2016年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

2
例四、柯西不等式、配方法
1．如图，已知半径为 2 的⊙O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过
点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与⊙O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为 x（2＜x＜
4），则当 x=
时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .
.
3．如图，⊙M，⊙N 的半径分别为 2cm，4cm，圆心距 MN=10cm．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙
N 上的任意一点，直线 PQ 与连心线 l 所夹的锐角度数为 ，当 P、Q 在两圆上任意运动时，
tan 的最大值为(
6 ).(A) ；
12
4 (B) ；
3
3 (C) ；
3
3 (D)
心，PA 长为半径的⊙P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的范围
为
.
A P
Q
C
B
11．在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），点 P（ m，n ）是第一象限内一点，且 AB=2，
则 m n 的范围为
.
12．在坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），点 P 是 y 轴右侧一点，且 AP=2，点 B 上直线 y=x+1
线段 EF 长度的最小值为
．
A F
EO
B
D
C
7．如图，A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为
1，若 D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则△ABE 面积的最小值是( ).
A．2
B．1
C. 2 2
D. 2 2
2
5
8．如图，已知 A、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径 为 1，D 是⊙C 上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则△ABE 面积的最大值是( ).
过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点．
（1）在点 P 的运动过程中，线段 CD 长度的取值范围为
；
D
（2）在点 P 的运动过程中，线段 AD 长度的最大值为
.
C
A
O
B
例三、正弦定理
P
1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= 2 2 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD
与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能
找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持
不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方
法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，
综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的 套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略
1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量） 之间的关系，建立等式，进行转化.
A．3
B． 11
C． 10
D．4
3
3
9．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为 1，点 P 在斜边 AB 上，PQ
切⊙O 于点 Q，则切线长 PQ 长度的最小值为( ).
A. 7
B. 2 2
C. 3
D.4
10．如图∠BAC＝60°，半径长 1 的⊙O 与∠BAC 的两边相切，P 为⊙O 上一动点，以 P 为圆
4
【题型训练】
1．如图，已知直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，OA=5，OA 与⊙O 相交于点 P，AB 与⊙O 相
切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C，若在⊙O 上存在点 Q，使△QAC 是以 AC 为底边的等
腰三角形，则⊙O 的半径 r 的取值范围为
.
2．已知：如图，RtΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点 O 从 A 点出发，沿 AB 以每秒
3 cm 的速度向 B 点方向运动，当点 O 运动了 t 秒(t＞0)时，以 O 点为圆心的圆与边 AC 相
切于点 D，与边 AB 相交于 E、F 两点，过 E 作 EG⊥DE 交射线 BC 于 G.
（1）若点 G 在线段 BC 上，则 t 的取值范围是
；
（2）若点 G 在线段 BC 的延长线上，则 t 的取值范围是
例五、其他知识的综合运用 1.（2015•济南）抛物线 y=ax2+bx+4（a≠0）过点 A（1，﹣1），B（5，﹣1），与 y 轴交于 点 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，连接 CB，以 CB 为边作▱CBPQ，若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上，Q 为坐 标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为 30，求点 P 的坐标； （3）如图 2，⊙O1 过点 A、B、C 三点，AE 为直径，点 M 为 上的一动点（不与点 A，E 重合），∠MBN 为直角，边 BN 与 ME 的延长线交于 N，求线段 BN 长度的最大值．
再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角
度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题
BC= a ，AC= b ，求 a b 的最大值.
引例 3：如图，∠BAC=60°，半径长为 1 的圆 O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，
以 P 为圆心，PA 长为半径的圆 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE
长度的最大值为( ).
A．3
B．6
33 C．
2
D． 3 3
O
C
A DB
一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本
技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点 C 与两个定点 O、A 构成夹角的
变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化 （增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；
在第一象限内，过点 P 作⊙O 的切线与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，线段 AB 长度的
最小值是
.
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 CD 的垂线
交直线 BC 于点 E，则线段 CE 长度的最小值是
.A
D
C
O
EB
2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作⊙
O，若⊙O 与边 BC 始终有交点（包括 B、C 两点），则线段 AO 的取值范围是 . A
O
3
C B
3．如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为（ ）A． B． C．3 D．2
为直径作⊙O 分别交 AB，AC 于 E，F 两点，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值
为
．
2. 如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动（点 C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中 点，过点 C 作 CP⊥AB 于点 P，若 CD=3，AB=8，则 PM 长度的最大值是 ．
4
Q
P
C
P
A
D
P
M
N
l
O
Q
A
D
B
B
C
4．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作⊙
D，P 为⊙D 上的一个动点，连接 AP、OP，则△AOP 面积的最大值为( ).
21
35
(A)4
(B)
(C)
5
8
17 (D)
4
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA 、CB
2．如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的一个动点，以 AC、BC 为边作等边△ACD 和等边△
BCE，⊙O 外接于△CDE，则⊙O 半径的最小值为( ).
23
32
A.4
B.
C.
D. 2
E
3
2
D
O
A
C
B
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画⊙O，P 是⊙O 上一动点，且 P
2.（2013 秋•相城区校级期末）如图，已知 A、B 是⊙O 与 x 轴的两个交点，⊙O 的半径为 1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线 PA、PB 分别交直线 x=2 于 C、D 两点，E 为 线段 CD 的中点． （1）判断直线 PE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）求线段 CD 长的最小值； （3）若 E 点的纵坐标为 m，则 m 的范围为 ．
与圆有关的最值（取值范围）问题
引例 1：在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限
内一点，且 AC=2．设 tan∠BOC=m，则 m 的取值范围是_________．