15.1.2 分式的通分分式的基本性质
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15.1.2分式的通分
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
通分要先确定分式的最简公分母。
1.怎样找公分母？ 2.找最简公分母应从方面考虑？ 第一要看系数；第二要看字母
（四）课堂练习
1.三个分式
yx 1 2x , 3y 2 , 4xy
的最简公分母是（
）
A. 4xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x2 y2
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
2 a2b2 c
最简 公分母
最小 最高 单独 公倍数 次幂 字母
（三）例题分析
例1. 通分：
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
2 a2b2 c
最简 公分母
（1 x 5） （1 x 5）
1（x 5（) x 5)
15章 分式
（一）复习回顾
1.分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
2.什么叫约分？把一个分式的分子和分母的公因 式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的 约分。
约分：
，
(1)
14 x2 36
x2 5x 10 x
最简
公分母
不同的因式
例1. 通分：
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
解：最简公分母是
例1. 通分：
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：最简公分母是
2x x5
3x x5
2x2 10x x2 25
3x2 15x x2 25
方法归纳
数学八年级上册《15.1.2分式的基本性质分式的基本性质应用：约分、通分》教案32
分式的基天性质应用：约分通分学习目标：1.经过类比分数的约分，依据分式的基天性质掌握分式约分的方法和步骤，理解最简分式的观点．2.经过类比分数的通分，依据分式的基天性质掌握分式通分的方法和步骤，理解最简公分母的观点。
3.培育学生转变思想和解决实质问题的水平及逆向思想水平。
要点：约分时确立最大公因式，通分时确立最简公分母。
难点：灵巧使用分式的基天性质推行分式的变形，分式通分时最简公分母确实定．教课过程一．复习回首分式的基天性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：C, C.(C0)C C此中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分数是怎样约分的?1、约分：约去分子与分母的最大公因数，化为最简分数。
15 3 5 521= 3 7 7察看以下化简过程，你能发现什么？a 2bc a 2bc ab abab aba c这个过程其实是将分式中分子与分母的公因式约去。
把分式分子、分母的公因式约去，这类变形叫分式的约分 .分式约分的依照是什么？ 答：分式的基天性质小结把一个分式的分子和分母的公因式约去 ,叫做分式的约分。
1.约分的依照是：分式的基天性质2.约分的基本方法是：先找出分式的分子、分母公因式 ,再约去公因式 .3.约分的结果是：整式或最简分式P131 例3：约分25a 2bc 3 (1)2c15ab 剖析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
解：25a 2bc 35abc 5ac 2=－5ac2(1)2c5abc 3b15ab 3b找公因式方法{（1）约去系数的最大条约数。
（2）约去分子分母同样因式的最低次幂。
(2)x 29 26x9x剖析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
(2)x 29 (x3)(x3)26x9(x3)2x3 3约分时,分子或分母假如多项式 ,能分解则一定先推行因式分解.再找出分子和分母的公因式推行约分。
例：约分6x 2 12xy 6y 2(3)3x 3y解：6x 212xy6y 26(x 2 2xyy 2) (3)=3x 3y3x3y（2）6x y（）3x y（2x y）在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：5xy5x20x2y20x2小明：5xy5xy120x2y4x5xy4x关于分数来说完全约分后的分数叫什么？你对他们俩的解法有何见解？谈谈看！一般约分要完全,使分子、分母没有公因式.完全约分后的分式叫最简分式.P132练习（3）x2约分：(1)2bc（2）(xy)y xy ac22（xy(x y)自主学习：1、阅读课本P131～132页，思虑以下问题：1）什么叫分式的通分？2）怎样确立最简公分母?135=－2通分：;;246解：最简公分母为：121166333955210226124431266212分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
8年级-15.1.2-分式的基本性质-通分
B.12x2yz D.24x2yz
【解析】选B.6,4的最小公倍数是12，相同字母x，y的最 高次幂分别为2,1，z只在一个分母中出现.综上，两个分式 的最简公分母是12x2yz.
示范
1
11
（1）求分式 2x3 y 2 z , 4x 2 y 3 , 6xy 4 的最简公分母。
12 x3 y 4 z
5) 5)
3x2 x2
15x 25
方法归纳
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
通分要先确定分式的最简公分母。
1.怎样找公分母？
2.找最简公分母应从几方面考虑？
第一要看系数；第二要看字母
通分：
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
4×3 12 =
5×3 15
7×3 21 =
8×3 24
你能说出分数通分的数学原理吗？
3 5 和 2 4 1 和 3
63
78
解：3 2 4 4 1 8 ，3 21
36
7 56 8 56
思考：把
1
ab
和
2a a2
b
化成分母相同
的分式，要求：不改变分式的值，相
同的分母要尽可能简单。
2x 3y2 4xy
(2) c , a , b ; ab bc ac
例1.
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：最简公分母是 (x 5)(x 5)
2x 2x (x 5) x 5 （x 5) (x 5)
2x2 10x x2 25
15.1.2分式的基本性质(2)通分名校课件
尝试练习三:
x 1 3 与 2 2 x 2x 1 x 1
x y 与 2 2 3 y 3x x 2 xy y
通分的关键是确定几个分数的 最小公倍数。 最简公分母
式
和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与 原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（1）通分
看系数：
各分母系数 的最小公倍
1 5z , 3 2 4 2 x y z 6 xy
看字母：各分
母所有因式的最 高次幂。
看指数：各
分母所有因式的 最高次幂。
分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除 以）同一个不等于零的整式 ，分式的 值不变.
用公式表示为: A AM A A M , . B BM B B M (其中M是不等于零的整式)
约一约
2x y (1) 2 2 4x y
3
x 4 (2) 2 x 4x 4
（2）通分
1 2x , x y x y
三看：各分母系数的最小公倍 数与相同字母的最高次幂乘积。
ax b y ,2 , 2 2 a 3 3 y( x y) a x分 母分解因式，再 找出最简公分母
x y 2x 2 y
1 2 与 ( x y)
数。
6
1 1 3 y 3 2 3 2 2x y z 2x y z 3y2
2
5z 5z x2 z 4 6 xy 6 xy 4 x 2 z
各分母系数的最小 公倍数与相同字母 的最高次幂乘积。
3y2 3 4 6x y z
5x2 z 2 3 4 6x y z
尝试练习一:
a b 3b ， 2 3 3 2 6a b c 4a c
2
分式基本性质 通分
15.1.2分式的基本性质——通分
课堂小结
1、分式的基本性质 C,
2、约分 C
C.(C0) C
（1）公因式
（2）最简分式 •彻底约分后的分式叫最简分式.
•当分子、分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式！
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
作业讲评 P133
3、和分数通分类似，把几个异分母的分 式化成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。
4、通分的关键是确定几个分式的公分母。
例题讲解与练习
P132
公分母如何确定呢？ 最简公分母
1、先找各分母所含有的因式，分母是多项式应先分解 因式；
2、再找出各分母系数的最小公倍数； 3、各分母所含相同因式的最高次幂.
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C, C.(C0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
1、把下面的分数通分： 1 , 3 , 5 246
2、什么叫分数的通分？ 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，
而不改变分数的值，叫做分数的通分。
解1： 5x 1;
25x2 5x
29a3b2a2b6abc3ab33ab2b2c3ba2c;
作业讲评 P133
解3： 9a26abb2 3ab2 3ab;
3ab
3ab
42x2x3162x26xx66x26.
分式的基本性质
练习巩固
P132
课堂小结
一、什么是分式的通分？通分运算的关键是什么？
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式 相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 通分的关键是确定几个分式的最简公分母. 二、如何找分式的最简公分母？
课堂小结
1、分式的基本性质 C,
2、约分 C
C.(C0) C
（1）公因式
（2）最简分式 •彻底约分后的分式叫最简分式.
•当分子、分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式！
•一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
作业讲评 P133
3、和分数通分类似，把几个异分母的分 式化成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。
4、通分的关键是确定几个分式的公分母。
例题讲解与练习
P132
公分母如何确定呢？ 最简公分母
1、先找各分母所含有的因式，分母是多项式应先分解 因式；
2、再找出各分母系数的最小公倍数； 3、各分母所含相同因式的最高次幂.
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C, C.(C0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式.
1、把下面的分数通分： 1 , 3 , 5 246
2、什么叫分数的通分？ 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，
而不改变分数的值，叫做分数的通分。
解1： 5x 1;
25x2 5x
29a3b2a2b6abc3ab33ab2b2c3ba2c;
作业讲评 P133
解3： 9a26abb2 3ab2 3ab;
3ab
3ab
42x2x3162x26xx66x26.
分式的基本性质
练习巩固
P132
课堂小结
一、什么是分式的通分？通分运算的关键是什么？
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式 相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 通分的关键是确定几个分式的最简公分母. 二、如何找分式的最简公分母？
15.1.2_分式的基本性质1
分式中，当A=0且B ≠ 0时，分式 值为零。
A 的 B
复习题：
1. 下列各式中，属于分式的是（ B ）
x 1 A、 2
2 B、 x 1
2
1 2 C、 x y 2
a D、 2
2x 2. x取何值时，分式 有意义； x 4 x 4 3. x取何值时，分式 x 2 的值为零；
2
a 1 4. 分式 的值为零的条件是 a 1且b 1 . b1
1
2
y x 1 （5）.三个分式 2 x , 3 y 2 , 4 xy 的最简公分母是（ C ）
2 3 y B. C. 12 xy D. 12 x 2 y 2 2-2 2x （6） .分式 2 1 , x 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
A. 4 xy
2
x 4y 其中 x 2,y 3 （7）.化简求值： 2 4 x 8 xy
解： （2）最简公分母是 ( x 5)( x 5)
2 x 10 x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)( x 5) x 25
3 x 15 x 3x 3 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)( x 5) x 25
2 2
当堂检测（参考答案）
填空：
2y （ ） （ 1） xy 2xy ２ 3x -3xy （ ） 3x （ 2） 2 x y x y2 30 m 5mn （ 3） 24 n （ ） 4n2 2 ab b a b （ 4） 2 ab b （ ） ab+1
尝试题：（典例）
填空：
3
观察分子分母如何变化
x2
x ( ) (1) xy y
15.1.2+分式的基本性质+课件+++2024—2025学年人教版八年级数学上册
其中A,B,C是整式.
知识要点 约分的基本步骤 （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约 数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式， 然后约去分子﹑分母所有的公因式．
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有 因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 注意：确定最简公母是通分的关键.
=
−1
知
x
≠
0
，
∴
x2−3x+1 x
=
−1
，即
x
+
1 x
=
2.
∴
x4−7x2+1 x2
=
x2
+
1 x2
−
7
=
x+1
2
−2−7
=
22
−2−7
= −5 ，
x
∴
x2 x4−7x2+1
=
−
1 5
中考链接
（2024中考） 通分：（1） 1 , 3
3ab3 4a2b
解：最简公分母是12a2b3
1 3ab3
3 4a 2b
D. 2 x + 1 x − 1
2.若 a ≠ b ，下列分式化简正确的是( D ) .
B ).
A.
a b
=
a+2 b+2
B.
a−2 b−2
=
a b
3.分式
−3x2 6xy
约分的结果是(
C
).
A.
−
1 2y
B.
−
2x y
C.
a2 b2−
x 2y
知识要点 约分的基本步骤 （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约 数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式， 然后约去分子﹑分母所有的公因式．
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有 因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 注意：确定最简公母是通分的关键.
=
−1
知
x
≠
0
，
∴
x2−3x+1 x
=
−1
，即
x
+
1 x
=
2.
∴
x4−7x2+1 x2
=
x2
+
1 x2
−
7
=
x+1
2
−2−7
=
22
−2−7
= −5 ，
x
∴
x2 x4−7x2+1
=
−
1 5
中考链接
（2024中考） 通分：（1） 1 , 3
3ab3 4a2b
解：最简公分母是12a2b3
1 3ab3
3 4a 2b
D. 2 x + 1 x − 1
2.若 a ≠ b ，下列分式化简正确的是( D ) .
B ).
A.
a b
=
a+2 b+2
B.
a−2 b−2
=
a b
3.分式
−3x2 6xy
约分的结果是(
C
).
A.
−
1 2y
B.
−
2x y
C.
a2 b2−
x 2y
15.1.2分式的约分和通分
分式的约分和通分
复习回顾：
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式 分式的值___不__变______
用字母表示为：
A AC A AC （C≠0） B ，BC B BC
2.分式的符号法则：
（1） a a b b
（2）a a a b b b
概念——约分与最简分式
与分数的约分类似，我们利用分数的基本性质，
约去3x2 3xy 的分子和分母的公因式 3x
6 x 2 把 3x 2 3xy 化为 x y
6x2
2x
像这样，把一个分式的分子与分母的公因式约去，
叫做分式的约分。
经过约分后的分式
x y 2x
，其分子与分母没有
公因式
像这样，分子与分母没有公因式的分式，叫做最
A. 4 xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x 2 y 2
3.分式
1, x x2 x 2(x1)
的最简公分母是__2_x(__x_＋ __1（ _). x－1）
4. 三个分式 1, y , 3 的最简公分母
x x2 x x2 1
是 x(x＋1（ )x－1）
5.通分：
(1) 2 与a-1 3a9 a2 9
3、分式通分与最简公分母：
(1)分数通分：
4 12 8
(1) 7 与 1 12 8
32
最简公分母：
解： 7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 8 3 24
4×3×2=24
（2）观察下列式子，利用分式的基 本性质，仿照分数通分化简：
(1)2a32b与aab2cb
(2) 2x 与3x x5 x5
复习回顾：
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式 分式的值___不__变______
用字母表示为：
A AC A AC （C≠0） B ，BC B BC
2.分式的符号法则：
（1） a a b b
（2）a a a b b b
概念——约分与最简分式
与分数的约分类似，我们利用分数的基本性质，
约去3x2 3xy 的分子和分母的公因式 3x
6 x 2 把 3x 2 3xy 化为 x y
6x2
2x
像这样，把一个分式的分子与分母的公因式约去，
叫做分式的约分。
经过约分后的分式
x y 2x
，其分子与分母没有
公因式
像这样，分子与分母没有公因式的分式，叫做最
A. 4 xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x 2 y 2
3.分式
1, x x2 x 2(x1)
的最简公分母是__2_x(__x_＋ __1（ _). x－1）
4. 三个分式 1, y , 3 的最简公分母
x x2 x x2 1
是 x(x＋1（ )x－1）
5.通分：
(1) 2 与a-1 3a9 a2 9
3、分式通分与最简公分母：
(1)分数通分：
4 12 8
(1) 7 与 1 12 8
32
最简公分母：
解： 7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 8 3 24
4×3×2=24
（2）观察下列式子，利用分式的基 本性质，仿照分数通分化简：
(1)2a32b与aab2cb
(2) 2x 与3x x5 x5
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2n 3n 分式 的最简公分母是___________ 与 n2 n3
1 2 与 2 分式 2 的最简公分母是___________ a 1 a a
例3 通分：
3 a b (1) 2 与 2 ; 2a b ab c
2x 3x (2) 与 . x 5 x 5
例3 通分：
1 5 (3) 2 与 x 4 4 2x
第十五章 分 式
15.1.2 分式的基本性质 ——分式的通分
三 分式的通分 1.回顾：填空
2
a + b (a + ab) = 2 ab ab
2a - b a
2
=
(2ab - b ) a b
2
2
（b≠0）
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子和分母同 乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不相同的分式变成 2a - b a+ b 分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.如分式 与 2 ab a 2 2 分母分别是ab,a ,通分后分母都变成了a b.
a + b (a + ab) = 2 ab ab
最简公分母
a b
2
2
（b≠0）
为通分，先要确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母. 注意：确定最简公母是通分的关键.
分式
1 5 与 2 2 ab 3a c
的最简公分母是__________
2 2
5 4 , （2）通分： x - 2 (2 - x ) 2
小贴士： 在分式的约分与通分中，
通常碰到如下因式符号变形：
(b-a)2=(a-b)2;
b-a=-(a-b).
当堂练习
1.若把分式
3y x y
的 x 和y 都扩大两倍,则分式的值(
B．不变 C．缩小两倍 D．缩小四倍
A．扩大两倍
课堂小结
课本132页2题
想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？ 这些做法的根据是什么？ 约分
找分子与分母的
通分
找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的
分数 分式 依据
最大公约数 找分子与分母的 公因式
最简公分母
分数或分式的基本性质
（1）约分:
12x yz 2 16xy
2
x 4y 2 2 x 4 xy 4 y
内
容
A AC A AC , （C 0） . B BC B B C
分式进行约分 进行分式运算
作 分 式 的 基本性质
用
和通分的依据
的
基
础
(1)分子分母同时进行； 注 意 (2)分子分母只能同乘或同除， 不能进行同加或同减； (3)分子分母只能同乘或同除 同一个整式； (4)除式是不等于零的整式