热学-2-2(基础物理课堂讲稿下第五讲)

个自由度. 注：刚性分子无振动自由度. 刚性双原子 个自由度 刚性分子无振动自由度 刚性双原子5个自由度
第二章 热平衡的统计分布律
★ 能量均分定理
频繁碰撞→传递动量和能量 系统热平衡态 频繁碰撞 传递动量和能量→系统热平衡态 传递动量和能量 各自由度上的能量相互充分交换→能量均分 各自由度上的能量相互充分交换 能量均分
第二章 热平衡的统计分布律
★ 理想气体的内能及热容
(1) 理想气体的内能 组成理想气体系统的所有粒子自身的热运动能量 质量为M的理想气体内能为： 质量为 的理想气体内能为： 的理想气体内能为
1 M1 U= N A ( t + r + 2 s ) k BT = (t + r + 2 s) RT 2 2 M
: 摩尔质量
总粒子数
粒子能量
注： R = N A k B 质心平动自由度； t: 质心平动自由度； 转动自由度； r: 转动自由度； s: 掁动自由度
1 摩尔的理想气体内能为： 摩尔的理想气体内能为：
Um = 1 (t + r + 2 s ) RT 2
第二章 热平衡的统计分布律
(2) 理想气体的定体热容 V 理想气体的定体热容C 系统体积不变,温度升高或降低1 系统体积不变,温度升高或降低1K时系统吸收或放出的热量
m 分布律为 分布律为： f (v, r) = fM (v) fB (r) = f0 2π k T e B
k p
kBT
§2.3 能量均分定理与热容 ★ 分子的自由度
第二章 热平衡的统计分布律
自由度: 自由度 决定物体位置所需要的独立坐标的数目 质心自由度t；转动自由度 ；掁动自由度s 质心自由度 ；转动自由度r；掁动自由度 单原子分子: 若原子视为质点→3个自由度 个自由度→t = 3 单原子分子 若原子视为质点 个自由度 若原子视为有体积大小→3+3个自由度 若原子视为有体积大小 个自由度→t+r = 6 个自由度
第二章 热平衡的统计分布律
麦克斯韦分布律与麦-玻分布律( §2.2 麦克斯韦分布律与麦-玻分布律(续)
◆ 重力场中微粒密度随高度的等温分布
Q P ( z )dS = P ( z + dz )dS + ρdSdzg ∴ dP = P ( z + dz ) P ( z ) = ρgdz = nmgdz ( Q ρ = nm )
2 1 能量均分定理：分子在每个自由度上的平衡能量 分子在每个自由度上的平衡能量： 能量均分定理 分子在每个自由度上的平衡能量： k BT 2 所以每个分子平均热能量为： 所以每个分子平均热能量为：ε = 1 (t + r + 2 s)k BT 2
注：一个振动自由度s上有振动动能和振动势能 一个振动自由度 上有振动动能和振动势能
3 2 m 2 v 2kBT 3 ε k 2 kBT
m = 2πk T e B
ε k 为动能
微覌粒子在外场中按位置的玻尔兹曼分布律： 微覌粒子在外场中按位置的玻尔兹曼分布律：
f B (r ) = f 0e
U (r ) k BT
= f 0e
εp
k BT
ε p 为势能
由概率论知： 由概率论知：两独立事件同时出现的概率是各独立事件概率 之积，所以粒子按速度 和位置 的分布律即麦克斯韦 和位置r的分布律即麦克斯韦-玻尔兹 之积，所以粒子按速度v和位置 的分布律即麦克斯韦 玻尔兹 3 曼 ε +ε 2
Q CV = lim T →∞ T V
由热力学第一定律知：在体积不变时，系统吸收的热量△ 由热力学第一定律知：在体积不变时，系统吸收的热量△Q 全部用于系统内能增加△ 。所以有： 全部用于系统内能增加△U。所以有：
U U CV = lim = T →∞ T V T V
摩尔定体热容C 摩尔定体热容 V,m： C = U m = 1 (t + r + 2 s ) R V ,m
两个确定转轴取向, 两个确定转轴取向 一个旋转
双原子分子: 原子视为质点→t+r+s=3+2+1= 6个自由度 双原子分子 原子视为质点 个自由度
两个确定空间取向, 两个确定空间取向 无旋转
n 原子分子 t+r+s=3+3+(3n-6)= 3n个自由度 原子分子: 个自由度
两个确定转轴取向, 一个旋转(∵有体积大小了) 两个确定转轴取向 一个旋转 ∵有体积大小了
N = ∫ dN ( z ) = ∫ n0e
0 ∞ mg z kT
mg z kT
dzdS
dzdS =
n0 k BT dS mg
所以，重力场中粒子随高度 的等温分布律为 的等温分布律为： 所以，重力场中粒子随高度z的等温分布律为：
d BT
∴ n ( z ) = n0 e
mg z k BT
dS
n0是z=0(地面 处的微粒数密度 地面)处的微粒数密度 地面
第二章 热平衡的统计分布律
∴ P = nkT = n 0 kTe
mg h kT
= p0 e
mg z k BT
应用: 可测 从而求出h 可测， 应用 P可测，从而求出
式中： 地面)处微粒系统的压强 式中：p0是z=0(地面 处微粒系统的压强。 地面 处微粒系统的压强。 该系统中的n、 随高度 的增大而指数衰减。 随高度z的增大而指数衰减 ∴ 该系统中的 、p随高度 的增大而指数衰减。 m大则 快→大气上层氧气 2)少, 氢气 2)相对多。 大则n↓快 大气上层氧气 大气上层氧气(O 少 氢气(H 相对多 相对多。 大则 显然: 图中小区间内的粒子数： 显然 图中小区间内的粒子数：dN ( z ) = ndzdS = n e 0 无限高的柱体内总粒子数： 无限高的柱体内总粒子数：
r ↑→ p ↑
所以,龙卷风等的外沿破坏力极大 而中心如常。 所以 龙卷风等的外沿破坏力极大, 而中心如常。 龙卷风等的外沿破坏力极大
第二章 热平衡的统计分布律
(2) 麦克斯韦 玻尔兹曼分布律 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律 微覌粒子按速度的麦克斯韦速度分布律： 微覌粒子按速度的麦克斯韦速度分布律：
m fM (v) = 2πk T e B
微观态数： 微观态数 22 个
{
A ① ② ③ ④
B
ab a b 0
0 b a ab
2 1 0
0 1 2
① ②
③
}
宏观态数： 宏观态数： 3个
第二章 热平衡的统计分布律
◆ 箱内有三个分子 A ① 微观态数： 微观态数 23个 ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ B A B
abc 0 ab ac bc a b c 0 c b a bc ac ba abc
第二章 热平衡的统计分布律
近独立粒子系统的粒子数按能量 按能量的最概然分布 ● 近独立粒子系统的粒子数按能量的最概然分布 (1) 微观态与宏观态 所有微观粒子运动状态的可能组合称为系统的微观态 箱分成两等份格子： ① 箱分成两等份格子： ◆ 箱内有两个分子a、b： 箱内有两个分子a、b： a、b分子在箱内可能位置如表 、 分子在箱内可能位置如表 分子在箱内可能位置如表: A B A B
n( z ) = n0e
U (r ) k BT mg z k BT U (z) k BT
= n0e
,
p = p0 e
U (r ) k BT
,
f = f 0e
U (r ) k BT
在回转系统中粒子势能U(r)为: 为 在回转系统中粒子势能
∴ p = p0 e
mω 2 2 r 2 k BT
1 1 U (r ) = Iω 2 = mω 2r 2 2 2
单原子分子(t=3, r=0, s=0)： CV ,m = 单原子分子 ：
第二章 热平衡的统计分布律
§2.4 微覌粒子运动状态分布規律的一般讨论
● 微观粒子运动状态的描述 微观粒子: 分子、原子、电子、原子、光子、 微观粒子: 分子、原子、电子、原子、光子、核子等 经典理论：粒子运动状态由 构成六维空间→相空间 经典理论：粒子运动状态由x,y,z,vx,vy,vz构成六维空间 相空间 中轨迹→相轨道来描述；能量ε连续 中轨迹 相轨道来描述；能量 连续 相轨道来描述 量子理论：微观粒子具有实物粒子性和波动性 波粒二象性 波粒二象性, 量子理论：微观粒子具有实物粒子性和波动性→波粒二象性 运动状态由概率波函数ψ 分立能量ε 的来描述。 运动状态由概率波函数 i和分立能量 i 的来描述。 量子理论结论： 量子理论结论：能级
T V 2
比定体热容c 比定体热容 v：
cV =
1
CV ,m
←单位质量的定体热容 单位质量的定体热容
第二章 热平衡的统计分布律
3 R = 1.5 R = 12.465 2 5 刚性双原子分子(t=3, r=2, s=0)： CV ,m = R = 2.5 R = 20.775 刚性双原子分子 ： 2 刚性多原子分子(t=3, r=3, s=0)：CV ,m = 6 R = 3R = 24.93 刚性多原子分子 ： 2
第二章 热平衡的统计分布律
近独立粒子系统：系统中粒子间的相互作用可忽略， 近独立粒子系统：系统中粒子间的相互作用可忽略，系统能 量可表示所有单个粒子能量之和。 量可表示所有单个粒子能量之和。 强关联系统：系统中粒子间的相互作用不能忽略， 强关联系统：系统中粒子间的相互作用不能忽略，系统能 量是所有单个粒子能量再加所有粒子间相互 作用能。 作用能。 玻耳兹曼系统：在经典近似下，由可分辨近独立粒子组成 玻耳兹曼系统：在经典近似下，由可分辨近独立粒子组成, 并且每个量子态上允许有多个粒子。 并且每个量子态上允许有多个粒子。 泡利不相容原理：在费米系统中， 泡利不相容原理：在费米系统中，不可能有两个全同的费 米子处于同一量子态。 米子处于同一量子态。