用洛必达法则解决导数问题
洛必达法则和导数应用
1 cos x cos 3 x 3 x cos 2 x sin x lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x[sin x 3 x cos x sin x ] lim cos 1 x 0 6x2 1 cos x sin 2 x 3 x cos 2 x sin x lim[ ] 2 2 cos 1 x 0 6x 6x
x x
x
0 型 0
e x e x xe x 1 lim 12 x x 0 12
1 f ( x )在点x 0处可导, 且f (0) . 12
例4
x
lim ln(1 e
2x
2 ) ln(1 ) x
lim
ln(1 e
2x
)
注 本题可以用拉格朗日中值定理来证明
二. 函数的极值,最值
例11 若a1 0, an1 f (an )(n 1,2,3,), 其中函数
f ( x )可导，且 ( x ) 0，f ( x ) 0, f (0) 1，则 f
( A)• {an }单调递增； (B)• {an }单调递减； (C )• {a2n }单调递增 , {a2n1 }单调递减 ; ( D)• {a2n }单调递减 , {a2n1 }单调递增 .
x2 x2
x2 x2
x2
x2
lim (e t e t ) 2
t 0
解法二 lim e
e x 0 sec x cos x
x2 2 x2
x2
x2
e (e 1) lim x 0 sec x (1 cos 2 x )
e 2 x2 lim lim x 0 sec x x 0 sin 2 x
用洛必达法则巧解导数问题
应用洛必达法则巧解导数问题. 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。
为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：（1）lim ()lim ()0x a x af xg x →→==； （2）在()U a o内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）()lim ()x a f x A g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()lim lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→'=='.（可连环使用） 注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。
已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围. （Ⅰ）略解得1a =，1b =.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++= (i)当0k ≤时，由222(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得 21()01h x x ⋅>-，从而当0x >且1x ≠时，ln ()()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x k f x x x>+-； （ii ）当01k <<时，由于当1(1,)1x k∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当1(1,)1x k ∈-时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅<-，与题设矛盾. （iii ）当1k ≥时， '()0h x >，而(1)0h =，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得21()01h x x⋅<-，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为(0]-∞，. 常规解法注：分三种情况讨论：①0k ≤；②01k <<；③1k ≥不易想到.尤其是②01k <<时，许多考生都停留在此层面，举反例1(1,)1x k∈-更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.运用洛必达和导数解2011年新课标理当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，即ln 1ln 11x x k x x x x+>++-， 也即2ln 1ln 2ln 1111x x x x x x k x x x x <+-=++--，记22ln ()11x x g x x =+-，0x >，且1x ≠ 则2222222222(1)ln 2(1)2(1)1'()=(ln )(1)(1)1x x x x x g x x x x x ++-+-=+--+， 记221()ln 1x h x x x -=++，则22222214(1)'()+=0(1+)(1+)x x h x x x x x --=>， 从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，因此当(0,1)x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >；当(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k 分离出来.然后对分离出来的函数22ln ()11x x g x x=+-求导，研究其单调性、极值. 此时遇到了“当=1x 时，函数()g x 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调（2）是00型。
洛必达法则解高中导数问题
洛必达法则解高中导数问题在高中教学内容中，导数占据着重要的地位，并且通常在数学考试中以压轴题目出现，另外还是学生以后学习微积分的基础。
合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野，可以说导数是解决数学问题的有力工具。
而在运用导数解决问题的时候通过引入洛必达法则可以有效提高解题效率。
本文结合相关教学经验，分析洛必达法则在高中数学导数教学中的应用。
在高中数学教学内容中，有关导数有着较为详细的介绍，并详细论述导数的概念与几何意义，通过函数的变化率刻画函数变化的趋势。
导数教学内容是对函数性质与图像的总结与延伸，是研究函数、几何问题、证明不等式的重要工具，并且，通过导数可以实现生活中最优化问题的解答。
而应用洛必达法则可以对部分导数问题进行进一步的简化。
1应用洛必达法则的注意事项作为高中数学导数学习中的一个重要板块，洛必达法则能够有效减轻学生解决极限问题的压力，帮助他们以较为简便的方法对相关导数问题求解，大大降低了求解导数的难度，这在一定程度上有利于导数应用的广泛性，帮助学生应用导数解答大量的数学问题。
但是应用洛必达也有一些注意事项，教师在开展教学活动的过程中可以对此进行强调，引导学生在正确的情境之中合理应用洛必达法则，提高自己的解题效率。
如果教师不对应用洛必达法则的注意事项进行强调，学生难免会出现滥用洛必达法则而不自知的情况，这对于学生的解题是不利的。
教师可以从以下几个方面对洛必达法则进行强调：1、洛必达法则只能应用于0/0型或者是无穷大比无穷大型的。
在0/0型中，函数可以从正向趋近于0，也可以从负向趋近于0;在无穷大比无穷大型中，函数可以趋近于正无穷大，也可以趋近于负无穷大。
而在其他条件下，洛必达法则是不适用的。
如果学生在应用洛必达法则前没有对函数的情况进行判断，当然，他们能够应用洛必达的解题思路得出一个答案，但是这个答案是错误的，而这个错误常常不能够被学生所发现。
2、若lim（x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）的导数/g（x）的导数不存在，不能够说明若lim （x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）/g（x）不存在，只能说明洛必达法则失效。
导数洛必达法则7种例题
导数洛必达法则7种例题1、一次函数的导数洛必达法则：设y=f(x)为某函数，当x的变化量Δx趋近于零时，函数y的变化量Δy满足下式：$$\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$$2、几何意义：对于一元函数f(x)，函数图像的斜率正好就是f'(x)，而且x位置上的斜率正好等于f(x)的导数。
3、函数的连续性的应用：若二元函数F(x，y)满足一定的条件，关于x 的变量中存在某函数f(x)，且f（x）的可导性有保证，则f（x）具有极限函数f'(x)，由此可得：$$F(x, y) ~ \underset {y \to f(x)} \toL f'(x)$$4、极限符号的应用：在求出某函数f（x）.f'（x）的极限值时，由于x变化量趋近于零，因此可将其表示为极限符号：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$$5、二元函数的导数：F（x，y）为定义在⊿内的连续的二元函数，它满足有限差分式，对于常数C，则有：$$\frac{\partial F}{\partialx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x,y)-F(x-\Delta x,y)}{2\Deltax}=C$$6、定义极限的应用：假设F（x，y）为可导函数，其极限能够有意义：$$\frac{\partial F}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x，y)-F(x-\Delta x, y)}{2\Delta x}=F'(x,y)$$7、其他函数求导数：若函数f（x）为多元函数，只要逐步求导就能求出任意次偏导数，对f（x）如此：$$\frac {\partial^2 f}{\partialx^2}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)+f\left(x-\Deltax\right)-2f\left(x\right)}{\Delta x^2}$$。
导数的应用洛必达法则(11级)
x 0
sin x
(0 )
0
解 x sin x 是幂指函数， x 0 时，它是未定式。 利用恒等变形将其变为复合函数：x sin x e sin x ln x sin x ln x 是（0 ） 类型的未定式。 x 0 时，
ln x lim （ ） x 0 csc x 1x 洛 sin x sin x lim 0. lim x 0 csc x cot x x 0 x cos x
sin x lim (1 ) 1 x x
极限不存在
二、其他未定式
若limu(x)=1, limv(x)=, 则称极限式 limu(x)v(x) 为 1 型未定式, 此外还有 0 型和 00 型等未定式.
若limu(x)= , limv(x)=, 则称极限式 limu(x)-v(x) 为 - 型未定式. 若limu(x)=0, limv(x)=, 则称极限式 limu(x)v(x) 为0· 型未定式.
0 ln x ( ) lim x 1 1 0 1 ln x x
洛
1 lim . x 1 1 1 2 2
1 x
x
x
1 1 例2. 求 lim( ). x 0 sin x x
()
x sin x 洛 1 cos x x2 原式 lim 解： lim lim 0. x 0 x sin x x 0 x 0 4 x 2x
(tan x x ) tan x x tan x x lim lim 2 lim 3 3 x 0 x 0 x sin x x 0 ( x ) x
2 sec2 x 1 1 tan x 1 lim lim 2 . 2 x 0 3x 3 x 0 x 3
洛必达法则的导数定义
洛必达法则的导数定义洛必达法则是微积分中的一个重要定理，它可以用来求解某些形式的极限问题。
尽管在计算极限时这个法则经常被使用，但是洛必达法则的导数定义更为基本，因为微积分是导数学的学科，所以对于理解导数的定义非常重要。
洛必达法则的导数定义可以用下面的公式表示：f'(x) = lim[f(x + h) - f(x)] / h (h -> 0)在这个公式中，f(x)表示一个函数，f'(x)表示它在x点的导数，h表示x点的下一个点，也就是x + h，lim表示当h无限接近于零时的极限。
这个定义可以看做是通过增量来计算函数在某点处的斜率，因为当h趋近于0时，可以近似认为这个增量就是函数的导数。
在使用洛必达法则时，可以将f(x)表示为两个函数的商，比如f(x) = g(x) / h(x)，然后将其带入导数定义中，这样就可以求出函数在某点的导数。
需要注意的是，这个定义只适用于小的、有限的增量，因为h不能等于0，同时增量的大小也应当足够小，否则就会出现偏离函数的情况。
洛必达法则的导数定义让我们能够更加深入地理解导数和微积分的概念，因为它表明了导数是由极限定义而来的，这也是微积分中极限的一个重要应用。
在计算导数时，我们不仅仅是求一个函数在某点处的斜率，而是通过极限来计算它在该点处的斜率，这可以让我们更加精确地计算导数，并且也能够应用到更加复杂的函数之中。
当然，洛必达法则的导数定义并不是微积分中唯一的定义方式，还有由斯特朗定理和泰勒公式等其他的定义方式。
但是洛必达法则的定义方式有着其独特的意义，因为它可以通过极限的方式来计算导数，这就使得微积分成为了一个运用数学符号和语言来计算和表达现实世界问题的科学。
在实际应用中，洛必达法则可以用来求解许多重要的最值问题，比如最大值、最小值和极值等。
通过对于函数在某点处的导数的求解，我们可以找到这个函数的最大值或最小值，这在经济学、物理学和工程学等领域中都是非常重要的应用。
洛必达法则和导数应用
验证极限存在性
使用洛必达法则后，需要验证得到的极限是否 与原函数的极限相等，以避免错误结论。
注意计算的复杂性和精度
洛必达法则在计算过程中可能会涉及复杂的运算和近似，需要注意计算的精度 和准确性。
THANKS FOR WATCHING
函数在某点的极值是指该点附近函数值的最小或最大值。
导数与极值的关系
函数的极值点一定是其导数为零的点，但导数为零的点不一定是 极值点。
判断极值的方法
通过求导数并令其为零，然后判断该点附近函数值的符号变化， 确定是否为极值点。
导数在曲线的凹凸性判断中的应用
凹凸性的定义
曲线在某段区间内是凹的或凸的，取决于其切线的斜率变 化。
角速度计算
角速度是描述刚体转动快慢的物理量， 可以通过导数计算刚体在某时刻的角速 度。例如，匀角速度转动的角速度等于 角度对时间的导数。
VS
角加速度计算
角加速度是描述刚体转动角速度变化快慢 的物理量，可以通过导数计算刚体在某时 刻的角加速度。例如，匀角加速转动的角 加速度等于角速度对时间的导数。
导数在电流和电压计算中的应用
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率。
详细描述
在二维坐标系中，函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。导数可以用来 分析函数图像的形状和变化趋势，如单调性、极值点和拐点等。
导数与函数单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。因此，通过 求导并分析导数的符号，可以确定函数的单调性。
洛必达法则巧解高考数学压轴题_函数与导数中的参数问题求解_唐伟
x2 + 4x + 2 则有k ≥ g(x) ， max 2ex (x + 1)
2 4x + 2 ， (4) 若 x ∈ [ 0， + ∞） ， 有 k≥ x + 令 g(x) = 2ex (x + 1)
g(x) max=g(0) = 1， 所以k ≥ 1
又 g′(x) =
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-2ex x(x + 2)2 ， 当 x ∈ [ 0， + ∞） 时， g′(x)>0, [2ex (x + 1)]2
又 g′(x) = 单调递增.
三、 解决思路
-2ex x(x + 2)2 ， 当x ∈[-1，0]时， g′(x)>0,g(x) x 2 [2e (x + 1)]
例1 （2013 年全国卷 · 理） 已知函数 f(x)＝x2＋ax＋ b， g(x) ＝ex(cx ＋ d)， 若曲线 y＝f(x) 和曲线 y＝g(x) 都过 点 P(0， 2)， 且在点 P 处有相同的切线 y＝4x+2
· 54 ·
考试与复习
g(x)单调递增.
程为 x+2y-3=0.
f (x) = a ln x + b ， 曲线 y = f(x)在点 （1,f （1） ） 处的切线方 x+1 x
例 2 （2011 年 全 国 卷 · 理 ） 已 知 函 数
综上所述， k的取值范围为[1,e2].
g(x) max=g(0) = 1， 所以k ≥ 1
h( x) = xex - 2ex + x + 2 ( x > 0 )
，
则
则
(x = 2∙
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如果当（或）时，两个函数与
都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，
也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。
洛必达（L’Hospital）法则： 设（1）当时，函数及都趋于零；
（2）在点的某去心邻域内，及都存在且； （3）存在（或为无穷大）； 那么
1 用洛必达法则求下列极限
(1)x x x )
1ln(lim
0+→ (2)x
e e x
x x sin lim
0-→-(3)a
x a x a x --→sin sin lim
(4)x
x
x 5tan 3sin lim
π
→
(5)2
2
)2(sin ln lim
x x x -→
ππ
(6)n
n m
m a
x a x a
x --→lim
(7)x
x x 2tan ln 7tan ln lim
0+→(8)x
x x 3tan tan lim
2
π
→
(9)x
arc x x cot )
11ln(lim
++∞→
(10)x
x x x cos sec )
1ln(lim
20-+→
(11)x
x x 2cot lim 0
→ (12)
2
1
20
lim x
x e x → (13)
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---→1112
lim 21x x x
(14)x
x x
a
)1(lim +∞→(15)x
x x sin 0
lim +→
(16)x
x x
tan 0)1(lim +→
例题：设函数2
()1x f x e x ax =---.
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. 应用洛必达法则和导数
（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即2
1x e x ax --≥.
①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，2
1x
e x ax --≥等价于2
1x e x
a x --≤.
记21()x e x g x x --= (0+)x ∈∞，，则3
(2)2
'()x x e x g x x
-++=. 记()(2)2x
h x x e x =-++ (0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，
''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所
以()(2)2x
h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，
3()
'()0h x g x x
=>，从而2
1()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增. 由洛必达法则有，
20000111
lim ()lim lim lim 222
x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---==== 即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12
a ≤. 综上所述，当1
2
a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立.
练习
已知函数2
()(1)x
f x x e ax =--.
（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.。