八年级数学菱形的定义和性质

(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
A B D
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质.
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
AE
∴∠AED=900, DE
1 1 BD 10 5cm . 2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B
A.75°B.60°C.45°D.30°
E
B
D F
C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
A
D
B
F E
C
已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18, 求∠ CEF的度数.
思考：已知：菱形中ABCD，∠A=72°, 请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分成四个三角形，使得每一个三角形都 是等腰三角形。
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
∴AC⊥BDຫໍສະໝຸດ 2 2 2 252
3
∴ OB AB OA 5 4 9B ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
6 已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A E
3 12
F D C
B
7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 A ∠DAE=2∠BAE， D 求证：EB=OA； O
B
E
C
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
?
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A
B
O
D
C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
四边形集合
平行四边形集合
菱形集合
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形 定 有一个角是直角的平 义 行四边形 性 1、具有平行四边形的 一切性质 质 2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等 菱形 有一组邻边相等的平行 四边形 1、具有平行四边形的 一切性质 2、菱形的四条边都相 等 3、菱形的对角线互相 垂直，并且每一条对角 线平分一组对角
由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。 又：
A B
D
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。
C
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
A
∴AC=2AE=2×12=24(cm). E B (2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
D


C
三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
AC⊥BD
= ∴ OA=OC;OB=OD AB ∥ CD 菱形的 两条对角线互相平分 = ∴ AB=BC=CD=DA
【菱形的面积公式】
A B 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
菱形
O E
C
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD 2 面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60 度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动 点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 F
D
C
E A
B
例1、已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A F 1 2 变式训练：把本例中的 E “DE//AC交AB于E， DF 3 ∥AB交AC于F”改成“EF垂 C 直平分AD”，其他条件不变， B D 你能否证明四边形AEDF是 菱形？
1.菱形的定义、性质
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
平行四边形 邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
．
四边形ABCD是菱形
菱形的性质
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
B C A O D
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
D
O
C
A
E
B
D O
A
C
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相 等的？ （2）有哪些特殊的三角形？
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中，
A
D
O
C
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° 角 ∠DAB=∠DCB 菱形的邻角互补 ∴ AD ∥BC ∴ ∠ ADC=∠ABC ∴ ∠DAC=∠BAC 对角线 ∠DCA=∠BCA 菱形的两条对角线互相垂直平分， ∠ADB=∠CDB 并且每一条对角线平分一组对角。 ∠ABD=∠CBD
的
例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
A E
F
D O C
B
例3：如果菱形的一个角是1200，那么这 个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别 平分两边。 A D
F E B 已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18, 求∠ CEF的度数. C
Rt△DOA 全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
B
D
3
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm A，4 O 则菱形的边长是（ ）C
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
A
D O C
B
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 4 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方 （ C） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段： AB=CD=AD=BC
5
A
1 2
7
D
8
O
6 3 4
OA=OC OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD