2019届河北省中考系统复习：第25讲与圆有关的计算(8年真题训练)
河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(九)与圆有关的计算与证明练习
滚动小专题(九) 与圆有关的计算与证明类型1 与切线有关的计算与证明1．如图，⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，G 为弦AE 的中点，连接OG 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，使得FC ＝BC ，连接BC.求证：BC 是⊙O 的切线；3⊙O 的半径为5，tanA ＝4，求FD 的长．解：(1)证明：∵点 G 是AE 的中点，∴OD⊥AE.∴∠ODB＋∠DFG＝90°.FC ＝BC ，∴∠CBF＝∠CFB.∵∠CFB＝∠DFG，∴∠CBF＝∠DFG.∵OB＝OD ，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＋∠CBF＝∠ODB＋∠DFG＝90°，即∠ABC＝90°.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．(2)连接AD.OG3∵ tan ∠OAG＝＝，AG4∴设OG ＝3x ，那么AG ＝4x.2 2∴OA ＝ OG ＋AG ＝5x ＝5，解得x ＝1. ∴OG ＝3，AG ＝4. ∴DG ＝OD －OG ＝2. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADF ＝90°. ∵∠DAG ＋∠ADG ＝90°，∠ADG ＋∠FDG ＝90°， ∴∠DAG ＝∠F DG. 又∵∠AGD ＝∠DGF ， ∴△DAG ∽△FDG. DGFG 2 FG ∴＝ ，即 ＝ .∴FG＝1.AG DG 4 2 ∴在Rt △DFG 中，FD＝ 2 2 DG ＋FG ＝5.(1)(3)2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，过点C作CE⊥AD，垂足为E，且∠EDC＝∠BDC.(4)求证：CE是⊙O的切线；假设DE＋CE＝4，AB＝6，求BD的值．1(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，(11) ∴∠BCD ＝90°.(12) ∵CE ⊥AD ，∴∠E ＝90°.(13) ∵∠EDC ＋∠DCE ＝90°，(14) ∠EDC ＝∠BDC ，(15) ∴∠BDC ＋∠DCE ＝90°.(16) ∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD.(17) ∴∠OCD ＋∠DCE ＝90°，即 OC ⊥CE.(18) 又∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线．过点O 作OF ⊥AE ，垂足为F ，那么AF ＝DF ，∴OF ＝1AB ＝1×6＝3.2 2 23 易证得四边形 OFEC 为矩形，∴CE ＝OF.4 ∵DE ＋CE ＝4，∴DE ＝1.5 2在Rt △DCE 中，CD ＝1＋3＝10.∵∠EDC ＝∠BDC ，∴Rt △BDC ∽Rt △CDE.BD CDBD10∴＝ ，即 10 ＝.CD DE 1∴BD ＝10.类型2 与弧长及面积有关的计算3．如图，在⊙O 中，半径 OA ⊥OB ，过 OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D ，F 两点，且 CD ＝ 3，以O 为圆心，OC 为︵半径作CE ，交OB 于E 点．(1)求⊙O 的半径OA 的长；(2)计算阴影局部的面积．解：(1)连接OD.FD ∥OB ，OA ⊥OB ，∴OA ⊥FD.∵C 为OA 的中点，21 1∴OC＝2OA＝2OD.∴在Rt△OCD中，∠ODC＝30°.∴OC＝CD·tan30°＝1.∴OD＝2OC＝2，即⊙O的半径OA的长为2.(2)S阴影＝S扇形BOD＋S△OCD－S扇形COE21230×π×290×π×1＝360＋2×1×3－360π312＋2.4．如图，风车的支杆O E垂直于桌面MN，风车中心O到桌面的距离 OE为25cm，小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A，B，C，D在同一圆O上，⊙O的半径为10cm.风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保存根号)；(2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保存π)．备用图1备用图2解：(1)如图1，当点A运动到点A1的位置时，∠AOE＝45°.作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴A1F＝GE.在Rt△A1OG中，∵∠A1OG＝45°，OA1＝10，122.∴OG＝OA·cos45°＝10×2＝5∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－5 2.∴A1F＝GE＝25－52.答：点A到桌面的距离是(25－52).cm(2)如图2，点A在旋转过程中运动到点A2，A3的位置时，点A到桌面的距离等于20.cm作A2H⊥MN于点H，那么A2H＝20.作A2D⊥OE于点D，∴DE＝A2H.∵OE＝25，∴OD＝OE－DE＝25－20＝5.在Rt△A2OD中，∵OA2＝10，OD1cos∠A2OD＝＝.OA22∴∠A2OD＝60°.由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°.120×π×1020π∴点A所经过的路径长为180＝3.答：点A所经过的路径长为203πcm.32π＋4π＝6π.图1 图25．如图，有一直径 MN ＝4的半圆形纸片，其圆心为点 P ，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至 位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的 MN 平行于数轴，且半圆 P 与数轴相切于原点 O ；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的 MN 垂直于数轴； 位置Ⅲ中的 MN 在数轴上；位置Ⅴ中的点 N 到数轴的距离为 3，且半圆 P 与数轴相切于点 A. 解答以下问题：位置Ⅰ中的MN 与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半圆P 与数轴的位置关系是相切； 求位置Ⅲ中的圆心P 在数轴上表示的数；纸片半圆P 从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N 所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积； 求OA 的长．[(2)(3)(4) 中的结果保存 π]︵︵ 解：(2)位置Ⅰ中ON 的长与数轴上线段 ON 相等，︵ 90×π×2∵ON 的长为 ＝π，NP ＝2，180∴位置Ⅲ中的圆心 P 在数轴上表示的数为 π＋2.90×π×4(3)点N 所经过路径长为 ＝2π，180 2 2S 半圆＝180×π×2 90×π×4 ＝4π.360 ＝2π，S 扇形＝ 360∴半圆P 所扫过图形的面积为作NC 垂直数轴于点C ，作PH ⊥NC 于点H ，连接PA ，那么四边形PHCA 为矩形．在Rt △NPH 中，PN ＝2，NH ＝NC －HC ＝NC －PA ＝1.NH1∵ sin ∠NPH ＝＝，∴∠NPH ＝30°.PN2∴∠MPA ＝60°.︵ 60×π×22∴MA 的长为 180 ＝π.32 5∴OA ＝π＋4＋3π＝3π＋4.4。
(沪科版)中考数学总复习课件【第25讲】与圆有关的计算
2π －3 ． 3 每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为________
图25 －9
第25讲┃与圆有关的计算
第24讲┃与圆有关的位置关系
核心练习
6．[ 2014·岳阳] 的弧长为( D ) π A. 2 已知扇形的圆心角为60°，半径为 1，则扇形
B ．π
π C. 6
π D. 3 圆心角为120°，弧长为12π 的扇形半径为
7．[ 2014·衡阳] ( C )
A．6 B．9 C．18 D．36
第25讲┃与圆有关的计算
第25讲┃与圆有关的计算
图25 －1
A．(60°，4) B．(45°，4) C．(60°，2 2) D．(50°，2 2)
第25讲┃与圆有关的计算
[解析 ] 取正六边形中心为 M，连接 MA，MB. ∵多边形是正六边形， 360 ° ∴∠OMA＝∠AMB＝∠BMC＝ ＝60°， 6 MO＝ MA＝MB＝MC ， ∴△MOA，△MAB ，△MBC 都是等边三角形， ∴∠COA＝60°， MO＝MC＝OA ＝2， ∴CO ＝4， 即 θ ＝ 60°，m＝4 ， ∴顶点 C 的极坐标应记为(60°，4)．
第25讲┃与圆有关的计算
经典示例
例1 [2014·常德] 阅读理解：如图25－1①，在平面内
选一定点O，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那 么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ 与OM的长度 m确定， 有序数对(θ ，m)称为点M的“极坐标”，这样建立的坐标系称 为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2 ，有 一边OA在射线Ox上，那么正六边形的顶点C的极坐标应记为 ( A )
第25讲┃与圆有关的计算
河北省2019届中考数学系统复习第六单元圆第25讲与圆有关的计算(8年真题训练)练习
第25讲与圆有关的计算命点近8年的命形式考方向高考点型呈形式比丰富，、2021(T25(1)解)，2021(T23(2)解、填空、解答三种型都有出，弧的扇形弧、面的算T25(3)解)，2021(T25解)，2021(T26考重于弧公式的考，算，解)，2021(T19填)，2021(T14)扇形面的考重在化程中形成的区域面，可用多种方法行化成求扇形面.重于有关正多形面的算，一般都有正多形与2021(T15)技巧性，需要我熟掌握正多形的各个量之的关系，并能把正多形行分割与拼接.命点1扇形弧、面的算1．(2021·河北T14·3分)如，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C＝30°，CD＝23.S阴影＝(D)A．πB．2π C.23 D.2 33π2．(2021·河北T19·3分)如，将8cm的首尾相接成半径2cm的扇形．S扇形＝4cm2.命点2 正多形与S3．(2021·河北T15·3分)如，a的正六形内有两个三角形(数据如)，阴影＝(C)S空白A．3 B ．4 C ．5 D ．6重点1 弧的算如，△ABC是正三角形，曲CDEFG⋯叫做“正三角形的开〞，曲的各局部弧．1(1)中已有4段弧，接着画出第5段弧GH；2πa10πa(2)△ABC的a，第1段弧的是3；第5段弧的是3；前5段弧的和(即曲CDEFGH的)是10πa；(3)似地有“正方形的开〞“正五形的开〞⋯，a的正方形的开的前5段弧的和是15πa；2(4)猜测：30πa①a的正n形的前5段弧的和是n；m〔m＋1〕πa②a的正n形的前m段弧的和是n．【思路点】(1)以点B心，BG半径画弧即可；(2)利用弧公式算．但要先确定弧所的心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a，第2段弧的半径是2a，第3段弧的半径是3a，依此下去第5段弧的半径是5a，和就是把五段弧加起来；(3)先利用正方形的性求出正方形的外角度数，合每段弧所在的半径化律，利用弧公式算每段弧，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，合正n形的性解决．【式1】(2021·淄博)如，⊙O的直径AB＝6.假设∠BAC＝50°，劣弧AC的(D)8π3π4πA．2π B.3 C.4 D.3【式2】(2021·廊坊模)如，在 6的菱形ABCD中，分以各点心，以的一半半径，在菱形内作四条弧，中阴影局部的周是6π．(果保存π)方法指1．求弧，要先确定两个要素，一是弧所在的半径，二是弧所在扇形的心角，再代入弧公式算即可．2．同一正多形的开每局部弧所的心角不，半径后一段比相的前一段增加一个正多形的．2π×ma模型建立a的正n形的开第m段弧.n重点2 扇形面的有关算如1，直径AB 6的半，点A逆旋60°，此点B到达点B′，求中阴影局部的面．2图1 图2图3【变式1】 (2021·大庆)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，那么图中阴影局部的面积为23π．【变式2】 如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝1，∠ABC＝30°，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，那么图中阴影局部的面积是1π．3【变式3】 如图4，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A 经过的路径为弧AD ，那么图中阴影局部的面积是π6．图4图5【变式4】如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转60°，此时点B 恰π3好在DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，那么图中阴影局部的面积是2－4 ．(注：所有小题结果保存π)【思路点拨】阴影局部的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角， AB 为半径的扇形面积；只有变式4阴影局部的面积是 S－S.扇形ACD△BC E【自主解答】解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°，∴S＝S＋S－S＝S60 2阴影 扇形B′A B 半圆O′ 半圆 扇形B′A B ＝360×π×6＝6π.O方法指导 在圆中求阴影局部面积大致有以下方法：弓形或弓形的一局部可转化成扇形减去三角形的面积；新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；可以利用等积变换求阴影局部的面积；可以利用轴对称、中心对称求阴影局部的面积；旋转形成阴影局部的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．重难点3 正多边形和圆(2021·河北模拟 )如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．假设阴影局部的周长为10，那么这个图形的外轮廓线的周长为()AA．18B．183C．22D．223【思路点拨】从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．提示：设正六边形的边长为a，那么正方形的边长为2a，由题意，得5a＝10，解得a＝2.那么外轮廓线的周长为3a2a×3＝9a＝18.【变式训练3】(2021·河北模拟 )如图，正六边形与正方形有重合的中心 O.假设∠BOC是正n边形的一个外角，那么n的值为(C)3A．8 B．10 C．12 D．16【变式训练4】(2021·石家庄二模)正六边形ABCDEF与正三角形△ACG按如下图位置摆放，在六边形AGCDEFS阴影中，S空白的值是(D)A.52B.51C.61D.71方法指导1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．360°2．正n边形的中心角与每一个外角相等，都等于(n≥3)．n3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．1．(2021·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧︵︵(AB)，那么AB的展直长度为(B)．3πm ．6πm C．9．12πmA Bπm D2．(2021·成都)如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，那么图中阴影局部的面积是 (C)A．πB．2π C ．3πD．6π3．(2021·德州)如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么此扇形的面积为(A)π23222A.2mB.2πm C．πm D．2πm44．(2021·河北模拟)如图，分别把正六边形边AB，EF，CD向两个方向延长，相交于点M，N，Q，那么阴影局部与空白局部的面积比为(A)1121A.2B.3C.5D.45．(2021·河北模拟)如图，六边形ABCDEF和六边形MNPQGH都是正六边形．假设AB＝10，那么MN的值可能是(D)53C．52D．53A.B．526．(2021·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，那么∠BOM＝48°．7．(2021·石家庄藁城区模拟)如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边AB，AE的中点，四边形MNHG 是位于该正五边形内的正方形，那么∠BMH的度数是99°．8．(2021·盐城)如图，图1是由假设干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一局部，图2中图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.那么图2的图形周长为8πcm(结果保存π)．359．(2021·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到︵53△A′B′C′，其中点B的运动路径为BB′，那么图中阴影局部的面积为4π－2．10．(2021·邢台宁晋县模拟︵︵)如图，半圆O的直径AB＝4，P，Q是半圆O上的点，弦PQ的长为2，那么AP与QB的长度之和为()BA.2πB.4πC.5πD．π333︵︵1204提示：连接OP，OQ，易知△OPQ为等边三角形，lAP＋lQB＝180×π×2＝3π.11．(2021·威海)如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，那么图中阴影局部的面积是(C)A．18＋36π B．24＋18π C ．18＋18πD．12＋18π提示：作 FH⊥BC 交BC 延长线于点H ，连接AE ，S 阴影＝S ＋S 半圆 －S －S＝12×12＋ 2×π×6－2×12×6－ 2×65×65＝18＋18π.正方形ABCD △ABE △AEF1 2 1 112．(2021·河北模拟)如图，点 P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接 OP ，过点B 作BC∥OP交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；6(2)假设PD＝16，AC＝8，那么图中阴影局部的面积为25π－482；3cm cm2cm︵在(2)的条件下，假设点E是AB的中点，连接CE，求CE的长．解：(1)证明：连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°.∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB.∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠AOP＝∠COP.OA＝OC，在△PAO和△PCO中，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，∴△PAO≌△PCO(SAS)．∴∠PAO＝∠PCO＝90°.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．连接AE，BE，过点B作BM⊥CE于点M，∴∠CMB＝∠EMB＝90°，∠AEB＝90°.︵︵︵又∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.1∴∠ECB＝∠ACE＝2∠ACB＝45°.又∵∠CMB＝90°，∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.在Rt△BCM中，由勾股定理，得∴CM＝BM＝32cm.又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，2 2 2 2 2CM＋BM＝BC，即CM＋BM＝36，∴在Rt△AEB中，BE＝AB·cos∠ABE＝5 2cm.在Rt△BEM中，由勾股定理，得EM＝2222＝42(cm)，BE－BM＝〔52〕－〔32〕∴CE＝CM＋EM＝7 2cm，即CE的长为72cm.13．(2021·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在?九章算术?中提出了“割圆术〞，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.假设用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，7那么S＝2 3．(结果保存根号)8。
河北省2019届中考数学复习第25讲 与圆相关的计算 含答案
第25讲与圆相关的计算︵( C ) 的长为ABP＝60°，则是⊙如图，PA，PBO的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠．1(2016·长春)542 ππ C.π D.A.π B．333AC＝60°，则劣弧O(2016·河北模拟)如图，四边形ABCD是⊙的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC2．( B )的长为 6ππ2 B．4π C．5πD．A．( B ) ，则它的内切圆的半径为3．(2016·南京)已知正六边形的边长为22A．2 1 B.3 C． D．3的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角以半径为14．(2016·泸州)( D ) 形的面积是2323 D.C.A. B. 8484( A )AB90°，连接，则图中阴影部分的面积是5．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为4π－π－2 D．442 BA．π－．π－4 C．2，且，其中OA的长度为6 cmπ．(2016·河北模拟)如图，水平地面上有一面积为30 cm的灰色扇形OAB6点2所示，则OOA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图( A )移动了2 图图1cm π1110A．π cm B．3)cm＋π(11．3)cm D2＋π(10．C．O点移动的距离其实就是优弧AB的长．提示：°，若∠A＝70AB，AC分别相交于点D，E.BC7．(2016·张家口模拟)如图，以为直径的⊙O与△ABC的边7 ，则图中阴影部分图形的面积和为π．BC＝218＝140°，提示：∠DOB ＋∠EOC7140.1＝π∴阴影部分图形的面积和为×π×18360忽略为半径的扇形(的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB8．(2016·巴中)如图，将边长为3 18．．则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为铁丝的粗细)1 求解．提示：利用公式S＝lr扇形2，，B(－21)ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，)9．(2016·张家界如图，已知：△ 1个单位长度)．C(1，1)(正方形网格中每个小正方形的边长是 2)；的坐标是逆时针旋转90度得到的，B(1，－绕点B(1)△AC是△ABCC1111 )．求出线段AC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π(2)为半径的扇形的面积．AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC解：线段2π5·（·π5）9022旋转过程中所扫过的面积为＝，∴线段AC.＝∵AC＝2＋15360410．(2016·昆明)如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A ＝30°，连( D )，下列结论不正确的是BC，OC，AD接．是等边三角形．△COBA．EF∥CD B︵3 πDG D.CB的长为C．CG＝2︵3π××60.＝π提示：CB的长为180︵上，点OB在的顶点C是AB的中点，点D·深圳11．(2016)如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF( A ) 2OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为时，则阴影部分的面积为2E在4－4π－8 D．π2．π－4 B．4π－8 C．2A的边长为．264如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为，则⊙O的内接正三角形EFG(201612．·威海)，CD＝O于D，F两点，且作OA如图，在⊙O中，半径⊥OB，过OA的中点CFD∥OB交⊙·13．(2016新疆)︵于E点．为圆心，OC为半径作CE，交OB以O OA的长；O(1)求⊙的半径 (2)计算阴影部分的面积．OD.(1)连接解：. °，∴∠AOB＝90OA∵⊥OB.90OCD＝°∵CD∥OB，∴∠，＝是AO中点，CD3CRt在△OCD中，∵2CO.OD＝∴2221. (2x)，解得x＝＝＋，∴＝设OCxx(3)2.的半径为O，即⊙2＝OD∴．1CO.，∴∠°CDO＝＝30CDO(2)∵sin∠＝2OD.30°＝OB，∴∠DOB＝∠ODC∵FD∥22π31×290π×130π×3＋－＝＋.SS＝S＋S－＝×1∴OCE阴影扇形△CDO扇形OBD236036021214．归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习．(1)如图1，已知正△ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是2πR．图1(2)如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是2πR．图2(3)猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少(R为正多边形的半径，可参看图3)？请说明理由．图3(4)进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值(R为多边形外接圆的半径)？为什么？请以任意三角形为例说明(如图4)．图4通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．120πR解：(1)当正△ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，所以其中心O经过的路程为×1803＝2πR.90πR(2)中心O经过的路程为×4＝2πR.180(3)2πR.理由如下：当正n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所360°对的圆心角为，n360πR∴中心O经过的路程为××n＝2πR.n180(4)是定值2πR，以任意三角形为例说明如下：如图4，在△ABC中，设∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ，△ABC的外接圆⊙O的半径为R，把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧，当AC边与直线l重合时，C 与C′重合，A与A′重合，B与B′重合，连接CO，C′O′，则∠ACO＝∠A′C′O′，所以∠OCO′＝∠ACA′＝180°－γ，（180－γ）πR（180－α）πR（180－β）πR∴l＝，同理，另两条弧长分别为，，180180180∴外心O所经过的路程为2πR.R.π2结论：任何多边形都有一个外接圈，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程为。
邢台市2019年中考二轮模块复习《与圆有关的计算》练习解析
与圆有关的计算与圆有关的计算在近7年河北中考中考查5次，选择题、填空题、解答题均有考查。
本节常考的知识点有：（1）扇形的相关计算；（2）圆锥的相关计算 一、选择题 例题精讲1. （2019黄石中考）在长方形ABCD 中，AB = 16，如图所示，裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面圆半径为 ( )A ．4B ．16C ．24D ．8【答案】A【解析】设所围圆锥的底面半径为r ，则r ππ21801690=⨯，∴r = 4，故选择A ． 2. （宜昌中考）如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ．下列说法错误的是（ ）A ．圆形铁片的半径是4cmB ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcmD ．扇形OAB 的面积是4πcm²【答案】C【解析】∵圆形铁片与直尺和三角形的直角边都有唯一的公共点，∴圆与直尺和三角形的直角边均相切.∴OB ⊥BC ，OA ⊥AC ，又∠BCA ＝90°，∴四边形OACB 为矩形，又OA ＝OB ，∴四边形OACB 为正方形.∴圆形铁片的半径等于正方形的边长，为14－10＝4cm ；因此A 、B 正确；利用弧长公式可计算弧AB 的长为9042180ππ⨯⨯=cm ，扇形OAB 的面积是29044360ππ⨯⨯=cm²，故C 选项错误,D 正确.故选C. 针对性训练1. 已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的BC直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( ) A ．24 cmB ．48 cmC ．96 cmD ．192 cm2. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A ．2015πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π3.如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A．43π B．43π-C．π D．23π4. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8 cm ，水的最大深度是2 cm ，则杯底有水部分的面积是（ ） A ．2)34316(cm -πB ．2)38316(cm -πC ．2)3438(cm -πD ．2)3234(cm -π5. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）cm D.10cm 答案1-5 B DAAA (二)、填空题例题精讲1. (龙东中考)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC(A 、B 、C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是__________米．CBA【答案】42【解析】方法1：如图1，连接OB，OC，∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝180°，∴点B，O，C在同一条直线上，∴BC是⊙O直径，∵⊙O的直径为2米，∴BC＝2米，在Rt△ABC中，由勾股定理得222AB AC BC+=，∵AB＝AC，∴2AC2＝22，∴AC，∴圆锥的底面圆的半径＝÷(2π)．CBACBA图1 图22.(大庆中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，A C＝BC＝1，将其放入平面直角坐标系中，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x 轴围成图形的面积为．【答案】12π+【解析】如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB==∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积2190111123602ππ⨯⨯=⨯⨯+=+.故答案为：π +．针对训练1. 一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为_______．2. 如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆形量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA＝2，则图中阴影部分的面积是____________．（结果保留π）3. （黄冈中考）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为__________cm2．【答案】1—3题答案 40°，43π＋，108π（三）、解答题例题精讲1. (2019龙东中考)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(4，－4)，C(1，－1)．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标：____________．（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留π)．解：（1）如图所示，A1坐标为(﹣2，﹣4)，故答案为 (﹣2，﹣4).（2）如图所示．（3）∵OC OB ＝∴△ABC 旋转时线段BC 扫过的面积=22229090360360BOB COC OB OC S S ππ⨯⨯=-扇形扇形﹣＝90(322)360π⨯-＝152π．2. （怀化中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2.（1）求作⊙O ，使它经过点A 、B 、C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求出劣弧BC 的长l.解：（1）如图所示.（2）因为AC ＝1，AB ＝2，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°，∠A ＝60°，连接OC ，则∠BOC ＝120°，OC ＝OB ＝1，所以劣弧BC 的长l ＝12021803ππ=. 针对练习1. 如图，射线PA 切⊙O 于点A ，连接PO ．（1）在PO 的上方作射线PC ，使∠OPC=∠OPA （用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC 是⊙O 的切线；（2）在（1）的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB=AP=4，求AB 的长．2.如图①，半径为R ，圆心角为n°的扇形面积是S 扇形＝2360n R p ．由弧长l ＝180n Rp ，得S扇形＝2360n R p ＝12180n R R p 创＝12lR ．通过观察，我们发现S 扇形＝12lR 类似于S 三角形＝12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S 扇环，AB 的长为l 1，CD 的长为l 2，线段AD 的长为h(即两个同心圆半径R 与r的差)．类比S 梯形＝12×（上底＋下底）×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明． （2）用一段长为40m 的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？答案;1解：（1）作图如图所示．连接OA ，过O 作OB ⊥PC 于B ，∵PA 切⊙O 于点A ， ∴OA ⊥PA ，又∵∠OPC=∠OPA ，OB ⊥PC ，∴易知OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△PAB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB =120°，∠POA=60°．在Rt △AOP 中，tan60°=4OA ，∴∴AB l =1203180π⨯．2解：（1）121().2S l l h =+证法1：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2222()360360360n R n r n R r p p p=-=-12111()()()().218021801802n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ C n ° OABl 1 l 2 Dh 图②ABO n ° R l 图①证法2：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2212111()222180180n R n r l R l r p p =-=-12111()()()().218021801802n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ （2）由l 1＋l 2+2h ＝40，得l 1＋l 2＝40－2h ． ∴S 扇环＝12×(l 1＋l 2)×h ＝12(40－2h) h ＝－h 2＋20h ＝－(h －10)2＋100(0＜h ＜20)． ∴当h ＝10时，S 扇环的最大值为100m 2．∴当线段AD 的长为10m 时，花园的面积最大，最大面积为100m 2．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在1x ,12,212x +,3xy π,3x y +,1a m +中分式的个数有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个2．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD 与双曲线(0)ky x x=>交于D 、E 两点，将△OCD 沿OD 翻折，点C 的对称C'恰好落在边AB 上，已知OA=3，OC=5，则AE 长为（ ）A ．4B ．259C ．269D ．33．如图，AB ，AC 均为⊙O 的切线，切点分别为B ，C ，点D 是优弧BC 上一点，则下列关系式中，一定成立的是（ ）A ．∠A+∠D ＝180°B ．∠A+2∠D ＝180°C ．∠B+∠C ＝270°D ．∠B+2∠C ＝270°4．下列事件是随机事件的是（ ） A ．人长生不老 B ．明天就是5月1日C ．一个星期有七天D ．2020年奥运会中国队将获得45枚金牌5．在一次学校组织的期末考试中，为了了解初二学生的数学水平，随机抽取了部分学生的数学成绩，并计算了他们的样本方差S 2＝160[（95﹣70）2+（67﹣70）2+……+（92﹣70）2]，请问这次抽取了多少名学生，这些学生的平均成绩是多少？（ ） A ．60，60B ．70，70C ．60，70D ．70，606．如图，⊙O 与BC 相切于点B ，弦AB ∥OC ，若∠C ＝40°，则∠AOB 的度数是（ ）A.60B.70°C.80°D.90°7．下列运算正确的是（ ）A ．﹣（a 3）2＝a 5B ．a 2+a 2＝a 4C ．212-⎛⎫ ⎪⎝⎭=4 D ．2| 28．下图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2019/5/18/2206392863694848/2206818096996352/STEM/cbb80a6d7032477fa761eb6258ac924e.png]A. B. C. D.9．已知坐标平面内一点A(2，1)，O 为原点，B 是x 轴上一个动点，如果以点B ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点B 的个数为( ) A.2个B.3个C.4个D.5个10．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n 个图案中有白色六边形地面砖（ ）块．A.6+4（n+1）B.6+4nC.4n ﹣2D.4n+211．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1012．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C,分别以点A 、C 为圆心，以BC 、AB 的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD 、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 二、填空题13．用估算的方法求一元二次方程2t 2-t-2=0的解 列表：∴ t ≈_______14．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．15．在ABCD □中，BC 边上的高为4，5AB =，AC =ABCD □的周长等于______.16．如图，正方形ABCD E 、F 分别为边AD 、CD 上一点，将正方形分别沿BE 、BF 折叠，点A 的对应点M 恰好落在BF 上，点C 的对应点N 给好落在BE 上，则图中阴影部分的面积为__________；171的绝对值是_____．18．如图，点A 、B 、C 在半径为2的⊙O 上，BC ∥OA ，∠A ＝25°，则弧AB 的长为__．三、解答题19．如左图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如右图，晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm ，且AH ＝DE ＝EG ＝20cm ．当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少厘米？（结果精确到0.1cm20．如图，ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 中点，四边形BCED 为平行四边形，DE 、AC 相交于点F ．求证： （1）点F 为AC 的中点；（2）试确定四边形ADCE 的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE 为正方形，ABC 应添加什么条件？并证明你的结论．21．计算：2sin30°+(π-3.14)0|+(12)-1+(-1)2019 22．如图，O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC 交BO 的延长线于点D ，连接DC ，DB 平分∠ADC ，作DE ⊥BC ，垂足为E ．（1）求证：四边形ABCD 为菱形；（2）若BD ＝8，AC ＝6，求DE 的长．23．为了解某校九年级学生英语口语检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的英语口语检测成绩，按A ，B ，C ，D 四个等级进行统计分析，并绘制尚不完整的统计图；请根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）求本次抽取的学生一共有多少人？（2）求本次抽取的学生中B 级的学生人数，并补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请你估计某校860名九年级学生英语口语检测成绩等级为A 级的人数.24．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，请利用尺规在CD 边上求作一点P ，使得S △PAB ＝S △PAD ，（保留作图痕迹，不写作法）．25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点()0,4A 与点B 关于x 轴对称，点(),0C m 为x 轴的正半轴上一动点.以AC 为边作等腰直角三角形ACD ，90ACD ∠=︒，点D 在第一象限内.连接BD ，交x 轴于点F .（Ⅰ）用含m 的式子表示点D 的坐标；（Ⅱ）在点C 运动的过程中，判断OF 的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由； （Ⅲ）过点C 作CG BD ⊥，垂足为点G ，请直接写出BF DF -与CG 之间的数量关系式.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．114．a （x+a ）215．12或2016．617 118．59π． 三、解答题19．点A 向左移动了约43.9cm【解析】【分析】分别求得当∠CED 是60°和120°，两种情况下AD 的长，求差即可.【详解】根据题意得：AB ＝BC ＝CD ，当∠CED ＝60°时，AD ＝3CD ＝60cm ，当∠CED ＝120°时，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则∠CEH＝60°，CH＝HD．在直角△CHE中，sin∠CEH＝CH CE，∴CH cm），∴CD＝，∴AD＝cm）．∴103.9﹣60＝43.9（cm）．即点A向左移动了约43.9cm；【点睛】本题考查了菱形的性质，当菱形的一个角是120°或60°时，连接菱形的较短的对角线，即可把菱形分成两个等边三角形．20．（1）证明见解析；（2）四边形ADCE为菱形，理由见解析；（3）AC=BC，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线，证出即可；（2）由题意容易证明CE平行且等于AD，AD=CD=BD，所以得到四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．【详解】证明：（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD ⊥AB （三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED 为平行四边形，四边形ADCE 为平行四边形，∴DE=BC=AC ，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE 为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）【点睛】此题主要考查平行四边形、正方形的判定．21．【解析】【分析】依次计算特殊角的三角函数值，零次幂，去绝对值，负整数幂，再合并即可.【详解】 原式=2×12-1+2-1【点睛】本题运用了实数的运算法则和三角函数的特殊值，注意运算的准确性．22．（1）见解析；（2）245【解析】【分析】（1）由ASA 证明△OAD ≌△OCB 得出OD ＝OB ，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证出∠CBD ＝∠CDB ，得出BC ＝DC ，即可得出四边形ABCD 是菱形； （2）由菱形的性质得出OB ＝12BD ＝4，OC ＝12AC ＝3，AC ⊥BD ，由勾股定理得出BC5，证出△BOC ∽△BED ，得出OC BC DE BD =，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC ，∴OA ＝OC ，∠OAD ＝∠OCB ，∠AOD ＝∠COB ，在△OAD 和△OCB 中，OAD OCB OA OCAOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAD ≌△OCB （ASA ），∴OD ＝OB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝12BD＝4，OC＝12AC＝3，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC5，∵DE⊥BC，∴∠E＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴OC BCDE BD=，即358DE=，∴DE＝245．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23．（1）本次抽取的学生一共有100人；（2）本次抽取的学生中B等积的学生人数是25人，见解析；（3）某校860名初三学生英语口语检测成绩等级为A级的人数是172人.【解析】【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出总人数；（2）用总人数乘以B等级所占的百分比，即可补全统计图；（3）用某校860名初三学生乘以A等级所占的百分比，即可得出答案．【详解】解：（1）2010020%=（人）.∴本次抽取的学生一共有100人.（2）10025%25⨯=（人）∴本次抽取的学生中B等积的学生人数是25人.补图如下：（3）86020%172⨯=（人）∴估计某校860名初三学生英语口语检测成绩等级为A级的人数是172人.本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．见解析【解析】【分析】作∠P 的平分线交CD 边于点P ，则点P 即为所求．【详解】解：如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知三角形的面积公式及角平分线的性质是解答此题的关键．25．(1) G(4+m,m)(2) OF=4，OF 是不变化的 (3) BF DF -是CG 的两倍【解析】【分析】(1)过D 点作x 轴垂线，垂足为G 点，可知△CDG 相似△OAC ，即可求出D 点坐标.(2)利用B,D 两点的坐标给出直线BD 的解析式，然后令解析式的y=0，给出x 的值，如果x 含有参数，则OF 的长是变化的，若x 不含参数，则OF 的长无变化.(3)用含m 的式子表示出BF DF -和CG 的长，结果就出来了，其中BF DF -的长利用△DFG 相似△OBF 可求，CG 的长直接利用勾股定理可求.【详解】解：(1) 过D 点作x 轴垂线，垂足为H 点，∵90ACD ∠=︒，∴=90ACO DCH ∠+∠︒∵=90ACO CAO ∠+∠︒,∴CAO DCH ∠=∠ ，又∵90ACD CHD ∠=∠=︒,AC=CD,∴在△OAC 和△CDH ，CAO DCH AOC CHD AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ACO CDH ∴≌，∴CH=OA,DH=OC=m,∴OH=4+m ，∴D(4+m,m).(2)设BD 直线的解析式为：y=kx+b ，将点B(0,-4)与点D(4+m,m)代入方程，()44+m b k b m =-⎧⎨+=⎩， 解得：11k b =⎧⎨=⎩ ， BD 的直线解析式为4y x =- ，当y=0时，x=4 ，OF=4，OF 是不变化的；(3)可知△DFH 相似△OBF ，∴::m 4DH OB DF BF ==：，由 B(0,-4)与点D(4+m,m)，可以知道)4m +,∴, DF= ，BF DF -m-4，CG === ∴BF DF -是CG 的两倍.【点睛】本题是一道综合习题，第一问考查相似与坐标系中点的表示，第二问考查力一次函数，第三问考查力相似与勾股定理，本题第二问关键是给出直线BD 的解析式，第三问的关键是会表示两个线段的长2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的交点（1x ，0），（2x ，0），且﹣1＜1x ＜0＜2x ，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＞a+c ；③a+b ＞k （ka+b ）（k 为常数，且k≠1）；④2c ＜3b ；⑤若抛物线顶点坐标为（1，n ），则2b ＝4a （c ﹣n ），其中正确的结论有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．23．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n 个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a 和b ，若a+b ＝103，则a b的值是( )A.619B.837C.1093D.12914．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．若周长为20，BD ＝8，则AC 的长是（ ）A.3B.4C.5D.65．分式方程的解是（ ）A.3B.-3C.D.96．若二次函数2(2)4y ax a x a =+++的图像与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，且121x x <<,则a 的取值范围是（）A ．2153a -<<-B ．103a -<<C ．203a <<D ．1233a << 7．一组数据2，3，8，6，x 的唯一众数是x ，其中x 是不等式组26070x x ->⎧⎨-<⎩的解，则这组数据的中位数是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 8．计算11x -- 1x x -的结果为( ) A ．1 B ．2 C ．﹣1 D ．﹣29．一个直角三角形两边长分别为3和4，则它的面积为( )A ．6B ．12C ．6或10D ．6或210．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ）A.开口向下B.对称轴是3x =C.最大值为0D.与y 轴不相交11．如图，点A （0，2），在x 轴上取一点B ，连接AB ，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、AB 于点M 、N ，再以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD 并延长交x 轴于点P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点P 的坐标为（ ）A ．（1，0）B ．0）C ．（230）D ．（0）12．如图，将一副三角板叠放在一起，使顶点A 在另一直角三角形的斜边DE 上，斜边BC 与直角边EF 在一直线上，则图中∠EAC 的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．65°D ．55°二、填空题 13．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，随机地向△ABC 中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．14．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是3700AF =米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 地，此时观察目标C 的俯角是50，则这座山的高度CD 是________米（参考数据：sin500.77≈，cos500.64≈，tan50 1.20≈）15．关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是__________．16．如图，直线a ，b 与直线c ，d 相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4的度数为________．17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE=_________.18．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____．三、解答题19．解不等式组()3151924x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<⎪⎩，并写出它的所有整数解． 20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯= 2222121121⨯=++ 3333331232112321⨯=++++…… 根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ）21．某公司用100万元研发一种市场急需电子产品，已于当年投入生产并销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如图所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s （万元）．（1）请求出y （万件）与x （元/件）的函数表达式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s （万元）与x （元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值．22．如图，AB ⊥EF ，DC ⊥EF ，垂足分别为B 、C ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．AF 、DE 相交于点O ，AF 、DC 相交于点N ，DE 、AB 相交于点M ．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；（2）求证：△ABF ≌△DCE ．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．24．解方程：213xx x+=-.25．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1 414．1900 15．k≥﹣4 16．110°17118．3 5三、解答题19．﹣2≤x＜1，整数解有﹣2、﹣1、0．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】()3151924x x x x ①②⎧-≤+⎪⎨-<⎪⎩， 解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得x ＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．（1）55555555551234567654321,123454321⨯++++++++；（2）65，74，83，92；（3）任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除．【解析】【分析】（1）根据题中给出的定义，直接可得：（2）设十位数字是x ，个位数字是y ，根据题意得到x+y=11，进而确定两位数；（3）根据数的规律求得a m 的各数位之和m 2，a n 的各数位之和n 2，然后因式分解证明结论.【详解】（1）根据题中给出的定义，直接可得：11111112＝1234567654321，123454321＝⨯++++++++5555555555123454321； （2）设十位数字是x ，个位数字是y ，x ＞y ，10x+y+10y+x ＝11（x+y ）＝121，∴x+y ＝11，∴这个两位数是65，74，83，92；（3）a m 的各数位之和1+2+3+…+m+（m ﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22m m m m +-+＝m 2， a n 的各数位之和1+2+3+…+m+（m ﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22n n n n +-+＝n 2， ∴a m ，a n 的各数位之和的差为m 2﹣n 2＝（m+n ）（m ﹣n ），∵m ＞n ，∴m 2﹣n 2＝（m+n ）（m ﹣n ）能被m ﹣n 整除，∴任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除．【点睛】本题考查新定义，字母表示数，自然数求和，因式分解；能够理解定义，熟练掌握因式分解，自然数求和方法是解题的关键．21．（1）y ＝160(48)28(828)x x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+≤⎩；（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．【解析】【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y （万件）与x （元/件）之间的函数关系式；（2）分两种情况进行讨论，当x ＝8时，s max ＝﹣20；当x ＝16时，s max ＝44；根据44＞﹣20，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．【详解】解：（1）当4≤x≤8时，设y ＝k x，将A （4，40）代入得k ＝4×40＝160， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝160x； 当8＜x≤28时，设y ＝k'x+b ，将B （8，20），C （28，0）代入得，820280k b k b +=⎧⎨+=''⎩， 解得k 1b 28=-⎧⎨='⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x+28，综上所述，y ＝160(48)28(828)x x x x ⎧⎪⎨⎪-+<≤⎩剟；（2）当4≤x≤8时，s ＝（x ﹣4）y ﹣160＝（x ﹣4）•160x ﹣100＝640x-+60， ∵当4≤x≤8时，s 随着x 的增大而增大，∴当x ＝8时，s max ＝640x-+60＝﹣20； 当8＜x≤28时，s ＝（x ﹣4）y ﹣80＝（x ﹣4）（﹣x+28）﹣80＝﹣（x ﹣100）2+44，∴当x ＝16时，s max ＝44；∵44＞﹣20，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元．【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．22．（1）△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）可以证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形对应角相等可得∠A ＝∠D ，∠DEC ＝∠AFB ，所以△EOF 是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A ＝∠AMO ，∠D ＝∠DNO ，从而得到△AOM 与△DON 也都是等腰三角形；（2）由BE ＝CF ，可以证明EC ＝BF ，然后根据方法“边角边”即可证明△ABF 与△DCE 全等．【详解】（1）解：△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明：∵AB ⊥EF 于点B ，DC ⊥EF 于点C ，∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∵CF ＝BE ，∴CF+BC ＝BE+BC ，即BF ＝CE…在△ABF 和△DCE 中，AB DC DCB BF CE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠ABC=∠， ∴△ABF ≌△DCE ，【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，常用的方法有“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”，本题证明得到BF ＝CE 是解题的关键．23．（1）见解析；（2）CD ＝5．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD ＝BC ，等量代换得到BC ＝EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论，（2）设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC 且AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形.（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．x＝65.【解析】【分析】根据分式方程的解法求解即可. 【详解】去分母得：2x﹣6+x2＝x2﹣3x，解得：x＝65，检验x＝65是原方程的解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，注意根的验证.25．（1）BC （2）详见解析【解析】【分析】（1）延长AH、BC相交于点M，可证明△MCH∽△MBA，得出MH=AH，BM=2BC；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH是等边三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得点E是OA的中点，根据“三线合一”可得BE的长度、BE⊥OA，根据勾股定理求出BM的长，而BC=12BM；（2）AB=OB，由（1）知，AE=OE=OD，可证BD=OB+OD=AB+AE．【详解】解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBAMH MC CH∴==MA MB AB∵CH＝2MH MC21∴===MA MB42∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DOH＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10 ∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°BE∴==在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2222∴+=10BM∴=BM∴=BC（2）∵△ABO为等边三角形∴AB＝OB由（1）知，AE＝OE＝OD∵BD＝OB+OD∴BD＝AB+AE【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质．这道题的关键是证明点E是OA的中点、BM=2BC．。
河北8年中考真题高频考点23.圆的解答题
河北中考圆的解答题22．（2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.（1）①求证：△AOE≌△POC；②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由.（2）若OC=2OA=2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）.备用图图1321BA OBA OC D DCPE解：（1）①证明：∵OA=OB，OE=OC，∠AOE=∠POC，∴△AOE≌△POC；②∠1+∠C=∠2.理由：∵△AOE≌△POC，∴∠E=∠C.∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C=∠2.（2）相切.如图，∵CP与小半圆相切，∴CP⊥OP.在Rt△OPC中，∵OP=1，OC=2,∴cos∠COP=12，∴∠COP=60°.∴∠DOE=120°.∴S扇形EOD=2120243603ππ⨯=.25.（2019·河北）如图1和图2，□ABCD中，AB=3，BC＝15，tan∠DAB＝34.点P为AB延长线上一点，过点A 作⊙O切CP于点P，设BP＝x.(1)如图1，x为何值时，圆心O落在AP上?若此时⊙O交AD于点E，直接．．指出PE与BC的位置关系；(2)当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧PQ长度的大小；(3)当⊙O与线段．．AD只有一个公共点时，直接．．写出x的取值范围.第25题图1 第25题图2 第25题备用图解：（1）∵圆心O落在AP上，∴AP为⊙O的直径，∴∠BEP=90°，∴PE ⊥AD.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BPC=∠DAB ，BC ∥AD ， ∴PE ⊥BC.∵作⊙O 切CP 于点P ， ∴∠BPC=90°，∵tan ∠DAB ＝34，设BP ＝x ， ∴PC=BP ·tan ∠DAB ＝34x ，又∵BC ＝15， ∴2225)34(=+x x ，解得x=9，即当x=9时，圆心O 落在AP 上. 此时PE ⊥BC .（2）如图所示，作CM ⊥AP 于点M ，∵tan ∠CBP=tan ∠DAB ＝34，BC=15， ∴BM=9，CM=12，∴AM=AB+BM=3+9=12=CM ， ∴∠CAP=45°. ∵AB=3，BP=4， ∴AP=AB+BP=3+4=7.作垂直于AP 的直径EF 于点G ，连接OP 、FP ，则∠FGP=90°，∠F=∠CAP=45°，AG=PG=27， ∴FG=PG=27， ∴OG=OG-FG=OP-FG=OP-27， ∴222)27()27(OP OP =+-，解得OP=27， ∴劣弧PQ 长度为27236090⋅⨯π=π47. ∵π47＜7， ∴弦AP 大于劣弧PQ 长度. （3）当⊙O 与线段．．AD 只有一个公共点时，x ≥18.25．（2018河北省，25，10）如图，点A 在数轴上对应的数为26，一原点O 为圆心，OA 长为半径作优弧，使点B 在O 右下方，且tan ∠AOB ＝34．在优弧上任取一点P ，且能过P 作直线l ∥OB 交数轴与点Q ，设Q 在数轴上对应的数为x ，连接OP ． （1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值；（2）求x 的最小值，并指出此时直线l 与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ 的长为12.5，直接．．写出这时x 的值．解：（1）设∠AOP 的度数为n ，则18026·πn ＝13π．解得n ＝90． ∴OP ⊥OA ．1分∵l ∥OB ，∴∠PQO ＝∠AOB ．∴tan ∠PQO ＝tan ∠AOB ＝OQ PO ＝34． ∵OP ＝26，∴OQ ＝239． ∴∠AOP 的度数为90°，x 的值为239．2分（2）如图（1），将l 向左平移，当l 与⊙O 相切时，x 取得最小值．由（1）可知tan ∠PQO ＝34． ∴sin ∠PQO ＝54． ∵OP ＝26， ∴OQ ＝265． ∴x 的最小值为－265，2分 此时l 与所在圆相切．1分第25题图POQ B l 26A26备用图OB（3）如图（2）当点P 在数轴上方时，过点O 作OC ⊥l ，垂足为C ．连接OP ． 设QC 的长度为a ，则PC ＝12.5＋a ，OC ＝34a ． 在Rt △OPC 中有（12.5＋a ）2＋（34a ）2＝262． 解得a 1＝9.9，a 2＝－18.9（舍）．1分∴OQ ＝35a ＝35×9.9＝16.5． ∴此时x 的值为－16.5．1分 当点P 在数轴的下方时，同理可得x 的值为－31.5． 1分另外，当点Q 在点O 右侧时，同理可得x 的值为31.5．1分综上，x 的值为－16.5或－31.5或31.5．23.（2017·河北）如图，16AB =，O 为AB 中点，点C 在线段OB 上(不与点O ，B 重合)，将OC 绕点O 逆时针旋转270︒后得到扇形COD ，AP ，BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP ．(1)求证：AP BQ =；(2)当43BQ =时，求QD 的长(结果保留π)；(3)若APO ∆的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)143π；(3)4＜OC ＜8. 第25题答图（1） A26OB PQ 第25题答图（2） A 26O B PQ Cl考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.25.（2016河北，20，10分）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不．与A点重合，但Q点可与B点重合.发现AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；思考点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________.探究当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.（注：结果保留π，cos 35°=6，cos 55°=3）第25题图备用图26. （2015·河北）(本小题满分14分)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°).发现(1)当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上.(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B？(2)在OQ旋转过程中.简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值：(3)如图，当点P恰好落在BC边上时.求α及S阴影.拓展如图.当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值.【答案】发现：（1）在，15°；（2）当α=60°时，最小距离为1；（3）30°，3=+24S π阴影 。
河北省邢台市2019年中考数学二轮模块复习 与圆有关的计算练习
与圆有关的计算与圆有关的计算在近7年河北中考中考查5次，选择题、填空题、解答题均有考查。
本节常考的知识点有：（1）扇形的相关计算；（2）圆锥的相关计算 一、选择题 例题精讲1. （2016黄石中考）在长方形ABCD 中，AB = 16，如图所示，裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面圆半径为 ( )A ．4B ．16C ．24D ．8【答案】A【解析】设所围圆锥的底面半径为r ，则r ππ21801690=⨯，∴r = 4，故选择A ． 2. （宜昌中考）如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ．下列说法错误的是（ ） A ．圆形铁片的半径是4cm B ．四边形AOBC 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcm D ．扇形OAB 的面积是4πcm ²【答案】C【解析】∵圆形铁片与直尺和三角形的直角边都有唯一的公共点，∴圆与直尺和三角形的直角边均相切.∴OB ⊥BC ，OA ⊥AC ，又∠BCA ＝90°，∴四边形OACB 为矩形，又OA ＝OB ，∴四边形OACB 为正方形.∴圆形铁片的半径等于正方形的边长，为14－10＝4cm ；因此A 、B正确；利用弧长公式可计BC算弧AB 的长为9042180ππ⨯⨯=cm ，扇形OAB 的面积是29044360ππ⨯⨯=cm ²，故C 选项错误,D 正确.故选C . 针对性训练1. 已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80 cm ，则这块扇形铁皮的半径是( ) A ．24 cmB ．48 cmC ．96 cmD ．192 cm2. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A ．2015πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π3.如图，AB 为⊙O的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接CD ．若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43π B ．43π-C ．πD ．23π4. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8 cm ，水的最大深度是2 cm ，则杯底有水部分的面积是（ ） A ．2)34316(cm -πB ．2)38316(cm -πC ．2)3438(cm -πD ．2)3234(cm -π5. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）cmcm D.10cm 答案1-5 B DAAA (二)、填空题例题精讲1. (龙东中考)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC (A 、B 、C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是__________米．【答案】42 【解析】方法1：如图1，连接OB ，OC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠BOC ＝180°，∴点B ，O ，C 在同一条直线上，∴BC 是⊙O 直径，∵⊙O 的直径为2米，∴BC ＝2米，在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AB AC BC +=，∵AB ＝AC ，∴2AC 2＝22， ∴AC，∴圆锥的底面圆的÷(2π)．CBACBA图1图22.(大庆中考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系中，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 ．CBA【答案】12π+【解析】如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB==∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积2190111123602ππ⨯⨯=⨯⨯+=+.故答案为：π +．针对训练1. 一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为_______．2. 如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆形量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA＝2，则图中阴影部分的面积是____________．（结果保留π）3. （黄冈中考）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为__________cm2．【答案】1—3题答案40°，43，108π（三）、解答题例题精讲1. (2016龙东中考)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(4，－4)，C(1，－1)．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点A1的坐标：____________．（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2．（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积(结果保留π)．解：（1）如图所示，A1坐标为(﹣2，﹣4)，故答案为 (﹣2，﹣4).（2）如图所示．（3）∵OCOB＝，∴△ABC 旋转时线段BC 扫过的面积=22229090360360BOB COC OB OC S S ππ⨯⨯=-扇形扇形﹣＝90(322)360π⨯-＝152π．2. （怀化中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2.（1）求作⊙O ，使它经过点A 、B 、C （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求出劣弧BC 的长l.解：（1）如图所示.（2）因为AC ＝1，AB ＝2，∠ACB ＝90°，所以∠B ＝30°，∠A ＝60°，连接OC ，则∠BOC ＝120°，OC ＝OB ＝1，所以劣弧BC 的长l ＝12021803ππ=. 针对练习1. 如图，射线PA 切⊙O 于点A ，连接PO ．（1）在PO 的上方作射线PC ，使∠OPC =∠OPA （用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC 是⊙O 的切线；（2）在（1）的条件下，若PC 切⊙O 于点B ，AB =AP =4，求AB 的长．2.如图①，半径为R ，圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝2360n R p ．由弧长l ＝180n Rp ，得S 扇形＝2360n R p＝12180n R R p 创＝12lR ．通过观察，我们发现S 扇形＝12lR 类似于S 三角形＝12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S 扇环，AB 的长为l 1，CD 的长为l 2，线段AD 的长为h (即两个同心圆半径R 与r 的差)．类比S 梯形＝12×（上底＋下底）×高，用含l 1，l 2，h 的代数式表示S 扇环，并证明．（2）用一段长为40m 的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD 的长h 为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？答案;1解：（1）作图如图所示．连接OA ，过O 作OB ⊥PC 于B ，∵PA 切⊙O 于点A ， ∴OA ⊥PA ，又∵∠OPC =∠OPA ，OB ⊥PC ，∴易知OA =OB ，即d =r ，∴PC 是⊙O 的切线；（2）∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，又∵AB =AP =4，∴△PAB 是等边三角形，∴∠APB =60°，∴∠AOB =120°，∠POA =60°．在Rt △AOP 中，tan60°=4OA ，∴OA∴AB l =1203180π⨯．2解：（1）121().2S l l h =+证法1：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2222()360360360n R n r n R r p p p=-=-12111()()()().218021801802n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ 证法2：S 扇环＝S 扇形OAB －S 扇形OCD 2212111()222180180n R n r l R l r p p =-=-C n ° OABl 1 l 2 Dh 图②ABO n ° R l 图①12111()()()().218021801802n n R n r R r R r h l l h p p p =?-=??+ （2）由l 1＋l 2+2h ＝40，得l 1＋l 2＝40－2h ． ∴S 扇环＝12×(l 1＋l 2)×h ＝12(40－2h ) h ＝－h 2＋20h ＝－(h －10)2＋100(0＜h ＜20)． ∴当h ＝10时，S 扇环的最大值为100m 2．∴当线段AD 的长为10m 时，花园的面积最大，最大面积为100m 2．。
河北省2019年中考数学专题9圆的有关计算证明与探究精讲试题
2019中考，每年都是原创题，并且出题解题策略解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线找到解题思路与方法．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．,重难点突破)圆内定理的应用【例1】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，且CD ＝24，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，连接MB.(1)若BE ＝8，求⊙O 的半径；(2)若∠DMB＝∠D，求线段OE 的长．【解析】(1)根据垂径定理求出DE 的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程即可求出半径；(2)根据∠DOE＝2∠DMB，得出∠DOE＝2∠D，根据AB⊥CD，求出∠D 的度数，根据锐角三角函数求出O E 的长．【答案】解：(1)设⊙O 的半径为x ，则OE ＝x －8. ∵CD ＝24，由垂径定理得DE ＝12.在Rt △ODE 中，∵OD 2＝DE 2＋OE 2，即x 2＝(x －8)2＋122，解得x ＝13. ∴⊙O 的半径为13；(2)∵∠DOE＝2∠DMB，∠DMB ＝∠D，∴∠DOE ＝2∠D.∵∠DOE＋∠D＝90°，∴∠D ＝30°. 在Rt △OED 中，∵DE ＝12，∠OED ＝90°，∴OE ＝DE·tan30°＝12×33＝4 3.1．如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号)(2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°， ∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°， ∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°； (3)∵∠B CO ＝∠DAC＋∠D， ∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°， 此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°， ∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.【方法指导】熟练掌握圆内的4个定理，根据图形的形状和位置选择合适的定理．圆外定理的应用【例2】(天水中考)如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC ＝2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．【解析】(1)连接OD ，根据圆周角定理求出∠DAB ＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE ＝EB ，在Rt △CBE 中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【答案】解：(1)直线CD 和⊙O 的位置关系是相切． 理由：连接OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA＝90°. ∵∠CDA ＝∠CBD，∴∠DAB ＋∠CDA＝90°. ∵OD ＝OA ，∴∠DAB ＝∠ADO ，∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE， ∴直线CD 是⊙O 的切线，即直线CD 和⊙O 的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O 的半径是3，∴OC ＝2＋3＝5，OD ＝3. 在Rt △CDO 中，由勾股定理得CD ＝4. ∵CE 切⊙O 于点D ，EB 切⊙O 于点B ， ∴DE ＝EB ，∠CBE ＝90°. 设DE ＝EB ＝x ，在Rt △CBE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，则(4＋x )2＝x 2＋(5＋3)2，解得x ＝6，即BE ＝6.2．(毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于点F ，AC ＝FC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．解：(1)连接AE ，AO.∵BE 为直径，∴∠BAE ＝90°. ∵BD ︵＝ED ︵，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°， ∴∠AFC ＝∠B＋45°， ∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AFC ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°， ∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 的切线；(2)连接OD.∵BD ︵＝DE ︵， ∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中 ，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝OF 2＋OD 2＝29. 【方法指导】掌握圆外3个定理和2个定义，了解一种证明方法，熟练应用6条辅助线解题．圆中的计算【例3】(2019枣庄中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F.(1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若BD ＝23，BF ＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)连接OD ，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC 是圆的切线；(2)在Rt △BOD 中，设OF ＝OD ＝x ，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，用Rt △ODB 的面积减去扇形DOF 的面积即可确定出阴影部分面积．【答案】解：(1)BC 与⊙O 相切． 证明：连接OD.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵OD＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA，∴∠CAD ＝∠ODA，∴OD ∥AC ， ∴∠ODB ＝∠C＝90°，即OD⊥BC. 又∵BC 过半径OD 的外端点D ， ∴BC 与⊙O 相切；(2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2，在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OB 2＝OD 2＋BD 2，即(x ＋2)2＝x 2＋12， 解得：x ＝2，即OD ＝OF ＝2，∴OB ＝2＋2＝4.∵Rt △ODB 中，OD ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴S 扇形DOF ＝60π×4360＝2π3，∴S 阴影＝S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×23－2π3＝23－2π3.故阴影部分的面积为23－2π3.3．(2019襄阳中考)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，∠BAC ＝∠DAC，过点C 作直线EF⊥AD，交AD 的延长线于点E ，连接BC.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l. 解：(1)连接OC.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC ＝∠OCA，∴AD ∥OC. ∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥OC ， ∴EF 是⊙O 的切线； (2)连接OD ，DC.∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∵∠DAC ＝∠OAC.∴∠DOC ＝∠BOC，∴DC ＝BC.∵ED ＝1，DC ＝BC ＝2，∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12，∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝60°. ∵OC ＝OD ，∴△DOC 是等边三角形， ∴∠BOC ＝∠COD＝60°，OC ＝2，∴l ＝60π×2180＝2π3.【方法指导】熟练应用5个公式，关注与前面知识的综合应用．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．8x 2 y 3＝2x 2⋅4 y 3B ．（ x+1）（ x ﹣1）＝x 2﹣1C ．3x ﹣3y ﹣1＝3（ x ﹣y ）﹣1D ．x 2﹣8x+16＝（ x ﹣4）22．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，AE 平分∠CAB 交BC 于D ，BE ⊥AE 于E ，给出下列结论：①BD ＝2CD ；②AE ＝3DE ；③AB ＝AC+BE ；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ．75°B ．70°C ．60°D ．55°4．如图，正方形ABCD 内接于圆O ，4AB =，则图中阴影部分的面积是（ ）.A ．416π-B ．3216π-C ．1632π-D ．816π-5．如图，已知正方形ABCD 的边长为3cm ，若将这个正方形沿射线AD 方向平移2cm ，则平移前后图形的重叠部分面积为（ ）A．3cm2B．4.5cm2C．6cm2D．9cm26．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（）A．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D．甲队员成绩的方差比乙队员的大7．一组2、3、4、3、3的众数、中位数、方差分别是（）A．4,3,0.2B．3,3,0.4C．3,4,0.2D．3,2,0.48．如图，在锐角ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN BC，MN分别交ACB∠的平分线于E，F两点，连接AE、AF.在下列结论中.①∠、ACDCF=，则OC的长为6；④当AO CO=时，四边形CE=，5=；③若12OE OF=；②CE CFAECF是矩形.其中正确的是( )A．①④B．①②C．①②③D．②③④9．如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（）个．①若O是△ABC的外心，∠A＝50°，则∠BOC＝100°；②若O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC＝115°；③若BC＝6，AB+AC＝10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．A．1 B．2 C．3 D．410．某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加10场比赛，各场得分情况如图，下列四个结论中，正确的是（）A．甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数 B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值 D．甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差11．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误12．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝n×x n﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝6x的解是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝﹣2二、填空题13．如图，当小明沿坡度i=1A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC=______米．14．已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为_____15．如图，在平面直角坐标系中，将点P(－4，2)绕原点顺时针旋转90°，求其对应点Q的坐标．16．分解因式：ax2﹣ax＝_____．17．今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为______．18．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝70°，则∠2＝_____°．三、解答题19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．20．下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．（1）甲和乙获胜的概率分别是多少？（2）这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（3）如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？21．如图1，P（m，n）在抛物线y=ax2-4ax（a＞0）上，E为抛物线的顶点．（1）求点E的坐标（用含a的式子表示）；（2）若点P在第一象限，线段OP交抛物线的对称轴于点C，过抛物线的顶点E作x轴的平行线DE，过点P作x轴的垂线交DE于点D，连接CD，求证：CD∥OE；（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x轴交于A、B两点，平移后的抛物线的顶点为Q，P是其x轴上方的对称轴上的动点，直线AP交抛物线于另一点D，分别过Q、D作x轴、y轴的平行线交于点E，且∠EPQ=2∠APQ，求点P的坐标．22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．求证：AE⊥BF．23．某水果零售商店，通过对市场行情的调查，了解到两种水果销路比较好，一种是冰糖橙，一种是睡美人西瓜．通过两次订货购进情况分析发现，买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元．（1）请求出购进这两种水果每箱的价格是多少元？（2）该水果零售商在五一期间共购进了这两种水果200箱，冰糖橙每箱以40元价格出售，西瓜以每箱50元的价格出售，获得的利润为w元．设购进的冰糖橙箱数为a箱，求w关于a的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，但是每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍，请你设计进货方案，并计算出该水果零售商店能获得的最大利润是多少？24．如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．25．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．（1）若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：[（8+1）2﹣（8﹣1）2]×25÷8（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0），请你帮小明完成这个验证过程．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．314．；15．点Q的坐标为(2，4)．16．ax（x﹣1）．17．09×10618．三、解答题19．（1）见解析；（2）BF＝2．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC 与三角形ADB 全等即可； （2）根据∠BAC ＝45°，四边形ADFC 是菱形，得到∠DBA ＝∠BAC ＝45°，再由AB ＝AD ，得到三角形ABD 为等腰直角三角形，求出BD 的长，由BD ﹣DF 求出BF 的长即可． 【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ， ∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠BAE ＝∠DAE+∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB ， 在△AEC 和△ADB 中，AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°， ∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°， 由（1）得：AB ＝AD ， ∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形， ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝， ∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 20．（1）1625，925 ；（2）不公平，理由见解析；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【解析】 【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得； （2）由（1）的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平． （3）只要使甲、乙获胜的概率相等即可． 【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色有16种结果，∴甲获胜的概率为16 25，则乙获胜的概率为925；（2）不公平，因为1625≠925；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．21．(1) E（2，﹣4a）；(2)见解析;(3) P（2+1）．【解析】【分析】（1）将原式提取公因式然后化简即可解答（2）设直线OE的解析式为：y＝k x，把E点代入可得直线OE的解析式为：y＝﹣2ax，由P（m，n）得直线OP的解析式为：y＝nxm，得到C（2，2nm），然后设直线CD的解析式为：y＝kx+b，得到：k＝﹣2a，即可解答（3）当a＝1时，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，然后设P（2，t），可得AP的解析式为：y＝tx﹣t，D（3+t，t2+2t），Q（2，﹣1），E（3+t，﹣1），再设PE交x轴于F，即可解答【详解】解：（1）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x+4﹣4）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴E（2，﹣4a）；（2）设直线OE的解析式为：y＝kx，把E（2，﹣4a）代入得：2k＝﹣4a，k＝﹣2a，∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ， 由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nxm， ∴当x ＝2时，y ＝2n m ，即C （2，2n m）， ∵D （m ，﹣4a ），设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，将点D 和C 的坐标代入得：422km b an k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩（n ＝am 2﹣4am ）， 解得：k ＝﹣2a ， 根据两直线系数相等， ∴OE ∥CD ；（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1， ∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0）， 设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，联立方程组为：243y tx ty x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：1110x y =⎧⎨=⎩ ，22232x ty t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2+2t ）， ∵Q （2，﹣1）， ∴E （3+t ，﹣1）， ∴PQ ＝QE ＝t+1， ∴∠EPQ ＝45°， ∵∠EPQ ＝2∠APQ ， ∴∠APQ ＝22.5°， 设PE 交x 轴于F ， ∵∠DEP ＝45°， ∴ME ＝FM ＝1，∴∠FPA ＝∠PAF ＝67.5°， ∴PF ＝AF ＝t+1， ∵FP，t ＝t+1，t+1，∴P（2+1）．【点睛】此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法22．证明见解析【解析】【分析】由E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点知CF＝BE，证Rt△ABE≌Rt△BCF得∠BAE＝∠CBF，根据∠BAE+∠BEA＝90°即可得∠CBF+∠BEA＝90°，据此即可得证．【详解】证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∵AB BCABE BCF BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质与全等三角形的判定与性质．23．（1）每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）w＝﹣5a+2000；（3）当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【解析】【分析】（1）设每箱冰糖橙x元，每箱睡美人西瓜y元，根据“买40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元，买20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元”列出方程组并解答；（2）根据（1）的结论以及“利润＝售价﹣成本”解答即可；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，根据“每种水果进货箱数不少于30箱，西瓜的箱数不少于冰糖橙箱数的5倍”列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）设每箱冰糖橙进价为x元，每箱睡美人西瓜进价为y元，由题意，得40152000 20301900x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：3540 xy=⎧⎨=⎩，即设每箱冰糖橙进价为35元，每箱睡美人西瓜进价为40元；（2）根据题意得，w＝（40﹣35）a+（50﹣40）（200﹣a）＝﹣5a+2000；（3）设购买冰糖橙a箱，则购买睡美人西瓜为（200﹣a）箱，则200﹣a≥5a且a≥30，解得30≤a1 333≤，由（2）得w＝﹣5a+2000，∵﹣5，w随a的增大而减小，∴当a＝30时，y最大．即当a＝30时，w最大＝﹣5×30+2000＝1850（元）．答：当购买冰糖橙30箱，则购买睡美人西瓜170箱该水果零售商店能获得的最大利润，最大利润为1850元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．24．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）如图1，根据三边对应相等的两三角形全等作图即可；（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图．【详解】解：（1）如图1，∴△ACD为所求；（2）如图2，∴△ABD为所求．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．此题灵活应用相似三角形的判定与性质．25．(1)100;(2)100.【解析】【分析】（1）原式先计算括号中的乘方运算，再计算减法运算，最后算乘除运算即可求出值；（2）列出代数式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式＝（81﹣49）×25÷8＝800÷8＝100；（2）根据题意得：[（a+1）2﹣（a﹣1）2]×25÷a＝4a×25÷a＝100．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列一元二次方程有两个不相等的实数根的是( ) A.2(1)20x ++= B.2251010x x -+= C.230x x -=D.230x -+=2．如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A 是光盘与桌面的切点，∠BAC ＝60°，光盘的直径是80cm ，则斜边AB 被光盘截得的线段AD 长为（ ）A.20cmB.40cmC.80cmD.80cm3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（ ）.A.B.C.D.4．不等式组21331563x x x +≥-⎧⎪-⎨--⎪⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，AC ＝4，则OD 的长为（ ）A.1B.1.5C.2D.2.56．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，这个立体图形的左视图是（）A．B． C． D．8．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数是（）A．8 B．6 C．5 D．09．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×101210．分式方程1232x x=-的解为（）A．25x=-B．1x=-C．1x=D．25x=11．已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是（）A.3 C.3 D.9或4112．1纳米=10－9米，将50纳米用科学记数法表示为（）A．50×10－9米B．5×10－9米C．0.5×10－9米D．5×10－8米二、填空题13．将5700 000用科学记数法表示为______．14．如图，在平面直角坐标系xoy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数3(0)y xx=>的图象上，则△OAB的面积等于_____ .15在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．16．如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为_____．17．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝75°，则∠B＝_____．18．若分式12x有意义，则x的取值范围为_____．三、解答题19．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．20．我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y＝x2与y＝﹣x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；（2）抛物线y＝x2﹣2x与y＝x2﹣2mx﹣3是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的函数关系式；（3）抛物线L1：y＝﹣x2+2x+1的图象如图所示，L1与L2：y＝﹣2x2+mx是“共点抛物线”；①求m的值；②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2的“共点”为Q，作点P关于点Q的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M或点N落在抛物线L1上时，直接写出点P的坐标．21．如图，直线y＝x+b与双曲线y＝kx（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点P在x轴上，且△BCP的面积等于2，求P点的坐标．22．从共享单车，共享汽车等共享出行到共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速的普及，根据国家信息中心发布的中国分享经济发展报告2017显示，参与共享经济活动超6 亿人，比上一年增加约1亿人．（1）为获得北京市市民参与共享经济活动信息，下列调查方式中比较合理的是；A．对某学校的全体同学进行问卷调查B．对某小区的住户进行问卷调查C．在全市里的不同区县，选取部分市民进行问卷调查（2）调查小组随机调查了延庆区市民骑共享单车情况，某社区年龄在12～36岁的人有1000人，从中随机抽取了100人，统计了他们骑共享单车的人数，并绘制了如下不完整的统计图表．如图所示．骑共享单车的人数统计表根据以上信息解答下列问题：①统计表中的a＝；b＝；②补全频数分布直方图；③试估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有多少人？23．如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，2∠B+∠DAB＝180°．(1)证明：直线CD为⊙P的切线；(2)若DC＝，AD＝4，求⊙P的半径．24．家访是学校与家庭沟通的有效渠道，是形成教育合力的关键，是转化后进生的催化剂．某市教育局组织全市中小学教师开展家访活动活动过程中，教育局随机抽取了部分教师调查其近两周家访次数，将采集到的数据按家访次数分成五类，并分别绘制了下面的两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）所抽取的教师中，近两周家访次数的众数是次，平均每位教师家访次；（3）若该市有12000名教师，请估计近两周家访不少于3次的教师有多少名？25．合肥合家福超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在三等分的转盘上依次标有“合”，“家”，“福”字样，购物每满200元可以转动转盘1次，转盘停下后，指针所指区域是“福”时，便可得到30元购物券（指针落在分界线上不计次数，可重新转动一次），一个顾客刚好消费400元，并参加促销活动，转了2次转盘．（1）求出该顾客可能获得购物券的最高金额和最低金额；（2）请用画树状图法或列表法求出该顾客获购物券金额不低于30元的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7×106．14．9 215．x≥﹣116．54°17．40°18．x≠2．三、解答题19．（1）见解析；（2）BF＝2．【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【详解】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，AE AD CAE DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△ADB （SAS ）；（2）∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°，由（1）得：AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝，∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2，∴BF ＝BD ﹣DF ＝﹣2．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．20．（1）是，（0，0）；（2）2132y x x =--；（3）①m 的值为0或4，②P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0）.【解析】【分析】（1）解方程x 2＝﹣x 2得出x ＝0（2）因为两个抛物线的共点在x 轴上，y ＝0代入L1中求得交点坐标，分别代入L2中，求得m 的值，获得抛物线的解析式．（3）①两抛物线为共点抛物线时，只有一个交点，运用判别式为零，求出m 的值②设点P 坐标（a ，0），通过Q 点坐标，获得P'点坐标，因为PP'为正方形，利用K 型全等模型建立全等关系，从而求出点M 和N 的坐标，将M 、N 分别代入解析式，获得a 的值，从而求出点P 的坐标．【详解】解：（1）是，（0，0）x 2＝﹣x 2∴x ＝0（2）令y ＝x 2﹣2x ＝0解得x 1＝0，x 2＝2当x ＝0时，﹣3≠0∴（0，0）不是共点当x ＝2时，4﹣4m ﹣3＝0解得m ＝14 ∴y ＝2132x x -- （3）①若两个抛物线是“共点抛物线”则方程﹣x 2+2x+1＝﹣2x 2+mx 有两个相等的实数根即x 2+（2﹣m ）x+1＝0有两个相等的实数根∴△＝（2﹣m ）2﹣4＝0解得m ＝0或m ＝4∴m 的值为0或4．②P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0）设点P （a ，0）当m ＝0时，Q （﹣1，﹣2）∴P'（﹣2﹣a ，﹣4）∵PM ＝MP'，∠A ＝∠B ，∠AMP ＝∠BP'M∴△APM ≌△BMP'（AAS ）设M （x ，y ），N （a ，b ）42y x a a x y +=-⎧⎨---=⎩解得13x y a =⎧⎨=--⎩24a m n n m a ---=-⎧⎨--=-⎩解得31m n a =-⎧⎨=-⎩∴可得M （1，﹣3﹣a ），N （﹣3，a ﹣1）分别代入L 1解析式可得a 1＝﹣5，a 2＝﹣13当m ＝4时，Q （1，2）∴P'（2﹣a ，4）∵PM ＝MP'，∠A ＝∠B ，∠AMP ＝∠BP'M∴△APM ≌△BMP'（AAS ）设M （m ，n ）N （x ，y ）240a m n n a --=⎧⎨-=-⎩解得24m n a=-⎧⎨=-⎩ 24a x y y x a --=-⎧⎨-=-⎩解得31x y a =⎧⎨=+⎩∴可得M （﹣2，4﹣a ），N （3，1+a ）分别代入L 1解析式可得a 1＝﹣3，a 2＝11（舍）∴P （﹣3，0）或P （﹣5，0）或P （﹣13，0）【点睛】本题考查了全等模型和抛物线的交点问题，难度适中，难点在于（3）②，需要根据正方形建立K 型全等，从而获得参数a 的值，是一道很好的压轴问题．21．（1）y ＝2x ；y ＝x+1；（2）P 点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）． 【解析】【分析】（1）把A （1，2）代入双曲线以及直线y ＝x+b ，分别可得k ，b 的值；（2）先根据直线解析式得到BO ＝CO ＝1，再根据△BCP 的面积等于2，即可得到P 的坐标．【详解】解：（1）把A （1，2）代入双曲线y ＝k x ，可得k ＝2， ∴双曲线的解析式为y ＝2x； 把A （1，2）代入直线y ＝x+b ，可得b ＝1，∴直线的解析式为y ＝x+1；（2）设P 点的坐标为（x ，0），在y ＝x+1中，令y ＝0，则x ＝﹣1；令x ＝0，则y ＝1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO＝1＝CO，∵△BCP的面积等于2，∴12BP×CO＝2，即12|x﹣（﹣1）|×1＝2，解得x＝3或﹣5，∴P点的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．22．（1）C；（2）①0.15，30；②见解析；③估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．【解析】【分析】（1）根据抽样调查的定义可得；（2）①根据“频率＝频数÷总数”可分别求得a、b的值；②由①中所求数据可补全图形；③总人数乘以样本中第3、4、5组的频率之和可得答案．【详解】解：（1）调查方式中比较合理的是C，故答案为：C；（2）①a＝15÷100＝0.15，b＝100×0.3＝30，故答案为：0.15，30；②补全图形如下：③1000×（0.15+0.25+0.3）＝700（人），答：估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．【点睛】本题考查条形图、频率分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是记住频率＝频数÷总数，频率之和为1，属于中考常考题型．23．(1)证明见解析；(2)⊙P的半径为5．【解析】【分析】（1）连接PC，则∠APC＝2∠B，可证PC∥DA，证得PC⊥CD，则结论得证；（2）连接AC，先求出AC长，可证△ADC∽△ACB，可求出AB长，则⊙P的半径可求出．【详解】(1)连接PC，∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∴∠APC＝2∠B，∵2∠B+∠DAB＝180°，∴∠DAC+∠ACP＝180°，∴PC∥DA，∵∠ADC＝90°，∴∠DCP＝90°，即DC⊥CP，∴直线CD为⊙P的切线；(2)连接AC，∵DC＝AD＝4，∠ADC＝90°，∴AC===，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠ACP，∵AD∥PC，∴∠DAC＝∠ACP，∴∠PAC＝∠DAC，∵AB是⊙P的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠ADC，∴△ADC∽△ACB，∴AB AC AC AD=，=∴AB＝10，∴⊙P的半径为5．【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．24．（1）补图见解析；（2）3，3.24；（3）9120名.【解析】【分析】（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人），家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）；（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次）；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×544218150++＝9120（名）．【详解】解：（1）家访总人数：54÷36%＝150（人），家访4次的人数：150×28%＝42（人）家访2次的人数：150﹣6﹣54﹣42﹣18＝30（人）条形统计图补全如下：（2）根据统计图可知，家访3次的人数最多，所以众数为3，平均每位教师家访：（6×1+30×2+54×3+42×4+18×5）÷150＝3.24（次），故答案为3，3.24；（3）近两周家访不少于3次的教师有12000×544218150++＝9120（名）．【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．25．（1）最高金额为60元、最低金额为0元；（2）5 9【解析】【分析】（1）两次都抽到“福”时可得最高金额，两次都没有抽到“福”时可得最低金额；（2）画出树状图，利用概率公式计算即可；【详解】解：（1）根据题意，该顾客可能获得购物券的最高金额为60元、最低金额为0元；（2）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中该顾客获购物券金额不低于30元的有5种结果，所以该顾客获购物券金额不低于30元的概率为59．。
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第25讲 与圆有关的计算命题点近8年的命题形式考查方向扇形弧长、面积的计算2018(T 25(1)解)，2017(T 23(2)解、T 25(3)解)，2016(T 25解)，2015(T 26解)，2014(T 19填)，2013(T 14选)题型呈现形式比较丰富，选择题、高频考点填空题、解答题三种题型都有出现，弧长的考查侧重于对弧长公式的考查，计算较简单，扇形面积的考查侧重在动态变化过程中形成的区域面积，可用多种方法进行尝试转化成求扇形面积.正多边形与圆2014(T 15选)侧重于有关正多边形面积的计算，一般都有技巧性，需要我们熟练掌握正多边形的各个量之间的关系，并能把正多边形进行分割与拼接.命题点1 扇形弧长、面积的计算1．(2013·河北T14·3分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C ＝30°，CD ＝2.则S 阴影＝(D)3A ．π B ．2π C. D.π233232．(2014·河北T19·3分)如图，将长为8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为2 cm 的扇形．则S 扇形＝4cm 2.命题点2 正多边形与圆3．(2014·河北T15·3分)如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则＝(C)S 阴影S 空白A ．3 B ．4 C ．5 D ．6重难点1 弧长的计算 如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图中已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH ；(2)设△ABC 的边长为a ，则第1段弧的长是；第5段弧的长是；前5段弧长的和(即曲线CDEFGH 的2πa 310πa3长)是10πa ；(3)类似地有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”…，边长为a 的正方形的渐开线的前5段弧长的和是；15πa 2(4)猜想：①边长为a 的正n 边形的前5段弧长的和是；30πan ②边长为a 的正n 边形的前m 段弧长的和是．m （m ＋1）πan 【思路点拨】 (1)以点B 为圆心，BG 长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断地增大，第1段弧的半径是a ，第2段弧的半径是2a ，第3段弧的半径是3a ，依此下去第5段弧的半径是5a ，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正n 边形的性质解决．【变式训练1】 (2018·淄博)如图，⊙O 的直径AB ＝6.若∠BAC＝50°，则劣弧AC 的长为(D )A ．2πB .C .D .8π33π44π3【变式训练2】 (2018·廊坊模拟)如图，在边长为6的菱形ABCD 中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是6π．(结果保留π)方法指导1．求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可．2．同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长．边长为a 的正n 边形的渐开线第m 段弧长为.模型建立2π×man 重难点2 扇形面积的有关计算 如图1，直径AB 为6的半圆，绕点A 逆时针旋转60°，此时点B 到达点B′，求圆中阴影部分的面积．图1 图2 图3【变式1】 (2018·大庆)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为π．23【变式2】 如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝1，∠ABC＝30°，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是π．13【变式3】 如图4，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°后得到△DBE，点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是6π．图4 图5【变式4】 如图5，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转60°，此时点B 恰好在DE 上，其中点A 经过的路径为弧AD ，则图中阴影部分的面积是－．(注：所有小题结果保留π)π234【思路点拨】 阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB 为半径的扇形面积；只有变式4阴影部分的面积是S 扇形ACD －S △BCE .【自主解答】 解：∵AB＝AB′＝6，∠BAB′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形B′AB ＋S 半圆O′－S 半圆O ＝S 扇形B′AB ＝×π×62＝6π.60360在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：方法指导(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积；(2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；(3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积．重难点3 正多边形和圆 (2017·河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形．若阴影部分的周长为10，则这个图形的外轮廓线的周长为(A )A ．18B ．18C ．22D ．2233【思路点拨】 从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的2倍．提示：设正六边形的边长为a ，则正方形的边长为2a ，由题意，得5a ＝10，解得a ＝2.则外轮廓线的周长为3a ＋2a×3＝9a ＝18.【变式训练3】 (2017·河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心O.若∠BOC 是正n 边形的一个外角，则n 的值为(C )A ．8B ．10C ．12D ．16【变式训练4】 (2018·石家庄二模)正六边形ABCDEF 与正三角形△ACG 按如图所示位置摆放，在六边形AGCDEF中，的值是(D )S 阴影S 空白A . B . C . D .25151617方法指导1．熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系．2．正n 边形的中心角与每一个外角相等，都等于(n≥3)．360°n 3．研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法．注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形．1．(2018·盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧()，则的展直长度为(B )AB ︵ AB︵ A ．3π m B ．6π m C ．9π m D ．12π m2．(2018·成都)如图，在▱ABCD 中，∠B＝60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是(C )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π3．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A )A . m 2B .π m 2C ．π m 2D ．2π m 2π2324．(2018·河北模拟)如图，分别把正六边形边AB ，EF ，CD 向两个方向延长，相交于点M ，N ，Q ，则阴影部分与空白部分的面积比为(A )A .B .C .D .121325145．(2018·河北模拟)如图，六边形ABCDEF 和六边形MNPQGH 都是正六边形．若AB ＝10，则MN 的值可能是(D )A .B ．5C ．5D ．5532236．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM＝48°．7．(2018·石家庄藁城区模拟)如图，M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边AB ，AE 的中点，四边形MNHG 是位于该正五边形内的正方形，则∠BMH 的度数是99°．8．(2018·盐城)如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分，图2中图形的相关数据：半径OA ＝2 cm ，∠AOB＝120°.则图2的图形周长为cm (结果保留π)．8π39．(2018·河南)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为π－．BB ′︵543210．(2018·邢台宁晋县模拟)如图，半圆O 的直径AB ＝4，P ，Q 是半圆O 上的点，弦PQ 的长为2，则与的长AP ︵ QB︵ 度之和为(B )A .πB .πC .πD ．π234353提示：连接OP ，OQ ，易知△OPQ 为等边三角形，l ＋l ＝×π×2＝π.AP ︵ QB︵ 1201804311．(2018·威海)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，则图中阴影部分的面积是(C )A ．18＋36πB ．24＋18πC ．18＋18πD ．12＋18π提示：作FH⊥BC 交BC 延长线于点H ，连接AE ，S 阴影＝S 正方形ABCD ＋S 半圆－S △ABE －S △AEF ＝12×12＋×π×62－×12×6－×6×6＝18＋18π.1212125512．(2018·河北模拟)如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝ cm ，AC ＝8 cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2；16325π－482(3)在(2)的条件下，若点E 是的中点，连接CE ，求CE 的长．AB︵解：(1)证明：连接OC ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴∠PAO＝90°.∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB.∵OC＝OB ，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠AOP＝∠COP.在△PAO 和△PCO 中，{OA ＝OC ，∠AOP ＝∠COP ，OP ＝OP ，)∴△PAO≌△PCO(SAS )．∴∠PAO＝∠PCO＝90°.又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．(3)连接AE ，BE ，过点B 作BM⊥CE 于点M ，∴∠CMB＝∠EMB＝90°，∠AEB＝90°.又∵点E 是的中点，∴＝.AB ︵ AE ︵ BE︵ ∴∠ECB＝∠ACE＝∠ACB＝45°.12又∵∠CMB＝90°，∴∠CBM＝45°.∴BM＝CM.在Rt △BCM 中，由勾股定理，得CM 2＋BM 2＝BC 2，即CM 2＋BM 2＝36，∴CM＝BM ＝3 cm .2 又∵∠ABE＝∠ACE＝45°，∴在Rt △AEB 中，BE ＝AB·cos ∠ABE＝5 cm .2在Rt △BEM 中，由勾股定理，得EM ＝＝＝4(cm )，BE2－BM2（52）2－（32）22∴CE＝CM ＋EM ＝7 cm ，2即CE 的长为7 cm .213．(2018·宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1.若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S ＝2．(结果保留根号)3。