⊆底面ABCD ，所以AM MN ⊥，而,MN SM M MN SM ⋂=⊆、平面RNMS ，所以AM ⊥平面RNMS ，故P 在线段RN 上运动，易知22151+=2RN ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 正确.故选：AD11．BCD【分析】对于A ，易于判断截面形状，计算即得其面积；对于B ，可由A 项图形进行对称性判断得到；对于C ，要结合A 项中点N 从点D ¢运动到点C '的过程中，截面形状的变化，以及B 项中的结论合并进行判断；对于D ，要在选项C 的基础上判断12V V -取最大值时，对应于0λ=或1λ=时的情形，故只需要求出这两种情形下的12V V -的值即得.【详解】如图1，当12λ=时，点N 是D C ''22112()()222+=，故截面面积为232336(),424⨯⨯=故A 项错误；由对称性可知．当12λ=时．平面分两部分是全等的，故体积相等，故B 项正确；如图2．当λ从0变化到1时．截面从四边形MD CP '变化至五边形MPJC Q '（其中J 为BC 靠近B 点的三等分点）．结合B 项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C 项正确；12V V -取最大值时对应为0λ=，或1λ=时情形．当0λ=时，不妨记1V 为截面MD CP '左上角的部分几何体，则1111117(113423224P AMD D P DD C V V V ''--=+=-⨯+⨯⨯=,则271712424V =-=,此时121775242412V V -=-=；当1λ=时，不妨记1V 为截面MPJC Q '左上角的部分几何体，则1P DAMQD P DCC D Q PCJ Q JC C V V V V V ''''----=+++1111111147(1)111131223363372=-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,则2472517272V =-=，此时12472511727236V V -=-=.12V V ∴-的最大值为512，故D 项正确．故选：BCD ．【点睛】思路点睛：本题重点考查正方体的截面面积和分割成的几何体的体积问题，属于难题.解题思路在于要有从特殊到一般的思想，先考虑点N 为D C ''的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再考虑点N 分别与点D ¢，点C '重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可.12．6565⎤⎥⎣⎦【分析】先设出点A ，然后由向量数量积得到A 的轨迹，应用A 在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可.【详解】设点()11,A x y ，则()()12222211121114,,4AF AF c x c c y c x y c x y ⇒---⋅=⋅=-+=-- ，即222115x y c +=，所以点A 在以()0,05c 的圆上，又因为A 点在椭圆上，所以圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b +=有交点，根据对称性可知b r a ≤≤，即2222222555b c a b c a a c c a ≤≤⇒≤≤⇒-≤≤，所以22256c a c ≤≤，即椭圆离心率6565e ∈⎣⎦，故答案为：6565⎤⎥⎣⎦13．①②④【分析】①在=1x -和1x =处的切线都是1y =-，故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为13y x x=+，求出213y x '=-，设切点分别为1111(,3)A x x x +，2221(,3)B x x x +，通过1212221212113(3)1133x x x x k x x x x +-+=-=-=-，解方程即可判定；④画出图形即可判断.【详解】①()()22211,0211,0x x y x x x x ⎧--≥⎪=-=⎨+-<⎪⎩，在=1x -和1x =处的切线都是1y =-，故①有“自公切线”；②()3sin 4cos 5sin y x x x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；③2310x xy -+=，即13y x x =+(0)x ≠，则213y x'=-，假设有“自公切线”，设切点分别为1111(,3)A x x x +，2221(,3)B x x x +，且12x x ≠，所以切线的斜率22121133k x x =-=-，解得：21x x =-，则1111(,3)B x x x ---，故11112111113(3)13()x x x x k x x x +---=-=--，化简得：11111133x x x x +=-，无解，所以③没有“自公切线”.④2210x y x x +---=，当0x ≥，则22(1)2x y -+=，当0x <，则221x y +=，表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.故答案为：①②④14．3【分析】根据题意可列等量关系，化简可得222221916364(16368)164y x x x =+--=-+-+，即可求解32y ≤，由面积公式即可求解.【详解】已知定点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，因为动点(,)P x y 满足126PF PF ⋅=，所以点P 2222(2)(2)6x y x y ++-+=，两边同时平方可得2222(4)3616x y x ++=+，整理得222221916364(16368)164y x x x +--=-+-+，所以32y ≤，此时1212114322F PF S F F y y ==⨯≤ ，当且仅当274x =，294y =时，取得最大值，故答案为：315．(1)证明见解析(2)539【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求夹角的余弦值即可.【详解】（1）证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD所以PD BC ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥，又因为PD 、CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，又DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，又因为2PD DC ==，E 是PC 的中点，所以,,,DE PC BC PC C BC PC ⊥⋂=⊂平面PBC ，所以DE ⊥平面PBC ，又PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥，由已知得EF PB ⊥，且,,DE EF E DE EF ⋂=⊂平面DEF ，所以PB ⊥平面DEF .（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，由()1知PB ⊥平面DEF ，所以()1,2,2PB =- 为平面DEF 的一个法向量，又()0,1,1DE = ，()1,2,0DB = ，设(),,n x y z = 为平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得020y z x y +=⎧⎨+=⎩取()2,1,1n =- ，则cos n <,·2636n PB PB n PB >=== 设二面角B DE F --的大小为θ，则22653sin 1cos ,1()99n PB θ=-=-= 所以二面角B DE F --53.16．(1)21n a n =+23322n +【分析】（1）设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得；（2）将21n a n =+代入1n n n b a a +=+.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由371022120a a S +==，，则1128221045120a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，故3(1)221n a n n =+-⨯=+；（2）由（1）得232122123n n n b n n ++=+++．1(5375972321)2n T n n ∴=++ 1(233)2n =+233n +17．(1)()f x 单调递增区间为(),0∞-和()1,+∞，单调递减区间为()0,1(2)e e 1,,.22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；（2）由()()()1e 1x f x a x a x ⎡⎤+=--+⎣⎦，可得1x =为()0f x a +=的一个根，所以()e 10x a x -+=有两个不同于1的实根，令()()e 1x g x a x =-+，利用导数说明函数的单调性，从而得到当0a >时()ln 0g a <且()10g ≠，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）当e 2a =时，函数()()2e1e 2x f x x x =--，则()()e e e e x x f x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或1x =当(),0x ∈-∞或()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，当()0,1x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，即当e2a =时，()f x 单调递增区间为(),0∞-和()1,+∞，单调递减区间为()0,1．（2）()()()1e 1x f x a x a x ⎡⎤+=--+⎣⎦ ，所以1x =为()0f x a +=的一个根，故()e 10x a x -+=有两个不同于1的实根，令()()e 1x g x a x =-+，则()e x g x a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，故()g x 在R 上单调递增，不符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得ln x a =，当ln x a >时，()0g x '>，故()g x 在区间()ln ,a ∞+上单调递增，当ln x a <时，()0g x '<，故()g x 在区间(),ln a ∞-上单调递减，并且当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()g x ∞→+；所以若要满足题意，只需()ln 0g a <且()10g ≠，因为()()ln ln e ln 1ln 0a g a a a a a =-+=-<，所以1a >，又()1e 20g a =-≠，所以e2a ≠，所以实数a 的取值范围为e e1,,.22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．(1)491458(2)()229E X =【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲11:2获胜的概率，再求和；（2）首先分析得到2,3X =，再分别求概率，以及数学期望.【详解】（1）设事件A 为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件，事件B 为“甲发球，甲败2次”，事件C 为“乙发球，甲败2次”，事件D 为“甲发球，甲败1次，乙发球，甲败1次”，这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢，()4262662112160C 33236P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()4262661122640C 22336P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()56116662112768C C 33236P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()()615684961458P A P B P C P D =++==；（2）随机变量X 的所有可能取值为2,3，()222152339P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112221212143C C 3333339P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以()542223999E X =⨯+⨯=.19．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）将()f x 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可知()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；可知()()1i i f x f x +<，从而可将()()11n i i i f x f x -=-∑化简为()022f f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，从而可知()()112n i i i f x f x -=-≤∑，得到结论；（2）取()f x A ∈，根据()()1212f x f x k x x -≤-，可得()()()1111n n i i i i i i f x f x k x x k b a --==-≤-=-∑∑，从而可取()M k b a =-得到结论；（3）取一个划分：111012212n n <<<⋯<<-，可将()()11n i i i f x f x -=-∑整理为11n i i =∑；根据放缩可知只要n 足够大，可使得()()11ni i i f x f x M -=->∑，从而得到结论.【详解】（1）()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x \在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增函数∴当1i i x x +<，0,1,2,,1i n =⋅⋅⋅-时，有()()1i i f x f x +<，0,1,2,,1i n =⋅⋅⋅-所以()()()()()1111022n n i i i i i i f x f x f x f x f f π--==⎛⎫-=-=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑从而对区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的任意划分：01102n n x x x x π--=<<<<=L存在2M =，使得()()112ni i i f x f x -=-≤∑成立综上，函数()sin cos f x x x =+在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取()f x A∈从而对区间[],a b 的任意划分：011n n a x x x x b-=<<⋯<<=和式()()()1111n ni i i i i i f x f x k x x k b a--==-≤-=-∑∑成立则可取()M k b a =-所以集合A 中的任意函数()f x 为“绝对差有界函数”（3）取区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<⋯<<-，*n ∈N 则有：()()()211211211212cos 0cos cos cos cos 2221222222n i i i n n n f x f x n n n πππππ-=--=-+-+⋅⋅⋅+--∑1481111111111111244881616222n i i =↑↑=>++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ 所以对任意常数0M >，只要n 足够大，就有区间[]0,1的一个划分：111012212n n <<<⋯<<-满足()()11n i i i f x f x M -=->∑所以函数()cos ,0120,0x x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪=⎩不是[]0,1的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.。
2020年山东省菏泽市郓城一中等学校高考数学三模试卷(二)(有答案解析)
2020年山东省菏泽市郓城一中等学校高考数学三模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|-2≤x≤3}，函数f（x）=ln（1-x）的定义域为集合B，则A∩B=（）A. [-2，1]B. [-2，1）C. [1，3]D. （1，3]2.若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，则=（）A. iB. -iC. 1D. -13..若，则=（）A. B. C. D.4.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了．国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.5.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）A. B. C. D.6.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A. y=2x-x2-1B. y=2x sinxC. D.7.函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x-cos2x的图象（）A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B. 向右平穆个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变得到8.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，则x3的系数为（）A. 14B. -14C. 240D. -2409.在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且．BP=2PA，则=（）A. B. C. D. 110.一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为（）A. B. C. 1 D. 211.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.12.已知函数，（a∈R），若对任意x1∈[2，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为______．14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为______．15.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y=f（x），则f（2019）=______．16.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b=1，则a+c的取值范围为______三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设数列{a n}满足（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n⋅18.如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AF=BF=BC=2EF，EF∥BC，G为CD的中点．（1）求证：EG∥平面ACF；（2）若平面ABF⊥平面ABCD，求直线EC与平面ACF所成角的正弦值．19.某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z近似的服从正态分布N（μ，σ2）．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．（i）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；（ii）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位乙岗位丙岗位A960064005200B980072005400C1000060005000岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C公司的哪些岗位？并说明理由．附：若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．20.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线：y=kx+b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，|AF|+|BF|=4，M（0，3）．（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为k'，证明k⋅k'为定值；（2）求△ABM面积的最大值．21.已知函数f（x）=xe x-1-a ln x（无理数e=2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a=0时，设g（x）=•f（x）-x2-x，证明：当x＞0时，g（x）＞1--（）2．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．23.已知函数f（x）=|ax-2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）-tx≤2成立，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵B={x|x＜1}；∴A∩B=[-2，1）．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，∴z2=-1+i，∴==．故选：B．3.答案：A解析：解：cos（2α+）=-sin2α=-=-=-2×=-，故选：A．由cos（2α+）=-sin2α=-=-，再代值计算即可．本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题．4.答案：C解析：解：阴影部分对应的图形为6平行四边形，设正方形的边长为4，则平行四边形的底面长为2，平行四边形的高为1，则阴影部分的面积S=2×1=2，则大正方形的面积S=4×4=16，则阴影部分的概率P==，故选：C．根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键．5.答案：D解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面边长为1正方形，斜高为1四棱锥，且四棱锥的高为=的正四棱锥．∴它的体积为V=×12×=．故选：D．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．6.答案：D解析：解：根据函数定义域为R，可知C不符合，根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合，当x→∞时，函数值趋向于-∞，故A不符合，对于D：y=（x2-2x）e x，当y=0时，解得x=0或x=2，当x→+∞时，y→+∞，当x→-∞时，y→0，故D符合．故选：D．根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可选择．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．7.答案：D解析：解：把函数y=sin2x-cos2x=2sin（2x-）的图象向左平移个单位，可得y=2sin （2x+）的图象；再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：D．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.答案：C解析：解：由二项式的展开式中的通项公式为T r+1=•（-1）r•2n-r•，它第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，∴=，求得n=6，故通项公式为T r+1=•（-1）r•26-r•．令6-=3，求得r=2，故x3的系数为•24=240，故选：C．先由题意利用二项式系数的性质求得n的值，可得通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.答案：C解析：解：在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP=2PA，可得=，所以=（）=×1×1×cos60°=．故选：C．利用向量关系，求出，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的应用，平面向量的基本定理以及平行四边形法则的应用，是基本知识的考查．10.答案：A解析：解：满足条件的四面体的容器如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BD⊥BC，满足各面均为直角三角形，此时，AD=BD=BC=2，则AB=CD=2，AC=2，要满足题意，则当球与四面体各面均相切时半径最大，此时设球心为O，则原四面体可看成是以O为顶点，其余各面为底面的四个四面体组合而成，且这4个四面体的高均为内切球半径，由等体积法有：=，解得r=．故选：A．要使球半径最大，则当球与四面体各面均相切时半径最大，先根据题意作出图形，求得四面体的表面积，再利用等体积法，求出该球的半径最大值．本题考查球半径的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.答案：A解析：解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，由|NF1|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF2|=4b，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即3b=4a，则=．则C的渐近线方程为：．故选：A．设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．12.答案：C解析：解：=-log2x+x（x≥2），则f'（x）=＞0，∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=1，∴当x≥2时，f（x）的值域为：[1，+∞），若要使对任意x1∈[2，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则设函数g（x）的值域为A，只需满足[1，+∞）⊆A即可，∵当x＜0时，g（x）=x2+2a为减函数，∴g（x）＞g（0）=2a，当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-|a|，2+|a|]，∴①当2a＜1，即a＜，满足条件[1，+∞）⊆A，②当a≥时，2a≥1，g（x）=a cos x+2∈[2-a，2+a]，要使[1，+∞）⊆A成立，则只需满足，∴，∴1≤a≤2，∴综合①②得a的取值范围为：．故选：C．求出两个函数的值域，结合条件知，f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．本题考查了函数的恒成立和存在问题，关键是数形结合找到限制条件，属难题．13.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，属于基础题．利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．【解答】解：由题可设椭圆方程，c为椭圆的半焦距，焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于，可得b=8，，即1-，解得a=10，故所求的椭圆方程为：．故答案为．14.答案：10解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图：由可得A（2，-4）．化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x-．由图可知，当直线y=x-过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=2-2×（-4）=10．故答案为：10．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：0解析：解：∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线AC=，则由正方形的滚动轨迹得到x=0时，C位于（0，1）点，即f（0）=1，当x=1时，C位于（1，）点，即f（1）=，当x=2时，C位于（2，1）点，即f（2）=1，当x=3时，C位于（3，0）点，即f（3）=0，当x=4时，C位于（4，1）点，即f（4）=1，则f（x+4）=f（x），即f（x）具备周期性，周期为4，则f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=0，故答案为：0根据正方形的运动关系，分布求出当x=0，1，2，3，4时对应的函数值f（x），得到f （x）具备周期性，周期为4，利用周期性进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．16.答案：（，2]解析：解：∵，∴cos B（cos C-sin C）=cos（B+C）=cos B cos C-sin B sin C，可得：sin B sin C=sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得：tan B=，∴由B为锐角，可得B=，∵由正弦定理=，b=1，∴a+c=（sin A+sin C）=[sin A+sin（-A）]=（cos A+sin A）=2sin（A+），∵，可得：A∈（，），∴A+∈（，），可得：sin（A+）∈（，1]，∴a+c=2sin（A+）∈（，2]．故答案为：（，2]．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B sin C=sin C cos B，结合sin C≠0，可得tan B=，由B为锐角，可得B=，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+c=2sin（A+），由已知可求范围A∈（，），利用正弦函数的图象和性质可求其范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．17.答案：解：（1）{a n}满足可得n=1时，a1=2，n≥2时，a1•2a2…（n-1）a n-1=2n-1，又相除可得na n=2，即a n=，上式对n=1也成立，则{a n}的通项公式为a n=；（2）=n•2n+n，设H n=1•2+2•22+…+n•2n，2H n=1•22+2•23+…+n•2n+1，相减可得-H n=2+4+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1，化简可得H n=2+（n-1）•2n+1．则前n项和T n=2+（n-1）•2n+1+．解析：（1）求得数列的首项，再将n换为n-1，相除可得所求通项公式；（2）求得=n•2n+n，再由数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相除法，考查数列的分组求和和错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：连接BD交AC于M，连接FM，MG．∵四边形ABCD是菱形，∴M是BD的中点，又G是CD的中点，∴MG BC，又EF BC，∴EF MG，∴四边形EFMG是平行四边形，∴EG∥FM，又EG⊄平面FAC，FM⊂平面FAC，∴EG∥平面ACF．（2）解：取AB的中点O，连接OC，OF．∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵AF=BF，O是AB的中点，∴OF⊥AB，∵平面ABF⊥平面ABCD，平面ABF∩平面ABCD=AB，∴OF⊥平面ABC，以O为原点，以OB，OC，OF为坐标轴建立空间坐标系O-xyz如图所示，设EF=1，则A（-1，0，0），C（0，，0），F（0，0，），E（-，，），∴=（，，-），=（0，，-），=（1，，0），设平面FAC的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=-得=（-，1，1），∴cos＜，＞===-．∴直线EC与平面ACF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．解析：（1）连接BD交AC于M，连接FM，MG，证明四边形EFMG是平行四边形可得EG∥FM，故而EG∥平面ACF；（2）取AB中点O，证明OF⊥平面ABCD，OC⊥AB，以O为原点建立空间坐标系，设EF=1，求出平面FAC的法向量，则|cos＜，＞|为直线EC与平面ACF所成角的正弦值．本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数=45×0.05+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.17+95×0.06=70；样本方差s2=（45-70）2×0.05+（55-70）2×0.18+（65-70）2×0.28+（75-70）2×0.26+（85-70）2×0.17+（95-70）2×0.06=161；（i）由（1）可知，=70，2=161，故评估成绩Z服从正态分布N（70，161），所以P（Z＞82.7）=P（Z＞+）=（1-0.6826）=0.1587．在这2000名毕业生中．能多加三家公司面试的估计有2000×0.1587≈317人．（ii）李华可以选择A公司的甲岗位，B公司的甲，乙岗位，C公司的三个岗位，理由如下：设B．C公司提供的工资为X公司甲岗位乙岗位丙岗位X B 98007200 5400X B 10000 6000 5000P 0.3 0.3 0.4则B公司的工资期望E（X B）=9800×0.3+7200×0.3+5400×0.4=7260（元），C公司的工资期望：E（X C）=10000×0.3+6000×0.3+5000×0.4=6800（元），因为A公司的甲岗位工资9600元大于B，C公司的工资期望，乙岗位工资6400元小于B，C公司的工资期望，故李华先去A公司面试，若A公司给予甲岗位就接受，否则去B公司；B公司甲，乙岗位工资都高于C公司的工资期望，故B公司提供甲，乙岗位就接受，否则去C公司；在C公司可以依次接受甲，乙，丙三种岗位中的一种岗位．解析：（1）根据频率分布直方图结合平均数和方差公式进行计算即可．（2）结合正态分布进行估算即可．（3）公比计算出三个岗位的工资期望，进行对比判断即可．本题主要考查正态分布的应用，结合样本平均数和方差公式以及求出对应概率分布列是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.答案：（1）证明：由抛物线C：x2=4y与直线：y=kx+b的方程组成方程组，消去y得，x2-4kx-4b=0，则△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系知，x1+x2=4k，x1x2=-4b，由|AF|+|BF|=4，根据抛物线的定义知，（y1+1）+（y2+1）=4，即y1+y2=2，所以AB的中点坐标为T（2k，1），又M（0，3），所以直线MT的斜率为k'==-，所以k⋅k'=-1为定值；（2）解：由（1）知=-4x1x2=16（k2+b），|AB|=|x1-x2|=4，设点M到直线l的距离为d，则d=，由（1）知y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=4k2+2b=2，即2k2+b=1，即b=1-2k2，由△=16k2+16b＞0，得0＜k2＜1；所以S△ABM=×|AB|×d=×4×=4，令t=k2，0＜t＜1，f（t）=（1+t）2（1-t）=1+t-t2-t3，0＜t＜1，f′（t）=1-2t-3t2=（t+1）（-3t+1），0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）为增函数；＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）为减函数；所以当t=时，f（t）取得最大值为f（x）max=f（）=，所以△ABM面积的最大值为4=．解析：（1）由抛物线与直线方程组成方程组，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义，求出AB的中点坐标T以及直线MT的斜率，计算k⋅k'的值；（2）利用弦长公式计算|AB|的值，求出点M到直线l的距离d，计算△ABM的面积，求出最大值即可．本题考查了直线与抛物线方程的综合应用问题，也考查了弦长公式与三角形面积的计算问题，是难题．21.答案：（1）解：由题意可得f′（x）=（1+x）e x-1-=≥0在（1，+∞）上恒成立．∴a≤（x+x2）e x-1=h（x），h′（x）=（1+3x+x2）e x-1＞0，∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．∴a≤h（1）=2．∴实数a的取值范围是（-∞，2]．（2）证明：当a=0时，g（x）=•f（x）-x2-x=e x-x2-x．g′（x）=e x-2x-1=u（x）．u′（x）=e x-2，可得x=ln2时，函数u（x）取得极小值，g′（ln2）=u（ln2）=1-2ln2＜0．∵g′（0）=0，又=-2（1+ln2）-1=e-3-ln2＞0．∴存在x0∈（ln2，1+ln2），使得g′（x0）=-2x0-1=0，=2x0+1．由单调性可得：x=x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（x）≥g（x0）=--x0=2x0+1--x0=-+x0+1=-+．由x0∈（ln2，1+ln2），可得函数y=g（x0）单调递减，故g（x））≥g（x0）＞-+＞1--（）2．∴当x＞0时，g（x）＞1--（）2．解析：（1）由题意可得f′（x）=（1+x）e x-1-=≥0在（1，+∞）上恒成立．可得a≤（x+x2）e x-1=h（x），利用导数研究其单调性可得实数a的取值范围．（2）当a=0时，g（x）=•f（x）-x2-x=e x-x2-x．g′（x）=e x-2x-1=u（x）．利用导数研究其单调性极值，进而证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即ρsinθ-ρcosθ+4=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0．将曲线C的参数方程为（α为参数）消去参数α，得曲线C的普通方程为；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），则P（，），∴点P到直线l的距离d==．∴当时，点M到直线l的距离的最大值为．解析：（1）由直线l的极坐标方程为，得ρsinθ-ρcosθ+4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线l的直角坐标方程．直接将曲线C的参数方程消去参数α，可得曲线C的普通方程；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），化点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），利用中点坐标公式求得P（，），再由点到直线的距离公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：（1）由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4，即-2≤ax≤6，当a＞0时，-≤x≤，所以，解得a=1；当a＜0时，≤x≤-，所以，无解，所以实数a的值为1（2）由已知g（x）=f（x）+f（x+3）=|x+1|+|x-2|=，不等式g（x）-tx≤2，即g（x）≤tx+2，由题意知y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出对应图象：由图可知，当t＜0时，t≤k EM；当t＞0时，t≥k FM，又因为k EM=-1，k FM=，所以t≤-1，或t，即t∈（-∞，-1]∪[，+∞）．解析：（1）解f（x）≤4得解集与已知解集相等可列方程解得；（2）问题转化为y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出图象，根据斜率可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)
合定义域解得 −1 x 0,或0 x 1 ，故 D 正确．故选 AD． 3
11．BCD 【解析】 f (x) = 6 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 6 sin 2x + 2 1 + cos 2x − 2 = 2 sin(2x + π) ，将
22
2
2
6
函数 f (x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，得函数 g(x) = 2 sin(4x + π) 的图象．对
=
(t 2
+ 1)
+
1 t2 +1
−
3
2
(t 2
+ 1)
t2
1 +
1
−
3
=
−1
，当且仅当
t2
+1
=
t2
1 +1
，即
t
=
0
时取等号，y 取得最小值为 −1 .此时，a = (−1,0),b = (2, −1) ，则 cos a,b = a b = −2 = − 2 5 .故选 B． | a | | b | 1 5 5
7．D【解析】如图，连接 BD ，因为 AB = a, AD = b ，AA' = a + b ，所以 A'B2 = a2 + (a + b)2 ，A'D2 = b2 + (a + b)2 ，
BD2 = a2 + b2 ，结合余弦定理得 cos BA'D = A'B2 + A'D2 − BD2 = a2 + (a + b)2 + b2 + (a + b)2 − (a2 + b2 ) =
2020届山东省菏泽一中高三3月线上模拟考试数学试题解析
2020届山东省菏泽一中高三3月线上模拟考试数学试题一、单选题1．集合{}|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3-答案：B计算得到{}13A x x =-<<，{}12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 解：18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 点评：本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力. 2．设复数2121,()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ⋅为实数，则x =（ ）A ．1B ．1﹣C ．1或1﹣D ．2答案：C先求得2212(1)(1)z z x x i ⋅=++-,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可 解：解:2121,()z i z x i x R =+=-∈Q ,22212(1)(1)(1())z z i x i x x i ∴⋅=+-=++-,由12z z ⋅为实数,则210x -=,即1x =±, 故选:C 点评：本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（）A．8 B．10 C．12 D．16答案：A直接根据频率和为1计算得到答案.解：设第七组的频率为p，则()0.0040.0120.0160.030.020.0060.004101p+++++++⨯=，故0.008p=. 故第七组的频数为：100100.0088⨯⨯=.故选：A.点评：本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.4．设函数()f x的定义域为R，满足()()2 2f x f x+=，且()()[]12,0,1ln(2),1,2x xf xx x+⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩则()f e=（）A．12e+B．2e C．12e-D．()ln2e+答案：B取2x e=-，代入()()2 2f x f x+=，计算得到答案.解：()()122222e ef e f e-=-=⋅=.故选：B.点评：本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.5．在直角梯形ABCD中，4AB=，2CD=，//AB CD，AB AD⊥，E是BC的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u v u u u v u u u v （ ）A ．8B ．12C ．16D ．20答案：D由数量积的几何意义可得8AB AC ⋅=u u u v u u u v ，12AB AE ⋅=u u u v u u u v，又由数量积的运算律可得()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，代入可得结果.解：∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的几何意义可得：AB AC u u u v u u u v ⋅的值为AB u u u v 与AC u u u v 在AB u u u v方向投影的乘积， 又AC u u u v 在AB u u u v方向的投影为12AB =2， ∴428AB AC ⋅=⨯=u u u v u u u v ，同理4312AB AE ⋅=⨯=u u u v u u u v，∴()81220AB AC AE ⋅+=+=u u u v u u u v u u u v，故选D. 点评：本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.6．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，若一次摸出2个球，则摸到的球颜色相同的概率是（ ） A ．17B ．27C ．37D ．47答案：C利用组合数计算得到基本事件总数和颜色相同的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果. 解：从箱子中一次摸出2个球共有2721C =种情况；颜色相同的共有22439C C +=种情况∴摸到的球颜色相同的概率93217p == 故选：C 点评：本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题. 7．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 解：()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 点评：本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.8．设椭圆()222210x y a b a b +=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=o ，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ).A ．3(0,2B ．3(0,]4C ．3[2D ．3[,1)4答案：C 解：当P 是椭圆的上下顶点时,12F PF ∠最大, 121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,F PF ∴︒≤∠<︒113,,12c F P a F O c a ==≤<Q 则椭圆的离心率e 的取值范围为3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭,故选C. 点评：本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系,考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.二、多选题9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占1 4C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好答案：ABD根据折线图和AQI指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.解：对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD. 点评：本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意. 10．已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b c a a > B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a <D ．b cb ac a>++ 答案：ACD由指数函数的单调性可判断A ；由作差法和不等式的性质可判断B ；可根据换底公式，取1log log b a a b =，1log log ca a c=，运用对数函数单调性，可判断C ；运用作差法和不等式的性质，可判断D . 解：由1a >，01c b <<<，可得b c a a >，故A 正确； 由1a >，01c b <<<，c c ab b a+-+ 可得()()()0a c b cb ca bc ba b b a b b a -+--==<++ ，c c ab b a+<+ ，故B 错误； 由1a >，01c b <<<，1log log b a a b =，1log log ca a c=，则log log 0a a c b <<，则110log log a a b c<<，可得log log b c a a <，故C 正确；由1a >，01c b <<<，()()()()()0a b c b c bc ba cb cab ac a b a c a b a c a -+---==>++++++可得b cb ac a>++，故D 正确. 故选:ACD 点评：本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题.11．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足()22,22322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x > C ．若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．若关于x 的方程()32f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =-答案：AC根据函数是奇函数，写出其解析式，画出该函数的图像，再结合选项，数形结合解决问题. 解：因为该函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：()()222,(2)2322,(20)0,122,(02)2,(2)23x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图像如下所示：对A ：如图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确； 对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如图直线2:1l y =，与函数图交于()51,1,,12⎛⎫⎪⎝⎭， 故当()f x 的最小值为1时，51,?2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对D ：()32f x =时，若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-，或317m =-，如图直线3l ，故D 错误. 故选：AC. 点评：本题考查由函数的奇偶性求函数解析式，以及判断方程的根的个数，以及函数零点的问题，涉及函数单调性，属综合性基础题；另，本题中的数形结合是解决此类问题的重要手段，值得总结.12．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥; B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥；D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD-的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π. 答案：BD对于A ，取AD 的中点为E ，连接,CE NE ，设CE MD F ⋂=.通过证明平面//CNE 平面1B AM ，得1//NF MB .假设1CN AB ⊥，得到EN CN ⊥，EN NF ⊥，这是不可能的，故A 不正确；对于B ，在CEN ∆中，由余弦定理得2NC 是定值，故NC 是定值，故B 正确；对于C ，若1AM B D ⊥，可证AM ⊥平面1ODB ，得到OD AM ⊥，此时AD MD =，由于AD MD ≠，故1AM B D ⊥不成立，故C 不正确；对于D ，只有当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，取AD 的中点为E ，证明1EA ED EM ===，故E 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，故D 正确.解：对于A ，取AD 的中点为E ，连接,CE NE ，设CE MD F ⋂=，如图1所示则1//,NE AB NE ⊄Q 平面11,B AM B A ⊂平面1B AM ，//NE ∴平面1B AM .Q 四边形AMCE 是平行四边形，//CE AM ∴，同理可证//CE 平面1B AM .又CE NE E ⋂=，且,CE NE ⊂平面CNE ，∴平面//CNE 平面1B AM .1//MB ∴平面CNE ，又1MB ⊂平面1B MD ，平面1B MD ⋂平面CNE NF =， 1//NF MB ∴.如果1CN AB ⊥，则EN CN ⊥，由于11AB MB ⊥，则EN NF ⊥， 由于三线,,NE NF NC 共面且共点，这是不可能的，故A 不正确； 对于B ，如图1，由等角定理可得1NEC MAB ∠=∠，又11,2NE AB AM EC ==， ∴在CEN ∆中，由余弦定理得：2222cos NC NE EC NE EC NEC =+-⋅⋅∠是定值，NC ∴是定值，故B 正确；对于C ，如图2所示AB BM =Q ，即11AB B M =，设O 为AM 中点，连接1B O ，则1AM B O ⊥若1AM B D ⊥，由于111B O B D B =I ，且11,B O B D ⊂平面1ODB ，AM ∴⊥平面1ODB ，OD ⊂平面1ODB ，OD AM ∴⊥，则AD MD =，由于AD MD ≠，故1AM B D ⊥不成立，故C 不正确； 对于D ，根据题意知，只有当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，取AD 的中点为E ，O 为AM 中点， 连接1,,OE B E ME ，如图21AB BM ==Q ，1B O AM ∴⊥，Q 平面1B AM ⊥平面AMD平面1B AM ⋂平面AMD AM =，1B O ⊂平面1B AM1B O ∴⊥平面AMD ，又OE ⊂平面AMD ，1B O OE ∴⊥.又11AB B M ⊥，111AB B M ==，AM ∴=112B O AM ==，11222OE DM AM ===，11EB ∴==， 1EA ED EM ∴===.AD ∴的中点E 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D 正确； 故选：BD. 点评：本题考查立体几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力,考查立体几何中的平行、垂直的判定定理和性质定理，考查余弦定理，属于难题.三、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________.答案：10y -=借助求导公式求出()y f x =',因为切线的斜率为()00f '=,0x =代入()1x ef x x =+求得切点,即可求出切线方程. 解：()()21xxe f x x '=+，∴()00f '=且()01f =，所以函数()1x ef x x =+的图象在()()0,0f 处的切线方程是10y -=.故答案为: 10y -=. 点评：本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点的切线方程的求法,难度容易. 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N .若321320S S S -+=，则21a a =______. 答案：2；根据等比数列公式化简得到322a a =，3212a a a a =得到答案. 解：321320S S S -+=，故()()123121320a a a a a a ++-++=，即322a a =，32122a a a a ==. 故答案为：2. 点评：本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.15．62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）答案：-160 解：由6662166(2)(1)(2)(rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 【考点】二项式定理.16．已知1F ，2F 分别为双曲线221927x y C -=：的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =_______ 答案：6利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 解：不妨设A 在双曲线的右支上, ∵AM 为12F AF ∠的平分线，∴11228 24AF F M AF MF ===， 又∵1226AF AF a -==，解得26AF =，故答案为6. 点评：本题考查内角平分线定理，考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义，属于中档题.四、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围． 答案：(1)23π(2) (1)利用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=化简整理再用角C 的余弦定理即可.也可以用正弦定理先边化角,再利用和差角公式求解.(2)易得ABD ∆的周长等于2a b ++再利用正弦定理将,a b 用角,A B 表示,再利用三角函数的值域方法求解即可. 解：解法一：（1）根据余弦定理得222222a c b a b c ac+-+=整理得222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，()0,C π∈Q 23C π∴=（2）依题意得BCD ∆为等边三角形，所以ABD ∆的周长等于2a b ++由正弦定理2sin sin sin 2a b cA B C====， 所以2sin ,2sin a A b B ==，24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin()3A A π=+-)6A π=+0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，(,)662A πππ∴+∈，1sin()(,1)62A π∴+∈，2a b \+?，所以ABD ∆的周长的取值范围是． 解法二：（1）根据正弦定理得2sin sin 2sin cos A B C B +=sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+Q ,2sin cos sin B C B ∴=-, sin 0B ≠Q ，1cos 2C ∴=-，()0,C π∈Q ， 23C π∴=（2）同解法一 点评：本题主要考查了正余弦定理求解三角形的问题,同时也考查了边角互化求解边长的取值范围问题等.属于中等题型.18．已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，10b =，1443n n n b a b +=++，1434n n n a a b +=++，*n ∈N .（1）证明：数列{}n n a b +为等差数列，数列{}n n a b -为等比数列； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n W ，求n W 及使得9n W >的n 的取值范围.答案：（1）证明见解析（2）21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；5n ≥ （1）两式相加得到()()112n n n n a b a b +++-+=，两式相减得到1112n n n n a b a b ++-=-，得到证明.（2）计算1122n n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解不等式得到答案.解：（1）由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相加得：()()11448n n n n a b a b +++=++所以()()112n n n n a b a b +++-+=，因此数列{}n n a b +是以2为公差的等差数列 由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相减得：()()1142n n n n a b a b ++-=-，所以1112n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，因此数列{}n n a b -是以12为公比的等比数列 （2）21n n a b n +=-，112n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，两式相加得：1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()2111221111222212nn nn n n n W ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=+- ⎪⎝⎭- 因为11022nn a n ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以1n n W W +>又因为419916W =-<，52719232W =->， 所以使得9n W >的n 的取值范围为5n ≥. 点评：本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，2BC EF =，G ，H 分别为AC ，BC 上的点，平面//GHF 平面ABED ，CF BC ⊥，AB BC ⊥.（1）证明：平面BCFE ⊥平面EGH ；（2）若AB CF ⊥，22AB BC CF ===，求二面角B AD C --的大小. 答案：（1）证明见解析（2）3π（1）证明GH BC ⊥，HE BC ⊥得到BC ⊥平面EGH ，得到答案.（2）分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，计算平面ABD 的一个法向量为()0,1,1m =u r，平面ADC 的一个法向量为()1,1,0n =-r，计算夹角得到答案.解：（1）因为平面GHF ∥平面ABED ，平面BCFE ⋂平面ABED BE =， 平面BCFE ⋂平面GHF HF =，所以BE HF ∥.因为BC EF ∥，所以四边形BHFE 为平行四边形，所以BH EF =， 因为2BC EF =，所以2BC BH =，H 为BC 的中点.同理G 为AC 的中点，所以//GH AB ，因为AB BC ⊥，所以GH BC ⊥， 又HC EF ∥且HC EF =，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF HE ∥， 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE GH H =I ，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以平面BCFE ⊥平面EGH（2）HE HB ⊥，HG HB ⊥，AB CF ⊥，CF HE ∥，//GH AB ，所以HE HG ⊥. 分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()2,1,0A ，()0,1,0B ，()1,0,1D ，()0,1,0C -.设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，因为()2,0,0AB =-u u ur ，()1,1,1BD =-u u u r则1111200m AB x m BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取11y =，得()0,1,1m =u r .设平面ADC 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，因为()1,1,1AD =--u u u r，()2,2,0AC =--u u u r则222220220n AD x y z n AC x y ⎧⋅=-=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取21x =，得()1,1,0n =-r . 所以1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅u r ru r r ur r ，则二面角B AD C --的大小为3π点评：本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？ （3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.答案：（1）144（2）12（3）49第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由,解得第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查 因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数 第三问中，结合古典概型概率公式求解得到． 解: (1)由,解得. ……………3分(2)第三批次的人数为,设应在第三批次中抽取m 名，则，解得12m =.∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分 （3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个， ∴4()9P A =. ……………………………………12分 21．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求抛物线的方程;（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求的值.答案：（1）y 2＝8x .（2）λ＝0，或λ＝2.解：试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值. 试题解析：(1)直线AB 的方程是y ＝2（x-），与y 2＝2p x 联立，消去y 得8x 2－10p x ＋2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝ .由抛物线定义得|AB |＝＋p ＝9，故p=4 (2)由(1)得x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝1，x 2＝4，从而A (1，－2)，B (4，4)．设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 点评：求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A 、B 两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C 的坐标，由于点C 在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.22．已知函数()sin ln(1)f x x m x =-+，且()f x 在0x =处切线垂直于y 轴． （1）求m 的值；（2）求函数()f x 在[]0,1上的最小值；（3）若2sin ln 10x x ax x e --+->恒成立，求满足条件的整数a 的最大值． （参考数据sin10.84≈，ln 20.693=） 答案：（1）1m =；（2）0；（3）2.（1）依题意，(0)0f '=，由此即可求得m 的值；（2）求导，研究函数()f x 在[0，1]上的单调性，进而得到最值； （3）先分析2a …，再证明当2a …时满足条件即可得到a 的最大值． 解：（1）因为()f x 在0x =处切线垂直于y 轴，则()00f '=因为()cos 1mf x x x '=-+，则()010f m '=-=，则1m = （2）由题意可得1()cos 1f x x x '=-+，注意到()00f '=，[]0,1x ∈则21()sin (1)f x x x ''=-++则32()cos 0(1)f x x x '''=--<+ 因此()f x ''单调递减，()010f ''=>，()11sin104f ''=-+<因此存在唯一零点()00,1x ∈使得()00f x ''=，则()f x '在()00,x 单调递增， 在()0,1x 单调递减，11(1)cos1cos 0232f π'=->-=，则()0f x '>在()0,1上恒成立 从而可得()f x 在()0,1上单调递增，则()min 00f f == （3）必要条件探路因为2sin ln 10x x ax x e --+->恒成立，令1x =，则sin1e a ≥ 因为sin1ln 232e e >>=，由于a 为整数，则2a ≤， 因此2sin 2sin ln 12ln 1x x x ax x e x x x e --+-≥--+- 下面证明2sin ()2ln 10xg x x x x e=--+->恒成立即可①当()0,1x ∈时，由（1）可知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+故22()2ln 11ln g x x x x x x x x >--++-=--，设2()ln h x x x x =--，(0,1)x ∈则2121(21)(1)()210x x x x h x x x x x--+-'=--==<，则()h x 在()0,1单调递减从而可得()()10h x h >=，由此可得()0g x >在()0,1x ∈恒成立． ②当1x >时，下面先证明一个不等式：122xe x >+，设1()22xh x e x =-- 则()2xh x e '=-，则()h x 在(),ln 2-∞-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增因此min 1(ln 2)22ln 202h h ==-->，那么sin 12sin 2x e x >+ 由此可得2sin 212ln 12ln 2sin ()2xx x x ex x x x g x --+->--+-= 则1()222cos g x x x x '=--+，21()22sin 0g x x x''=+->因此()g x '单调递增，()(1)2cos112cos103g x g π''>=->-=， 则()g x 在()1,+∞上单调递增，因此3()(1)2sin102g x g >=-> 综上所述：a 的最大值整数值为2． 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明及先猜后证思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．。
2020年3月普通高考数学(山东卷)全真模拟卷(3)(解析版)
2020年3月普通高考（山东卷）全真模拟卷（3）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|414}A x x =-≤+≤，{|211}B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 A ．(,3)-∞- B ．(,3]-∞-C ．[3,)-+∞D ．(3,)-+∞【答案】C【解析】{}|414{|53}A x x A x x =-≤+≤==-≤≤，当,211,2B m m m φ=+>->-时，满足条件；当,211,2B m m m φ≠+≤-≤-时，215343-213m m m m +≥-⎧∴-≤≤∴-≤≤⎨-≤⎩； 综上-3m ≥，选C.2．复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3．三个数220.8,,log 0.8a b c ===之间的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为200.81<<，所以01a <<<<，所以b 1<<22log 0.8log 10<=，所以0c <.故c a b <<.故选D4．若点(),P x y 的坐标满足1ln1x y=-，则点(),P x y 的轨迹图象大致是 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 由1ln1x y =-，可化简得11x e y -=，即11x y e-=，当1x =时，1y =，所以排除,C D ；令2x =时，则1y e=±，所以排除A ，故选B ． 5．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得5分，否则得0分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的2倍小于甲解题正确的个数的3倍，则这四人测试总得分数最少为 A ．150 B ．160C ．170D ．180【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为,,,x y z m ，则x y z m <<<且23m x <， 若总分最少，则,,,x y z m 为相邻整数，当,,,x y z m 分别取0,1,2,3，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取1,2,3,4，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取2,3,4,5，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取3,4,5,6，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取4,5,6,7，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取5,6,7,8，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取6,7,8,9，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取7,8,9,10，满足23m x <，∴四人测试总得分数最少为 ()789+105=170++⨯，故选C.6．设函数()sin cos f x x x =-，若对于任意的x ∈R ，都有()()2f x f x θ-=，则sin(2)3πθ-=A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】()sin cos ,4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由()()2,f x f x θ-=得x =θ是函数f (x )的对称轴，得1,.42k k Z πθππ-=+∈所以,.34k k Z θππ=+∈ 31sin 2sin 2cos .32332k πππθππ⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 A ．甲 B ．乙C ．丁D ．戊【答案】C【解析】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a 、b 、c 、d 、e ，则a +b ＝120，b +c ＝220，c +d ＝160，d +e ＝140，a +e ＝200，解得a ＝60，b ＝60，c ＝160，d ＝0，e ＝140， 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，故选C ．8．已知()0,F c 为双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的上焦点，若圆F ：()222x y c a +-=上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a，则Γ的离心率为A B C D 【答案】A【解析】双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为0ax by -=，圆心(0,)F c 到直线0ax by -=b =，圆F 上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a ，则与渐近线平行且与渐近线距离为23a 的直线l 与圆F 相切，圆心到切线l 的距离为211,,333b b a a b a a +===，3e ∴==.故选:A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷及解析
2020年2020届山东省高三高考模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、单项选择题：1.已知集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,若B A ⊆,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ）A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论,分别求出a 的范围,即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A =-,{|1}B x ax ==,B A ⊆, 若B 为空集,则方程1ax =无解,解得0a =； 若B 不为空集,则0a ≠；由1ax =解得1x a=,所以11a =-或12a =,解得1a =-或12a =,综上,由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D2.若1iz i =-+（其中i 是虚数单位）,则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D分析：变形1iz i =-+,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标即可得结论. 详解：由i 1i z =-+, 得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-,1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-,位于第四象限,故选D.3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数,图象关于y 轴对称,排除D ；根据()0,1x ∈时,()0f x <,排除,A C ,从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ；当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C . 本题正确选项：B4.《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32 D. 丙付的税钱最少【答案】B 【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性.【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少,可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020届山东省菏泽一中高三上学期第一次月考试题(解析版)
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B．若向量 AB ， CD 共线，则点 A ， B ， C ， D 必在同一直线上
C．若 a c b c 且 c 0 ，则 a b
D．若点 G 为 ABC 的重心，则 GA GB GC 0
7．一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）
A． b 0,c 0
B． a b c 0 C． b c 0
D． bc 0
【答案】D
【解析】一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点的充要条件为 b 0,c 0,
再利用定义法解决.
【详解】
若一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点，则 b 0 ，且 c 2a
点在
0 ，所以顶
原点的充要条件是 b 0,c 0, 故 A 是充要条件，B、C 既不充分也不必要，D 是必要
条件，非充分条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含
A． 2
B． 2
C．0
【答案】D
【解析】直接利用共线向量的坐标运算求解即可．
【详解】
D． 2 或 2
向量 a =（1，m）， b =（m，2），若 a ∥ b ，
则 m2=2，
解得 m= 2 或 2 ．
故选 D． 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查． 5．下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
22 2
2
【答案】（1， 2 1 ] 2
【解析】利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质即可求解 x∈（0， ）时，f 2
数学-学科网3月第三次在线大联考(山东卷)(全解全析版)
学科网2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =-的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 的正方形，外侧4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.学科网2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学 全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b .故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++， 222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC =1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：。
2020年高考模拟试卷山东省菏泽一中高考数学模拟试卷(3月份) 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i2．已知集合A＝（﹣1，3]，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣2，3]3．在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10B．10C．﹣5D．54．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A．B．C．D．5．已知点M（2，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点的距离是（）A．4B．3C．2D．16．在△ABC中，+＝2，+2＝0，若＝x+y，则（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．x＝2y D．x＝﹣2y7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．8．已知奇函数f（x）是R上增函数，g（x）＝xf（x）则（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B．点C到面ABC1D1的距离为C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径为10．要得到y＝cos2x的图象C1，只要将图象C2怎样变化得到？（）A．将的图象C2沿x轴方向向左平移个单位B．的图象C2沿x轴方向向右平移个单位C．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位D．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位11．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{（x，y）|y ＝x2+1}；M2＝；M3＝{（x，y）|y＝e x}；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M412．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～l859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的是（）A．函数f（x）是偶函数B．∀x1，x2∈∁R Q，f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）恒成立C．任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立D．不存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC 为等腰直角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线x﹣y+a＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a的值为；14．已知直线y＝x+2与曲线y＝ln（x+a）相切，则a的值为．15．l5.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足（N0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）16．已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α异侧，且AB＝2，AC＝，若AB，AC与α所成的角分别为，则线段BC长度的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①；②2a+c＝2b cos C；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，a+c＝4，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n+1﹣2S n＝1，n∈N*．（I）证明：{S n+1}为等比数列，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝，求{b n}的前n项和T n，并判断是否存在正整数n使得T n•2n﹣1＝n+50成立？若存在求出所有n值；若不存在说明理由．19．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC．（I）求证：四棱锥B﹣A1ACC1为阳马；（Ⅱ）若C1C＝BC＝2，当鳖膈C1﹣ABC体积最大时，求锐二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．20．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力．某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌．为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x i，y i）（i＝1，2，…，6），如表所示：单价x（千元）345678销量y（百件）7065625956t已知．（1）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与x i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x i，y i）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E （ξ）．（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为．21．给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”．若椭圆C的离心率，点在C上．（I）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sin x，f'（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点参考答案一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【分析】由已知条件可得z1，z2，然后代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴z1＝1+i，z2＝i．∴＝．故选：D．2．已知集合A＝（﹣1，3]，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣2，1）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣2，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝（﹣1，3]，B＝{x|≤0}＝{x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B＝（﹣1，1）．故选：C．3．在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10B．10C．﹣5D．5【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．解：对于，对于10﹣3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10故选：B．4．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代入们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m＝＝36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．解：从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m＝＝36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p＝＝．故选：B．5．已知点M（2，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点的距离是（）A．4B．3C．2D．1【分析】由题意可知：点的坐标代入抛物线方程，求出p＝4，求得焦点F（2，0），利用抛物线的定义，即可求点M到抛物线C焦点的距离．解：由点M（2，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，可得16＝4p，p＝4，抛物线C：y2＝8x，焦点坐标F（2，0），准线方程为x＝﹣2，点M到抛物线C的准线方程的距离为4，则点M到抛物线C焦点的距离是：4，故选：A．6．在△ABC中，+＝2，+2＝0，若＝x+y，则（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．x＝2y D．x＝﹣2y【分析】根据条件可判断出点D为BC的中点，并且可得出，从而可得出，并得出，进而根据向量的减法的几何意义，和向量的数乘运算即可得出，从而可得出，进而得出正确的选项．解：如图，∵，∴点D为边BC的中点，∵，∴，∴，又，∴＝＝，又，∴，∴x＝﹣2y．故选：D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．【分析】利用双曲线的定义求出m＝2a，结合向量的数量积，求出∠F1PF2，利用余弦定理求解关系式，推出渐近线方程即可．解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，，可得m＝2a，4a•2a cos∠F1PF2＝4a2，所以∠F1PF2＝60°，则4c2＝4a2+16a2﹣2×＝12a2，即a2+b2＝3a2，所以，所以双曲线的渐近线方程为：y＝x．故选：D．8．已知奇函数f（x）是R上增函数，g（x）＝xf（x）则（）A．B．C．D．【分析】先构造函数g（x）＝xf（x），可判断出g（x）为偶函数，x＞0时单调递增，x ＜0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，即可比较大小．解：由奇函数f（x）是R上增函数可得当x＞0时，f（x）＞0，又g（x）＝xf（x），则g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即g（x）为偶函数，且当x＞0时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x＜0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为g（）＝g（log34），g（）＝g（），g（）＝g（），所以为g（）＞g（）＞g（）故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于B．点C到面ABC1D1的距离为C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径为【分析】直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法的应用求出结果．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，对于选项A：直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故选项A正确．对于选项B：点C到面ABC1D1的距离为B1C长度的一半，即h＝，故选项B正确．对于选项C：两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故选项C错误．对于选项D：三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径r＝，故选项D正确．故选：ABD．10．要得到y＝cos2x的图象C1，只要将图象C2怎样变化得到？（）A．将的图象C2沿x轴方向向左平移个单位B．的图象C2沿x轴方向向右平移个单位C．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位D．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换即平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：要得到y＝cos2x的图象C1，只要将图象C2将的图象C2沿x轴方向向左平移个单位即可，故选项A正确．或将的图象C2沿x轴方向向右平移个单位，也可得到，故选项B 正确．或先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位，故选项C正确．故选：ABC．11．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{（x，y）|y ＝x2+1}；M2＝；M3＝{（x，y）|y＝e x}；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M4【分析】根据题意即对于任意点P∀（x1，y1），在M中存在另一个点P′，使得．，结合函数图象进行判断．解：由题意，对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立即对于任意点P∀（x1，y1），在M中存在另一个点P′，使得．y＝x2+1中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P′．所以所以M1不是“互垂点集”集合，的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以在M2中的任意点P∀（x1，y1），在M2中存在另一个点P′，使得．所以M2是“互垂点集”集合，y＝e x中，当P点坐标为（0，1）时，不存在对应的点P′．所以M3不是“互垂点集”集合，y＝sin x+1的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以M4是“互垂点集”集合，故选：BD．12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～l859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的是（）A．函数f（x）是偶函数B．∀x1，x2∈∁R Q，f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）恒成立C．任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立D．不存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC 为等腰直角三角形【分析】根据函数解析式，逐项判断即可．解：对于A，若x∈Q，则﹣x∈Q，满足f（x）＝f（﹣x）；若x∈∁R Q，则﹣x∈∁R Q，满足f（x）＝f（﹣x）；故函数f（x）为偶函数，选项A正确；对于B，取，则f（x1+x2）＝f（0）＝1，f（x1）+f （x2）＝0，1≠0，故选项B错误；对于C，若x∈Q，则x+T∈Q，满足f（x）＝f（x+T）；若x∈∁R Q，则x+T∈∁R Q，满足f （x）＝f（x+T）；故选项C正确；对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A在y＝1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A在y＝1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A在x轴上，斜边在y＝1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A在x轴上，斜边不在y＝1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等腰直角三角形，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线x﹣y+a＝0与圆O：x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a的值为；【分析】根据题意，求出圆O的圆心以及半径，由等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离d＝1，结合点到直线的距离公式，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆O：x2+y2＝2的圆心为（0，0），半径r＝，若直线x﹣y+a＝0与圆O交于A，B两点，且△AOB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离d＝＝1，解可得a＝；故答案为：．14．已知直线y＝x+2与曲线y＝ln（x+a）相切，则a的值为3．【分析】欲求a的大小，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．进而求出切线方程，最后与已知的切线方程比较，从而问题解决．解：依题意得y′＝，因此曲线y＝ln（x+a）在切点处的切线的斜率等于，∴＝1，∴x＝1﹣a．此时，y＝0，即切点坐标为（1﹣a，0）相应的切线方程是y＝1×（x﹣1+a），即直线y＝x+2，∴a﹣1＝2，a＝3故答案为：3．15．l5.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足（N0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）【分析】把T＝5730代入，即可求出结果，再令，两边同时取以2为底的对数，结合换底公式即可求出T的范围．解：∵，∴当T＝5730时，N＝N0，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的，由题意可知：，两边同时取以2为底的对数得：，∴，∴T＜6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．16．已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α异侧，且AB＝2，AC＝，若AB，AC与α所成的角分别为，则线段BC长度的取值范围为[]．【分析】由题意画出图形，分类求出BC的最小值与最大值即可．解：分别过B，C作底面的垂线，垂足分别为B1，C1．由已知可得，BB1＝，，AB1＝1，．如图，当AB，AC所在平面与α垂直，且B，C在底面上的射影B1，C1在A点同侧时BC长度最小，当AB，AC所在平面与α垂直，且B，C在底面上的射影B1，C1在A点两侧时BC长度最大．过C作CD⊥BB1的延长线，垂足为D，则BD＝，CD＝，则BC的最小值为，最大值为．∴线段BC长度的取值范围为[，]，故答案为：[]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①；②2a+c＝2b cos C；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足①，，a+c＝4，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式，求出B，再利用余弦定理求出ac，从而求出三角形的面积．解：在横线上填写“”，则由正弦定理，得．由sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，得．由0＜C＜π，得sin C≠0．所以．又cos B≠0（若cos B＝0，则sin B＝0，sin2B+cos2B＝0这与sin2B+cos2B＝1矛盾），所以．又0＜B＜π，得．由余弦定理及，得，即12＝（a+c）2﹣ac．将a+c＝4代入，解得ac＝4．所以＝＝．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n+1﹣2S n＝1，n∈N*．（I）证明：{S n+1}为等比数列，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝，求{b n}的前n项和T n，并判断是否存在正整数n使得T n•2n﹣1＝n+50成立？若存在求出所有n值；若不存在说明理由．【分析】（Ⅰ）将等式移项，两边加1，结合等比数列的定义和数列的递推式，可得所求；（Ⅱ）求得，再由数列的错位相减法求和，可得T n，解方程，结合函数的单调性，即可判断存在性．解：（Ⅰ）证明：∵S n+1﹣2S n＝1，∴S n+1+1＝2（S n+1）n∈N*∴{S n+1}为等比数列，∵S1+1＝2，公比为2，∴，，∴，当n≥2时，，a1＝1也满足此式，∴；（Ⅱ），，，两式相减得：，，代入，得2n﹣n﹣26＝0，令f（x）＝2x﹣x﹣26（x≥1），f'（x）＝2x ln2﹣1＞0在x∈[1，+∞）成立，∴f（x）＝2x﹣x﹣26，x∈（1，+∞）为增函数；由f（5）•f（4）＜0，所以不存在正整数n使得成立．19．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC．（I）求证：四棱锥B﹣A1ACC1为阳马；（Ⅱ）若C1C＝BC＝2，当鳖膈C1﹣ABC体积最大时，求锐二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明A1A⊥AB，结合AB⊥AC，推出AB⊥面ACC1A1，然后证明四棱锥B﹣A1ACC1为阳马．（Ⅱ）证明A1A⊥底面ABC，求出当且仅当时，取最大值，建立如图所示空间直角坐标系，求出面A1BC的一个法向量，平面A1BC1法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1A⊥底面ABC，AB⊂面ABC，∴A1A⊥AB，又AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面ACC1A1，又四边形ACC1A1为矩形，∴四棱锥B﹣A1ACC1为阳马．（Ⅱ）解：∵AB⊥AC，BC＝2，∴AB2+AC2＝4，又∵A1A⊥底面ABC，∴＝，当且仅当时，取最大值，∵AB⊥AC，A1A⊥底面ABC∴以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，A1（0，0，2），，，设面A1BC的一个法向量，由得，同理得，∴二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值为．20．李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力．某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌．为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x i，y i）（i＝1，2，…，6），如表所示：单价x（千元）345678销量y（百件）7065625956t 已知．（1）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与x i对应的产品销量的估计值．当销售数据（x i，y i）对应的残差的绝对值时，则将销售数据（x i，y i）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E （ξ）．（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为．【分析】（1）由题意计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；（2）利用所求的线性回归方程求得“好数据”的个数，知ξ的可能取值；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．解：（1）由＝y i＝60，得×（70+65+62+59+56+t）＝60，解得t＝48，所以x i y i＝3×70+4×65+5×62+6×59+7×56+8×48＝1910，n＝6×5.5×60＝1980，＝32+42+52+62+72+82＝199，n＝6×5.52＝181.5，代入可得＝＝＝＝﹣4，＝﹣＝60﹣（﹣4）×5.5＝82，∴所求的线性回归方程为＝﹣4x+82；（2）利用（1）中所求的线性回归方程＝﹣4x+82可得，当x1＝3时，＝70；当x2＝4时，＝66；当x3＝5时，＝62；当x4＝6时，＝58；当x5＝7时，＝54；当x6＝8时，＝50；与销售数据对比可知满足|﹣y i|≤1的共有4个“好数据”：（3，70）、（4，65）、（5，62）、（6，59）；由题意知ξ的可能取值为1，2，3；计算P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝2•＝2×＝，P（ξ＝3）＝＝；则ξ的分布列为ξ123P数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝2．21．给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C 的“卫星圆”．若椭圆C的离心率，点在C上．（I）求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1⊥l2，与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长|MN|为定值．【分析】（I）根据椭圆的离心率公式，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（Ⅱ）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理即可求得t1•t2＝﹣1，满足条件的两直线l1，l2垂直，即可求得|MN|为定值．解：（Ⅰ）由条件可得：解得所以椭圆的方程为，…卫星圆的方程为x2+y2＝12…（II）证明：①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与“卫星圆”交于点和，此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝2或y＝﹣2，即l2为y＝2或y＝﹣2，所以l1⊥l2，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，所以…②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，则，联立方程组，消去y，整理得，…所以…所以…所以t1•t2＝﹣1，满足条件的两直线l1，l2垂直．所以线段MN应为“卫星圆”的直径，所以综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其“卫星圆”于点MN，且l1，l2垂直，所以线段MN为“卫星圆”的直径，所以为定值…22．已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sin x，f'（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点【分析】（Ⅰ）设，然后判断函数g'（x）的符号，再利用零点存在定理判断g（x）在（0，π）上是否存在唯一零点即可；（Ⅱ）分x∈（0，π），x∈[π，2π）和x∈[2π，+∞）三种情况分别考虑f（x）的零点存在情况，进一步得到结论．解：（Ⅰ）设，当x∈（0，π）时，，∴g（x）在（0，π）上单调递减．又∵，∴g（x）在上有唯一的零点．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，α）上单调递增；当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（α，π）上单调递减；∴f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点，∴．∵，∴f（x）在（0，α）上恰有一个零点．∵f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，∴f（x）在（α，π）上也恰有一个零点；②当x∈[π，2π）时，sin x≤0，f（x）≤lnx﹣x．设h（x）＝lnx﹣x，，∴h（x）在[π，2π）上单调递减，∴h（x）≤h（π）＜0，∴当x∈[π，2π）时，f（x）≤h（x）≤h（π）＜0恒成立，∴f（x）在[π，2π）上没有零点．③当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤lnx﹣x+2，设φ（x）＝lnx﹣x+2，，∴φ（x）在[2π，+∞）上单调递减，∴φ（x）≤φ（2π）＜0，∴当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤φ（x）≤φ（2π）＜0恒成立，∴f（x）在[2π，+∞）上没有零点．综上，f（x）有且仅有两个零点．。
数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)
2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学 全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b .故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++， 222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC =1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。