分式的基本性质——通分
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
分式的基本性质应用：约分、通分
1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分 式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x
苏科版八年级下册10.2分式的基本性质习题讲评课课件
1.填空
(1) 1乘以2y( 2 y )
xy 2xy2
A＝ B
A×M B×M
A＝ B
A÷M B÷M
(2) ( 乘以) (x－y3)x
（M是不等于0的整式）
x2 y2 x y
乘以2y
分式的基本性质
乘以(x－y)
(1)
除以2y
1 (
xy
2 y
2 xy 2
5.已知 1 1 3，则分式 2x 3xy 2 y 的值等于_____.
xy
x 2xy y
复习旧知
巩固重点
综合运用
分式的基本性质
分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于O的整式，分式的值不变.
分式的基本性质应用——通分
分式的基本性质应用——约分
最简公分母的一般求法： 1.取各分母系数的最小公倍数； 2.取所有不同底数的幂的因式； 3.同底数幂的因式取指数最大的； 4.将以上所取的因式相乘.
m2 4 (4) 2m m2
3(b a)3 (5) 6(a b)4
2
3.通分
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
分式的通分 根据分式的基本性
质，把几个异分母的分 式变形为同分母的分式， 叫做分式的通分.
(2) 2x 与 3x x5 x5
最简公分母的一般求法： 1.取各分母系数的最小公倍数； 2.取所有不同底数的幂的因式； 3.同底数幂的因式取指数最大的； 4.将以上所取的因式相乘.
)
除以2y
分式的分子和 分母都乘(或除以) 同一个不等于O的整 式，分式的值不变.
(2) ( x2 y除2 )以(x－x3y)xy
除以(x－y)
分式的通分
尝试练习一: 通分
1 1 (1) 2 , 3 2 ; 2a b 3a b y x 1 (3) , 2 , ; 2 x 3 y 4 xy
c a b (2) , , ; ab bc ac
1 （ 4） 2 3 ( a b) ( x y )
，
1 3 2 ( a b) ( x y )
1 1 (5) 2 2 , 2 x y x xy
12
3
y
4
三个分式 的最简公 分母为 12x3y4z。
字母的最高次幂。
8 4 y 1、 , , 的最简公分母是： 3x 7 x 2 x 2 8 112 x 8 14 x 3 3 x 14 x 42 x 3x
2 3
42 x
3
2
2
4 7x
2
24 x 4 6x 7x 6 x 42 x
2
3x 2x 与 （ 2） x5 x5
解： （2）最简公分母是 ( x 5)(x 5)
2x 2 x( x 5) 2 x 10x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
3x 3x( x 5) 3x 15x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2y 3 （6) , x x x 1
2 2
1、分式的通分与分数的通分类似，正确 掌握分式通分的方法和步骤，才能熟练地 进行以后分式的加减法运算；
2、通分的关键是确定最简公分母，包括 系数、字母和字母的指数；分母是多项式 的要先分解因式；
3 、分式通分的依据是分式的基本性质， 每一步变形综合性都较强，计算时要步步 细心；
4、分式通分的基本步骤： （1）、将各分母分解因式（没有拉倒） （2）、寻找最简公分母（方法要记牢） （3）、根据分式的基本性质，把各分式 的分子分母乘以同一个整式。
分式的通分
2xy 2xy
y2
(4) x
y与
2xy 2 2
解：∵最简公分母是（x-y)2(x+y)
2x x y
2x•(x (x y)•(x
y)(x y)(x
y) y)
2x(x y)(x
(x y)2 (x
y) y)
3x x y
3x •(x y)2 (x y) • (x y)2
3x(x y)2 (x y)2 (x y)
x2
2xy
2xy
y2
(
2x
x
y
y)2
2xy(x y)
(x y)2 (x
y)
例题
求下列分式的最简公分母：
1 , 1 ,1 2x3 y 2 z 4x 2 y 3 6xy 4
1.怎样找公分母？ 2.找最简公分母应从方面考虑？ 第一要看系数；第二要看字母
试一试 y x 1 (1)分式的 2x , 3y2 , 4xy
ab
a ab b
3、已知：a2-5a+1=0,求
(1)a
1 a
(2)
a2
1
a2
(3)
a4
3a2 a2
1
(4)
a4
a2 3a2
1
练习1、如果
:
x y
3 10
，
求
x2
8xy 16 x2 16 y2
y2
的值
2、若 1 1 2，求分式 2x 3xy 2 y的值
xy
x xy y
3、已知：x2-3x+1=0,求
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：∵最简公分母是(x+5)(x-5).
2x x5
分式的基本性质
分式的基本性质一、知识互动1、分式的基本性质：分式的分子与分母同．乘（或除以）一个不等于．．．0．的整式，分式的值不变。
即：已知A 、B 、C 都是整式，则=B A ，=BA（0≠C ） 【注】（1）C 是一个不等于0的整式是分式基本性质的一个制约条件；（2）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C 。
2、约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
3、最简分式：约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫做最简分式； 【注】（1）约分的关键是找出分式中分子和分母的所有公因式，把其约去，使所得结果为最简分式或者整式，即约分一定要彻底；（2）分式的约分是对分式的分子和分母整体进行的，分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分；当分子或分母是多项式时，通常先进行因式分解，再进行约分； （3）找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子或分母至少有一个是多项式时，先把多项式因式分解，然后找出它们的公因式，再约分。
4、通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
5、最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母； 【注】（1）通分的方法是先求各分式的最简公分母，然后用这个最简公分母除以分式的分母，用所得的商去乘分式的分子；（2）通分的关键是找几个分式的最简公分母； （3）找最简公分母方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各分母中系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，注意要防止漏掉只在一个分母中出现的字母；②如果各分母中有多项式，要先分解因式，注意把每个因式看成一个整体，从系数、相同因式、不同因式三个方面考虑去找。
二、经典题型题型一 分式性质的应用例1 下列各选项中，从左边到右边的变形正确的是（ B ） A 、bc ac b a = B 、1-=+--b a b a C 、ba ba b a b a 3253.02.05.0-+=-+ D 、x y x y y x y x +-=+- 例2 填空(1);)(3241822m mn n m =(2);)(2b a ab b a =-(3).)(22yx x xy x -=- 【变式】1、下列式子从左到右的变形一定成立的是（ C ）A 、xn xm n m ++= B 、22b a b a = C 、a b am bm = D 、bc ac b a =2、如果把分式yx yx -+2中的y x ,都扩大10倍，那么分式的值（ D ） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的32D 、不变 3、填空：;3)(32)1(22+=+x x x x ;)(386)2(3323a b b a = ;)()()3(222yx y x y x -=+- )0()(1)4(≠+=++n cn an c a b 4、不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数化为整数；（1）y x y x 31413121-+ （2）x y y x 415.02.021-+题型二 分式的约分 例3 约分（1）;1525232c ab bc a - （2）;96922++-x x x （3）.33612622yx y xy x -+-【变式】1、下列分式约分：（1）;2052y xy （2）;96233xy y x - （3）;)(3y x y x -- （4）;222222y x y x ++（5）;)(10)(5223a b mn b a n m -- (6);22b a b a --- （7）;25522a a a --（8）;4222x x x -+ （9）;36922b a b ab a +++ （10）.4442222aab b b a -+--2、已知0)1(22=++-b a ，求22)(b a aba ++的值。
分式的基本性质——通分
2x3 y 2 z 12 x3 y 4 z
1
2x2z
4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
1、8 , 4 , y 的最简公分母是： 42x3
3x 7x2 2x3
8 8 •14x2
112 x 2
3x 3x •14x2 42x3
4 4 • 6x 24x
2、通分的关键是确定最简公分母，包括 系数、因式和因式的指数；分母是多项式 的要先分解因式；
3 、分式通分的依据是分式的基本性质， 每一步变形综合性都较强，计算时要步步 细心；
4、分式通分的基本步骤：
（1）、将各分母分解因式（没有拉倒）
（2）、寻找最简公分母（方法要记牢）
（3）、根据分式的基本性质，把各分式的分 子分母乘以同一个整式，化异分母为最简 公分母。（分子运算很重要）
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的
所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
解：（2）最简公分母是 (x 5)(x 5)
2x x5
2x(x 5) (x 5)( x 5)
2x2 x2
10 x 25
3x x5
3x(x 5) (x 5)( x 5)
3x2 x2
15 x 25
(3) 1 与 x x2 4 4 2x
解：（2）最简公分母是 2(x 2)(x 2)
和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原 来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（1）求分式
2
分式的基本性质——通分
例题讲解与练习 例2通分 通分 1 1 (1) 2 与 2 2 x −y x + xy
公分母如何确定呢？ 公分母如何确定呢？
2x 3x (2) 与 x−5 x+5
若分母是多项 式时， 式时，应先将 各分母分解因 式，再找出最 简公分母。 简公分母。
பைடு நூலகம்
1 1 （2）求分式 的最简公分母。 的最简公分母。 2 与 2 4x − 2x x −4
作业
将下列各组分别进行通分: 将下列各组分别进行通分
书本第9页第 题 书本第 页第7题 页第
−1 1 4a 3c 5b (6) 2 , 2 ( 5) 2 , , 2 x + x x + 2 x +1 − 2ac2 ; 5b c 10a b
1 x , 2 （3） 2 (2 − x) x — 4 .
2、完成课本第8页练习 、完成课本第 页练习 页练习2
课堂小结 1、什么是分式的通分？通分运算的关键 什么是分式的通分？ 是什么？怎样确定最简公分母？ 是什么？怎样确定最简公分母？
把几个异分母的分式， 把几个异分母的分式，分别化成与原来分式 相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个分式的公分母， 通分的关键是确定几个分式的公分母， 确定公分母的方法： 确定公分母的方法：
4 x − 2 x = 2 x ( 2 − x ) = −2x(x −2)
2
x − 4 = ( x + 2 )( x − 2 )
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2x(x +2)(x −2) 就是这两个分式的最简公分母。
练
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(x＋y)(x－y) 解：∵ x²－y²＝________________, x(x＋y) x²＋xy＝_____________,
先把分母
分解因式
1 1 x(x＋y)(x－y) ∴ x²－y² 与 x²＋xy 的最简公分母为_______________,
3 ab （1） 2 a 2 b 与 ab 2 c
解:
3 3 3 9 4 4 3 12
5 5 2 10 6 6 2 12
分数的通分： 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不 改变分数的值，叫做分数的通分。
通分的关键是确定几个分数的 最小公倍数。 和分数通分类似，根据分式的基本性质，把几 个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分 母的分式叫做分式的通分。
2x （2） 与 x5
3x x5
1 x (3) x 2 4 与 4 2 x
2 2
解：（1）最简公分母是 2a b c
3x 2x （2） 与 x5 x5
解： （2）最简公分母是 ( x 5)(x 5)
(3)
解：
1 x 与 2 x 4 4 2x
1 1 2 x 4 （x 2）（x 2)
课堂练习
练习 通分： x y 2c 3ac x 1 4 x 1 （） 1 与 ； （2） 与 2 ； （3） ， ， 3 ． 2 ab bc bd 4b 2 x 3 x 4 x
课堂练习
练习 通分： x y 2c 3ac x 1 4 x 1 （） 1 与 ； （2） 与 2 ； （3） ， ， 3 ． 2 ab bc bd 4b 2 x 3 x 4 x
2mn 4m 2 9
与
2m 3 2m 3
• 2、分式通分的关键：
• 找出分式各分母的最简公分母。
• 3、最简公分母的确定方法：
• （1）取各分母系数的最小公倍数。 • （2）取相同字母的最高次幂。 • （3）单独字母连同指数照写。
布置作业
通分： A组学生：
3 2a 2 b
ab ab 2 c
2x x5
与
与
3x x5
B组学生：
x y xy 2 x 2 y 与 ( x y) 2
探索新知
追问 你认为分式通分的关键是什么？
分式通分的关键是找出分式各分母的最简公分母.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公 分母，它叫做最简公分母.
探索新知 （1）求分式
1 1 1 , 2 3, 3 2 4 的最简公分母。 2 x y z 4 x y 6 xy
12
1、取各分母 系数的最小 公倍数。
y x
3
4
z
3、单独字母 2、取相同字 母的最高次幂。 连同指数照写。
三个分式的最 简公分母为 12x3y4z。
探索新知
追问 何确定的？
1 2 分式 与 2 2 的最简公分母是如 a b a b
分母是多项式时，最简公分母的确定方法是： 先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后 确定最简公分母．
【跟踪训练】
1 ．分式
5 6x y
2
和
3 4 xyz
的最简公分母是（
）
A.12xyz
C.24xyz
B.12x2yz
D.24x2yz
【解析】选B.6,4的最小公倍数是12，相同字母x， y的最高次幂分别为2,1，z只在一个分母中出现.所
以，两个分式的最简公分母是12x2yz.
2 、确定最简公分母 1 x²－y² 1 , x²＋xy
x x x 4 2 x 2(2 x) 2( x 2)
∴最简公分母是
（3）∵
2( x 2)(x 2)
运用新知
通分： 3 a b 1 x （ 1） 2 与 ；（2） 与 . 2 2 3x 3 y （x y） 2a b ab c 例
运用新知
通分： 3 a b 1 x （ 1） 2 与 ；（2） 与 . 2 2 3x 3 y （x y） 2a b ab c 例
知识回顾
分式的基本性质是什么？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为： A AC A AC B B C B B C
（C≠0） 其中A , B , C是整式.
引出新知
问题1 通分：
3 5 和 4 6
各分母的最 小公倍数12 .
课堂练习
练习 通分： x y 2c 3ac x 1 4 x 1 （） 1 与 ； （2） 与 2 ； （3） ， ， 3 ． 2 ab bc bd 4b 2 x 3 x 4 x
本节课，你有什么收获？
• 1、分式通分的定义：
• 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原 来的分式相等的同分母的分式，பைடு நூலகம்做分式的通分。
八年级
上册
15.1 分式的基本性质 （第2课时 通分）
合阳县实验中学 习 雅
•学以致用 •数学来源于生活
•生活离不开数学
• 学习目标： 1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进 行分式的通分，体会数式通性和类比的思想. • 学习重点： 准确确定分式的最简公分母．