直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳【归纳总结】判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．题型一 两直线平行例1：已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1 变式1：7．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．题型二 两直线垂直例2：已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．变式1：已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．变式2：已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________．变式3：直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是_______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是_______.变式4：已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( ) A ．19 B ．194C ．5D ．4题型三两直线平行、垂直综合应用例3：直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．变式1：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_________；若l1∥l2，则b＝_________.变式2：已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳参考答案题型一 两直线平行 例1：D 变式1：4 题型二 两直线垂直例2：解 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1．若AB ⊥AC ，则有－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7．若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3．若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2．综上可知，所求m 的值为－7，±2,3．变式1：k AB ＝6－－6－－＝54， k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－0－－＝5．由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15．∴BC 边上的高所在直线斜率不存在；AB 边上的高所在直线斜率为－45；AC 边上的高所在直线斜率为－15．变式2：(－19，－62) 变式3：1，－33变式4： B题型三 两直线平行、垂直综合应用 例3：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.变式1： 2 －98变式2： (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB ． ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1. (2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－－4－5，n ＋1m －5·2－－4－5＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。
高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法(解析版)
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法 题型一：求异面直线所成角题型二：证明线线、线面平行的方法题型三：证明面面平行的方法题型四：证明线线、线面垂直的方法题型五：证明面面垂直的方法题型一：求异面直线所成角一、单选题1．（2019·江苏苏州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【分析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC ∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.2．（2020·宁夏银川·高一期末）下图的正方体ABCD A B C D ''''-中，异面直线AA '与BC '所成的角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【解析】只需将异面直线AA '与BC '平移至同一个平面内，转化为两条相交直线，即可求出它们所成的角．【详解】在正方体ABCD A B C D ''''-中，因为//AA BB ''，所以B BC ''∠即为异面直线AA '与BC '所成的角，因为45B BC ''∠=，所以异面直线AA '与BC '所成的角为45.故选：B.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，点F 为棱AC 的中点，则异面直线DF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【分析】取BC 的中点E ，∠DFE 即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC 的中点E ，连接EF ，DE ，则EF ∠AB ，∠DFE 即为所求，设DF a =，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，故2,AB AC BC a DA DB DC ======，∠EF DE DF a ===，∠60DFE ∠=，即异面直线DF 与AB 所成角的大小为60.故选：C.4．（2021·湖北孝感·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 和11B D 的交点，则异面直线BM 与1AD 所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】A 【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即得结果.【详解】如图，连接1,BC MB ，因为1AD ∠1BC ，所以MBC 1∠或其补角为直线MB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB MC ⊥，又111MC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面1MBB ，所以MC 1⊥平面1MBB ，所以1MC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC MC AC ===1111sin 2MC MBC BC ∠===，而直角三角形中MBC 1∠是锐角， 所以16MBC π∠=，即异面直线BM 与1AD 所成的角是6π. 故选：A. 5．（2021·贵州毕节·高一期末）在空间四边形ABCD 中，AB CD =，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为40°，则EF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．20°B ．70°C ．20°或70°D ．40°或140°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求EF 与AB 所成角的大小.【详解】取AC 的中点M ，BD 的中点N ，连接,,,,ME EN NF FM EF ，,,,M E N F 分别是,,,AC BC BD AD 的中点，//,//ME AB NF AB ∴，∴//ME NF ，同理//EN MF ，∴四边形MENF 是平行四边形，又AB CD =，∴=ME EN ，四边形MENF 是菱形，AB 与CD 所成的角为40，40MEN ∴∠=或140，∴EF 与AB 所成角是1202MEF MEN ∠=∠=或70. 故选：C二、多选题6．（2021·江苏常州·高一期末）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A ．//BF CDB ．DG BH ⊥C ．CH 与BG 成60°角D ．BE 与平面ABCD 所成角为45°【答案】BCD 【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即可【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF 与CD 异面垂直，所以A 错误，DG CH ⊥，而CH 为BH 在平面DCGH 上的射影，所以DG BH ⊥，所以B 正确，连接AH ，由AB ∠GH ，AB GH =，可得四边形ABGH 为平行四边形，则AH ∠BG ，所以AHC ∠或其补角为异面直线CH 与BG 所成的角，连接AC ，可得AHC 为等边三角形，得CH 与BG 成60°角，所以C 正确，因为AE ⊥平面ABCD ，所以EBA ∠为BE 与平面ABCD 所成角为45︒，所以D 正确，故选：BCD三、填空题7．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_________. 【答案】3π 【分析】连接1A D 、BD ，证明11//A D B C ，可得1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，在1DA B △求1DA B ∠即可求解.【详解】如图，连接1A D 、BD ， 因为11A B DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，所以1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，在1DA B △中，11DA A B BD ===，所以1DA B △是等边三角形，所以13DA B π∠=，即异面直线1A B 与1B C 所成角为3π， 故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，具体步骤如下（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．（2022·陕西西安·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 的夹角为_________． 【答案】3π 【解析】先证明11//AD BC ，可得11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，在11AB D 中求11D AB ∠即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//,AB DC AB CD =， 1111//,,D C DC D C DC =所以1111//,AB D C AB D C =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，由1111ABCD A B C D -为正方体可得11AB D 是等边三角形， 所以113D AB π∠=.故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．（2020·湖北湖北·高一期末）已知M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 的中点，底面ABCD 为正方形且12AA AB =，则AM 与11B D 所成角的大小用弧度制可以表示为______. 【答案】3π 【分析】取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，可判断11D B N 即为AM 与11B D 所成角，求出即可.【详解】如图，取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，设12=2AA AB =，,M N 是中点，可知1//AN B M 且1AN B M ，∴四边形1AMB N 是平行四边形，1//AM B N ∴,则11D B N 即为AM 与11B D 所成角， 可知11112,2,2B N B D D N ，113D B N，即AM 与11B D 所成角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，属于基础题.10．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为_____.【答案】35【解析】先推导出BF ∠AE ，从而∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.【详解】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，∠BF ∠AE ，∠∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则BF ＝CF ==∠cos ∠BFC 35==. ∠异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35. 故答案为：35.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知正三棱柱中111ABC A B C -中，2AB =，14BB =，D ，E 分别是棱11A C ，1BB 的中点，则异面直线1B D 与AE 所成角的正切值为______.【分析】作出辅助线，证得1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，然后求出相关线段的长度，进而在1B DF 中，利用余弦定理求出余弦值，进而可以求出结果.【详解】取1A A 的中点F ，连接1,B F DF ,因为E 分别是棱1BB 的中点，所以1AF B E =且1//AF B E ，所以四边形1AFB E 为平行四边形，故1//FB EA ，所以1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，因为111A B C △为等边三角形，D 分别是棱11A C 的中点，所以111B DA C ，所以1B D ，在1Rt A DF 中，DF在Rt ABE △中，AE =1B F =在1B DF 中，2221cos DB F +-∠==0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1DB F ∠为异面直线1B D 与AE 所成角，而1tan DB F ∠=题型二：证明线线、线面平行的方法一、单选题1．（2020·湖南师大附中高一期末）设a 是直线，α是平面，则能推出//a α的条件是（ ）A ．存在一条直线b ，//a b ，b α⊂B ．存在一条直线b ，a b ⊥，b α⊥C ．存在一个平面β，a β⊂，//αβD ．存在一个平面β，a β⊥，αβ⊥【答案】C【分析】利用a α⊂可得到ABD 的反例，利用面面平行性质知C 正确.【详解】对于A ，若a α⊂，可满足//a b ，b α⊂，但无法得到//a α，A 错误；对于B ，若a α⊂，可满足a b ⊥，b α⊥，但无法得到//a α，B 错误；对于C ，由面面平行的性质知：若//αβ，a β⊂，则//a α，C 正确；对于D ，若a α⊂，可满足a β⊥，αβ⊥，但无法得到//a α，D 错误.故选：C.2．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∠平面MNP 的图形的序号是（ ）A．①③B．①②C．①④D．②③【答案】A【分析】运用线面平行的判定、面面平行及线面相交、面面平行的性质，并结合图形即可判断结论在各图中是否正确NC PC，得平面MCPN【详解】图①，如图，作MC//NP，连接,AB NC，NC⊂平面MCPN∠AB//平面MCPN//即AB//平面MNP，故①项正确；AC AD CD图②，如图，连结,,由已知可得平面MNP//平面ACD；∠AB和平面ACD相交，∠AB不平行于平面MNP，故②项错误；图③，如图，连接CD由已知可得AB//CD，而MP//CD，可得AB//MP，∠平面AB⊄/平面MNP，又∠MP⊂平面MNP∠AB //平面MNP ，故③项正确；③④项，如图，由DB //MN ，MN ⊂平面MNP ，若AB //平面MNP ，又ABDB B = 则平面ACBD //平面MNP而由图可知，平面ACBD 不可能平行平面MNP∠AB 不平行于平面MNP ，故④项错误.综上，①③符合题意.故选：A二、填空题3．（2021·天津河东·高一期末）如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB//α，则CD 与EF 的位置关系为___________．【答案】//CD EF【分析】由线面平行的性质有//AB CD ，根据线面平行的判定可得//CD γ，最后再由线面平行的性质即可得//CD EF .【详解】∠AB//α，AB β⊂，CD αβ=，∠//AB CD ，又AB γ⊂，CD γ⊄，∠//CD γ，又CD α⊂，EF αγ=， ∠//CD EF .故答案为：//CD EF4．（2021·浙江·高一期末）空间四边形ABCD 中，,E F 分别在边,AD CD 上，且满足DE DF EA FC =，则直线EF 与平面ABC 的位置关系是_________．【答案】平行【分析】由已知得//EF AC ，由此能证明//EF 平面ABC ．【详解】空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上的点，且DE DF EA FC= //EF AC ∴，EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．故答案为：平行．5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）如图，平面////αβγ，直线,l m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若13AB BC =，20DF =，则EF =_______.【答案】15【分析】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内（2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．【详解】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内，设该平面为τ，连结,,AD BE CF因为平面////αβγ，==,=,AD BE CF αβγτττ，所以////AD BE CF ， 所以13AB DE BC EF ==，又20DF = ，所以15EF = ； （2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面，过D 作//DH AC ，平面////αβγ，∠,AB DG BC GH ==，设直线DH 与AC 所确定的平面为ξ，又,GE HF ξβξγ==，又//βγ，所以//GE HF ， 利用平行线分线段成比例，可得13AB DG DE BC GH EF ===，又20DF =，所以15EF =. 综上，15EF =.故答案为：15．三、解答题6．（2021·新疆·伊宁市第四中学高一期末）已知E F G H 、、、为空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、上的中点，求证：//EH FG .【分析】根据中位线定理与平行公理证明即可.【详解】证明：∠ 在ABD △中，E H 、为边AB DA 、的中点，∠ //EH BD ，∠在BCD △中，F G 、为边BC CD 、上的中点，∠//FG BD ，∠//EH FG .7．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB DD 的中点．求证：(1)//BD 平面AEF ；(2)EF ⊥平面11ACC A ．【分析】（1）易证得四边形BDFE 为平行四边形，可知//BD EF ，由线面平行的判定可得结论； （2）由正方形性质和线面垂直性质可证得BD AC ⊥，1AA BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面11ACC A ，由//EF BD 可得结论.(1),E F 分别为11,BB DD 的中点，11BB DD =，11//BB DD ，//BE DF ∴且BE DF =，∴四边形BDFE 为平行四边形，//BD EF ∴，又EF ⊂平面AEF ，BD ⊄平面AEF ，//BD ∴平面AEF .(2)四边形ABCD 为正方形，//BD AC EF BD BD EF ∴⊥∴⊥；1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，11//AA BDEF BD AA EF ∴⊥∴⊥， 又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，11EF ACC A ∴⊥平面8．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1DD ，BC 的中点.(1)证明：1A D ⊥平面11ABC D ；(2)证明：//EF 平面11ABC D .【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；（2）设11A D AD G ⋂=，由题可得EF ∠GB ，再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得11A D AD ⊥，AB ⊥平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∠1A D ⊥平面11ABC D ；(2)设11A D AD G ⋂=，连接,EG BG ，则11//,,//,,22EG AD EG AD BF AD BF AD == ∠//,EG BF EG BF =，∠四边形BFEG 为平行四边形，∠EF ∠GB ，又EF ⊄平面11ABC D ，GB ⊂平面11ABC D ，∠//EF 平面11ABC D9．（2022·陕西渭南·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .求证：(1)1//CE FD ；(2)平面//AEC 平面1BFD .【分析】（1）证明出四边形1CED F 为平行四边形，可证得结论成立；（2）证明出//OE 平面1BFD ，//CE 平面1BFD ，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.(1)证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD 且11CC DD =，因为E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，则1//CF D E 且1CF D E =，所以，四边形1CED F 为平行四边形，则1//CE FD .(2)证明：因为四边形ABCD 为正方形，ACBD O =，则O 为BD 的中点，因为E 为1DD 的中点，则1//OE BD ， OE ⊄平面1BFD ，1BD ⊂平面1BFD ，所以，//OE 平面1BFD ，因为1//CE FD ，CE ⊄平面1BFD ，1FD ⊂平面1BFD ，所以，//CE 平面1BFD ，因为OE CE E ⋂=，因此，平面//ACE 平面1BFD .题型三：证明面面平行的方法一、单选题1．（2021·贵州铜仁·高一期末）已知a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①若//a α，//b α，那么//a b ；②若b α⊂，//a α，那么//a b ；③若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥；④若a α⊥，b α⊥，那么//a b ．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】对于①②③可以判断出直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；对于②直线a b 、可能平行，也可能异面；对于④利用线面垂直的性质定理直接证明即可.【详解】对于①若//a α，//b α，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故①错误； 对于②若b α⊂，//a α，那么直线a b 、可能平行，也可能异面；故②错误；对于③若a c ⊥，b c ⊥，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故③错误；对于④若a α⊥，b α⊥，按照线面垂直的性质定理可得: //a b .故④正确.故选:B2．（2021·贵州·黔西南州同源中学高一期末）已知两条不重合的直线m n ，和两个不重合的平面αβ，，有下列命题：①若m α⊂，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α；④若//m α，//n α，则//m n ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用空间线面、线线，面面的位置关系一一判定各选项即可.【详解】①当m α⊂，n β⊥，//αβ，则m n ⊥，所以①错误；②因为m α⊥，//m n n α⇒⊥，又n β⊥则//αβ，所以②正确；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α或n a ⊂，所以③错误；④若//m α，//n α，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以④错误.故选：A.二、多选题3．（2021·江苏·金陵中学高一期末）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ【答案】BD【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【详解】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确；故选：BD.三、填空题4．（2019·湖南·临澧县第一中学高一期末）平面几何中我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”，试将该命题中的直线（部分或全部）换成平面，写出一个在空间中成立的命题：_________.【答案】“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【分析】从直线到平面，从平面到空间进行类比得解.【详解】从直线到平面，从平面到空间进行类比得到一个在空间中成立的命题：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”.故答案为：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【点睛】本题主要考查空间位置关系，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题5．（2021·贵州黔东南·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =， ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．(1)求证：PC AD ⊥；(2)求证：平面//PAB 平面EFG ．【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由//EF AB 证明//EF 平面PAB ，由//EG PB 证明//EG 平面PAB ，再由面面平行的判定定理证明即可.(1)由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，又AD CD ⊥(ABCD 是正方形)，PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PDC ，所以AD PC ⊥.(2)由,E F 分别是线段,PC PD 的中点，所以//EF CD ，又ABCD 为正方形，//AB CD ，所以//EF AB ，又EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .因为,E G 分别是线段,PC BC 的中点，所以//EG PB ，又EG ⊄平面PAB ，所以//EG 平面PAB .因为,,EF EG E EF EG =⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PAB . 6．（2021·广东江门·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心，求证：面//OQG 平面PBC .【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC AC ⊥，由PA ⊥平面ABC 得BC PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，证出QM 是PAC △的中位线，得//QM PC .利用线面平行的判定定理证出//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，根据面面平行的判定定理，可得平面//OQG 平面PBC .【详解】解：（1）∠AB 是圆O 的直径，∠BC AC ⊥，又∠PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∠BC PA ⊥.∠PA AC A =，∠BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，∠G 为AOC △的重心，∠OM 是AOC △的中线，∠Q 为PA 的中点，M 为AC 的中点，∠//QM PC ，∠QM ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，∠//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，∠QM 、QO 是平面OQG 内的相交直线，∠平面//OQG 平面PBC .7．（2021·贵州毕节·高一期末）如图甲，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）如图乙所示，若Q 满足:2PQ QD =，PM tPA =，当t 为何值时，//BM 平面AQC ．【答案】（1）证胆见解析，（2）12t = 【分析】（1）由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行的判定定理可证得结论；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则可得BG ∠OQ ，可得BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ，可得GM ∠平面AQC ，则平面BGM ∠平面AQC ，则BM ∠平面AQC ，可得M 为PA 的中点.【详解】（1）证明：因为::PM MA PQ QD =，所以QM ∠AD ，因为AD ∠BC ，所以QM ∠BC ，因为QM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以QM ∠平面PBC ，因为::BN ND PQ QD =，所以QN ∠PB ，因为QN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，，所以QN ∠平面PBC ，因为QM QN Q =,QM ⊂平面MNQ ,QN ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PBC ；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则BG ∠OQ ，因为QO ⊂平面AQC ,BG ⊄平面AQC ，所以BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ， 因为AQ ⊂平面AQC ，GM ⊄平面AQC ，， 所以GM ∠平面AQC ，因为BG GM G ⋂=，所以平面BGM ∠平面AQC ， 因为BM ⊂平面BGM ， 所以BM ∠平面AQC ， 此时M 为PA 的中点， 所以12PM PA =， 因为PM tPA =，所以12t =题型四：证明线线、线面垂直的方法 一、单选题1．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高一期末）设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件一定能得到m β⊥的是（ ） A ．m αγ=，αγ⊥，βγ⊥ B ．αβ⊥，l αβ=，m l ⊥C ．n α⊥，n β⊥，m α⊥D ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥【答案】C【解析】根据排除法，结合线面垂直的判定，可得结果. 【详解】在A 中，因为m αγ=，所以,m m αγ⊂⊂， 而,m βγ⊥并不垂直于β内的所有直线， 所以β和m 可能不垂直，故A 错误； 在B 中，m 只垂直β内的一条直线， 所以不能推出m β⊥，故B 错误；在C 中，因为,n n αβ⊥⊥，所以α//β， 又m α⊥，所以m β⊥，故C 正确； 在D 中，由,αγβγ⊥⊥，不能推出α//β， 所以由m α⊥不能推出m β⊥，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要是线面垂直的判定，属基础题.2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知α，β，γ是三个不同的平面，l 是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，αγ⊥，l βγ=，则l α⊥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．若αβ⊥，l αβ=，l γ∥，则βγ⊥【答案】A【分析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.【详解】对于A ，在平面α内取一点P ，在平面α内过P 分别作平面α与β，α与γ的交线的垂线a ,b ，则由面面垂直的性质定理可得,a b βγ⊥⊥，又l βγ=，∠,l a l b ⊥⊥，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，l α⊂，则l 与β位置关系不确定，可能l 与β平行、相交或l 在β内，故B 错误； 对于C ，若αβ⊥，βγ⊥，则α与γ相交或平行，故C 错误； 对于D ，如图平面,αβγ，且αβ⊥，l αβ=，l γ∥，显然β与γ不垂直，故D 错误. 故选：A.3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不确定【答案】D【分析】EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ，作EF OF ⊥ 则DF OF ⊥.【详解】如下图所示，EOF ∠确定一个平面，EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ， 作EF OF ⊥，因为DE ⊥平面EOF ，而OF ⊂平面EOF ，故DE OF ⊥， 而EF DE E ⋂=，故OF ⊥平面EDF ，又DF ⊂平面EDF 中，则DF OF ⊥，对于给定的EOF ∠，当D 变化时，EDF ∠的取值范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故EOF ∠的大小跟EDF ∠无关.故选：D 二、填空题4．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件___________时，有111AC B D ⊥.（只需填写一种正确条件即可）【答案】AC BD ⊥(答案不唯一)【分析】直四棱柱1111ABCD A B C D -，11A C 是1A C 在上底面1111D C B A 的投影，当1111AC B D ⊥时，可得111AC B D ⊥，当然底面ABCD 满足的条件也就能写出来了. 【详解】根据直四棱柱1111ABCD A B C D -可得：1BB ∠1DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 是矩形，所以BD ∠11B D ，同理可证：AC ∠11A C ，当AC BD ⊥时，可得：1111AC B D ⊥，且1CC ⊥底面1111D C B A ，而11B D ⊂底面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，而1111AC CC C =，从而11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111AC B D ⊥，所以当AC BD ⊥满足题意. 故答案为：AC BD ⊥. 三、解答题5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知直线//m 平面α，直线l ⊥平面α.求证：l m ⊥. 【分析】过m 作平面β交平面α于直线m '，根据线面平行的性质易知//m m '，再由线面垂直的性质有l ⊥m '，由平行线的性质即可证结论.【详解】证明：如下图，过m 作平面β交平面α于直线m '， ∠//m α，m βα'⋂=， ∠//m m '，∠l ⊥α，而m α'⊂， ∠l ⊥m '，综上，l m ⊥，得证.6．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，90ADB PDC ∠=∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，M 是棱PC 上的点.(1)证明：PD ⊥底面ABCD ；(2)若三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，设PM tMC =，试确定t 的值.【答案】(1)详见解析；(2)1t =.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得BD ⊥平面PAD ，然后利用线面垂直的判定定理即证； （2）由题可得14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，进而可得12MC PC =，即得.(1)∠90ADB ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，∠AD BD ⊥，平面PAD 底面ABCD =AD ，BD ⊂底面ABCD ， ∠BD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∠BD ⊥PD ，又90PDC ∠=︒， ∠PD DC ⊥，BD DC D =， ∠PD ⊥底面ABCD ；(2)设PD h =，M 到底面ABCD 的距离为h '，∠三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，∠14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，又11,33M ABD ABDP ABCD ABCDV Sh V Sh --'=⋅=⋅，12ABDABCDSS =，∠12h h '=，故12MC PC =， 又PM tMC =， 所以1t =.题型五：证明面面垂直的方法 一、多选题1．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知,a b 是两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a bB ．若a α⊥，a β⊥，则//αβC ．若//a b ，a α⊥，//b β，则αβ⊥D ．若//a α，//αβ，则//a β 【答案】BC【分析】判断命题真假可以直接对各选项逐个判断.对于A 可通过直观想象判断其存在平行或异面或相交几种情况；对于B 可通过直线与平面垂直的性质得到；对于C 通过直线与平面垂直性质和平面与平面垂直的判定定理判断；对于D 可直观想象知存在//a β或a β⊂两种情况.【详解】对于A ，若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故A 错误；对于B ，若a α⊥，a β⊥，由线面垂直的性质可知//αβ，故B 正确； 对于C ，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，又因为//b β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ，若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，故D 错误. 故选:BC 二、解答题2．（2021·江苏南通·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点．（1）求证：//EF 平面P AB（2）若AP AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：平面PAD ⊥平面PCD【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合矩形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以//EF CD 又在矩形ABCD 中，//AB CD ，所以//EF AB 又AB平面P AB ，EF ⊄平面P AB所以//EF 平面.PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面P AD ，又AF ⊂平面P AD所以.CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=所以AF ⊥平面PCD ．又AF ⊂平面P AD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．3．（2021·广东·封开县渔涝中学高一期末）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，AP =PD =APD ∠平面ABCD ，E 为AP 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∠平面PBC ； （2）求证：平面APB ∠平面PCD ．【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）设PB 的中点为G ，连接,EG FG ，因为E 为AP 的中点，所以//EG AB 且12EG AB =， 因为F 为CD 的中点，底面ABCD 是正方形， 所以//FC AB 且12FC AB =，因此//FC EG 且FC EG =， 所以四边形EGCF 是平行四边形，因此//EF GC ，因为EF ⊄平面PBC ，GC ⊂平面PBC ，所以EF ∠平面PBC ；（2）因为底面ABCD 是边长为3的正方形，所以3AD =，因为AP =PD = 所以有222AD PA PD =+，因此PD PA ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以BA DA ⊥，因为平面APD ∠平面ABCD ， 平面APD平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面APD ，因为PD ⊂平面APD ，所以AB PD ⊥， 因为AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面APB ， 所以PD ⊥平面APB ，因为PD ⊂平面APD ， 所以平面APB ∠平面PCD .4．（2021·江苏扬州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ； （2）求证：平面1⊥B AC 平面11B BDD .【分析】（1）由线面平行的判定定理可证得结果；（2）证得AC ⊥平面11BDD B ，进而由面面垂直的判定定理可证得结果.【详解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OE .因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以ABCD 为正方形，O 为BD 中点.又因为E 为1DD 中点，所以1//OE BD .又因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC .（2）因为1111ABCD A B C D -是正方体，1BB ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥.又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.因为11,,AC BD AC BB BB ⊥⊥⊂平面11,BDD B BD ⊂平面111,BDD B BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B .又因为AC ⊂平面1B AC ，所以平面1⊥B AC 平面11B BDD .5．（2021·山东枣庄·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是线段PA ，PC 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面PBC ；（2）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线EF 与直线l 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）//EF l ，理由见解析.【分析】（1）推导出AC PC ⊥，AC BC ⊥，AC ⊥平面PBC ，从而//EF AC ，进而EF ⊥平面PBC ，由此能证明平面BEF ⊥平面PBC ．（2）推导出//EF AC ，//EF 平面ABC ，根据线面平行的性质，即能证明//EF l ． 【详解】解：（1）因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC PC ⊥.因为C 是以AB 为直径的圆O 上的点， 所以AC BC ⊥． 又PC BC C ⋂=， 所以AC ⊥平面PBC ．因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以//EF AC ． 所以EF ⊥平面PBC ．又EF ⊂平面BEF ，故平面BEF ⊥平面PBC ．。
高中数学直线与平面平行直线与平面垂直知识点总结
高中数学直线与平面平行直线与平面垂直知识点总结1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内2. 直线与平面平行判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”)[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. (×)(平面外一条直线)②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. (×)(平面外一条直线)③若直线与平面平行，则内必存在很多条直线与平行. (√)(不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之)④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内)⑤平行于同始终线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交)⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面)⑦直线与平面、所成角相等，则∥.(×)(、可能相交)3.直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.(“线面平行，线线平行”)4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥(三垂线定理)，得不出⊥. 由于⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行)②垂直于同始终线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面)③垂直于同一平面的两条直线平行.(√)5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]⑵射影定理推论：假如一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上高一下册数学直线与平面垂直、平面与平面垂直课型：新授课一、教学目标1、学问与技能〔1〕使同学把握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；〔2〕能运用性质定理解决一些简洁问题；〔3〕了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的互相联系。
高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
题型一：线线、线面位置关系的证明
（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理。
（2）证明立体几何问题，要精密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用。
题型二：两平面之间位置关系的证明
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行。
（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直。
题型三：空间线面位置关系的综合问题
与平行、垂直有关的存在性问题注意解题的步骤。
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_直线、平面垂直的性质_基础
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a ，b 为异面直线，AB 是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a ，b 都平行于平面α，求证：AB ⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型归纳
2.3直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳与垂直相关的几个重要结论1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．垂直关系的转化1．线面垂直证明的核心证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．2．线线垂直的隐含条件证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等．3．利用面面垂直的判定定理，其关键是寻找平面的垂线． (1)若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直．(2)若这样的直线不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加．注意：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．4．三种垂直关系的证明方法 (1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． (2)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ． (3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β．题型一、直线与平面垂直的判定与性质1．(2012·湖南高考)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD . 证明：BD ⊥PC ；2．(2014·福建高考)如图所示，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．3．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)证明：EF ⊥平面P AB ．题型二、平面与平面垂直的判定与性质4．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点. 求证：(1)平面BDM⊥平面ECA；(2)平面DEA⊥平面ECA.5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若P A＝PD，求证：平面PQB⊥平面P AD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使P A∥平面MQB.6．已知三棱柱ABC-A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求证：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥平面BEF，并给出证明．如图所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD ＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.1．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．(1)求证：AB∥平面SCD；(2)求证：SN⊥平面ABCD；2．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.4．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.1．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH ∥平面AEF .2．在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝12BC ，G 是BC 的中点．求证：(1)AB ∥平面DEG ；(2)EG ⊥平面BDF .3．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .4．如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ； (2)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.5．(2012·新课标全国卷)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．直线、平面垂直的判定及其性质题型全归纳答案题型一、直线与平面垂直的判定与性质1．(2012·湖南高考) 【证明】(1)因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ⊥BD ，P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC .而PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .2．(2014·福建高考)【证明】(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ，∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积V A -MBC ＝V C -ABM＝13S △ABM ·h ＝112. 3．(1)由线面垂直的判定及性质证明PH ⊥平面ABCD ；(2)作出P A 的中点G ，证明DG ⊥平面P AB ，进而由EF 与DG 的关系证明EF ⊥平面P AB ． 【证明】(1)由于AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，故AB ⊥PH ．又PH 为△P AD 中AD 边上的高，故AD ⊥PH ． ∵AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD ．(2)过E 作EG ∥AB 交P A 于点G ，连接DG ． ∵E 为PB 的中点，∴G 为P A 的中点．∵AD ＝PD ，故△DP A 为等腰三角形，∴DG ⊥AP ． ∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG ． 又∵AB ∩P A ＝A ，AB ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴DG ⊥平面P AB ．又∵GE ∥AB ，DF ∥AB ，且GE ＝12AB ，DF ＝12AB∴GE ∥DF ，且GE ＝DF ．∴四边形DFEG 为平行四边形，故DG ∥EF ． ∴EF ⊥平面P AB ．题型二、平面与平面垂直的判定与性质4．【证明】(1)取CA 的中点N ，连结MN ，BN ，则MN ∥EC ，且MN ＝12EC.∴MN ∥BD ，∴点N 在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA . ∵BN ⊂平面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ECA . (2)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA . ∴DM ⊥平面ECA . 又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA .5．【证明】(1)连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ . 又因为P A ＝PD ，所以AD ⊥PQ . 又BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ， 又AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD .【解析】(2)若P A ∥平面MQB ，连接AC 交BQ 于N ，连接MN .由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ， 所以AQ BC ＝AN NC ＝12，因为P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ， 平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，所以P A ∥MN ， 因此，PM PC ＝AN AC ＝13，即t 的值为13.6． 【证明】(1)如图，取BC 中点O ，连接AO ，因为三角形ABC 是等边三角形，所以AO ⊥BC ，又平面BCC ′B ′⊥底面ABC ，AO ⊂平面ABC ，平面BCC ′B ′∩平面ABC ＝BC ， 所以AO ⊥平面BCC ′B ′， 又BB ′⊂平面BCC ′B ′， 所以AO ⊥BB ′.又BB ′⊥AC ，AO ∩AC ＝A ，AO ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以BB ′⊥底面ABC .(2)如图，显然M不是A′，B′；棱A′B′上若存在一点M，使得C′M∥平面BEF，过M作MN∥AA′交BE于N，连接FN，MC′，所以MN∥C′F，即C′M和FN共面，所以C′M∥FN，所以四边形C′MNF为平行四边形，所以MN＝2，所以MN是梯形A′B′BE的中位线，M为A′B′的中点．【解】(1)∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.(3)【解】多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和.在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝3 2.所以V C－BEF＝13S△BEF×CB＝13×12×1×32×1＝312，V F－ABCD＝13S矩形ABCD×EE1＝13×2×1×32＝33，所以V＝V C－BEF＋V F－ABCD＝53 12.1．【证明】(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD，又因为AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB ∥平面SCD .(2)因为AB ⊥SA ，AB ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面SAD ，又因为SN ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥SN .因为SA ＝SD ，且N 为AD 中点， 所以SN ⊥AD . 又因为AB ∩AD ＝A ，所以SN ⊥平面ABCD .2．【证明】(1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE . 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形， 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD . 由(1)知P A ⊥底面ABCD . 所以P A ⊥CD . 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .又E ，F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .故CD ⊥EF ，CD ⊂平面PCD ，由EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF ∩BE ＝E . 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .3．【证明】(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .4．【解析】(1)线段AB 上存在一点K, 且当AK ＝14AB 时，BC ∥平面DFK ，证明如下：设H 为AB 的中点，连接EH ，DK ，KF ，则BC ∥EH ， 又∵AK ＝14AB ，F 为AE 的中点，∴KF ∥EH ，∴KF ∥BC ，∵KF ⊂平面DFK ，BC ⊄平面DFK ， ∴BC ∥平面DFK .【证明】(2)∵在折起前的图形中E 为CD 的中点，AB ＝2，BC ＝1，∴在折起后的图形中，AE ＝BE ＝2， 从而AE 2＋BE 2＝4＝AB 2， ∴AE ⊥BE .∵平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面ADE ，∵BE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ADE .1．【证明】(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF .(2)在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF ， 又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF .2．【证明】(1)∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC .又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD ∥BG ，且AD ＝BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形，∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ，∴DF ⊥EG .∵EF ∥BG ，且EF ∥BG ，EF ＝BE ，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF .3．【证明】(1)如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，E 为PD 的中点，∴NE ∥CD ，且NE ＝12CD ，而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE .又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD .而AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AE .又AE ∥MN ，∴MN ⊥CD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，∴△P AD 为等腰直角三角形．又E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD ，又由(1)知CD ⊥AE ，PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .又AE ∥MN ，∴MN ⊥平面PCD .4．【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1. 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE . 又BF ⊄平面A1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC .(2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.5．(2012·新课标全国卷)【证明】(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B -DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.。
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直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳考点一立体几何中的探索性问题[典例](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为»CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.[题组训练]1.如图，三棱锥PABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ABC 的高， 又P A ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，延长GO交AD于点M，连接EM，则P A∥平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，所以EO∥P A.因为EO⊂平面MEG，P A⊄平面MEG，所以P A∥平面MEG.因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝2，3所以AM的长为23.考点二平面图形的翻折问题[典例](2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q ABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22，∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F BCE 的体积V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F BCE ＝13×12×22＝23.2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ (7)2＋(7)2－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ，因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ， 所以AM ∥平面BC 1E .故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M BC 1E ＝V A BC 1E ＝V C 1ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE .(2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ， ∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图2所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？请说明理由． 解：(1)证明：∵D ，M 分别为AC ，FC 的中点， ∴DM ∥EF ，又∵EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， ∴DM ∥平面A 1EF .(2)证明：∵EF ⊥BD ，A 1E ⊥BD ，A 1E ∩EF ＝E ，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝33a时，AM∥平面BDF，理由如下：如图，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN.由(1)知四边形ABCD为等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2DC，则CN∶NA＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a . 因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ， 所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ，所以BE ∥平面ACFD ，所以V GECD＝V EGCD＝V BGCD.因为四边形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，又CA＝CB＝CF＝1，所以CD＝3，CG＝12，又BC⊥平面ACFD，所以V BGCD＝13×12CG×CD×BC＝13×12×12×3×1＝312.所以三棱锥GECD的体积为312.。