研究生入学考试数学试题中的积分变限函数 (1)

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４２４ｕ
＜１９９６年数学一第二题（４）＞设厂（ｘ）有连续的导数厂（ｏ）＝ｏ，ｆ７（ｏ）≠０，Ｆ（Ｊ）＝
ｒ（ｚ２ｆ１）ｆ（ｔ）ｄｔ，且当ｘ－÷０时，Ｆ’（ｘ）与，是同阶无穷小，则ｋ等于（）。（Ａ）ｌ（Ｂ）２（ｃ）３（Ｄ）４．④＜２００８年数学一第一题（１）＞设函数，（Ｊ）＝
ＩＩｎ（２＋ｔ）ｄｔ，则ｆ’（ｘ）的零点个数ｆ）（Ａ）０（Ｂ）ｉ（ｃ）２（Ｄ）３等等。
【解析】在求极限过程中可以发现本题为罟型，可以使用罗必达
法则，也就是分子与分母分别求关于ｘ的导数，这时就要应用到式（１），
Ｊ‘
即原式＝ｌ，ｉ。ｒａ６＂ｌ—ａ。＋。ｘ－－。２，＝…ｌｉｍ－√－，。．ｋ＋１一＂’ｉ三丢，由于上述极限存在且为ｌ，必有
蚴（６一ｃ。ｓｘ）＝¨，得ｂ＝ｌ，于是，原式＝蜘万≥—ｌ－Ｌｃｏｓｘ２万２，由去～，
【性质】若函数／（ｚ）在区问【口’６Ｌ匕连续，则积分上限函数烈ｘ）＝
ｆｆ（ｔ）ｄｌ在ｌａ，６Ｊ上可导，且妒’（，）＝，（ｚ），即积分上限函数妒（Ｊ）是被积
函数的原函数。
【推广定义】设，（ｘ）连续，烈ｚ），妒（ｚ）均可导，则积分【ｉ』，（，）曲称
为积分变限函数。
由此可得到积分变限函数的一般求导公式为：
４结语
语言中的性别歧视，是社会生活中性别歧视的反映。其根源不在于语言本身，而在于语言的使用。因此，只有根除社会上的性别歧视观念，才能彻底消除语言中的性别歧视现象。尽管人们已意识到并在努力消除语言中的性别歧视现象，但根深蒂固的对女性的偏见在语言中的各种反映不是短时问内可以消除的。然而，随着人类社会的进步和文明以及人们对性别歧视语言的重视，我们有理由相信，性别歧视这一社会现象会逐渐弱化甚至彻底消除，从而实现社会的平等、和谐。
（接４３页）在应用变限的积分对变量Ｘ求导时，应注意被积函数中不能含有变量Ｘ：
兰Ｉ￡和）曲｜＝九烈圳抓ｚ）一，【ｙ（ｘ）Ｍｚ）
得ａ＝４。类似的题目有：＠）＜１９９３年数学一第二题（１）＞设／（，）＝ｆ‘ｓｉｌｌ（，２）ａｔ，
ｇ（ｘ）＝一＋Ｊ４，则ｘ’÷ｏ时，厂（ｘ）是ｇ（ｚ）的（）。（Ａ）等价无穷小（Ｂ）同阶但非等价的无穷小（ｃ）高阶无穷小（Ｄ）低阶无穷小；②＜１９９４年数学一
ｆ
ｚ＝ＣＯＳ（／２）
．．，
ｒ
第三题（１）＞设｛ｙ；，。ｏｓ（一一ｆ２—；。。。。出，求罢，筹在，２括的值；③
【３】Ｊｅｓｐｅｒｓｅｎ，ｏ．Ｌａｎｇｕａｇｅ：ＩｔｓＮａｔｕｒｅ。ＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎｄＯｒｉｇｉｎ
【ＭＪ．Ｌｏｎｄｏｎ：Ａｌｌｅｎ＆Ｕｎｗｉｎ，１９９２
【４】Ｌａｋｏｆｆ，Ｒ．ＬａｎｇｕａｇｅａｎｄＷｏｍｅｎ’ＳＰｌａｃｅ【Ｍ】ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｈａｒｐｅｒ＆
ＲＯＶｒ．１９７５
（３）传统观念与社会歧视的影响。几乎所有的国家都存在着不Ｉ司程度的性别歧视，男性相对子女性而言被赋予较高的社会价值，男尊女卑已成为一种根深蒂固的传统观念。政府、法律、教育体制、社会群体的言传身教、大众传媒等重要的社会化手段又不自觉地强化了这种性别歧视，在人们经历社会化的过程中加深了对女性的偏见，同时也影响了其语言习惯的形成。Ｂｅａｕｖｉｏｒ曾描述小女孩是如何被赋予社会化的角色：人们不鼓励她们学习一些具有挑战性的学科，如数学、哲学等，相反人们期待她们学习一些煮饭的技巧，如何持家，如何哄小孩以及安慰丈夫受伤的情感。
数以及积分变限函数的定义、性质初步掌握情况，因此常出现在填空
或选择题中。
例１＜１９８８年数学一第一题（２）＞设／（ｘ）连续且Ｉｆ（ｔ）ｄｔ２ｚ，
则，（７）＝一。
一
．
＝（工）【’解，析即】／本（，题－是１）典‘型３的ｆ一积，分／变（上。限）＝函赢数，的所导以数，，（７有）＝素亩ｌ。Ｉ由ｆ此（ｔ可）ｄｔ
例３＜１９９３年数学一第一题（１）＞Ｈ，）＝ｆ（２一÷渺，“，ｏ）的单调减少
区间为——。
【解析ｌｖ’（ｊ）＝２一下１，令Ｆ’（ｘ）＝０。得ｘ＝了１。当ｏ＜Ｊ＜｛，Ｆ’（ｘ）＜０；当ｚ＞÷时，Ｆ’（ｘ）＞０。所以ＪＦ（ｚ）得单调减少区间为（ｏ，音）或（ｏ，匀。
１直接考核基本概念
３综合应用题
这种考核方式比较简单，也很直接，考察的是考生对积分上限函
见，只要弄清概念，题目就迎刃而解了。又如＜１９９０年数学一第二题
（１）＞设厂（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝ｌ。ｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆｂ）＝（）。
（Ａ）一Ｐ一１ｆ（ｅ１）一，（Ｊ）
（Ｂ）一ｅ－＇ｆ（ｅ＋’）＋厂（Ｊ）
（ｃ）Ｐ一。ｆ（ｅ。。）一，（ｘ）
（Ｄ）ｅ’ｆ（ｅ一。）＋／（』）
利用式（１）很快就可得出答案（Ａ）。类似的题目有：①（１９９５年
丢ｌ联／（ｆ）曲］＝／∞）】∥（小他（ｘＪ］∥（ｘ）（１）
可以看出，式（１）是变上限函数的性质的推广。而在研究生入学试题中考查的主要是式（１）。经分析，其命题方式主要有以下几种。
点结合起来形成小型的综合题目，多出现在填空和选择题中，大题中也有出现。
，例２（１９８７年数学一第二题）求正的常数ａ．ｂ，使等式嘞五ｉ＝≥ｒＺ零曲。１成立。
【８】刘晓天．从标记、太小、褒贬看英语词汇中的性别歧视《外语与外语教学》，２００１，（５）
【９】金虹．英语中的性别歧视及女权运动及其影响仃】《沈阳大学学报》，２００４，（１）
作者简介扬顺娥（１９８３一），女系西北师范大学外国语学院硕士
研究生。研究方向：英语语言学。
（收稿日期：２（３０９—１０—２２）
年虞
ｔ制＇
题号分值年次题号分值
一
：
ｆ＇；
（Ｉ）
：
：
仍
ｆＴｍ
如果考生在复习时引起重视，稍加注意，很好地掌握、利用积分
上限函数的解法，突破该知识点，必然能够为自己的初试成绩增加宝
贵的分数。首先介绍积分变限函数的概念：
【定义】上限为变数，下限为定数的积分ｔｆ（Ｏｄ，是上限ｘ的函数，令其为≯（ｚ），即妒（ｘ）＝ｒｆ（ｔ）ｄｔｔｎｓｘ≤ｂ，称为积分上限函数。
例４（１９８９年数学一第五题）设，（ｘ）＝ｓｉｎｘ—Ｉ‘ｏ—ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中，为连续函数，求，（ｘ）。
【解析】，（ｚ）２ｓｉｎｘ一。ｔｆ（ｔ）ｄｔ＋Ｉ，，（，）珈，两边对工求导，得，ＩＪ）＝ＣＯＳｌ一【ｆ（ｔ）ｄｔ，两边再对Ｘ求导得：厂（ｘ）＝一ｓｉｎｘ－ｆ（ｘ）。即ｆ’（ｘ）＋／（，）
（２）进行全面的社会改革，确立男女平等的社会地位。语言是社会的传声筒，社会的改变在语言中体现。语言中的性别歧视只不过是一种现象，而不是造成社会不平等的直接原因。相反，正是社会中的男女不平等才造成了语言的性别歧视。因此，要想根除英语中的性别歧视，就得在教育、就业、婚烟家庭、政治等领域进行一系列社会变革，以消除男女不平等的社会现实。
关键词研究生数学试题积分变限函数
高等数学是理、工、农、医、经济等专业硕士研究生入学考试中的必考统考科目。从２００３年开始，数学由原来１００分增加为现在的
１５０分，它的重要性是毋庸置疑的。在分析了从１９８７年全国统考以来
至２００９年的全国硕士研究生入学考试数学一试题之后，发现积分变限
函数经常出现在考题中，几乎年年都有涉及（统计情况见下表）。
（２）文化意识方面的原因。语言传递文化，文化通过语言反映杜会现实。因此，英语语言必然受到文化的影响并反映其内涵。宗教是文化的集中反映，它深刻地影响语言的产生和发展。在英语国家，基督教是广受信仰的宗教。据《圣经》创世纪的ｉ兑法：上帝造出的第 —个人是男人亚当（Ａｄａｍ），从此亚当便被看成是“人类的始祖”；然后从他体内取出一条肋骨而造出女人夏娃（Ｅｖｅ），因此女性从一开始就是附属于男性的，女性生来就处于从属地位。圣经故事里几乎所有有影响的人物都是男性，如最权威的上帝“圣父”、他的儿子耶稣（ＪｅｓｕｓＣｈｒｉｓｔ）及其十三个门徒都是男性。而女性则被看作是一切罪恶的根源，如因夏娃偷吃禁果才导致了人类的一切罪恶与灾难。女性在神话中的形象也能帮助我们了解语言中的性别歧视：挑拨离问的女神厄里斯（Ｅｒｉｓ）诱发了特洛伊战争（ＴｈｅＷｉｌｌ＂ｏｆＴｒｏｙ），潘多拉打开神赐予的装满灾难的禁盒，释放各种罪恶贻害人问。
３如何消除语言性别歧视
（１）摒除落后的传统观念，增强男女平等的社会意识。语言是社会的反光镜，语言中所折射的性别歧视并不是语言本身的自然属性决定的，而是特定社会的价值观念和民族思维方式在语言中的自然反映。要想消除语言中的性男Ⅱ歧视现象，首先就得努力消除社会上存在的男性中心论、妇女有闲论等性别歧视观念。因此，有关方面要大力批驳这些落后的传统观念，竭力宣传阴阳同等、男女平等之类的现代理念。
参考文献
（１】１
Ａｇｎｅｓ．Ｍｉｃｈａｅｌ（ｅｄ）Ｗｅｂｓｔｅｒ’ｓＮｅｗＷｏｒｌｄＣｏｌｌｅｇｅＤｉｃｔｉｏｎａｒｙ（４ｔｈ
ｃｄ）［Ｚ】．ＦｏｓｔｅｒＣｉｔｙ，ＣＡ：ＩＤＧＢｏｏｋｓＷｏｒｌｄｘｖ＿ｉｄｅ，Ｉｎｃ，２００１
【２】ＤｅＢｅａｕｖｉｏｒ，Ｓ．ＴｈｅＳｅｃｏｎｄＳｅｘ【Ｍ】Ｎｅｗ’Ｙｏｒｋ：Ｂａｎｔａｍ，１９６１
它不是单纯地考核公式，而是与极限、函数单调性、导数等知识４值得注意的题型
万方数据
彼哟降赞熬．２Ｑ１９年第呈飙
．锥ｍ》∞，ｘ目端Ｅ蛳蹦姆ｎ々＃辅ｔ耕＊§嘲＃㈣秣嘲｝§麟ｉｔ嘴黼黼谢《㈣￥蜊“期ｉｉ＊馘＃∞鳓划ｂ“煳；＃＊群黼ｎ。删特博武女蚋㈨㈣耕＃ｍ４蝌一艇№ｇ＊
则是柔弱、无力的代名词，是男性的点缀和装饰。人们在观念上形成了对妇女特有的歧视，认为女性资质低劣。这种社会不平等现象普遍渗透到语言中，并透过语言这面镜子真实地反映出来。
数学一第一题（２））素Ｉ、ＸＣＯＳ／＂２ｄｔ２一；②＜１９９７年数学一第二题（３》没ｆ’（ｘ）＝ｒ～ｅ“’ｄｔ，则Ｆ（ｘ）（）（Ａ）为正常数，（Ｂ）为负常数（ｃ）恒为零，（Ｄ）不为常数；③＜１９９８年数学一第二题（１）＞鼍ｅ，，（』２一，２）曲＝

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1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________. (3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==< 且已知9(),16P AB C =则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()Fx 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中12()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =,则5()2S -等于 (A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当n m >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(esin ())(e cos ),xx LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y (0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分) 论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分)设4tan :n n a xdx π=⎰(1)求211()nn n aa n ∞+=+∑的值.(2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10ac b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.) (1)【答案】1.3【分析】利用0x →的等价变换和洛必达法则求函数极限. 【详解】方法1：22300011tan tan lim lim tan limtan tan x x x x x x xx x x x x x x x →→→--⎛⎫-=⎪⎝⎭220sec 1lim3x x x →-洛220tan lim 3x xx →=2201tan lim 33x x x x x →= 方法2：222000111cos sin cos lim lim lim tan sin sin x x x x x x x x x x x x x x x →→→-⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3200sin cos cos cos sin sin limlim 3x x x x x x x x x xx x x →→--+洛0sin 1lim 33x x x →==(2)【答案】2sin x【分析】欲求(,)ba d x t dt dxϕ⎰，唯一的办法是作变换，使含有(,)x t ϕ中的x “转移”到ϕ之外【详解】令u x t =-，则dt du =-，所以有()0220sin()sin x x d d x t dt u du dx dx -=-⎰⎰220sin sin x d u du x dx ==⎰(3)【答案】22121,4xx y C eC x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭其中12,C C 为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程"40y y -=的特征方程为：240,λ-=解得122,2λλ==-，故"40y y -=的通解为22112,x xy C e C e -=+由于非齐次项为2(),x f x e =因此原方程的特解可设为*2,xy Axe =代入原方程可求得14A =，故所求通解为*2211214xx y y y C e C x e -⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭(4)【详解】因为E A λ-11...111...1 (1)1...1λλλ---⎛⎫⎪--- ⎪= ⎪⎪---⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，11...111...1 (1)1...1E A λλλλ-------=---1...121...1............11...1n n n n λλλλλ---⋯------把第，，列加到第列11...1111 (1)()............11 (1)n λλλ-------提取第列的公因子2111...10 031()............00...1n n λλλ------行行行行行行-1()n n λλ=-令-1()0n E A n λλλ-=-=，得12(10((1)n n λλ==-重)，重)，故矩阵A 的n 个特征值是n 和0((-1)n 重)(5)【答案】14 【详解】根据加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+因为()()()P A P B P C ==，设()()()P A P B P C p ===由于,,A B C 两两相互独立，所以有2()()()P AB P A P B p p p ==⨯=， 2()()()P AC P A P C p p p ==⨯=， 2()()()P BC P B P C p p p ==⨯=，又由于ABC =∅，因此有()()0,P ABC P =∅= 所以 ()()()()()()()()P AB C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+2220p p p p p p =++---+233p p =-又9()16P AB C =，从而29()3316P A B C p p =-=，则有2933016p p --= 23016p p ⇒-+=，解得 3144p ==或p因1()()()2P A P B P C p ===<，故 14p =，即1()4P A =二、选择题 (1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，可排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001()(0)(0)lim lim lim 0,0x x x xf x f f x ++++→→→-'====- 2000()(0)()(0)lim lim lim ()0,0x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====- 从而，(0)f '存在，且(0)0f '=，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将()f x 从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，5111()(2)()()2222S S S S -=--=-=而12x =是()f x 的间断点，按狄利克雷定理有， 111(0)(0)113222().2224f f S -+++===(4)【答案】B 【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因[]()()min (),()min ,r AB r A r B m n ≤≤.当m n >时，有()min[(),()]r AB r A r B n m ≤≤<. (()0AB x =的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行列式0AB =，故应选(B).方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时, 则()r B n = (系数矩阵的秩小于未知数的个数) ，方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，从而0AB =，故选(B). 方法3：用排除法(A)m n >，取()1,00,0m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭0000AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0AB =，(A)不成立 (C)n m >，取()010,,1m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭0AB =，0AB =，(C)不成立(D)n m >，取()110,,0m n n m A B ⨯⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭1AB =，1AB =，(D)不成立，故选(B).(5)【答案】B【详解】根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因X Y 和相互独立，且~(0,1)X N ，~(1,1)Y N ，所以2111~(,)T X Y N u σ=+, 2222~(,)T X Y N u σ=-其中1()u E X Y =+，21()D X Y σ=+，2()u E X Y =-，22()D X Y σ=-由期望的性质：1()()011E T E X Y EX EY =+=+=+=，2()()011E T E X Y EX EY =-=-=-=-由独立随机变量方差的性质：1()()112D T D X Y DX DY =+=+=+= 2()()112D T D X Y DX DY =-=+=+= 所以 1~(1,2)T X Y N =+，2~(1,2)T X Y N =--(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)A 选项：{}10.2P X Y +≤=因1~(1,2)T X Y N =+ 由标准化的定义：若2~(,)X N u σ，则~(0,1)X u N σ- (0,1)N ，将其标准化有{}0P X Y P P +≤=≤=≤(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化) 又因为标准正态分布图像是关于y 轴对称，所以102P ⎫≤=⎬⎭，而12P ≤<，所以A 错.B 选项：{}11.2P X Y +≤=将其标准化有：102P P ⎫≤=≤=⎬⎭(根据标准正态分布的对称性) 故B 正确.C 选项：{}10.2P X Y -≤=将其标准化有：12P P ≤=≤>，故C 错.D 选项：{}11.2P X Y -≤=将其标准化有：1P 2P ≤=≤>，故D 错.三【详解】分别在()z xf x y =+和(,,)0F x y z =的两端对x 求导数，得(,)1(,)0x y z dz dy f x y x f x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧⎛⎫'=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪'''++=⎪⎩整理后得 (,)(,)(,)yz x dy dz xf x y f x y xf x y dx dxdy dz F F F dxdx ⎧''-+=+⎪⎪⎨⎪'''+=-⎪⎩解此方程组，得(),(0)1y x y z y z y z y z xf f xf F F f xf F xf Fdz F xf Fxf dxF xf FF F ''-+''-''''+-'''==+≠'-'''+''四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点(0,0)O 沿0y =到点()2a,0A 的有向直线段1L , 如图，则()()1sin ()cos xx L L I ey b x y dx e y ax dy +=-++-⎰()()1sin ()cos x x L e y b x y dx e y ax dy --++-⎰利用格林公式，前一积分21()()2D DQ P I dxdy b a dxdy a b a x y π⎛⎫∂∂=-=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 其中D 为1L +L 所围成的半圆域，后一积分选择x 为参数，得1L :(),02,0x xx a y =⎧≤≤⎨=⎩ 可直接积分 2220()2aI bx dx a b =-=-⎰，故 23122.22I I I a b a ππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算.()()sin ()cos x x LI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰sin cos ()x x LLe ydx e ydy b x y dx axdy =+-++⎰⎰前一积分与路径无关，所以(0,0)(2,0)sin cos sin 0x x x a Le ydx e ydy e y+==⎰对后一积分，取L 的参数方程cos sin x a a t y a t =+⎧⎨=⎩，则sin cos dx a tdtdy a tdt =-⎧⎨=⎩，t 从0到π，得()Lb x y dx axdy ++⎰22223320(sin sin cos sin cos cos )a b t a b t t a b t a t a t dt π=---++⎰22311222a b a b a ππ=--+从而 22323110(2)22222I a b a b a a b a ππππ⎛⎫=---+=+- ⎪⎝⎭五【详解】如图，曲线()y y x =上点(,)P x y 处的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=- 所以切线与x 轴的交点为,0'y x y ⎛⎫-⎪⎝⎭由于'()0,(0)1,y x y >=因此()0y x >(0)x >于是 211.2'2'y y S y x x y y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭又20()xS y t dt =⎰，根据题设1221,S S -= 即 202()1,2'x y y t dt y -=⎰两边对x 求导并化简得 ()2"'yy y = 这是可降阶得二阶常微分方程，令,p y '=则dp dp dy dp y p dx dy dx dy''===，则上述方程可化为2,dp ypp dy =分离变量得dp dy p y =，解得 1,p C y =即1,dy C y dx= 从而有 12xy C e C =+，根据 (0)1,'(0)1,y y ==可得121,0,C C ==故所求曲线得方程为 xy e =六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法1：令 ()()22()1ln 1.f x x x x =---易知(1)0f =又 1()2ln 2,(1)0f x x x x f x''=-+-= 21()2ln 1,(1)20f x x f x ''''=++=>232(1)()x f x x -'''=可见，当01x <<时，()0()f x f x '''<⎧⎨''⎩；当1x <<+∞时，()0()f x f x '''>⎧⎨''⎩因此，(1)2f ''=为()f x ''的最小值，即当0x <<+∞时，()(1)20f x f ''''≥=>，所以()f x '为单调增函数. 又因为(1)0f '=，所以有01x <<时()0f x '< ；1x <<+∞时()0f x '>，所以利用函数单调性可知，1f （）为()f x 的最小值，即()(1)0f x f ≥= 所以有0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-证法2：先对要证的不等式作适当变形，当1x =时，原不等式显然成立；当01x <<时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≤+ 当1x <<+∞时，原不等式等价于1ln ;1x x x -≥+令 1()ln 1x f x x x -=-+则 ()()()222121()0011x f x x x x x x +'=-=>>++ 又因为(1)0,f =利用函数单调性可知当01x <<时，()0,f x <即1ln ;1x x x -<+当1x <<+∞时，()0,f x >即1ln ;1x x x ->+ 综上所述，当0x >时，()()221ln 1.x x x -≥-七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功123W W W W =++，其中1W 是克服抓斗自重所作的功；2W 是克服缆绳重力作的功；3W 为提出污泥所作的功. 由题意知14003012000.W N m J =⨯=将抓斗由x 处提升到x dx +处，克服缆绳重力所作的功为2dW = 缆绳每米重×缆绳长×提升高度50(30),x dx =-从而 302050(30)22500.W x dx J =-=⎰在时间间隔[,]t t dt +内提升污泥需做功为3((3)dW dt =-⨯原始污泥重漏掉污泥重）提升高度(200020)3t dt =-将污泥从井底提升至井口共需时间3010,3/ms m s= 所以 10303(200020)57000.W t dt J =-=⎰因此，共需做功123120002250057000)91500W W W W J J =++=++=（解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W ，当抓斗运动到x 处时，作用力()f x 包括抓斗的自重400N , 缆绳的重力50(30)x N -，污泥的重力(200020),3xN -⋅ 即 20170()40050(30)20003900,33f x x x x =+-+-=- 于是3023001708539003900117000245009150033W x dx x x J ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰八【分析】先写出切平面方程，然后求(,,)x y z ρ，最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点(,,)P x y z S ∈，S 在点P 处的法向量为{},,2n x y z =，设(,,)X Y Z 为π上任意一点，则π的方程为()()2()0x X x y Y y z Z z -+-+-=，化简得122x yX Y zZ ++= 由点到平面的公式，(0,0,0)O 到π的距离12222 (,,)44x yx y z zρ-⎛⎫===++⎪⎝⎭从而(,,)S SzdSx y zρ=⎰⎰⎰⎰用投影法计算此第一类曲面积分，将S投影到xOy平面，其投影域为{}22(,)|2D x y x y=+≤由曲面方程知,),z x y D=∈于是z zx y∂∂==∂∂因此dSσσ==故有(,,)S SzdSx y zρ=⎰⎰⎰⎰()222200114)44Dx y d d r rdrπσθ=---⎰⎰⎰极坐标3.2π=九【详解】(1) 因为()2244200111tan(1tan)tan secn nn na a x x dx x xdxn n nππ++=+=⎰⎰tan1400111tan tan(1)x tn nxd x t dtn n n nπ====+⎰⎰又由部分和数列()211111111()1,(1)11n n nn i ii i iS a ai i i i i n+====+==-=-+++∑∑∑有lim1,nnS→∞=因此()2111.nn n aa n ∞+=+=∑(2) 先估计n a 的值，因为40tan n n a xdx π=⎰，令tan t x =，则2sec dt xdx =，即21dtdx t=+ 所以 112001,11n n n t a t dt t n =<=++⎰⎰ 所以111,(1)n a n n n n λλλ+<<+ 由于10λ+>，所以111n n λ∞+=∑收敛，从而1nn a nλ∞=∑也收敛.十【详解】根据题设，*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),Tα=-- 根据特征值和特征向量的概念，有 *0,A αλα=把1A =-代入*AA A E =中，得*,AA A E E ==-则*AA E ααα=-=-. 把*0A αλα=代入，于是*00,AA A A αλαλα== 即0A αλα-=也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，011531(1)1a c b c a λ-++-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦常数0λ乘以矩阵153(1)a c b c a -++⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，需用0λ乘以矩阵的每一个元素 00001(1)153(53)1(1)[(1)]1a c a c b b c a c a λλλλ-++-++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+=--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得000(1)1(1)(53)1(2)(1)1a c b c a λλλ-++= ⎧⎪--+= ⎨⎪-+-=- (3)⎩因10A =-≠， A 的特征值0λ≠，*A 的特征值*0Aλλ=≠，故00λ≠由(1),(3)两式得00(1)(1)a c c a λλ-++=--+-，两边同除0λ，得 1(1)a c c a -++=--+-整理得a c =，代入(1)中，得01λ=. 再把01λ=代入(2)中得3b =- 又由1A =-，3b =-以及a c =，有153310a a A aa-=---131533110a a -+--行行121523100a a a-+列列 3113(1)23a a +--按第行展开(其中31(1)+-的指数3，1分别是1的行数和列数)3(1)2a a =--31a =-=-故 2,a c == 因此02,3,2, 1.a b c λ==-==十一【详解】“必要性”. 设TB AB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n 维列向量0x ≠，有()0,T T x B AB x > 即()()0,TBx A Bx >于是，0Bx ≠，即对任意的实n 维列向量0x ≠，都有0Bx ≠. (若0Bx =，则()00A Bx A ==矛盾). 因此，0Bx =只有零解，故有()r B n =(0Bx =有唯一零解的充要条件是()r B n =).“充分性”. 因A 为m 阶实对称矩阵，则TA A =，故(),TTT T T B ABB A B B AB ==根据实对称矩阵的定义知TB AB 也为实对称矩阵. 若()r B n =，则线性方程组0Bx =只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠，有0Bx ≠. 又A 为正定矩阵，所以对于0Bx ≠有()()()0,TT T Bx A Bx x B AB x => 故T B AB 为正定矩阵(对任意的实n 维列向量0x ≠，有()0T T x B AB x >).十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：{}{},,1,2,i i i j ij jjp P X x P X x Y y p i ⋅=======∑∑ {}{},,1,2,j j i j ij iip P Y y P X x Y y p j =======∑∑(通俗点说就是在求关于X 的边缘分布时，就把对应x 的所有y 都加起来，同理求关于Y 的边缘分布时，就把对应y 的所有x 都加起来)故 {}{}1111,ii iiP Y y p P X x Y y p⋅======∑∑ 即{}{}{}11121,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==而由表知{}116P Y y ==，{}211,8P X x Y y ===，所以 {}{}{}11121111,,6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=又根据X Y 和相互独立，则有：{}{}{},i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== 即ij i j p p p ⋅⋅=因{}111,24P X x Y y ===，{}116P Y y ==，而{}{}{}1111,P X x Y y P X x P Y y ===== 所以{}{}{}11111,124146P X x Y y P X x P Y y =======再由边缘分布的定义有{}{}{}{}1111213,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==所以 {}{}{}{}1311112,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==1111424812=--= 又由独立性知{}{}{}1313,P X x Y y P X x P Y y =====所以 {}{}{}13311,112134P X x Y y P Y y P X x =======由边缘分布定义有{}{}{}31323,,P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==所以 {}{}{}23313111,,3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 再由1i ip ⋅=∑，所以{}{}21131144P X x P X x ==-==-= 而 {}{}{}{}2212223,,,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 故 {}{}{}{}2222123,,,P X x Y y P X x P X x Y y P X x Y y ====-==-==31134848=--= 又1jjp =∑，所以{}{}{}21311111632P Y y P Y y P Y y ==-=-==--= 所以有：十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)(1) 矩估计：由期望的定义：23323666()()()()xx x E X xf x dx xx dx dx θθθθθθ+∞-∞==-=-⎰⎰⎰2323066x dx x dx θθθθ=-⎰⎰342366323422θθθθθθθ=-=-= 样本均值11ni i X X n ==∑，用样本均值估计期望有EX X =，即,2X θ= 解得θ的矩估计量 2X θ=(2) 由随机变量方差的性质：2()()D cX c D X =，所以()(2)4()D D X D X θ== 又由独立随机变量方差的性质：若X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+因12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的简单随机样本，所以12,,,n X X X ⋅⋅⋅独立且12,,,n X X X ⋅⋅⋅与X 服从同一分布，即1,2,i DX DXi n ==而 22211111111()()()()()n nnni i ii i i i D X D X D X D X D X n n n n ========∑∑∑∑22111()1()()ni n D X D X D X n n n ====∑方差的定义：[]22()()()D X E X E X =-，所以求方差只需要求出2()E X 和()E X根据二阶原点矩的定义：22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰故 33422232306666()()()()20x x x E X x f x dx x dx dx θθθθθθθ+∞-∞==-=-=⎰⎰⎰ 而()2E X θ=，所以[]222226()()()20220D XE X E X θθθ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ 因此2X θ=的方差为()(2)4()D D X D X θ==24().5D X n nθ==。

1992考研数一真题答案及详细解析

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】sin()sin()x y x ye y xy e x xy ++---【解析】函数()y y x =是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对x 求导,将y 看做x 的函数,得(1)sin()()0x yey xy xy y +''+++=.解出y ',即sin()sin()x y x ydy e y xy y dx e x xy ++-'==--.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dyf ug x dx''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅.2.两函数乘积的求导公式：[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅.(2)【答案】{}21,2,29-【解析】对函数u 求各个分量的偏导数,有2222u x x x y z ∂=∂++；2222u y y x y z ∂=∂++；2222u zz x y z∂=∂++.由函数的梯度(向量)的定义,有{}2221,,2,2,2u u u gradu x y z x y z x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂++⎩⎭,所以{}{}222122,4,41,2,212(2)9Mgradu=-=-++-.【相关知识点】复合函数求导法则：如果()u g x =在点x 可导,而()y f x =在点()u g x =可导,则复合函数[]()y f g x =在点x 可导,且其导数为()()dyf ug x dx''=⋅或dy dy du dx du dx=⋅.(3)【答案】212π【解析】x π=是[,]ππ-区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x π=处收敛于22111[(0)(0)][11]222f f ππππ-++-=-++=.【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：函数()f x 在区间[,]l l -上满足：(i)连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ)只有有限个极值点.则()f x 在[,]l l -上的傅里叶级数收敛,而且01(cossin )2n n n a n n a x b x l l ππ∞=++∑[][] (),(,)()1(0)(0),(,)()21(0)(0),.2f x x l l fx f x f x x l l f x f l f l xl ⎧⎪∈-⎪⎪=++-∈-⎨⎪⎪-++-=±⎪⎩若为的连续点,若为的第一类间断点,若(4)【答案】cos cos ,y x x C x C =+为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan 1|cos |xdxe x ⎰=,方程两边同乘1cos x,得111cos cos y y x C xx '⎛⎫=⇒=+⎪⎝⎭积分.故通解为cos cos ,y x x C x C =+为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵A 中任何两行都成比例(第i 行与第j 行的比为ija a ),所以A 中的二阶子式全为0,又因0,0i i ab ≠≠,知道110a b ≠,A 中有一阶子式非零.故()1r A =.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r 阶子式不为零,而所有的1r +阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x 的极限是否存在需要判定左极限0x x -→和右极限0x x +→是否存在且相等,若相等,则函数在点0x 的极限是存在的.11211111lim lim(1)01x x x x x e x e x ----→→-=+=-,11211111lim lim(1)1x x x x x e x e x ++--→→-=+=∞-,0≠∞,故当1x →时函数没有极限,也不是∞.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111cos()2n n n-→+∞ ,22(1)(1cos )1cos )2nn n n nααα --=-→+∞ ,又因为p 级数：11p n n ∞=∑当1p >时收敛；当1p ≤时发散.所以有22112n nα∞=∑收敛.1(1)(1cos )n n n α∞=⇒-- ∑收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数1n n a ∞=∑,确定无穷小n a 关于1n的阶(即与p 级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量τ与平面24x y z ++=的法向量{}1,2,1n =垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量{}{}2(),(),()1,2,3x t y t z t t tτ'''==-,0n n ττ⊥ ⇔⋅=,即31430t t -+=,解得11,3t t ==.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B).(4)【答案】(C)【解析】因33x 处处任意阶可导,只需考查2||()x x x ϕ ,它是分段函数,0x =是连接点.所以,写成分段函数的形式,有33,0,(), 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩对分段函数在对应区间上求微分,223,0,()3, 0,x x x x x ϕ⎧-<⎪'⇒=⎨>⎪⎩再考查()x ϕ在连接点0x =处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.30(0)()0x x ϕ++=''==,30(0)()0(0)0x x ϕϕ--='''=-=⇒=,即223,0,()3, 0.x x x x x ϕ⎧-≤⎪'=⎨>⎪⎩同理可得6,0,()6, 0,x x x x x ϕ-<⎧''=⎨>⎩(0)0ϕ''=,即6,0()6||6, 0x x x x x x ϕ-≤⎧''==⎨>⎩.对于y x =有(0)1,(0) 1.y y +-''==-所以y x =在0x =不可导,(0)ϕ'''⇒不存在,应选(C).(5)【答案】(A)【解析】1ξ,2ξ向量对应的分量不成比例,所以1ξ,2ξ是0Ax =两个线性无关的解,故()2n r A -≥.由3n =知()1r A ≤.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax =,有定理如下:对矩阵A 按列分块,有()12n A ,,,ααα= ,则0Ax =的向量形式为11220n n x x x .ααα+++= 那么,0Ax =有非零解12n ,,,ααα⇔ 线性相关()12n r ,,,nααα⇔< ()r A n.⇔<三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【解析】由等价无穷小有0x →时,22111()22x x ---= ,原式=0021sin lim 12x x x x e xx →→--=,上式为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式00cos sin lim lim1x x x x e x e x x →→-+洛必达洛必达1011+==.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求z x ∂∂,再求()z y x∂∂∂∂.由复合函数求导法则得221212(sin )()sin 2x x z f e y f x y f e y f x x x x ∂∂∂''''=++=⋅+⋅∂∂∂,212(sin 2)x z f e y f x x y y∂∂''=+∂∂∂111212122(cos 2)sin cos (cos 2)2x x x x f e y f y e y f e y f e y f y x '''''''''=++++21112221sin cos 2(sin cos )4cos x x x f e y y f e y y x y f xy f e y '''''''=⋅+⋅++⋅+⋅.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有12z z u z v u vf f x u x v x x x ∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂；12z z u z v u v f f y u y v y y y∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂.(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2x t -=,则.dx dt =当1x =时,1t =-；当3x =时,1t =,于是()31121110(2)()1t f x dx f t dt t dt e dt ----=++⎰⎰⎰⎰分段01301171.33t t t e e --⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程223(1)(3)0r r r r +-=-+=有两个根为11,r =23r =-,而非齐次项2,3x e r αα=-=为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解3xY x ae -=⋅,代入方程可得14a =-,故所求通解为33124xxx xy C e C ee --=+-,其中12,C C 为常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2)两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3)一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x eλ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x mm y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.五、(本题满分8分)【解析】将原式表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂.以考虑用高斯公式来求解,但曲面∑不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面222:0()S z x y a =+≤,法向量朝下,S 与∑围成区域Ω,S 与∑取Ω的外法向量.在Ω上用高斯公式得323232222()()()3()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy x y z dV Ω++++++=++⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求右端的三重积分得222222203()3sin ax y z dV d d d ππθϕϕρρρΩ++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4552001632sin 32155a d d a a ππϕϕρρππ=⨯=⨯⨯⨯=⎰⎰.注意S 垂直于平面yOz 与平面xOz ,将积分投影到xOy 平面上,所以左端S 上的曲面积分为SPdydzdx Qdzdx Rdxdy++⎰⎰2200(,,0)xySSD R x y dxdy ay dxdy a y dxdy=++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2220sin aa d r rdrπθθ=-⋅⎰⎰(极坐标变换)422350sin 44aa a d r dr a ππθθπ=-=-⨯⨯=-⎰⎰.因此5556295420I a a a ππ=+=.【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：sin cos ,sin sin ,cos ,x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中ϕ为向量与z 轴正向的夹角,0ϕπ≤≤；θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到向量在xOy 平面上投影线段的角,02θπ≤≤；r 为向量的模长,0r ≤<+∞.球面坐标系中的体积元素为2sin ,dv r drd d ϕϕθ=则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin .f x y z dxdydz f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、(本题满分7分)【解析】证法一:用拉格朗日中值定理来证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有111()(0)(),0f x f f x x ξξ'-=<<；在212[,]x x x +上用中值定理,又有1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,即1212()()()f x x f x f x +<+.证法二：用函数不等式来证明.要证11()()(),0f x x f x f x x +<+>,构造辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+.由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>.由此,11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>.改x 为2x 即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<,使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力F 的作用下质点由原点沿直线运动到点(,,)M ξηζ时所作的功W 的表达式.点O 到点M 的线段记为L ,则LLW F ds yzdx zxdy xydz =⋅=++⎰⎰.(2)计算曲线积分：L 的参数方程是,,,x t y t z t ξηζ===t 从0到1,1122220()3W t t t dt t dt ηζξξζηξηζξηζξηζ⇒=⋅+⋅+⋅==⎰⎰.化为最值问题并求解：问题变成求W ξηζ=在条件2222221(0,0,0)a b cξηζξηζ++=≥≥≥下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为222222(,,,)1F a b c ξηζξηζλξηζλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭,则有22222222220,20,20,10.Fa Fb F cF a b cξηζλξηξζληζξηλγξηζλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,ξηζ得222222,a b cξηζ==(0λ≠时)代入第四个方程得,,ξηζ===.相应的39W abc ==.当0λ=时相应的,,ξηζ得0W =.因为实际问题存在最大值,所以当(,,),ξηγ=时W 取最大值39abc .【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x y y f x y x y f x y x y x y λϕλϕϕ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩由这方程组解出,x y 及λ,这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1)1α能由23αα、线性表出.因为已知向量组234ααα、、线性无关,所以23αα、线性无关,又因为123ααα、、线性相关,故1α能由23αα、线性表出.(2)4α不能由123ααα、、线性表出,反证法：若4α能由123ααα、、线性表出,设4112233k k k αααα=++.由(1)知,1α能由23αα、线性表出,可设11223l l ααα=+,那么代入上式整理得411221233()()k l k k l k ααα=+++.即4α能由23αα、线性表出,从而234ααα、、线性相关,这与已知矛盾.因此,4α不能由123ααα、、线性表出.【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++= ,则称12m ,,,ααα 线性相关；否则,称12m ,,,ααα 线性无关．九、(本题满分7分)【解析】(1)设112233x x x βξξξ=++,即是求此方程组的解.对增广矩阵123(,,,)ξξξβ作初等行变换,第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以()3-加到第三行上,第三行自乘12,有111111111111123101200120149303820011 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,第三行乘以()2-、()1-分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以()1-加到第一行上,有增广矩阵10020102001 1 ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭.解出31x =,22x =-,12x =,故12322βξξξ=-+.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘A ,得22()()A A A A A ααλαλαλα====,再一直这样操作下去,有n n A αλα=.因为0α≠,故0λ≠.按特征值定义知nλ是nA 的特征值,且α为相应的特征向量.所以有,(1,2,3)nni i i i i i A A i ξλξξλξ===,据(1)结论12322βξξξ=-+,有123123(22)22A A A A A βξξξξξξ=-+=-+,于是123123112233(22)2222n n n n n n n n A A A A A βξξξξξξλξλξλξ=-+=-+=-+121322231112122233223149223n n n n n n n n +++++⎡⎤-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从()0P AB =,可知()()(|)P ABC P AB P AB C =0=,由加法公式：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1111150044416168=++---+=,故3()()1()8P ABC P A B C P A B C ==-=.(2)【解析】依题意,随机变量X 服从参数为1λ=的指数分布,故X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x -⎧ >=⎨≤⎩根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出2220()()()()X x x x E X e x e f x dx x e e dx+∞+∞-----∞+=+=+⎰⎰3014133xx xe dx e dx +∞+∞--=+=+=⎰⎰.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因2(,)X N μσ ,所以X 的密度函数为22()()x X f x μσ--=,因Y 服从[,]ππ-上的均匀分布,故Y 的密度函数为11()()2Y f y πππ==--.因为随机变量X 与Y 相互独立,所以二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)()()X Y f x y f x f y =.要求Z 的密度函数,先求Z 的分布函数()()()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤(,)x y zf x y dxdy+≤=⎰⎰()()X Y x y zf x f y dxdy+≤=⎰⎰22()12x x y zμσπ--+≤=⋅⎰⎰.2222()()1122x x z yz ydy dx dy dxμμππσσππππ--------∞--∞=⋅=⎰⎰⎰⎰12z y dy ππμπσ---⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰(由标准正态分布来表示一般正态分布)求出Z 的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z 的密度函数为11()()2Z Z z y f z F z dy ππμϕπσσ---⎛⎫'==⎪⎝⎭⎰其中()x ϕ 是标准正态分布的概率分布密度.由于()x ϕ 是偶函数,故有z y y z μμϕϕσσ--+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是111()22Z y z z z f z dy ππμπμπμϕπσσπσσ-+-⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==Φ-Φ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰.最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求()Z f z 更为简单.因为随机变量X 与Y 相互独立,由卷积公式1()()()2Z X Y f z f z y f y dyπ+∞-∞=-⎰2222()()1122z y z y dy dyμμππσσππππ--------==⎰⎰22()12y z μπσππ+---=⎰12y z dy ππμπσ-+-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭⎰112y z dy ππμϕπσσ-+-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰12z z πμπμπσσ⎡+--+-⎤⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.最终用标准正态分布函数()x Φ表示出来Z X Y =+的概率分布密度.。

中央民族大学2024年研究生考试初试大纲 850数学(微积分、线性代数)

中央民族大学硕士研究生入学考试初试科目考试大纲科目代码：850科目名称：数学（微积分、线性代数）Ⅰ.考查目标数学综合考试涵盖微积分学、线性代数两门基础课程。

要求考生掌握上述学科的基础知识、基本概念、基本方法，能够综合运用所学知识去分析和解决一些简单的现实问题。

Ⅱ.考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构全部为必答题。

其中微积分90分，线性代数60分四、试卷题型结构单项选择题9个共27分，其中微积分6个，线性代数3个，每个3分；填空题11个共33分，其中微积分7个，线性代数4个，每空3分；计算题5个共60分，其中微积分3个，线性代数2个，每个12分；证明题2个共30分，其中微积分1个，线性代数1个，每个15分。

Ⅲ.考查范围第一部分微积分【考查目标】1.准确识记微积分的基本知识。

2.准确理解微积分的基本概念和基本原理。

3.能够运用基本的数学知识、概念和原理解决一些简单的现实问题。

一、函数与极限（一）映射与函数（二）数列的极限（三）函数的极限（四）无穷小与无穷大（五）极限运算法则（六）极限存在准则，两个重要极限（七）无穷小的比较（八）函数的连续性与间断点（九）连续函数的运算与初等函数的连续性（十）闭区间上连续函数的性质（不包括一致连续性）二、导数与微分（一）导数概念（二）函数的求导法则（三）高阶导数（四）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（五）函数的微分三、微分中值定理与导数的应用（一）微分中值定理（二）洛必达法则（三）泰勒公式（四）函数的单调性与曲线的凹凸性（五）函数的极值与最大最小值（六）函数图形的描绘四、不定积分（一）不定积分的概念与性质（二）换元积分法（三）分部积分法（四）有理函数的积分五、定积分（一）定积分的概念和性质（二）微积分基本公式（三）定积分的换元法和分部积分法（四）反常积分六、定积分的应用（一）定积分的元素法（二）定积分在几何学上的应用七、多元函数微分法及其应用（一）多元函数的基本概念（二）偏导数（三）全微分（四）多元复合函数的求导法则（五）隐函数的求导公式（六）多元函数的极值及其求法八、重积分（一）二重积分的概念与性质（二）二重积分的计算法（三）二重积分的应用第二部分线性代数【考查目标】1.准确识记线性代数的基本知识。

2003考研数二真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a = .(2) 设函数()y f x =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程是 .(3) xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 .(4) 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .(5) 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .(6) 设三阶方阵,A B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(2) 设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于( ) (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e . (C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .(3) 已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为( )(A) .22x y - (B) .22x y (C) .22yx - (D) .22y x(4 ) 设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(5) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则( )(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>(6)设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( ) (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三、(本题满分10分)设函数 32ln(1),0arcsin ()6,01,sin 4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩ 问a 为何值时，()f x 在0x =处连续；a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点？四、(本题满分9分)设函数()y y x =由参数方程212ln 112,(1)ut x t t e y du u +⎧=+⎪>⎨=⎪⎩⎰所确定，求.922=x dxyd五、(本题满分9分)计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七、(本题满分12分)讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线()y f x =过点)21,22(，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 ()y f x =的方程；(2) 已知曲线sin y x =在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s .九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m . 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以2/min m π的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十一、(本题满分10分)若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】4-【详解】当0→x 时，11(1)1~nx x n +-，sin ~x x ，则241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x由题设已知，当0→x 时，124(1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，所以 12242001(1)141lim lim sin 4x x ax ax a x x x →→--===-，从而 4a =-．(2)【答案】0x y -=【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可．【详解】对所给方程两边对x 求导数，将其中的y 视为x 的函数，有y y xy x y '=+'+342将1,1x y ==代入上式，得.1)1(='y 故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点(1,1)处的切线方程为)1(11-⋅=-x y ，即.0=-y x(3)【答案】!)2(ln n n【详解】()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求()y f x =的麦克劳林公式中nx 项的系数相当于先求()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f，()(0)!n f n 就是麦克劳林公式中nx 项的系数. 2ln 2x y ='；2)2(ln 2x y =''；()2(ln 2)n x n y = (归纳法及求导公式)于是有nn y )2(ln )0()(=，故xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn =(4)【答案】)1(414-ae aπ 【详解】方法1：用定积分计算. 极坐标下平面图形的面积公式：θθρβαd S ⎰=)(212，则 θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a)1(414-ae aπ．方法2：用二重积分计算. D 表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：Dd d σρρθ=⎰⎰所以 2220012a e a DS d d rdr e d θππθσθθ===⎰⎰⎰⎰⎰=)1(414-ae aπ．(5)【答案】3【分析】本题的可由矩阵Tαα的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成．也可设TA αα=求出α，或利用2A 或设123[]T x x x α=，定出α等．【详解】方法1：观察得A 的三个行向量成比列，其比为1:1:1, 故111111111T A αα-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT方法2：TA αα=， 2()()(1)TTTTTA Aαααααααααα===而 21111113331111113333(2)111111333A A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦比较(1)，(2)式，得3Tαα=．方法3：设123[]T x x x α=211213221223231323111111111Tx x x x x A x x x x x x x x x x αα⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 故 122212321233()T x x x x x x x x x αα⎡⎤⎢⎥==++⎢⎥⎢⎥⎣⎦(A 的主对角元之和)(6)【答案】21【分析】先化简分解出矩阵B ，再计算行列式B 或者将已知等式变形成含有因子B 的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．【详解】方法1：由E B A B A =--2，知E A B E A +=-)(2，即E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A E +可逆，于是有 .)(E B E A =-再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为2002010100=-=-E A , 所以=B 21．方法2：由E B A B A =--2，得E A B E A E A +=-+))((等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得A E A EB A E +-=+约去0A E +≠，得 112B A E ==+．二、选择题 (1)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在．所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(2)【答案】()B【详解】dx x xa n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+ (第一类换元法) =3121(1)n n n x n++321111nn n n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭可见 n n na ∞→lim =32lim 111n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=321(1)1lim 1(1)11n n n n n -+-+→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥-⎧⎫ ⎪++-⎢⎥⎨⎬ ⎪+⎩⎭⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦(凑重要极限形式) 312(1)1e -=+- (重要极限)所以选项()B 正确(3)【答案】()A 【详解】将x x y ln =代入微分方程y x y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，其中2ln 1ln x y x -'=，得： )(ln ln 1ln 1ln 2x x xx ϕ+=-，即 21(ln )ln x x ϕ=- 令ln x u =，有21)(uu -=ϕ，以xu y =代入，得 )(y xϕ=.22xy - 故选项()A 正确．(4) 【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(5)【答案】()B【详解】令()tan x x x ϕ=-，有2(0)0,()sec 10,0,4x x x πϕϕ⎛⎫'==-> ∈ ⎪⎝⎭，所以当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()x ϕ单调递增，则()0x ϕ>，即tan 0x x >>，tan 1x x >，<1tan xx，由定积分的不等式性质知，44412000tan 14tan x xI dx dx dx I x xππππ=>=>=⎰⎰⎰可见有 21I I >且42π<I ．(6)【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关．或其逆否命题：若向量组I ：rααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤．可见正确选项为(D)．本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】用排除法：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．三【详解】函数()f x 在0x =处连续，则要求函数()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，即(0)(0)(0).f f f +-==300ln(1)(0)lim ()lim arcsin x x ax f f x x x ---→→+==-30lim arcsin x ax x x-→=-(由于ln(1)(0)x x x +→，所以33ln(1)ax ax +(0)x →)23lim 11x ax -→= （型极限，用洛必达法则）2lim lim x x --→→= (极限的四则运算) =2023lim 12x ax x -→- （1222211(1)1()(0)22x x x x ---=-→）6a =-2001(0)lim ()lim sin4ax x x e x ax f f x x x +++→→+--==2201lim 4ax x e x ax x +→+--= 22014lim ax x e x ax x +→+--=024lim 2ax x ae x a x +→+-= 220024lim 2lim (2)2ax ax x x a e a e ++→→+=+=224a =+ (0) 6.f =所以，0x =为()f x 的连续点⇔(0)(0)f f +-=⇔26624a a -==+，得1-=a ；所以，0x =为()f x 的可去间断点⇔26246a a -=+≠，即22640,1a a a ++=≠-但解得2-=a ，此时()f x 在0x =为可去间断点．四【分析】(i)变上限积分求导公式：()()()()()()()()u x v x df t dt f u u x f v v x dx''=-⎰；(ii)参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩的一阶导数:1()()dy dy dt dy t dx dx dt dx dt t dtψϕ'=⋅=⋅='； (iii)若()x t ϕ=，()y t ψ=二阶可导，函数的二阶导数公式：2223()()()()()()1()()()()()()()d y d dy d t dtdx dx dx dt t dxt t t t t t t t t t t ψϕψϕψϕψϕψϕϕϕϕ'⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭''''''''''''--=⋅='''【详解】设2()12x t t ϕ==+,12ln 1()ute y t du uψ+==⎰，则 ()4dxt t dtϕ'==；12ln 2222()12ln 12ln 12ln t dy e e t et t dt t t t t t ψ+⋅'==⋅=⋅=+++；所以 212ln 42(12ln )etdy et dx t t +==+ 所以 2222214()11()2(12ln )44(12ln )44(12ln )e d y d dy d t dt e e t dx dx dx dt t dx t t t t t t ψϕ-''⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪'+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当9x =时，由221t x +=及1t >得2t =, 故2222229.4(12ln )16(12ln 2)t x d y eedx t t ===-=-++五【详解】方法1：第二类换元法. 由于被积函数中含有根号21x +，作积分变量变换tan ()22x t x ππ=-<<，那么3232(1)sec x t +=，2sec dx tdt =，则dx x xe x⎰+232arctan )1(=2322tan sec (1tan )t e ttdt t +⎰23tan sec sec t e t tdt t =⎰ 三角变换公式 tan sec tte dt t=⎰=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e t t ⎰-- 分部积分(cos (sin ))t t e t e d t =--⎰(cos sin sin )t t t e t e t e tdt =--+⎰ 分部积分 =tdt e t e t e t t t sin sin cos ⎰-+-，故.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt+-=⎰由tan ()22x t x ππ=-<<得arctan t x =，因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++- 方法2：分部积分法dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de xx arctan 21⎰+arctan arctan ()x xd e e ==dx x e xxe x x ⎰+-+232arctan 2arctan )1(1 分部积分=x x de xxxe arctan 22arctan 111⎰+-+arctan arctan ()x xd e e =arctan arctan arctan 322122(1)xxx x e dx x ⎛⎫-⋅ ⎪=-⎪+⎪⎭⎰ 分部积分 =dx x xe xe xxe x x x ⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得；dx x xe x ⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xe x x ++-六【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-．代入原方程，得 .sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21x x e C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．七【详解】讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数等价于讨论方程4()ln 4ln 4x x x x k ϕ=-+-在区间(0,)+∞内的零点问题，为此对函数求导，得334ln 44()4(ln 1).x x x x x x xϕ'=-+=-+可以看出1x =是)(x ϕ的驻点，而且当10<<x 时，3ln 0x <，则3ln 10x x -+<，而40x>，有()0x ϕ'<，即)(x ϕ单调减少；当1x >时，3ln 0x >，则3ln 10x x -+>，而40x>，有()0x ϕ'>，即)(x ϕ单调增加，故k -=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的惟一极小值即最小值.① 当(1)40k ϕ=->，即当4k <时，()(1)0x ϕϕ≥>，)(x ϕ无零点，两曲线没有交点；② 当(1)40k ϕ=-=，即当4k =时，()(1)0x ϕϕ≥=，)(x ϕ有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；③ 当(1)40k ϕ=-<，即当4k >时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与),1(+∞内各至少有一个零点，又因)(x ϕ在区间(0,1)与),1(+∞内分别是严格单调的，故)(x ϕ分别各至多有一个零点. 总之，)(x ϕ有两个零点．综上所述，当4k <时，两曲线没有交点；当4k =时，两曲线仅有一个交点；当4k >时，两曲线有两个交点．八【详解】(1) 曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为)(1x X y y Y -'-=- 令0X =，则它与y 轴的交点为).,0(yxy '+ 由题意，此点与点(,)P x y 所连的线段被x 轴平分，由中点公式得0)(21='++y xy y ，即.02=+xdx ydy 积分得222x y C +=(C 为任意常数)，代入初始条件2122==x y得12C =，故曲线()y f x =的方程为22122x y +=，即.1222=+y x (2) 曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为2222.x tl ππππ=+-====⎰⎰⎰弧长公式另一方面，将(1)中所求得的曲线()y f x =写成参数形式，在第一象限中考虑，于是⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 于是该曲线的弧长为：s ===2)t u du π=-=-= 所以12l =，即s ．九【详解】(1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，此时液面的面积为2()()A t y πϕ=圆的面积公式,由题设：液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，可得2()()dA t d y dt dt πϕπ==，即2()1dy dtϕ= 所以2()y t C ϕ=+, 由题意，当0t =时()2y ϕ=，代入求得4C =，于是得2() 4.y t ϕ=+从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为20()()yV t u du πϕ=⎰，由题设：以min /33m 的速率向容器内注入液体，得()20()()3y dV t du du dt dtπϕ==⎰所以 220()33()12.yu du t y πϕϕ==-⎰上式两边对y 求导，得2()6()()y y y πϕϕϕ'=变限积分求导，即()()6d y y dy ϕπϕ= 解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知2C =, 故所求曲线方程为.26ye x π=十【详解】(1) 因为极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，且lim()0x a x a +→-=，故lim (2)0x a f x a +→-=又()f x 在[,]a b 上连续，从而lim (2)()x af x a f a +→-=，则()0f a =．由于0)(>'x f ，则()f x 在(,)a b 内严格单调增加，所以()f x 在x a =处取最小值，即).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 由要证明的形式知，要用柯西中值定理证明．取2()F x x =，()()xag x f t dt =⎰()a x b ≤≤，则0)()(>='x f x g ，则)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(,)a b 内存在点ξ，使222()()()2()()()()()(())baxaaa x Fb F a b a x g b g a f f t dt f t dtf t dt ξξξ='--===-'-⎰⎰⎰ 即)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰． (3) 在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，得在),(ξa 内存在一点η，使()()()()f f a f a ξηξ'-=-因()0f a =，上式即))(()(a f f -'=ξηξ，代入(2) 的结论得，))((2)(22a f dxx f a b ba-'=-⎰ξηξ即 ⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十一【分析】已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a . 至于求P ，则是常识问题．【详解】矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(628222---=------=-λλλλλλa A E =)2()6(2+-λλ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r42021068400000000E A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0a =．于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ，解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 232()3()23232323a b ca b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b-=++-=-++-1006()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++--- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．。

积分变限函数求导的基本方法

善ｒ一
导类型及方法概括总结，并详细解答例题，帮助学生深刻理解积分
变限函数的实质及内涵，击破难点。
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１积分变限函数基本求导公式
积分变限函数求导，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基本原理是以下五个公式【３Ｊ：
因为ｆ（０）＝１，ｆ（０）≠０，分子的极限值为０，若满足同阶无穷
科技论坛
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积分变限函数求导的基本方法
秦琳（北京科技大学天津学院，天津３０１８３０）
摘要：本文总结了积分变限函数的基本求导公式，研究了被积函数中含有参变量的积分变限函数求导问题，并结合实例做了详细演算，能帮助学生突破积分变限函数求导这一难点。
参考文献
Ｆ（）＝ｅ口，（ｘ，，）＝ｒａｇ（ ·ｈ（ｔ）ｄｔ＝ｇ（）－．’ｆ￣ｈ（ｔ）ｄｔ，那么
【１】卢亚丽等．变限积分函数求导方法研究［Ｊ】．河南教育学院学报（自
然科学版），２００４（３）：４—６．
Ｆ（＝ｇ）·ｒ（ｆ）＋ｇ（）·（ｅ（ｆ）鳓＝ｇ（）Ｃ万（＋ｇ（ｘ）（ｘ）．【２】同济大学数学系．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２０１４．
其基本原理，是ｇ（ｘ）不参与积分运算，将其提到积分号前面，然［３】吕继荣等．关于变限积分函数求导问题的研究与应用［Ｊ］．数学学习
后利用乘积的求导法则求解。
与研究．２０１５（１９）：１３４—１３７．
例２（２０１２天津大学生数学竞赛）·设函数ｆ（ｘ）有连续导数，ｆ（０）

2020考研高数(一)真题及答案解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。

（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。

（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（）（A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ）【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。

2004考研数一真题答案及详细解析

一、填空题(1)【答案】 y =x −1【详解】方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k 1 − =1，所以与其垂直的直线的斜率k 2 满足121k k =-，所以21k -=-，即21k =，曲线l n y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即11)(ln =='='xx y ，得1x =，把1x =代入l n y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y 方法2：本题也可先设切点为)l n ,(00x x ，曲线l n y x =过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，所以切点为()00(,ln )1,0x x =，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y .(2)【答案】2)(ln 21x 【详解】先求出)(x f '的表达式，再积分即可.方法1：令t e x=，则t x l n =，1xet -=，于是有t t t f ln )(='，即.ln )(xx x f ='两边积分得2ln 1()ln ln (ln )2xf x dx xd x x C x ===+⎰⎰.利用初始条件(1)0f =,代入上式：21(1)(ln1)02f C C =+==，即0C =，故所求函数为()f x =2)(ln 21x .方法2：由l n xx e =，所以xx x ee f -=')(l n ln xx xx e e ee-=⋅=，所以.ln )(x x x f ='下同.(3)【答案】23【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，用参数式可表示为.20:,s in 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x 于是2Lx dy ydx -=⎰202cos 2sin 22sin 2cos d d πθθθθ⎡⎤-⎣⎦⎰20[2cos 2cos 22sin 2sin ]d πθθθθθ=⋅+⋅⎰()22222220[2cos 4sin ][2cos sin 2sin ]d d ππθθθθθθθ=+=++⎰⎰222220[22sin ]22sin d d d πππθθθθθ=+=+⎰⎰⎰()220021cos 2d ππθθθ=+-⎰222000131cos 22sin 2222d πππππθθθθ=+-=-⎰()3133sin sin 002222ππππ=--=-=(4)【答案】221x c x c y +=【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可.令te x =，有1ln ,dt t x dx x ==，则1dy dy dt dy dx dt dx x dt=⋅=，221d y d dy dx dx x dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭()211dy d dy d uv vdu udv x dt x dx dt ⎛⎫=+ -+ ⎪⎝⎭211dy d dy dt x dt x dt dt dx ⎛⎫=-+⋅⎪⎝⎭2222222111dy d y d y dy x dt x dt x dt dt ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭代入原方程：222211420d y dy dyx x y x dt dt x dt⎛⎫⋅-+⋅+= ⎪⎝⎭，整理得02322=++y dt dy dt y d ，此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2320r r ++=，所以特征根为：121,2r r =- =- ，12r r ≠ ，所以02322=++y dt dydty d 的通解为1221212r t r t t ty c e c e c e c e --=+=+又因为te x =，所以2211,tt ee x x --= =，代入上式得212122.t t c cy c e c e x x--=+=+(5)【答案】91【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2A B A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有A B A B +=63，移项、合并有A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19=方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得**2ABA BA -=*(2)A E BA E-=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有**(2)21A E BA A EB A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则1n A A-*=.所以，312A A A -*===9；又0102100001A E -=1210(1)01+=-=1.故1192B A E A*==-.(6)【答案】e1【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为,0()00x e x f x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若，其方差21λ=DX .于是，由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有}{D X X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=11xe eλλ+∞--=二、选择题(7)【答案】(B)【详解】方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x tdt x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又23230001sin sin 2lim lim lim 2tan tan xx x x x x t dtx x xtdtγβ+++→→→⋅= ⎰⎰洛必达201lim4x x x +→=∞等价无穷小替换，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有220lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txxxα++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim xk k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =,有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===，所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.31313222211100000sin sin lim lim lim lim lim ,222xk kk k k x x x x x t dtx x x x xx x kx kx kx γ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =,有221001lim lim 224x x xx x γ++-→→==⋅，所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】(C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x 根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(9)【答案】(B)【详解】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法1：排除法.取()()11ln 1n a n n =++，则n n na ∞→lim =0，又()()1111ln 11pn p n n p ∞= >⎧⎨++ ≤⎩∑收敛，当发散，当，所以()()1111ln 1n n n a n n ∞∞===++∑∑发散，排除A ，D ；又取n n a n 1=，因为p 级数1111p n p n p ∞= >⎧⎨ ≤⎩∑收敛，当发散，当，则级数111n n n a n n ∞∞===∑∑收敛，但221lim lim lim n n n n n a n n n n→∞→∞→∞=⋅==∞，排除(C),故应选(B).方法2：证明(B)正确.l im 0n n na λ→∞=≠,即l im 1nn a nλ→∞=.因为11n n∞=∑发散，由比较判别法的极限形式知，1nn a∞=∑也发散，故应选(B)..(10)【答案】(B)【详解】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x :⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t ，其他地方不出现t由⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(知：1y x ty t <<⎧⎨<<⎩，交换积分次序11x t y x <<⎧⎨<<⎩，得⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdxx x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有)2()2(f F ='，故应选(B).方法2：设()()x f x 'Φ=，于是1()()t t yF t dy f x dx =⎰⎰11()()t t t tyydy x dx dy d x '=Φ=Φ⎰⎰⎰⎰1[()()]t t y dy =Φ-Φ⎰1()(1)()tt t y dy=Φ--Φ⎰所以()()(1)()()()(1),F t t t t t f t t ''=Φ-+Φ-Φ=-所以(2)(2)F f '=，选(B).(11)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(12)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0A B =，则()()r A r B n+≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0A B =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0A B =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ==== 因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=.即齐次线性方程组0A x =有非零解.由齐次线性方程组0A x =有非零解的充要条件()r A n <,知()r A n <.所以A 的列向量组线性相关.又()0T T T AB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T T TT T m i B A B B i m αααα==== 因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0TT i Bα=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解.由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法3：设(),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=,将A 按列分块，记()12n A A A A =由0A B =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b bb A A A b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠,所以至少有一个0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤),又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++= ,所以12,,,m A A A 线性相关.即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,nm R ααα∈ ，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα 线性相关.)又将B 按行分块，记12n B BB B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,同样，0A B =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭ 0=由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤),使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++= ,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关,即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).(13)【答案】C【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有{}{}{}12P X x P X x P X x >=<-=>.或直接利用图形求解.方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有21}{α-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有21α-=u x ，故应选(C).方法2：Oxy()f x {}P X u αα>=图1图2如图1所示题设条件.图2显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积12α-，所以12{}P X u αα-<=，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，所以必有：2, (,)0, i j i jCov X X i jσ⎧==⎨≠⎩又222111()n n ni i i i i i i i D a X a D X a σ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑Oxy{}P X x α<=12α-()f x下面求1(,)Cov X Y 和1()D X Y +.而11,ni i Y X n ==∑故本题的关键是将Y 中的1X 分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：1111112111(,)(,)(,)(,)n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑11DX n=21n σ=所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算.可以看本题(C),(D)选项.因为X 与Y 独立时，有()()()D X Y D X D Y ±=+.所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：22211222111(1)1()()n n n n D X Y D X X X n n n n nσσ++-+=+++=+ =222233σσn n n n n +=+，222222111)1()111()(σσnn n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =.222222σσn n n n n -=-所以本题选(A)三、解答题(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2l n f x x =在()2[,],a b e e ⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>.设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(ttt -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-=，即,0)(<'t ϕ所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln e e e =>ξξ，得22ln 4eξξ>故)(4ln ln 222a b ea b ->-.方法2：利用单调性，设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可.24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e eϕ'=-=-=，)2ln 12)(x x x -=''ϕ,当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-，故)(4ln ln 222a b ea b ->-.方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---,则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=,⇒x e >时,1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少,从而当2e x e <<时,22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加.从而当2e a x b e <<≤<时,()()0x a ϕϕ>=.⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(16)【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h k m v /7000=.从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=.又dx dv v dt dx dx dv dt dv =⋅=.由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-=由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.mx v C k=-+=故得0v k m C =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.方法2：根据牛顿第二定律，得kv dtdvm-=,分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+，通解：t mk C ev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞.于是由d x vdt =，有00() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt e km kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰或由()0kt mdx v t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dt dv m -=，dx v dt =，化为x 对t 的求导，得dt dxk dtx d m -=22,变形为022=+dtdxm k dt x d ，0(0)(0),(0)0v x v x '===其特征方程为02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m-=======-=，得,021km v C C =-=于是).1()(0t m k e kmv t x --=当+∞→t 时，).(05.1)(0km k mv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.方法1：加、减曲面片高斯公式.取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdyzdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233133212223(1)x dydz y dzdx z dxdy I I ∑-++-=-⎰⎰由高斯公式：设空间闭区域Ω是由分段光滑的闭曲面∑所围成，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有P Q R Pdydz Qdzdx Rdxd y dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 这里3322,2,3(1)P x Q y R z = == -，2226,6,6P QR x y z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以2216()I x y z dvΩ=++⎰⎰⎰利用柱面坐标：c os sin ,01,02,x r y r r dv rdrd dz z z θθθπθ=⎧⎪= ≤≤ ≤≤ =⎨⎪=⎩，有：2216()I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰=r dzr z dr d r )(620101022⎰⎰⎰-+πθ()()221221123200011212122r r z r r z dr rr r drππ--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰()13246011124346r r r π⎛⎫- ⎪=-⋅+- ⎪⎝⎭11226ππ=⋅=记D 为1∑在x oy 平面上的投影域(){}22,1D x y xy =+≤，则0z =，0d z =，又1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，从而：()13322223(1)301DI x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑=++-=--⎰⎰⎰⎰33Ddxdy π==⎰⎰(其中Ddxdy ⎰⎰为半径为1圆的面积，所以11Ddxdy ππ=⋅=⎰⎰)故1223.I I I πππ=-=-=-方法2：用转换投影法：若(),z z x y =，z 对,x y 具有一阶连续偏导数，则,z zdzdx dxdy dydz dxdy x y∂∂=-=-∂∂.曲面22221:1,(1),2,2z zz x y x y x y x y∂∂=--+≤=-=-∂∂∑，由转换投影公式332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy∑=++-⎰⎰332[2()2()3(1)]z zx y z dxdy x y∑∂∂=-+-+-∂∂⎰⎰44222[443(1)3]Dx y x y dxdy=++---⎰⎰利用极坐标变换：c os ,01,02,sin x r r dxdy rdrd y r θθπθθ=⎧ ≤≤ ≤≤ =⎨=⎩，所以214444220[4cos 4sin 3(1)3]I d r r r rdrπθθθ=++--⎰⎰215454530[4cos 4sin 3(2)]d r r r r drπθθθ=++-⎰⎰24404413(cos sin )6622d πθθθ=++-⎰()2222222004cos sin 2cos sin 6d d ππθθθθθθ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰2220412cos sin 26d πθθθπ⎡⎤=--⎣⎦⎰22220041cos sin 2263d d ππθθθθπ=--⎰⎰()20411cos 4236d ππθθπ=---⎰22004112cos 4sin 433624d πππππθθπθ=---=--⎰0ππ=--=-或244044(cos sin )66d πθθθ+⎰直接利用公式44220031cos sin 422d d πππθθθθ==⋅⋅⎰⎰及224444220cos 4cos 4sin sin d d d d ππππθθθθθθθθ===⎰⎰⎰⎰则244044431(cos sin )24666422d ππθθθπ+=⋅⋅⋅⋅⋅=⎰所以，原式2πππ=-=-(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.零点定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=；单调性：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在(),a b 内可导，如果在(),a b 内()0f x '>，那么函数()f x 在[],a b 上单调增加；比较审敛法：设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且n n u v ≤，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛.【证明】记()1nn f x x nx =+-，则()n f x 是连续函数，由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，对照连续函数的零点定理知，方程01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x 当0x >时，0)(1>+='-n nxx f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加,故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x 由01=-+nx x n与0>n x 知nn x x nn n 110<-=<，故当1>α时，函数y x α=单调增，所以αα)1(0n x n <<.而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.(19)【分析】根据极值点存在的充分条件：设函数(,)z f x y =在点()00,x y 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0000(,)0,(,)0x y f x y f x y = =，令000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C = = =，则(,)z f x y =在()00,x y 处是否取得极值的条件如下：(1)20A C B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值；(2)20A C B -<时没有极值；(3)20A C B -=时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.【详解】因为0182106222=+--+-z y z y xy x ，所以两边对x 求导：02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ，①两边对y 求导：0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x .②根据极值点存在的充分条件，令00zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩，故⎩⎨⎧==.,3y z y x 将上式代入0182106222=+--+-z y z y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对,x y 求偏导数，②分别对,x y 求偏导数①式对x 求导：02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，②式对x 求导：,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--y x zz x z y z y x z y x z ①式对y 求导：,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx zz x z y z y x z y x z ②式对y 求导：02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，将⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz代入，于是61)3,3,9(22=∂∂=x z A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=yx z B ，35)3,3,9(22=∂∂=yz C ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，极小值为(9,3)3z =.类似地，将⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z x z 代入，于是22(9,3,3)16z A x ---∂==-∂，2(9,3,3)12zB x y---∂==∂∂，22(9,3,3)53z C y ---∂==-∂，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9,-3)是(,)z x y 的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.(20)【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A n n n n a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+= 行行111120000a a a B na a +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0A x =有非零解的充要条件是()r A n <.故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) 分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (1)12,3i i n ⨯-+= 行()(1)00022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理,知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A n n n n a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦00011110002222000a a a n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法a E =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +，下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q n n n n λλλλ---------=---- 11112001(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=- 行行(1)1112()1000(2,3,,)000n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若A x x λ=，则()(),m m kA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++,由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A .可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A n n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1)(2,)i i i n ⨯-+= 行（行1111000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，.故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x 此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) 分别代入()*式，由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (1)1(2,3)i i n ⨯-+= 行(1)00022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即00002100001n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(21)【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行1101(2)14315a λλλ------提出行公因数1101(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1)若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-.由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6,由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数.由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,从而A 可相似对角化.(2)若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得.32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+ 行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=,不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,知A 不可相似对角化.(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.先确定(,)X Y 的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(,)X Y 的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I)由于1()()(|)12P AB P A P B A ==，所以,61)()()(==B A P AB P B P利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====21()()()3P A P B P AB =--+=(或32121611211}0,0{=---===Y X P )，故(,)X Y 的概率分布为Y X1032121161121(II),X Y 的概率分布分别为213{0}{0,1}{0,0},3124P X P X Y P X Y ====+===+=111{1}{1,1}{1,0},6124P X P X Y P X Y ====+===+=111{1}{0,1}{1,1},12126P Y P X Y P X Y ====+===+=215{0}{0,0}{1,0}.366P Y P X Y P X Y ====+===+=所以,X Y 的概率分布为X 01Y 01P4341P6561由01-分布的数学期望和方差公式，则61,41==EY EX ，1334416DX =⨯=，1566DY =⨯536=,{}{}{}()00111,1E XY P XY P XY P X Y =⋅=+⋅====112=,故241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY (23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.似然函数的定义：121()(,,,;)(;)nn ii L f x x x f x θθθ===∏ 【详解】X 的概率密度为11,,(;) 1.0,x f x xx βββ+⎧>⎪=⎨≤⎪⎩(I)矩估计.由数学期望的定义：1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx xx dx x x f EX ，用样本均值估计期望有E X X =，令X =-1ββ，解得1-=X Xβ，所以参数β的矩估计量为.1ˆ-=X X β其中11nii X X n ==∑(II)最大似然估计.设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L in nni i ββββ当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，()L β与l n ()L β在相同的β点取得最大值；所以等式两边取自然对数，得1ln ()ln (1)ln ni i L n x βββ==-+∑，两边对β求导，得∑=-=n i i x nd L d 1ln )(ln βββ，令0)(l n =ββd L d ，可得∑==ni ixn1ln β，解得β的最大似然估计值为： 1ln nii nxβ==∑。

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）（1） 2-【考点】求极限，连续性概念【解】 tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-等等； 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→=== ()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =-(2) 1【考点】用广义积分求平面图形面积【解】面积=0xx x xxe dx xde xe e dx +∞+∞----+∞⎡⎤=-=--⎣⎦⎰⎰⎰lim 00x xx x b b xe e xe e ----→+∞+∞⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦ lim 11b b b be e --→+∞⎡⎤=---=⎣⎦ 其中1lim limlim 0bb bb b b b bee e -→+∞→+∞→+∞==洛.(3)y =【考点】求二阶可降阶的微分方程满足一定初始条件下的特解（注意本题类型与2000（一）题的区别）【解】方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====.原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp y p dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得 12dy dx y=解之，得22,y x C y =+=以01x y==代入，得1=+”号且21C =.于是特解是y = (4)π【考点】利用定积分求一种特殊的数列极限【解】记1n u n =+11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5） 4【考点】矩阵的特征值【解】 22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个日特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）（D ）【考点】函数增量的线性主部与该点处导数的关系【解】在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx=≠时0x x dyx dx=∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dy x f x x x dx '∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）.(2) （D ）【考点】奇、偶函数的变限积分性质【解】[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，0[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.(3) (C) 【考点】求“”型的极限，洛比达法则或佩亚诺余项泰勒公式【解】方法1： 220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=.(4) (B)【考点】函数的极限与导数极限的关系，拉格朗日中值定理的应用【解】方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（Ｄ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<令,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾. （5）（A ）【考点】线性表出与线性相关性的关系【解】方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反正法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设 12112233k ββλαλαλα+=++因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）. 三、（本题满分6分）【考点】求极坐标方程曲线的切线斜率【解】极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,,2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=--，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即1044x y +-+=.四、（本题满分7分）【考点】求分段函数变限积分的表达式【解】当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰当01x ≤<时，011()()()()x xF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）【考点】已知含有某抽象函数()f x 的极限，求该未知函数（包括求解微分方程）【解】 11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分8分）【考点】求解一阶微分方程，求旋转体体积，求一元函数的最值【解】这是一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y e e dx C -⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x=-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰取C 使V 最小，为此求dVdC ，并命其等于0， 6215()052dV C dC π=+= 75.124C =-又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）【考点】用定积分求液体的侧压力【解】方法1：建立坐标系如图，细横条为面积微元，按所建立的坐标系及题设，面积微元 2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+-平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=. 抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m .方法2：建立坐标系如图，细横条为面积微元，按所建立的坐标系及题设，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2()dp gx h y dy ρ=-平板ABCD 上所受的总压力为 1102()hP gx h y dy ρ+=-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物线AEB 的方程为21y x =-，在抛物板上所受的总压力为212(),P gx h y dy ρ-=-⎰其中以x =2124()315P g h ρ=+.以下与方法1同.略.八、（本题满分8分）【考点】证明数列的极限存在性并求之【解】方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以 3lim 2n n x →∞=. 方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-=由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）【考点】不等式的证明【解】左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边.方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++ 222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=--有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）【考点】无穷小的比较，洛必达法则，佩亚诺余项泰勒公式【解】方法1：由题目要求，去证存在唯一的一组123,,λλλ1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L hλλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L hλλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩以下同方法1.十一、（本题满分6分）【考点】逆矩阵，解矩阵方程【解】（1）由题设条件124A B B E -=- 两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.十二、（本题满6分）【考点】线性非齐次方程组解的结构【解】方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

考研数学2009真题及分析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。

2007年硕士研究生入学考试数学四试题及答案解析

2007年硕士研究生入学考试数学四试题及答案解析一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→等价的无穷小量是（A）1- （B）（C1 （D）1- [ ]【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1x --，112x，()211122xx -=，故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x x +++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++=.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，()lim x f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. （4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] 【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-，故选（D ）.【评注】需掌握经济中的边际，弹性等概念. （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] 【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0limlim 11xxx x x x x x yx x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==， []()1lim lim ln 1e0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-，所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）.（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] 【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. 【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+. 【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. 【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂，所以122z z y x x y f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x +=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即y =1e x ->.【评注】本题为基础题型.（15）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型.（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=，即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的. 【评注】本题为基础题型.（18） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122220110d d d d xx x x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=+. 所以(D1(,)d 13f x y σ=++⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=+.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.（20） (本题满分10分)设函数()f x 具有连续的一阶导数，且满足()2220()()d xf x xt f t t x '=-+⎰，求()f x 的表达式.【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解】由方程可得 (0)0f =. 方程两边对x 求导得 0()2()d 2()2()2xf x xf t t x f x xf x x '''=+⇒=+⎰，此为一阶线性方程，解之得22d 2d ()e 2e d e 1x x x x x f x x x C C -⎛⎫⎰⎰=+=- ⎪⎝⎭⎰，将(0)0f =代入上式得 1C =，故2()e 1x f x =-. 【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B .【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A Eααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得 ()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(Ak a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的（23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.【分析】（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.（24） (本题满分11分)设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为记max(,), min(,)U X Y V X Y ==（I ）求(),U V 的概率分布；（II ）求U 与V 的协方差cov(,)U V .【分析】先写出(),U V 的可能取值，然后利用定义求概率. 【详解】（I ）(),U V 的可能取值为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，则 4(1,1)(1,1)(1)(1)9P U V P X Y P X P Y =========； (1,2)0P U V ===；(2,1)(2,1)(1,2)P U V P X Y P X Y =====+==4(2)(1)(1)(2)9P X P Y P X P Y ===+===； 1(2,2)(2,2)(2)(2)9P U V P X Y P X P Y =========.故(),U V 的概率分布为（II ）由(),U V 的概率分布可得141016,,()999EU EV E UV ===，所以 4cov(,)()81U V EUEV E UV =-=.【评注】本题为基础题型.。

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