Liouville
sturm-liouville问题特征值间的不等式
sturm-liouville问题特征值间的不等式Sturm-Liouville问题是一个常见的线性偏微分方程边值问题。
它的特征值间的不等式是指这些特征值之间存在一些关系或限制。
在本文中，我们将探讨Sturm-Liouville问题特征值间的不等式。
首先，我们回顾一下Sturm-Liouville问题的一般形式：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda \rho(x)y = 0$$其中，$p(x)$、$q(x)$和$\rho(x)$是已知函数，$\lambda$是待确定的常数，我们将其称为特征值。
对于一个给定的Sturm-Liouville问题，我们可以求解其特征值和特征函数。
特征函数满足边界条件和正交归一条件。
考虑两个相邻的特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$，我们将利用正交归一条件来推导它们之间的不等式。
假设$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$分别是特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$对应的特征函数。
由正交归一性可得：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = 0$$其中，$a$和$b$是所考虑的区间的端点。
我们可以将这个积分写成另一种形式：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = \int_a^b\rho(x)y_n(x)[c_ny_{n+1}(x) + c_{n+1}y_n(x)]dx$$其中，$c_n$和$c_{n+1}$是未知常数。
再次应用正交归一性条件：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_n\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$$$\int_a^b \rho(x)y_{n+1}^2(x)dx = c_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$将这两个方程代入上一式，我们得到：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_nc_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$由于特征函数$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$不同时为零，我们可以得到：$$c_nc_{n+1} = \frac{1}{\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx}$$现在我们引入一个新的函数：$$z_n(x) = y_n(x) - \frac{c_{n+1}}{c_n}y_{n+1}(x)$$通过代入上面的表达式并稍作变换，我们可以得到：$$\int_a^b \rho(x)z_n^2(x)dx = \left(1 -\frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$$由于$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$是一个正数，我们知道系数$\left(1 - \frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)$也是一个正数。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果【摘要】本文研究了K-Hessian方程的一个Liouville型结果，首先介绍了K-Hessian方程的定义和性质，然后讨论了K-Hessian方程解的存在性。
接着我们详细阐述了K-Hessian方程的Liouville型结果以及相关证明方法。
进一步探讨了这一结果的意义，并展望了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们得出了K-Hessian方程的一个Liouville型结果对于微分几何领域的重要意义，为相关领域的研究提供了新的思路。
【关键词】K-Hessian方程, Liouville型结果, 正定Hessian矩阵, 解的存在性, 相关证明方法, 研究背景, 研究目的, 研究意义, 结论总结, 未来研究展望1. 引言1.1 研究背景K-Hessian方程是极小曲面理论中一个重要的方程，它在几何分析和偏微分方程领域有着广泛的应用。
研究K-Hessian方程可以帮助我们更好地理解曲面的性质和演化。
在过去的研究中，学者们已经取得了一些有趣的结果，但仍然存在许多未解决的问题。
深入研究K-Hessian方程及其相关的Liouville型结果具有重要的理论意义和实际意义。
1.2 研究目的研究目的: 本文旨在探讨K-Hessian方程的一个Liouville型结果，通过分析K-Hessian方程的性质、解的存在性以及相关证明方法，进一步揭示该方程的特殊性质和数学规律。
我们的研究目的是为了揭示K-Hessian方程在几何分析和微分方程领域中的重要性，并为更深入的研究和应用提供理论基础。
通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，我们希望能够拓展对该方程解的理解，揭示其在几何学和物理学中的应用意义，为解决相关问题提供新的思路和方法。
我们将以严谨的数学推导和分析方法，探讨K-Hessian方程的Liouville型结果及其意义，为深入理解和应用K-Hessian方程奠定理论基础。
liouville方程 介绍
Liouville方程是描述经典力学系统中粒子在相空间中运动的一个重要方程。
它的提出和研究对于我们理解经典力学系统的动力学行为具有重要意义，也在许多其他领域产生了深远的影响。
一、Liouville方程的历史Liouville方程得名于法国数学家Joseph Liouville，他在1838年首次提出了这个方程。
Liouville方程的提出是作为他对于Hamilton力学体系的基础理论的研究的一部分。
在当时，人们对于经典力学的理解正在逐渐深化，对于能够描述粒子在相空间中运动的方程的研究也成为了一个热门的课题。
二、Liouville方程的数学形式Liouville方程通常被写作以下形式：∂ρ/∂t + ∇• (ρv) = 0其中，ρ是系统的密度函数，t是时间，v是系统中粒子的速度矢量。
这个方程描述了系统中粒子在相空间中密度的演化规律，表明了在经典力学系统中，系统中粒子的密度在相空间中的流动和变化遵守一定的规律。
三、Liouville方程的物理意义Liouville方程的提出和研究得以广泛开展得益于其在描述经典力学系统的动力学行为中的重要作用。
Liouville方程提供了一个用以描述系统中粒子密度演化规律的数学工具，为我们理解经典力学系统中的宏观现象提供了重要的支持。
在热力学中，我们可以利用Liouville方程描述气体分子在相空间中的分布规律，从而揭示出温度、压强等宏观物理量与微观粒子运动规律之间的关系。
四、Liouville方程在其他领域的应用Liouville方程的重要性不仅限于经典力学系统，它在诸多领域都具有重要的应用价值。
在统计力学领域，Liouville方程被用来描述系统的微观状态密度演化规律，从而为我们理解宏观热力学规律提供了重要的基础。
在量子力学中，Liouville方程也被普遍应用于描述系统在相空间中的演化，这进一步展现了Liouville方程在现代理论物理中的重要地位。
五、Liouville方程与现代动力学理论Liouville方程的研究深化了人们对于经典力学系统的本质和动力学行为的理解，也为后续动力学理论的发展奠定了重要基础。
K-Hessian方程的一个Liouville型结果
K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 K-Hessian方程的背景介绍K-Hessian方程是一个重要的偏微分方程，在几何分析和非线性偏微分方程研究中起着重要的作用。
它最早由美国数学家D.C.中提出，在几何分析中有广泛的应用。
K-Hessian方程是一个高阶非线性椭圆型偏微分方程，它的解与曲率和Hessian矩阵之间的关系密切相关。
K-Hessian方程在几何学、概率论、最优控制理论等领域都有着重要的应用。
研究K-Hessian方程的Liouville型结果对于理解非线性偏微分方程的性质和解的结构具有重要意义。
Liouville型结果是指：满足一定约束条件下的非负解的结构和分类。
通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，可以揭示解的性质、特征和分布规律，进一步推动相关领域的理论研究和应用发展。
探讨K-Hessian方程的Liouville型结果对于推动数学领域的发展具有重要意义。
1.2 Liouville型问题的研究意义1.在微分几何中，Liouville型问题可以帮助我们更深入地理解曲率的性质和几何结构。
通过研究Liouville型问题，可以揭示曲率与几何流形的关系，从而推动微分几何理论的发展。
Liouville型问题在数学领域中扮演着重要的角色，其研究意义不仅限于理论层面，还涉及到实际问题的建模和解决。
深入研究Liouville型问题将有助于推动数学领域的发展并解决实际问题。
2. 正文2.1 K-Hessian方程的定义与性质K-Hessian方程是一类非线性椭圆型偏微分方程，具有重要的数学和物理背景。
它的定义与性质包括以下几个重要方面：1. K-Hessian方程的定义：K-Hessian方程是指具有如下形式的二阶非线性椭圆型偏微分方程：\[ F(D^2u)=f(x,u,Du) \]\( F(D^2u) \)表示Hessian矩阵的K-拉普拉斯算子，由方程中的K 决定，通常表达为对Hessian矩阵的第K大本征值的求和，而\( f(x,u,Du) \)为给定的非线性项。
数学家--中英文对照
数学家--中英文对照[zz]Weierstrass 魏尔斯特拉斯（古典分析学集大成者，德国人）Cantor 康托尔（Weiestrass的学生，集合论的鼻祖）Bernoulli 伯努力（这是一个17世纪的家族，专门产数学家物理学家）Fatou 法都（实变函数中有一个Fatou引理，为北大实变必考的要点）Green 格林(有很多姓绿的人，反正都很牛）S.Lie 李 (创造了著名的Lie群，是近代数学物理中最重要的一个概念)Euler 欧拉（后来双目失明了，但是其伟大很少有人能与之相比）Gauss 高斯（有些人不需要说明，Gauss就是一个）Sturm 斯图谟（那个Liouvel-Sturm定理的人，项武义先生很推崇他)Riemann 黎曼(不知道这个名字，就是说不知道世界上存在着数学家）Neumann 诺伊曼（造了第一台电脑，人类历史上最后一个数学物理的全才）Caratheodory 卡拉西奥多礼（外测度的创立者，曾经是贵族）Newton 牛顿（名字带牛，实在是牛）Jordan 约当（Jordan标准型，Poincare前的法国数学界精神领袖）Laplace 拉普拉斯（这人的东西太多了，到处都有）Wiener 维纳（集天才变态于一身的大家，后来在MIT做教授）Thales 泰勒斯（古希腊著名哲学家，有一个他囤积居奇发财的轶事）Maxwell 麦克斯韦（电磁学中的Maxwell方程组）Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，当年匈牙利数学竞赛第一）Fourier 傅立叶(巨烦无比的Fourier变换，他当年黑过Galois)Noether 诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母）Kepler 开普勒（研究行星怎么绕着太阳转的人)Kolmogorov 柯尔莫戈洛夫(苏联的超级牛人烂人，一生桀骜不驯）Borel 波莱尔（学过数学分析和实分析都知道此人）Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空间，改变了现代PDE的写法）Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老师，伟大如他者廖若星辰）Lebesgue 勒贝格（实分析的开山之人，他的名字经常用来修饰测度这个名词） Leibniz 莱不尼兹（和Newton争谁发明微积分，他的记号使微积分容易掌握） Abel 阿贝尔（天才，有形容词形式的名字不多，Abelian就是一个）Lagrange 拉格朗日（法国姓L的伟人有三个，他，Laplace，Legendre) Ramanujan 拉曼奴阳（天资异禀，死于思乡病）Ljapunov 李雅普诺夫（爱微分方程和动力系统，但更爱他的妻子）Hold er 赫尔得（Holder不等式，L-p空间里的那个）Poisson 泊松（概率中的Poisson过程，也是纯数学家）Nikodym 发音很难的说（有著名的Ladon-Nikodym定理）H.Hopf 霍普夫（微分几何大师，陈省身先生的好朋友）Pythagoras 毕达哥拉斯(就是勾股定理在西方的发现者）Baire 贝尔(著名的Baire纲)Haar 哈尔（有个Haar测度,一度哥廷根的大红人）Fermat 费马（Fermat大定理，最牛的业余数学家，吹牛很牛的）Kronecker 克罗内克（牛人，迫害Cantor至疯人院）udau 朗道（巨富的数学家，解析数论超牛）Markov 马尔可夫(Markov过程)Wronski 朗斯基（微分方程中有个Wronski行列式，用来解线性方程组的）Zermelo 策梅罗（集合论的专家，有以他的名字命名的公理体系）Rouche 儒契（在复变中有Rouche定理Rouche函数）Taylor 泰勒（Taylor有很多，最熟的一个恐怕是Taylor展开的那个）Urysohn 乌里松(在拓扑中有著名的Urysohn定理)Frechet 发音巨难的说，泛函中的Frechet空间Picard 皮卡（大小Picard定理，心高气敖，很没有人缘）Schauder 肖德尔（泛函中有Schauder基Schauder不动点定理）Lipschiz 李普西茨（Lipshciz条件，研究函数光滑性的）Liouville 刘维尔（用Liouville定理证明代数基本定理应该是最快的方法）Lindelof 林德洛夫（证明了圆周率是超越数，讲课奇差）de Moivre 棣莫佛（复数的乘法又一个他的定理，很简单的那个）Klein 克莱因（著名的爱尔兰根纲领，哥廷根的精神领袖）Bessel 贝塞尔（Hilbert空间一个东西的范数用基表示有一个Bessel定理）Euclid 欧几里德（我们的平面几何学的都是2000前他的书）Kummer 库默尔（数论中最有影响的几个人之一）Ascoli 阿斯克里（有Ascoli－Arzela定理，要一致有界等度连续的那个）Chebyschev 切比雪夫(他证明了n和2n之间有一个素数）Banach 巴拿赫（波兰的牛人，泛函分析之父）Hilbert 希尔伯特（这个也没有介绍的必要）Minkowski 闵可夫斯基（Hilbert的挚友，Einstein的“恩师”）Hamilton 哈密尔顿（第一个发现了４元数，在一座桥上）Poincare 彭加莱(数学界的莎士比亚）Peano 皮亚诺（有Peano公理，和数学归纳法有关系）Zorn 佐恩(Zorn引理，看起来显然的东西都用这个证明)一、伯努利家族Bernoulli（伯努利）家族(1)Euler（欧拉）停止了生命，也就停止了计算。
数学家中英文对照
数学家--中英文对照[zz]Weierstrass 魏尔斯特拉斯（古典分析学集大成者，德国人）康托尔（Weiestrass的学生，集合论的鼻祖）伯努力（这是一个17世纪的家族，专门产数学家物理学家）法都（实变函数中有一个Fatou引理，为北大实变必考的要点）格林(有很多姓绿的人，反正都很牛）李 (创造了著名的Lie群，是近代数学物理中最重要的一个概念)欧拉（后来双目失明了，但是其伟大很少有人能与之相比）高斯（有些人不需要说明，Gauss就是一个）斯图谟（那个Liouvel-Sturm定理的人，项武义先生很推崇他) 黎曼(不知道这个名字，就是说不知道世界上存在着数学家）诺伊曼（造了第一台电脑，人类历史上最后一个数学物理的全才）卡拉西奥多礼（外测度的创立者，曾经是贵族）牛顿（名字带牛，实在是牛）约当（Jordan标准型，Poincare前的法国数学界精神领袖）拉普拉斯（这人的东西太多了，到处都有）维纳（集天才变态于一身的大家，后来在MIT做教授）泰勒斯（古希腊著名哲学家，有一个他囤积居奇发财的轶事）麦克斯韦（电磁学中的Maxwell方程组）黎茨（泛函里的Riesz表示定理，当年匈牙利数学竞赛第一）傅立叶(巨烦无比的Fourier变换，他当年黑过Galois)诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母）开普勒（研究行星怎么绕着太阳转的人)柯尔莫戈洛夫(苏联的超级牛人烂人，一生桀骜不驯）波莱尔（学过数学分析和实分析都知道此人）所伯列夫（著名的Sobolev空间，改变了现代PDE的写法）狄利克雷（Riemann的老师，伟大如他者廖若星辰）勒贝格（实分析的开山之人，他的名字经常用来修饰测度这个名词）莱不尼兹（和Newton争谁发明微积分，他的记号使微积分容易掌握）阿贝尔（天才，有形容词形式的名字不多，Abelian就是一个）拉格朗日（法国姓L的伟人有三个，他，Laplace，Legendre)拉曼奴阳（天资异禀，死于思乡病）李雅普诺夫（爱微分方程和动力系统，但更爱他的妻子）er 赫尔得（Holder不等式，L-p空间里的那个）泊松（概率中的Poisson过程，也是纯数学家）发音很难的说（有著名的Ladon-Nikodym定理）霍普夫（微分几何大师，陈省身先生的好朋友）毕达哥拉斯(就是勾股定理在西方的发现者）贝尔(著名的Baire纲)哈尔（有个Haar测度,一度哥廷根的大红人）费马（Fermat大定理，最牛的业余数学家，吹牛很牛的）克罗内克（牛人，迫害Cantor至疯人院）朗道（巨富的数学家，解析数论超牛）马尔可夫(Markov过程)朗斯基（微分方程中有个Wronski行列式，用来解线性方程组的）策梅罗（集合论的专家，有以他的名字命名的公理体系）儒契（在复变中有Rouche定理Rouche函数）泰勒（Taylor有很多，最熟的一个恐怕是Taylor展开的那个）乌里松(在拓扑中有著名的Urysohn定理)发音巨难的说，泛函中的Frechet空间皮卡（大小Picard定理，心高气敖，很没有人缘）肖德尔（泛函中有Schauder基Schauder不动点定理）李普西茨（Lipshciz条件，研究函数光滑性的）刘维尔（用Liouville定理证明代数基本定理应该是最快的方法）林德洛夫（证明了圆周率是超越数，讲课奇差）棣莫佛（复数的乘法又一个他的定理，很简单的那个）克莱因（著名的爱尔兰根纲领，哥廷根的精神领袖）贝塞尔（Hilbert空间一个东西的范数用基表示有一个Bessel定理）欧几里德（我们的平面几何学的都是2000前他的书）库默尔（数论中最有影响的几个人之一）阿斯克里（有Ascoli－Arzela定理，要一致有界等度连续的那个）切比雪夫(他证明了n和2n之间有一个素数）巴拿赫（波兰的牛人，泛函分析之父）希尔伯特（这个也没有介绍的必要）闵可夫斯基（Hilbert的挚友，Einstein的“恩师”）哈密尔顿（第一个发现了４元数，在一座桥上）彭加莱(数学界的莎士比亚）皮亚诺（有Peano公理，和数学归纳法有关系）佐恩(Zorn引理，看起来显然的东西都用这个证明)一、伯努利家族Bernoulli（伯努利）家族(1)Euler（欧拉）停止了生命，也就停止了计算。
sturm-liouville问题的m-函数与谱
sturm-liouville问题的m-函数与谱Sturm-Liouville问题是一个重要的微分方程问题，它出现在物理学、工程学和数学领域中。
它的求解方法涉及到m-函数和谱的概念。
Sturm-Liouville问题的一般形式为：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda w(x) y = 0$$在上述方程中，p(x)，q(x)，w(x)是已知函数，y(x)是未知函数，而λ是待求的常数。
该方程是一个边值问题，通常在一个区间[a, b]上求解。
边界条件可以是Dirichlet边界条件、Neumann边界条件或混合边界条件。
为了解决Sturm-Liouville问题，我们首先需要引入m-函数和谱的概念。
m-函数是解决Sturm-Liouville问题的关键步骤之一、m-函数定义为：$$m(x, t) = \begin{cases} 0, & x \leq t \\\frac{1}{w(t)}\left[\frac{y_1(t)y(x)}{y(x_1)y_1(x)} -\frac{y_2(t)y(x)}{y(x_2)y_2(x)}\right], & t < x < x_2 \\ 1, & x\geq x_2 \end{cases}$$在上述定义中，y1(x)和y2(x)是Sturm-Liouville问题的两个线性独立解，满足相同的边界条件。
x1和x2分别是区间[a, b]上的两个点，使得y1(x1)=0且y2(x2)=0。
m(x, t)既是一个关于x和t的函数，也是关于t的隐函数。
它在x=t时为0，在x=x1和x=x2时分别为1通过求解m(x, t)的零点，我们可以得到Sturm-Liouville问题的特征值。
事实上，当m(x, t)为0时，意味着存在一个特征值λ。
这些特征值将是Sturm-Liouville问题的解的集合。
关于常微分方程中liouville公式的注记
关于常微分方程中liouville公式的注记
Liouville公式又称 Liouville 从王定理，是 19 世纪中叶带给我们的一个重要的理论结果，为我们解决常微分方程提供了一种有力的工具。
Liouville 公式是由法国数学家 Joseph Liouville 于1838年发现的一种有趣的理论结果。
Liouville公式主要用于解决非线性的常微分方程，其利用正确的积分方法可以解决许多复杂的常微分方程。
Liouville公式可以使得常微分方程中最重要的特征就是定义初值问题，通常可以得出合适的解答。
Liouville公式要求数值解时，微分方程的右端必须是可积函数，它的数值积分公式可以作为一种对求解非线性常微分方程的实际方法。
Liouville公式为我们提供了解决复杂问题的高效工具，它也为非线性常微分方程的实践应用提供了有力的帮助，在解决有关系统应用问题中也发挥着重要的作用。
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刘维尔生平介绍
刘维尔(Joseph Liouville)法国数学家。
1809年3月24日生于法国加来海峡省圣奥梅尔。
刘维尔的父亲克劳德-约瑟夫·刘维尔(Claud－Joseph Liouville)是一位陆军上尉，母亲名叫泰雷兹·巴朗(Thérése Bal－land)。
刘维尔是他们的次子，幼时先后就学于科梅西和土尔。
1825年他来到巴黎综合工科学校学习，安培担任分析与力学课的老师，两人曾共同探讨电动力学问题。
他于1827年11月转入桥梁与公路学校，1831年获学士学位。
1831年11月，他被综合工科学校教育委员会选为L．马蒂厄(Mathieu)的分析与力学课助教，由此开始了自己近50年的科学研究生涯。
1833—1838年间，刘维尔曾在成立不久的中央高等工艺制造学校讲授数学和力学，但内容均为初级的。
为使自己的教学工作保持在大学水平上，他在1836年攻取了博士学位，论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”。
为适应法国数学研究的需要，刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》(Jour nal de matématiques pures et appli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作(第1辑，1—20卷，1836—1855年；第2辑，1—19卷，1856—1874年)。
该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》(Liou－ville′s Journal)。
刘维尔不仅与当时一些重要的数学家保持着密切联系并定期发表他们的成果，而且热心地对年轻学者进行指导，为他们发表著作提供机会。
最值得一提的当属他编辑发表E.伽罗瓦Galois)的文章。
1832年5月，伽罗瓦在决斗中被杀，刘维尔整理了他的部分遗稿并刊登在1846年的《纯粹与应用数学杂志》上，他在代数方面的独创性工作才得以为世人所知。
1851年来到法兰西学院后，刘维尔的教学工作相当自由，有更多的时间展开自己的研究工作，广泛与他人探讨。
他在此职位上一直工作到1879年。
不过从1874年他退出《纯粹与应用数学杂志》的编辑工作后，便不再发表著作，也很少参与法国学术界的活动了。
刘维尔一生勤于学术工作，生活淡泊宁静，每年都要回到家乡土尔的旧居休假。
他在1 830年与表亲玛丽-路易丝·巴朗(Marie－Louise Balland)结婚，生有三女一子。
刘维尔的主要学术成就如下。
1．函数论
刘维尔第1定理在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；
刘维尔第2定理椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0；
刘维尔第3定理 n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；
刘维尔第4定理在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。
2．微分方程与积分方程
19世纪，随着各种曲线坐标系的引入和新的函数类如Bessel函数、LegendreLegendr e)多项式等作为常微分方程的特征函数而兴起，确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数，便成为日益突出的重要问题。
刘维尔和他的朋友、力学教授C.Sturm在30年代同时钻研了这类问题。
3．数论
刘维尔对数论问题产生兴趣是由费马大定理开始的。
1840年，他将费马问题作了转化，证明方程un＋vn=wn的不可解性意味着x2n-y2n=2xn的不可解性。
从1856年开始，刘维尔放弃了在其他方面几乎所有的数学研究，而把精力投入到数论领域。
10年间，他在《纯粹与应用数学杂志》上发表了18篇系列注记和近200篇短篇注记，前者未加证明地给出了许多一般公式，为解析数论的形成奠定了基础，后者则个别地讨论了素数性质和整数表示为二次型的方法等特殊问题。
另外，1836年，刘维尔与斯图姆共同给出了关于代数方程虚根数目的柯西定理的证明；次年，他又用不同于阿贝尔的方法，解决了二元代数方程组的消元问题。
1841年和1844
年刘维尔用消去理论证明并推广了M．沙勒(Chasles)建立的曲线和曲面的度量性质，还发现一种新方法，以确定任意椭圆曲面的测地线，这是雅可比在研究双曲超越数时引出的问题。
此外，刘维尔在物理方面也有贡献。