《1.3空间几何体的表面积与体积》教学案1-公开课-优质课(人教A版必修二精品)
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借助3Done研究正方体及其相关多面体外接球的问题一、学情和高考形势分析本课之前，学生已经学习完必修2第一章的内容。
已初步掌握了简单几何体的结构，三视图和直观图以及简单几何体的表面积、体积的运算。
与球组合的几何体问题，一种是内切、一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查重点，但同学们因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
故此，本课尝试引入3Done软件辅助教学，即可增强同学们的3D想象力，同时把“生活数学化，数学生活化”的思想带给同学们。
让学生感受到数学来源于生活，同时又服务于生活。
二、设计思路简单几何体的外接球问题在立体几何中是难点和重要的考点。
此类问题实际上就是解决球的半径长度和确定球心位置的问题。
解决这类问题时，要认真分析图形，明确接点和切点的位置及球心位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
本课设计是这类问题的第一课时。
想以正方体为原型，通过伸缩拉压、减少顶点等变形进行变式教学，引出一系列能通过补体法解决的多面体外接球问题。
通过本课渗透空间问题平面化、转化化归、猜想与验证和补体法等数学思想方法，提升学生的空间想象力、几何语言表达能力等。
在以往，我们这节课求完球的半径就只能结束了。
没有办法给学生验证我们求出来的半径是否满足题意。
全凭学生自己的想象和理解。
所以，引入3Done软件就是为了给学生一个直观的验证方法，也由此渗透数学猜想与验证的思想。
这节课虽然思维抽象，容量大，但也不想以减少题目的形式迁就课堂时间。
因为感觉这是一个系统的变化。
如果减少题目就不能体现正方体系下的多面体外接球问题。
三、教学目标知识与技能：1、会画出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等直观图和截面图辅助解题。
2、能求出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等球的表面积和体积。
过程与方法：通过本课渗透空间问题平面化、转化化归、猜想与验证和补体法等数学思想方法，提升学生的空间想象力、几何语言表达能力等。
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《等积法求体积》教学设计一、预设效果：本课力求在三个方面有所突破一是：提高合作探究学习的实效性二是：增强情感态度价值观教育的现实性三是：多媒体运用的多样性二、预设流程：三、教学内容分析：“体积问题”是近几年高考文科数学考查的重点热点问题之一，题型以解答题为主。
求解方法主要是直接法与等积法。
“等积法”思想简单，方法灵活多样，易于掌握，属于增分策略，所以这节课主要探究“如何”进行等积转化，培养学生规范书写的能力。
四、教学对象分析：知识基础：具备等积转化的应用意识，主要以感性思维为主，没有上升到理性思维 情感基础：兴趣浓厚，求知欲强，意志力薄弱能力基础：具备自主学习、合作探究、观察概括、空间想象能力 五、教学目标设计： （一）知识与技能：1、掌握等积转化的分类与等积转化的步骤；2、掌握求体积的步骤。
（二）过程与方法：1．培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力； 2．强化类比、数形结合思想。
（三）情感态度价值观：1.树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感；2.树立学好数学的信心，激发提出问题和解决问题的勇气。
六、重点难点分析：教学重点是等积转化的步骤、求体积的步骤; 教学难点是等积转化的分类,以及计算能力的培养。
七、教法学法分析 1、教法多媒体综合教学与讲授结合、问题导学法、演示法、归纳比较法。
2、学法自主学习法、小组讨论法。
为了更有效的突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想。
采用一引导发现法为主，直观演示法，小组讨论法为辅。
在教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
八、教学过程分析引入课题(2012河北文)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA 1，D 是棱AA 1的中点。
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让数学课有文化，抓住机会了解中国古代数学史，增强民族自豪感，培养学生查阅资料的习惯。
对学生进行思想情操上的教育和对数学文化的了解。
直观展示，提高学习效率。
活动8
知道锥体体积公式的由来，知道台体的体积公式
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
直观展示图片及其公式之间的联系，提高效率。
活动10
例题精讲
解决导入问题
公式的应用
媒体呈现题目。
活动11
小结及作业
视时间长短，请学生总结本节课的主要内容和思想方法或者师生共同总结，布置作业。
知识升华和思维提炼。
电子白板展示公式之间的联系。
教学
总结
与反思
我在课堂上较好地体现了教师主导与学生主体作用的统一。在教学上采用了“问题驱动，启发探究”的方法，通过教师的“问”、“启”、“导”，鼓励学生积极、主动地探究新知，获得了成功。这节课的重点是使学生经历柱体、锥体、台体的表面积和体积公式的推导过程及其简单应用。在教学中，遵循教学的发展规律和学生的认识规律，紧紧抓住几何体的结构特征，通过适当的问题情景，从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系，引出要学习的内容，然后通过“思考”、“探究”等活动，通过让学生体会看图、画图、制图、识图的过程，亲自实践，逐步引导学生体会其中的“由特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物转化”的化归思想的应用，突破难点。并采用观察、类比、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，勇于探索。以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，通过问答结合，及时了解学生掌握情况，达到教学目的。学生的难点是不能建立较强的立体实物图。在教学设计中，注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。把问题交给学生，真正发现问题，利用生成教学，培养了学生独立性和分析问题的能力。
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【空间几何体的表面积与体积】教学设计
教学目标：1、知识与能力：掌握几何的基本特征，会求表面积和体积
2、过程与方法：能熟练解决三视图的有关问题
3、情感态度与价值观：培养学生空间想象能力基本的应用能力
教学重点：几何的基本特征，会求表面积和体积，能熟练解决三视图的有关问题
教学难点：熟练解决三视图的有关问题
教学过程：一、知识网络构建：
教师出示有关立体几何知识网络图表，学生利用图表复习立体几何知识，构建知识网络。
二、考点聚焦及复习备考策略：
教师对近几年的高考题中出现的考点和热点给以解读，并研究备考中应该注意的问题。
三、核心知识整合：柱，锥，台，球的表面积和体积。
四、易错点警示。
五、高考真题练习。
六、命题方向及热点突破：
（1）三视图问题。
（2）表面积和体积。
（3）多面体和球。
教学反思与后记：。
高中数学人教A版必修2教案：1.3.2空间几何体的表面积和体积(教学设计)
1.3空间几何体的表面积和体积（第二课时）【教学目标】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.4.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识【重点难点】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．(重点)2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．(难点)【教学策略与方法】讲述，练习【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题导入类比棱柱、棱锥，思考：棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它的展开图是什么？如何计算它的表面积？结合已有知识进行思考，引出新知识新旧知识建立联系环节二：探究过程棱台侧面展开图探究几种方法，找出公式背后的理论依据形成归纳、猜想和证明的科学思维习惯圆台的上、下底面半径分别为r，r′，母线为l，其表面积S＝__________________.根据台体的特征，如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式．类比得出圆台的体积环节二：例题讲解例1 、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？例3：下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积学生做题总结思考，笔记教师讲解通过做题可以加深学生对基础知识的记忆与利用.教师结合实际情况适当讲解环节三：课堂演练1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)2．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A．81π B．100πC．14π D．169π3.一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为( )A．23B．2C．32D．12学生自主做题，思考讨论的同时，可以加深本节知识点的记忆，加强应用方面的方法技巧，加深对知识的认识.通过演练直击本节知识点，起到巩固作用.环节四：归纳总结,知识回顾棱台的侧面展开是什么图形？圆台的侧面展示是什么图形？棱台和圆台的侧面积和体积公式学生整理反思，深化认识环节五：作业与测试练习与测试独立完成作业限时完成测试通过作业与测试巩固知识提升应用能力。
1.空间几何体的表面积与体积(通用)-人教A版必修二教案
1.空间几何体的表面积与体积（通用）-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解空间几何体的定义及分类，并掌握它们的表面积与体积公式。
2.能够运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
二、教学重点和难点1.教学重点：空间几何体的定义及分类、表面积与体积的公式。
2.教学难点：如何运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
三、教学过程1. 空间几何体的定义及分类1.引入空间几何体的概念，定义几何体。
2.给出空间几何体的常见分类：点、线、面、体。
3.介绍不同空间几何体的定义和特点。
2. 空间几何体的表面积公式1.引入空间几何体的表面积概念，定义表面积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的表面积公式，并进行计算演示。
3. 空间几何体的体积公式1.引入空间几何体的体积概念，定义体积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的体积公式，并进行计算演示。
4. 计算练习1.给出一些空间几何体的基本参数，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.教师进行现场指导和解答，强调运用公式的方法。
四、教学评估1.给出一些空间几何题目，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.对学生的计算结果进行点评和总结，引导同学们继续加强实践和掌握。
五、教学拓展1.引导同学们了解空间几何体中的其他几何体类型，例如多面体、四面体、棱锥等，拓宽知识面。
2.提供更多计算练习，让学生运用公式娴熟地计算各种空间几何体的表面积和体积。
六、教学反思教学中应注意具体问题具体分析，让学生感受到所学知识的实际应用。
此外，在计算时也要避免公式的生搬硬套，而应注重运用创新思维。
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解外接球问题（二）教学分析：球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。
球经常和其他空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
教学目标：知识与技能：学生学会用通法解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。
情感态度与价值观：完善学生的知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。
教学重点：学会转化的思想方法，学会举一反三。
教学难点：学会构造模型，而使用通法求解。
教学过程：知识梳理：1、正方体或长方体的外接球的球心在其体对角线的中点，其半径为22221c b a R ++=，其中a 、b 、c 为长方体的长、宽、高。
2、若上下底面有外接圆的直棱柱，则它的外接球的球心是上下底面外接圆的圆心连线的中点，其半径为2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h r R （R 为外接球的半径，r 为外接圆的半径，h 为侧棱长） 3、正四面体、三条侧棱两两垂直或三个侧面两两垂直、四个面都是直角三角形的三棱锥，对棱相等的三棱锥，都可以补成长方体或正方体。
4、若三棱锥中，有两个共斜边的直角三角形，则这条棱的中点就是外接球的球心，棱长是外接球的直径。
如果三棱锥无法构造成正方体或长方体，该如何求解其外接球的表面积和体积问题呢？一起来探讨一下。
典型例题：三棱锥P —ABC ，AC ⊥BC ，PB ⊥平面ABC ，AC=BC=PB=2，求三棱锥P —ABC 外接球的表面积。
简解：第一步：找△ABC 外接圆的圆心O ’，过O ’做△ABC 的垂线，垂线上有球心O ，根据'''OCO Rt OBO Rt OAO Rt △△△≅≅,得到OC OB OA ==； 第二步：设x OO ='，则2''2222+=+=x B O OO OB ，因为外接球的半径OP OC OB OA R ====，所以只需OP OB =，即22OP OB =，过P 做平面ABC 的垂线，即PB ，过O 做OF ⊥PB ，则2'==B O OF ， 所以()222222x FP OF OP -+=+=，所以()22222x x -+=+，即1=x 所以外接球的半径32122=+==OB R ，外接球的表面积ππ1242==R S总结：这种方法我称它为双垂线模型，其主要步骤1、找底面外接圆的圆心，即△ABC 的外心，过外心做底面的垂线，设出球心；2、过顶点做垂线（这里的顶点是相对底面来说的），找等量关系，列方程。
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1.3空间几何体的表面积和体积——简单锥体的外接球和内切球求法【教学目标】：1、知识与技能：会用补形法和构造直角三角形法求解简单锥体的外接球和内切球的体积和表面积的问题；2、过程与方法：在教学过程中，让学生在问题情境中掌握补形法和构造直角三角形法的重要性，体验补形法的便捷；3、情感和价值观：通过学习，使得学生了解数学源于生活，但高于生活，逐步养成任何事物都是不断变化发展的辩证唯物主义的观点；【教学重点】：掌握求解简单锥体的外接球和内切球的体积和表面积的两种方法：补形法和构造直角三角形法。
【教学难点】：如何应用补形法和构造直角三角形法【教学过程】：一、复习 1.；；；，圆圆圆===S S C 2.；；；，球球球===V V S 3.长、宽、高分别为c b a ,,的长方体外接球直径2R= ； 特别地，边长为a 的正方体外接球直径2R= ；4. 边长为a 的正方体中，与其各棱都相切的球的直径2R= ； 边长为a 的正方体内切球直径2R= ；二、补形法例1.若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 A BC ， A B ⊥AC ，且 P A = 8 ， A B=4，AC=52 ，则球O 的半径为 ．变式1：若三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 ABC ， A B ⊥ BC ，且P A = 8 ，AB=4，B C=52．则球O 的半径为 ，ABC ∆外接圆半径为变式2：若三棱锥P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， P A ⊥ 平面 ABC ， A B ⊥ BC ，且P A = 8，平面 A BC 截球 O 所得截面的面积为 9π ，则球 O 的表面积为（ ）（A ）10π （B ） 25π （C ） 50π （D ）100π三、构造直角三角形法例2.在正四棱锥P-ABCD 中，AB=2,PA=5，则该棱锥的斜高为 ，高为 ，体积为 ，其内切球半径为2的等边三角形，则该棱锥的高为 ，其外接球半径例3.已知圆锥的高为3球面上，则这个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π变式1：已知圆锥的高为3，则该圆锥的内切球的半径为变式2：现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3 ，则其包装盒的体积的最小值为（ ）A ．36πB ．72π C. 81π D ．216π例4．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．变式1：正三棱台ABC A B C '''-1，若该正三棱台内有一个球，则该球的最大半径为_______．【课堂小结】：1、补形法；2、构造直角三角形法；【作业布置】：卷15【教学反思】：。
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《1.3空间几何体的表面积与体积》教学案1
教学任务分析:
根据柱，锥，台的结构特征，并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体；用极限思想推导球的体积公式和表面公式，使学生初步了解利用极限思想解决问题的基本步骤，体会极限思想的基本内涵.与此同时，培养学生积极探索的科学精神，培养学生的思维能力，空间想象能力.
教学重点：
柱体，锥体，台体的表面积和体积的计算公式.
教学难点：
球的体积和表面积的推导
教学设计：
1．从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系.其目的是㈠复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和㈡介绍求几何体表面积的方法，把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.
2．通过类比正方体和长方体的表面积，讨论棱柱，棱锥，棱台的表面积问题.实际上，求棱柱，棱锥，棱台的表面积问题可转化成求平行四边形，三角形和梯形问题.
3．利用计算机或实物展示圆柱的侧面可以展开成一个矩形.圆锥的侧面可以展开成一个扇形.
随后的有关圆台表面积的探究，也可以按照这样的思路进行教学.
说明圆台表面积公式时，可推导侧面积公式.
圆台侧面积的推导：
设圆台侧面的母线长为，上，下底周长分别是，半径分别是
则S圆台侧
=()x c x l c '-+2
121 =
()[]x c c cl '-+21 ()()()l r r l c c c c l c c c cl S c c l c x l
x x c c '+='+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'-''-+='-'=∴+='π2121圆台侧
在分别学习了圆柱，圆锥，圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动，变化的观点分析它们之间的关系.圆柱可看成上，下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台.因此，圆柱，圆锥可看成圆台的特例.(可用计算机演示)
4．柱体， 锥体和台体的体积[来源:Zxxk .Com ]
从正方体，长方体的体积公式引入到一般棱柱的体积也是V =Sh
若有时间，可推导棱锥的体积公式[来源:学_科_网]
棱锥的体积公式的推导
如图，设三棱柱ABC -ABC 的底面积(即ΔABC 的面积)为S ，高(即点A ¹到平面ABC 的距离)为h ，则它的体积为Sh ，沿平面A ¹BC 和平面A ¹B ¹C ，将这个三棱柱分割为3个三棱锥，其中三棱锥1，2的底面积相等(S ΔA ¹AB =S ΔA ¹B ¹B )，高也相等点C 到平面AB ，BA 的距离)三棱锥也有相等的底面积，和相等的高(点A ¹到平面BCC ¹B ¹ 的高)因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥体积是sh ，得sh
台体 推导出台体的体积公式
V =S ¹+Sh
让学生思考，柱体，锥体台体的体积公式之间的联系.
5.球的表面积和体积
本节课可以用多媒体课件演示球体的分割过程，使整个推导过程更加形象直观.
本课的重点放在引导学生了解其所运用的基本思想方法，即‘分割、求近似和、再由近似和转化为球的体积(表面积)’的极限思想方法.
例四和例五都是球的体积公式和表面公式的应用.
例五的教学可以先要学生分析几何组合体的结构特征，分析清楚之后自然明白花柱的表面积由哪些部分构成.。