21.2.4解一元二次方程
21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2
21.2.4 用因式分解法解一元二次方程_课件
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
练习：书P14练习 1
1.解下列方程：
.
(1)x2 x 0,
提公因式：x(x 1) 0，
所以有x 0或x 1 0
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
(x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
∴ x1=-2 , x2=
5 3
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－ 5)=0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5 =0
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0， 所以有x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0， 提公因式得：3(x2 2x 1) 0， 所以3(x 1)2 0， 有(x 1)2 0， 所以x1 x2 1.
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数关系一、内容和内容解析1．内容一元二次方程根与系数的关系．2．内容解析一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的12b x x a +=-，12c x x a⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．二、目标和目标解析1．目标（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．三、教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。
因此，先引导学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．四、教学过程设计1．复习一元二次方程一般形式及求根公式问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系问题3 一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？师生活动：学生独立思考后，教师追问：如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）学生独立完成证明过程，然后再全班交流。
21.2.4一元二次方程的解法：因式分解法(上课用)
21.2.4一元二次方程的解法--因式分解法知识点1 用因式分解法解一元二次方程1．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－22．方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－23．方程x(x－2)＝2－x的解是( )A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－14．方程(x＋3)(x－3)＝0的根的情况是( )A．无实数根B．有两个相等的实数根C．两根互为倒数D．两根互为相反数5．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，从而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想6．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( ) A．5 B．7 C．5或7 D．107．已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则二次三项式x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋4) B．(x－3)(x＋4) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4)8．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为．9．方程x2＝|x|的根是．10．若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是．11．已知关于x的一元二次方程3(x－1)(x－m)＝0的两个根分别是1和2，则m的值是______．12．小华在解一元二次方程x2＝4x时，只得出一个根是x＝4，则被他漏掉的一个根是x＝____．13．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是____________．14．用因式分解法解下列方程：(1)x2－9＝0； (2)x2－32x＝0； (3)x(x－2)＝x；(4)5x2＋20x＋20＝0； (5)(2＋x)2－9＝0；（6）16(2x－1)2-225=0；(7)3x(x－2)＝2(x－2)．（8）(x－3)2＋4x(x－3)＝0；（9）3y(y－2)＝4y－8. (10)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；（11）x2－4x＋4＝(3－2x)2；（12）4x2－4x＋1＝x2－6x＋9；15.我们把⎪⎪⎪⎪a bc d称作二阶行列式，规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪a bc d＝ad－bc.如：⎪⎪⎪⎪2 34 5＝2×5－3×4＝－2.如果⎪⎪⎪⎪x＋1 x－11－x x＋1＝6，求x的值．16.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．知识点2 选择适当的方法解一元二次方程17．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36 C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋918．解方程2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法19．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是( )A．(x－2)(x＋5)＝2 B．(x－2)2＝x2－4 C．x2＋5x－2＝0 D．12(2－x)2＝320．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是( )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝221．方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是________．22．用适当的方法解下列方程：（1）2(2x-3)2＝4.5; （2）x2＋4x－1＝0；（3）3x2＝5x；（4）x2＋2x－288＝0；（5）x(x－2)＋x－2＝0；（6）x2－23x＋3＝0；（7）x2－1＝3x＋3；（8）2(x－3)2＝x2－9；（9）2(t－1)2＋8t＝0；（10）4x2＋3x－2＝0. (11)(x－3)2＋x2＝9；（12）3x＝2(x＋1)(x－1)．（13）t2－22t＋18＝0. （14）(3x＋2)2－4x2＝0； (15)x2－3x＝(2－x)(x－3)．23．已知A＝x2－2x＋3，B＝2x2＋x－4，当x为何值时，A＝B?知识点 3 一元二次方程的特殊解法24．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y ＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为( )A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3 C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－2，x2＝－125．若方程(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2的值为( )A．6 B．6或－1 C．－1 D．－6或126．解方程(x2－5)2－x2＋3＝0时，令x2－5＝y，则原方程可化为____________．27．解下列方程：(1)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0； (2)(x－2)2－3(x－2)＋2＝0； (3)6＋5(2y－1)＝(2y－1)2.28．请阅读下列材料：问题：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.明明的做法是将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.(1)当y＝1时，x2－1＝1，解得x＝±2；(2)当y＝4时，x2－1＝4，解得x＝± 5.综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.请你参考明明同学的思路，解下面的方程：x4－x2－6＝0. 29．先阅读题例，再解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0.解：当x≥0时，x2－x－2＝0，解得x1＝－1(不合题意，舍去)，x2＝2；当x＜0时，x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.综上所述，原方程的解为x＝2或x＝－2.依照上例解法解方程x2－|x－3|－3＝0.30．阅读下列解方程的方法：一般地，∵(x＋a)(x＋b)=x2＋(a＋b)x＋ab，∴x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).这就是说，对于二次式x2＋px＋q,若能找到两个数a,b使⎩⎨⎧==+qabpba，则就有x2＋px＋q=x2＋(a＋b)x＋ab，这种因式分解法的特征是“拆常数项，凑一次项”，即a,b的乘积等于常数项，a,b的和为一次项系数。
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步习题
21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－ba___，x 1x 2＝__ca___．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．4 2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D ) A ．－8 B ．－4 C ．8 D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___． 5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2.解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11 (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B ) A ．b ＞0 B ．b ＝0 C ．b ＜0 D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C ) A ．1，2 B ．2，4 C ．4，8 D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－1 10．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－1 11．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D ) A ．两根之和为2 B ．两根之积为2 C ．两根的平方和为0 D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B ) A ．x 2＋6x ＋8＝0 B ．x 2－6x ＋8＝0 C ．x 2－6x －8＝0 D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B )A ．5B ．－5C ．1D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或2 16．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12 (2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，求x13＋2016x2－2015的值．解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2是方程x2－x－2015＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
太和县苗集中心学校
例2：若x1、x2是方程x2－3x－1=0的两个根，不解 方程求下列各式的值. （1） x12x2＋x1x22
解：由根与系数的关系得：
x1+x2=3, x1· x2=-1 ∴ x12x2＋x1x22＝x1x2(x1+x2) ＝ -1×3 ＝-3
2 －3 5 －p
x1· x2
0
－4 6 q
2 2 －p＋ P - 4q －p－ P - 4q 2 2
2＋px＋p=0有两个实数根 如果方程 x 思考：你发现这些一元二次方程的两根之 x x2=q. 1、x2，那么x1+x2＝－p, x1· 和、两根之积与系数有什么关系？
太和县苗集中心学校
不解方程，直接说出下列各方程两根之和与 两根之积.
2b b 2a a
（—b＋ b2 - 4ac ） （—b — x1· x2= 2a·2a b2—(b2—4ac) = 4a2
b2 - 4ac ） (—b)2—( b2 - 4ac ) 2 = 4a2
=
=
4ac
4a2 c a
太和县苗集中心学校
一元二次方程根与系数的关系，常常也称作韦达 定理，是由十六世纪法国数学家韦达发现的，为了纪 念韦达对数学界所作出的贡献，因此以他的名字来命 名。其实，很多真理都是从我们日常生活中发现的。 例如牛顿从一颗下落的苹果中领悟到行星运转的道理， 从而发现了万有引力；德国天文学家魏格纳，躺在病 床上看到挂在墙上的世界地图，发现了“大陆漂移说” 等等。同学们，今天你们认真观察身边中的每件小事、 多动脑、多思考，也许明天你也会成为伟人，被载入 史册，流芳百世。
当b2-4ac≥0时它的两根分别是
21.2.4 一元二次方程的解法(三)公式法
一元二次方程的根的情况
ax2 bx c 0 （a 0）
（1）当 b2 4ac 0 时，有两个不等的实数根。
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，没有实数根。
x b b2 4ac 2a
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
例1 （1）用公式法解方程 5x2-4x-12=0 求根公式：x -b b2 - 4ac
经历求根公式的推导过程. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
解：移项，得 2x2+4x=－1, 二次项系数化为1，得 x2 +2x
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
问题：接下来能用直接开平方解吗？
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，方程有实数根.
1.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有两个实根，则m的取
值范围是 m 1 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21.2.4解一元二次方程
学习目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
重点、难点
1、 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程
2、 难点：选择合适的方法解一元二次方程 【课前预习】 一、梳理知识
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式
直接开平方法 平方根的定义 2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥
配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 因式分解法
两个因式的积等于0，那么这两个因式至少
有一个等于0
一边是0，另一边易于分解成两
个一次因式的乘积的一元二次
方程
3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用适当的方法解下列方程：
1. 270x x -=
2. 2
1227x x +=
3、X （x-2）+X-2=0 4. 2
24x x +-=
5、5x 2-2X-41 =x 2
-2X+ 6. 22
4(2)9(21)x x +=-
3
4
【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题
1．用直接开方法解方程：
⑴01362
=-x ⑵8142
=x
⑶()165
2=+x ⑷4122=+-x x
2．用因式分解法解方程：
⑴02
=+x x ⑵012142
=-x
⑶()()012123=---x x x ⑷()()025422=---x x
3．用配方法解方程：
⑴016102
=++x x ⑵04
3
2
=--x x
⑶05632
=-+x x ⑷2
490x
x --=
4．用公式法解方程：
⑴0122
=-+x x ⑵04
1
22
=-
-x x
⑶112842
+=++x x x ⑷()
x x x 824-=-
⑸022=+x x ⑹010522
=++x x
活动3：课堂小结
解一元一次方程的方法：
【课后巩固】
1．用直接开方法解方程：
⑴0942
=-x ⑵()122
=-x
⑶()129
2=-x ⑷4122=++x x
2．用因式分解法解方程：
⑴0322
=-x x ⑵()24123+=+x x x
⑶4
3
2412522
+-=-
-x x x x ⑷()()22312x x -=-
3．用配方法解方程： ⑴0182
=+-x x ⑵x x 3122=+ ⑶04632=+-x x
⑷09102
=++x x ⑸04632
=-+x x ⑹()1284+=+x x x
4．用公式法解方程：
⑴012
=-+x x ⑵
04
1
32=--x x ⑶02632=--x x
⑷0642
=-x x ⑸114842+=++x x x ⑹()x x x 8542-=-。