导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
导数结合洛必达法则巧解恒成立问题
（3） lim f (x) A （ A 可为实数，也可以是 ）. xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A .（可连环使用） xa g(x) xa g(x)
注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，
而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。
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第三部分：洛必达法则及其用法
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1.洛必达法则
洛必达法则：设函数 f (x) 、 g(x) 满足：
（1） lim f (x) lim g(x) 0 ；
xa
xa
（2）在U (a) 内，f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ；
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2.分类讨论和假设反证
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问 题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的 题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法， 一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中 范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中 阶段解决它只有 华 山一条路 ——分类 讨论和假 设反证的方法.
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9.2011新课标理
已 知 函 数 f (x) a ln x b ， 曲 线 y f (x) 在 点 x 1 x
(1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 .
（Ⅰ）求 a 、 b 的值； （ Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化， 坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学 作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知 识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜 能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接 轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
12洛必达法则巧解高考压轴题-解析版-2023届高考数学二轮复习
第12讲 洛必达法则巧解 高考压轴题知识与方法数压轴题第2问中，如果是不等式恒成立来求参数的取值范围问题，我们可以用洛必达法则来处理．先给大家介绍一下什么是洛必达法则： 法则1：若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）lim ()0x af x →=及lim ()0x ag x →=；（2）在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()()()lim lim x a x a f x f x l g x g x →→'=='．法则2：若函数()f x 和()g x 满足下列条件： （1）lim ()x af x →=∞及lim ()x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域内，()f x 与()g x 可导且()0g x '≠； （3）()()limx af x lg x →'='，那么()()()()lim lim x a x a f x f x l g x g x →→'=='．了解了什么是洛必达法则，那么，什么情况下可以使用它去解 决问题呢？ 首先，先逐条诠释一下洛必达法则需要满足的条件．对于（1），这样给大家解 释，我们用洛必达法则处理的式子形式为00或∞∞的形式，也是唯一判定标准．对于（2），我们在高中阶段几乎不研究不可导函数，所以大家不用担心． 对于（3），高中阶段，当出现00或∞∞的时候，对分子分母分别求导，若值存在，则值不变，洛必达法则可以在一个式子中多次使用，直到可以求出定值为止．典型例题【例1】 设函数2()1xf x e x ax =---． （1）若a =0，求()f x 的单调区间；（2）若当x ≥0时，()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】 (1)0a =时,()e 1,()e 1x x f x x f x =--'=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加.(2)【解法1】 ()e 12x f x ax '=--,由(1)知e 1x x +,当且仅当0x =时等号成立.故()f x x '-2(12)ax a x =-,从而当120a -,即12a 时,()0(0)f x x ',而(0)0f =,所以当0x 时,()0f x .由e 1(0)xx x >+≠可得e 1(0)x x x ->-≠.因此当12a >时,(()e 12e x x f x a -'<-+()()1)e e 1e 2x x x a --=--,故当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x '<,而(0)0f =,所以当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <.综合得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解法2】 当0x =时,()0f x =,对任意实数a ,均在()0f x ；当0x >时,()0f x 等价于2e 1x x a x--, 令2e 1()(0)x x g x x x --=>,则3e 2e 2()x x x x g x x -++'=,令()e 2e 2(0)x x h x x x x =-++>,则()e e 1,()e 0x x x h x x h x x '=-+''=>,知()h x '在(0,)+∞上为增函数,()(0)0h x h '>'=;知()h x 在(0,)+∞上为增函数,()(0)0;()0,()h x h g x g x >=∴'>在(0,)+∞上为增函数.由洛必达法则知,2000e 1e 1e 1lim lim lim 222x x x x x x x x x +++→→→---===,故12a , 综上,知a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【例2】 已知函数ln ()=1a x f x x xb++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. (1)求,a b 的值；(2)当0x >,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围.【解析】 (1)221ln ()(1)x x b x f x x x α+⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+. 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过.点(1,1),故(1)1,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩故1,122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解 得a 1,1b ==.(2)【解法1】 由(1)知ln 1()1x f x x x =++,所以2ln 1()(2ln 11x k f x x x x x ⎛⎫-+=+ ⎪--⎝⎭()2(1)1k x x⎫--⎪⎪⎭，考虑函数()2(1)1()2ln (0)k x h x x x x--=+>,则()22(1)12()k xxh x x -++'=.①设0k ,由()2221(1)()k x x h x x +--'=知,当1x ≠时,()0,()h x h x '<递减.而(1)0h =,故当(0,1)x ∈时,()0h x >,可得21()01h x x >-； 当(1,)x ∈+∞时,()0h x <,可得21()01h x x>-, 从而当0x >,且1x ≠时,ln ()01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭,即ln ()1x k f x x x >+-.②设01k <<.由于()22(1)12(1)2k x k k x x -++=-+1k +-的图象开口向下,且244(1)0k ∆=-->,对称轴111x k =>-.当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()2(1)120k x x -++>,故()0h x '>,而(1)0h =,所以当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()0h x >， 可得21()01h x x <-,与题设矛盾.③设1k .此时()2212,(1)120()0x x k x x h x +-++>⇒'>,而(1)0h =,故当(1,)x ∈+∞时,()0h x >,可得21()01h x x <-,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(,0]-∞.【解法2】由题设可得,当0,1x x >≠时,22ln 11x xk x <+-恒成立.令22ln ()1(0,1)1x xg x x x x =+>≠-,则()()22221ln 1()21x x x g x x +-+'=⋅-, 再令()22()1ln 1(0,1)h x x x x x x =+-+>≠,则1()2ln ,()2ln 1h x x x x h x x x '=+-''=+-21x,易知21()2ln 1h x x x ''=+-在(0,)+∞上为增函数,且(1)0h ''=;故当(0,1)x ∈时,()h x ''<0,当(1,)x ∈+∞时,()0h x ''>;∴()h x '在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数;故()(1)0,()h x h h x '>'=∴在(0,)+∞上为增函数.∵(1)0,h =∴当(0,1)x ∈时,()0h x <,当(1,)x ∈+∞时,()0,h x >∴当(0x ∈,1)时,()0g x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0,()g x g x '>∴在(0,1)上为减函数,在(1,)+∞上为增函数. ∵由洛必达法则法2111ln 1ln 1lim ()2lim 12lim 1210,122x x x x x x g x k x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+=∴ ⎪--⎝⎭0,即k 的取值范围为(,0]-∞.【例3】设函数sin ()=2cos xf x x+.(1)求()f x 的单调区间;(2)如果对任何0x ,都有()f x ax ,求a 的取值范围. 【解析】(1)22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++. 当2222()33k x k k ππππ-<<+∈Z 时,1cos 2x >-,即()0f x '>;当2422()33k x k k ππππ+<<+∈Z 时,1cos 2x <-,即()0f x '<.因此()f x 在每一个区间222,2()33k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 内是增函数, ()f x 在每一个区间(2k π+24,2()33k k πππ⎫+∈⎪⎭Z 内是减函数. (2)应用洛必达法则和导数sin ()2cos xf x ax x=+,若0x =,则a ∈R ;若0x >,则sin 2cos xax x+等价于sin (2cos )x ax x +.即sin ()(2cos )x g x x x =+, 则222cos 2sin sin cos ()(2cos )x x x x x xg x x x --+'=+. 记()2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+,2()2cos 2sin 2cos cos 212sin cos 212sin 2sin 2sin h x x x x x x x x x x x x x '=---+=--+=-=(sin )x x -.因此,当(0,)x π∈时,()0,()h x h x '<在(0,)π上单调递减,且(0)0h =,故()0g x '<,所以()g x 在(0,)π上单调递减,而000sin cos 1lim ()limlim (2cos )2cos sin 3x x x x x g x x x x x x →→→===++-. 另一方面,当[,)x π∈+∞时,sin 111()(2cos )3x g x x x x π=<+,因此13a .【例4】 设函数()(1)ln(1)f x x x =++,若对所有的0x 都有()f x ax 成立,求实数a 的取值范围. 【解析】【解法1】 令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,对函数()g x 求导数:()ln(1)1g x x a '=++-,令()0g x '=,解 得1e 1u x -=-.(1)当1a 时,对所有0,()0x g x >'>,所以()g x 在[0,)+∞上是增函数.又(0)0g =,所以对0x ,有()(0)g x g ,即当1a 时,对于所有0x ,都有()f x ax . (2)当1a >时,对于10e 1,()0u x g x -<<-'<,所以()g x 在()10,e 1α--是减函数.又(0)0g =.所以对10e 1a x -<<-,有()(0)g x g <,即()f x ax <.所以当1a >时,不是对所有的0x ,都有()f x ax 成立. 综上a 的取值范围是(,1]-∞. 【解法2】 令()(1)ln(1)g x x x ax =++-,于是不等式()f x ax 成立即为()(0)g x g 成立.对()g x 求导数得()ln(1)1g x x a '=++-,令()0g x '=,解得1e 1a x -=-,当1e 1a x ->-时,()0,()g x g x '>为增函数,当11e 1u x --<<-时,()0,()g x g x '<为减函数.要对所有0x 都有()(0)g x g 充要条件为1e 10a --.由此得1a ,即a 的取值范围是(,1]-∞.。
教师与学霸专用：高中数学洛必达法则与泰勒公式在解高考题中的应用
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题第一部分：历届导数高考压轴题(全国2理)设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．（全国1理）已知函数()11ax x f x e x-+=-.（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.（全国1理）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（全国2理）设函数sin ()2cos x f x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．（辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++.⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.（新课标理）设函数)(x f =21x e x ax ---.（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围.（新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.（全国大纲理）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.（新课标理）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围.。
(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f xx a0及 l im g x 0 ；x a⑵在点 a 的去 心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x) K ;(3) f x liml ,那么x ag xf x f xlim -=lim l 。
x ag xx ag xf x f x lim =lim l 。
x ag x x a g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的X — a , x —x 换成 X — +x, X — -X, x a , x a 洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理°，—, 0, 1 ,,Q °,型。
3. 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 , — , 0 , 1 , ° , 0° , 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时 称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使 用，直到求出极限为止。
f(x) 和g(x)在，A 与 A,上可导，且g'(x)工0 ;⑶limx l ,那么xgxf x f xlim =lim l 。
x g x x g x法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim f x及 lim g x(2)在点x ax aa 的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g'(x) K ;f (3) limxl ，那么x ag x0 及［im g x 0 ; (2) Af 0，和g(x)满足下列条件：⑴lim f xx法则2若函数f(x)二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x) e x 1 x ax 2。
( 1)若a 0,求f(x)的单调区间；(2)若当x 0时f(x) 0，求a 的取值范围 0，对任意实数a,均在f(x) 0 ；当x 0时，f(x) 0等价于2 . ( 2011年全国新课标理)已知函数，曲线y f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x 2y3 0。
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.docx
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则 1若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ； (2)在点 a 的x a x af xl ，那么f x f x去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x) ≠0；(3) lim lim= lim l 。
x a g x x a g x x a g x法则 2若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ； (2) A f 0 ，x xf(x) 和 g(x) 在, A 与 A,上可导，且 g'(x)≠0； (3)lim f x，那么lx g xlim f x= lim f x l 。
g x g xx x法则 3若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件： (1) lim f x及 lim g x；在点a的x a x a(2)f xl ，那么f x f xl 。
去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x) ≠0；(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的 x→a， x→∞换成 x→ +∞，x→ -∞， x a ，x a洛必达法则也成立。
洛必达法则可处理0 ，， 0，，0 ，0 ，型。
2.103.在着手求极限以前，首先要检查是否满足0 ，， 0，，0 ，0，型定式，010否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理1.(2010 年全国新课标理 )设函数f (x)e x 1 x ax 2。
（1）若a0 ，求f ( x)的单调区间；（2）若当 x 0 时f ( x)0，求 a 的取值范围xxx 1xx 2 xx 2aex 1令 g xe(x>0),e22则g ( x)e 3，令xxxxxxxxh xx e 2ex 2 x 0，则 h x xe e 1， h x x e0 ，知 h x 在 0, 上为 增函 数， h xh 00 ； 知 h x 在 0,h xh 0 0 ；g x 0 ， g(x) 在 0,上 为 增 函 数 。
用洛必达法则巧解高考数学压轴题-李文星
用洛必达法则巧解高考教学压轴题甘肃省永昌县第一髙级中学(737200)李文星•现在许多省市的高考试卷的压轴题都是导数的应用问题,其中求参数的取值范围问题就是一类重点考査的题型.这类题型学生容易想到用分离参数的方法解决，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂,学生掌握起来非常困难.原因是出现了3”型的式子，而这就是大学数学中的待定型问题.解决这类问题的有效方法就是洛必达法则，现给出供读者参考.一、洛必达法則简介法则:若函数/■(，)和g(x)满足下列条件：(1 )lim/{x) =0 及limg(x) =0;x—*a r—HI(2)在点G的去心邻域内JG)与gG)可导且，G) 部；⑶若或今。
'则回捋=崂齧顼.二、洛比达法则应用例1设函数/<x)=l-e*.(1)证明：当*〉-1 时土；(2)设当时/(%) W亠r，求a的取值范围.说明此题(2)的标准解答技巧性很强，略显突兀, 学生普遍反映能看懂但想不到.能否有更好更自然的解答思路呢？用洛必达法则来处理可达到事半功倍的效果.解(1)略.(2)由题设*N0,此时/(x) ^0.①当亦0时，若■>■，则二^7<0/(，)〈詬%a ax ± I ax + L 不成立；②当Q二。
时/(%) W—Qi 在4G ［0, +ax + 18 )上成立；% e* 1③当a > 0 时J(%) W - <=>a W - -- =a W' ox +1 e 1 xI e* I x f设"=片-+，")=弋艺措“ 设g(x) = - e,x2 + e* -2e* + 1,则g(0) =O,g'(.x)= e'( -x2-2x+ 2e* -2).令h(x) - -x2 -2x +2e，-2.当％>0 时,"(x) =2(^-x-1) ,h"(x)=2(e, -1) >0,.•&(«)是增函数,h'(x) >h'(0) =0"⑴是增函数,.*• h(x) > A(0) =0. g(x)在［0, + 8 )上是增函数,g(x)mg(0)=0. .•.F'S)mo,F(*)在［o, + 8)上是增函数. '由洛比达法则可得,WmF(x)=甄"'m'.t l = xe -Xlim ―- = lim^,+Xe,=。
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围．3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。
导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问答.docx
导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006 年全国 2理设函数 f(x)＝(x＋1)ln( x＋ 1) ，若对所有的x≥0 ，都有f (x)≥ax成立，求实数a的取值范围．·2.2006 全国1理已知函数 f x1x e ax.1x（Ⅰ）设 a0 ，讨论 y f x的单调性；（Ⅱ）若对任意x0,1恒有 f x1，求a的取值范围.3.2007 全国1理设函数 f (x)e x e x．（Ⅰ）证明： f ( x) 的导数 f (x) ≥ 2；（Ⅱ）若对所有x ≥ 0 都有 f ( x)≥ax，求a的取值范围．4.2008 全国2理设函数 f (x)sin x2．cosx（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥ 0，都有 f (x) ≤ ax ，求 a 的取值范围．5.2008 辽宁理设函数 f ( x)ln x ln x ln( x1) .1x⑴求 f (x) 的单调区间和极值;⑵是否存在实数 a ,使得关于x 的不等式 f (x) a 的解集为 (0,) ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在 ,试说明理由 .6.2010 新课标理设函数 f (x)= e x1x ax 2.（Ⅰ）若 a0 ，求 f ( x)的单调区间;（Ⅱ）若当 x≥0时 f (x) ≥0，求a的取值范围7.2010 新课标文已知函数 f ( x)x(e x1)ax 2.（Ⅰ）若 f ( x) 在x 1 时有极值，求函数 f (x)的解析式；（Ⅱ）当 x0 时， f ( x)0 ，求a的取值范围.8.2010 全国大纲理设函数 f ( x)1 e x.（Ⅰ）证明：当x1x；时， f ( x)x1（Ⅱ）设当 x 0时， f ( x)x，求 a 的取值范围. ax 19.2011 新课标理已知函数 f ( x)a ln x b，曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 . x1x（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）如果当 x0 ，且 xln x k1 时， f ( x)，求 k 的取值范围.x 1x10. 自编自编：若不等式sin x x ax3对于 x (0,) 恒成立，求a的取值范围.2第二部分：新课标高考命题趋势及方法1.新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。
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x
1时，h '(x)
0 ，h（x）递减。而 h(1)
0
故当 x (0,1) 时，
h(x)
0
，可得
1
1 x
2
h(x)
0
；
当
x
（1，+
）时，h（x）<0，可得
1
1 x
2
h（x）>0
从而当
x>0,且
x
1
时，f（x）-（
ln x x 1
+
k x
）>0，即
f（x）>
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○2 步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析
难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介：
法则 1 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f x 0 及 lim g x 0 ；
，x
洛必达法则也成立。
（II） f '(x) ex 1 2ax
由（I）知 ex 1 x ，当且仅当 x 0 时等号成立.故
f '(x) x 2ax (1 2a)x ， 从而当1 2a 0 ，即 a 1 时， f '(x) 0 (x 0) ，而 f (0) 0 ，
2 于是当 x 0 时， f (x) 0 .
1k .
1 k
而
h（1）=0，故当
x
（1，
1
1
k
1 ）时，h（x）>0，可得 1 x2
由 ex 1 x(x 0) 可得 ex 1 x(x 0) .从而当 a 1 时， 2
f '(x) ex 1 2a(e x 1) e x (ex 1)(ex 2a) ，
故当 x (0, ln 2a) 时， f '(x) 0 ，而 f (0) 0 ，于是当 x (0, ln 2a) 时， f (x) 0 .
xe x
2ex x3
x
2
，令
h x xex 2ex x 2 x 0 ，则 h x xex ex 1 ， h x xex 0 ，
知 h x 在 0, 上 为 增 函 数 ， h x h 0 0 ； 知 h x 在 0, 上 为 增 函 数 ，
h x h 0 0 ； g x 0 ，g(x)在 0, 上为增函数。
（2） 若当 x 0 时 f (x) 0 ，求 a 的取值范围
原解：（1） a 0 时， f (x) ex 1 x ， f '(x) ex 1.
法则 2 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f x 0 及 lim g x 0 ；
x
x
(2) A 0 ，f(x) 和 g(x)在 , A 与 A, 上可导，且 g'(x)≠0；
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0；
f x
(3) lim xa
gx
l
，
f x f x
那么
lim
xa
g x
= lim xa
gx
l
。
1 0 ○2 洛必达法则可处理 0 ， ， 0 ，
，
0 ， 0 ， 型。
0
1 0 ○3 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 ， ， 0 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) ln x 1 ，所以 x 1 x
f
(x)
(
ln x x 1
k) x
1 1 x2
(2 ln
x
(k
1)( x x
2
1))
。
考虑函数 h(x)
2ln x
(k
1)( x 2 x
1)
(x
0) ，则 h '(x)
(k
1)(x2 1) 2x x2
。
（i）设 kHale Waihona Puke 0 ，由 h '(x)
e e e 由洛必达法则知， lim x lim lim x0
x x 1
x
x
1，
2
2x 2 x0
x0
2
故
a
1 2
综上，知
a
的取值范围为
,
1 2
。
2．已知函数，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 。（Ⅰ）求 a 、 b 的值；
（Ⅱ）如果当
综合得
a
的取值范围为
,
1 2
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当 x 0 时， f (x) 0 ，对任意实数 a,均在 f (x) 0 ；
e x 当 x 0 时， f (x) 0 等价于 a
x x 1
2
令
g
x
ex
x
x2
1
(x>0), 则
g ( x)
x
0
，且
x
1时，
f
(x)
ln x x 1
k x
，求
k
的取值范围。
原解：（Ⅰ）
f
'(x)
( x 1 ln x (x 1)2
x)
b x2
由于直线
x 2y 3 0 的斜率为 1 2
，且过点 (1,1) ，
f (1) 1,
b 1,
故
f
'(1)
1, 2
即a 2
b
1, 2
解得 a 1， b 1。
ln x x 1
+
k x
.
（ ii ） 设 0<k<1. 由 于 (k 1)( x2 1) 2x = (k 1)x2 2x k 1 的 图 像 开 口 向 下 ， 且
4 4(k 1)2 0 ，对称轴 x= 1 1 当 x（1， 1 ）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 h' （x）>0,
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0；
(3) lim xa
f x gx
l
，
那么
lim
xa
f g
x x
= lim xa
f x gx
l
。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
a a ○1 将上面公式中的 x→a，x→∞换成 x→+∞，x→-∞， x
当 x (, 0) 时， f '(x) 0 ；当 x (0, ) 时， f '(x) 0 .故 f (x) 在 (, 0) 单调减少，在 (0, ) 单调增加
(3) lim x
f x gx
l
，
那么
lim
x
f g
x x
= lim x
f x gx
l
。
法则 3 若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim f x 及 lim g x ；
，
0 ， 0 ， 型定式，
0
否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法
则不适用，应从另外途径求极限。
○4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.设函数 f (x) ex 1 x ax 2 。
（1） 若 a 0 ，求 f (x) 的单调区间；