2016年中考压轴题专题与圆有关的最值问题附答案
中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，»ABBC=，AC=，求的最大值.a b a b引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).A．3 B．6 CD．一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．A例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ，与轴相交于点B ，线段AB 长度的x y 最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（ ）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．B【题型训练】1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是；（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 .3．如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm．P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线所夹的锐角度数为，当P、Q在两圆上任意运动时，lα的最大值为； (B)；； (D) tanα∠43344．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B) (C) (D)215358174 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ).A． B． C．5 D．1942456．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为．7．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).A．2 B．1 C. D.22-8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B． C．103D．41139．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).B.10．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（）是第一象限内一点，且AB=2，m n，则的范围为 .m n-12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则，则的取值范围是 .tan ABP m∠=m13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC= =，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案为：m≥．引例1图引例2图+≤引例2.a b原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O 于点E，BC=a，AC=b．（1）求证：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE，由△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E的度数，又由AB为⊙D的直径，可求得CE的长，继而求得AE=b+a；（2）首先过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，则可求得x的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE，∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。
中考数学专题隐圆中最值问题
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强 （常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题 目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常 会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵 扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大 学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
A
P BD
P'
E
C
方法总结
名师说法
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离 如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。 则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
P
O
N
M
名师数学
温馨提示：
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置）， 但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是 某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样 才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE ⊥DF
，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是
。
A
E
D
B
F
C
思路）分析：
由于在四边形 EBFD 中 ，DE ⊥ DF ，∠B = 90o ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形 四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直 径最小值。
专题11 最值模型-阿氏圆问题(解析版)
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作△C，P为△C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．2C．410D．13【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=P A，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∵PC2＝CM•CA，∵PC CM CA CP=，∵∵PCM＝∵ACP，∵∵PCM∵∵ACP，∵13 PM PCPA AC==，∵PM13=P A，∵13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt∵BCM中，∵∵BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∵BM2217=+=52，∵13AP+BP≥52，∵13AP+BP的最小值为52．故选：B．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点PABC是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题． 【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∵P A 2＝AT •AB ，∵＝， ∵∵P AT ＝∵P AB ，∵，∵＝＝，∵PT ＝PB ，∵PB +CP ＝CP +PT ， ∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∵CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4，∵CT ，∵PB +PC ，∵PB +PC ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的EF 1217PAT BAP ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATAB PA PAT BAP ∽PT PB AP AB 121212ACT 22AT AC +171217121717一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32， 31232BM BP ==，3162BP BC ==BM BP BP BC ∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴==12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，四边形ABCD 是正方形90C ∴∠=︒在Rt CDM 中，2222915622DM DC MC ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭故答案为：152． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键． 例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A 10B 11C 13D 14【答案】C【分析】连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明BPG BAP ，得到12PG AP =，则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，求出DG 的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP ，取BE 的中点G ，连接PG ，△2AD BC BP ===，4AB =，△2142BP BA ==， △G 是BE 的中点，△12BG BP =，△BP BG BA BP=， △PBG ABP ∠=∠，△BPGBAP ，△12PG BP AP BA ==，△12PG AP =， 则12AP DP PG DP +=+，当P 、D 、G 三点共线时，取最小值，即DG 长， 224913DG AD AG =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将12AP 转换成PG ，再根据三点共线求出最小值．例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．【答案】20【分析】取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，首先利用四点共圆证明2OP =，再利用相似三角形的性质证明12PT PC =，推出14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，根据+PD PT DT ≥，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ，即可求出DT 的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点(1,0)T ，连接OP ，PT ，TD ，△A （2，0），B （0，2），C （4，0），△OA =OB =2，OC =4，以O 为圆心，OA 为半径作O ，在优弧AB 上取一点Q ，连接QB ，QA ，△1452Q AOB ∠=∠=︒，135APB ∠=︒，△45135180Q APB ∠+∠=︒+︒=︒， △A ，P ，B ，Q 四点共圆，△2OP OA ==，△2OP =，1OT =，4OC =，△2OP OC OT =，△OP OT OC OP=，△POT POC ∠=∠，△POT COP △∽△，△12PT OP PC OC ==，△12PT PC =， △14+2=4(+)=4(+)2PD PC PD PC PD PT ，过点D 作DE OC ⊥交OC 于点E ， △D 的坐标为（5，3），△点E 的坐标为（5，0），TE =4，△22=3+4=5DT△+PD PT DT ≥，△4+220PD PC ≥，△4+2PD PC 的最小值是20，故答案为：20．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，△C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又△△PCD＝△△△△△13=PDBP△PD＝13BP△AP+13BP＝AP+PD△当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，△COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】（1）BCP，PCD，BCP，2592；（2）210；（3）作图与求解过程见解析，2P A+PB的最小值为97．【分析】(1)连结AD，过点A作AF△CB于点F，AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP△△PBF，当点F，点P，点C 三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，确定12OA OPOP OF==，且△AOP＝△AOP，△AOP△△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF△CB于点F，△AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13BP最小，△AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+13BP最小值为AD，△AC＝9，AF△BC，△ACB＝60°△CF＝3，AF＝932；△DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，△AD＝22259 =2AF DF+，△AP+13BP的最小值为2592；故答案为：2592；(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，△AB＝8，PB＝4，BF＝2，△12BP BFAB BP==，且△ABP＝△ABP，△△ABP△△PBF，△12FP BPAP AB==，△PF＝12AP，△12AP+PC＝PF+PC，△当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，△CF＝222262210BF BC+=+=，△12AP+PC的值最小值为210，故答案为：210；(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，△OC＝4，FC＝4，△FO＝8，且OP＝4，OA＝2，△12OA OPOP OF==，且△AOP＝△AOP△△AOP△△POF△1=2AP OAPF OF=，△PF＝2AP△2P A+PB＝PF+PB，△当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，△△COD＝120°，△△FOM＝60°，且FO＝8，FM△OM△OM＝4，FM＝43，△MB＝OM+OB＝4+3＝7△FB＝2297FM MB+=，△2P A+PB的最小值为97．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，△A=60°，△A的半径为2，点P是△A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．【答案】（1）见解析；（2）10；（3）237【分析】（1）证明△P AQ△△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ 交△A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．【详解】解：（1）证明：△P A=2，AB=4，AQ=1，△P A2=AQ⋅AB=4．△PA AB AQ PA=．又△△A=△A，△△P AQ△△BAP．△12PQ PAPB AB==．△PB=2PQ；（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．△AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，△2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．△PC+PQ≥QC，△当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．△QC =22QB BC +=5，△2PC +PB =2(PC +PQ )≥10．△2PC +PB 的最小值为10．（3）如图，在AB 上取一点Q ，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，CQ ，延长CQ 交△A 于点P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB =4，AQ =1．由（1）得PB =2PQ ，△2PC −PB =2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，△PC −PQ ≤QC ，△当点P 在CQ 交△A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．△QC =22QH CH + =37，△2PC −PB =2(PC −PQ )≤237．△2PC −PB 的最大值为237．【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PA k k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又,POD MOP POM DOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.【答案】（1）222.m k r +（2）4103. 【分析】 △ 将PC+kPD 转化成PC+MP ，当PC+kPD 最小，即PC+MP 最小，图中可以看出当C 、P 、M 共线最小，利用勾股定理求出即可；△ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C 对应O,D 对应P ，A 对应C ，B 对应M ，当D 在AB 上时23AD BD +为最小值，所以23AD BD +=2223AC CD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = 224410433⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【详解】解()1:,MP PD k MP kPD =∴=∴，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即,,C P M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得()2222222.CM OC OM m kr m k r =+=+=+ ()223AD BD +的最小值为4103， 提示：4AC m ==，2433CD kr ==，23AD BD ∴+的最小值为224410433⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作△C ，P 为△C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP +BP 的最小值为（ ）A ．2.B ．3C ．5D ．2【答案】D【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P 在何时会使得13AP +BP 有最小值，进而得到答案． 【详解】解：如图，连接CP ，作PE 交AC 于点E ，使CPE PAC ∠=∠△=PCE ACP ∠∠ △PCE △APC △ △PC EP AC AP = △9,3AC PC == △13EP AP = △13AP BP EP BP +=+，当B 、P 、E 三点共线，即P 运动P '时有最小值EB△EC PC PC AC = △1EC = △2252EB EC CB =+= △13AP BP +的最小值为52 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，△O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．【答案】85【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据13OA APOP PC==，△AOP是公共角，可得△AOP△△POC，得PC=3P A，当B,C,P三点共线时，3P A+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案．【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,△△O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），△OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,△1=3OA OPOP OC=，△AOP是公共角，△△AOP△△POC，△PC=3P A，△3P A+PB=PC+PB,△当B,C,P三点共线时，3P A+PB最小值为BC,△BC =22OC OB +=2292+=85，△3P A +PB 的最小值为85．故答案为：85【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C 、P 、B 三点在同一条直线上时3P A +PB 有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD 中， 3AB =260AC BAC ACD =∠=∠=︒，，设•AD k BD =，则k 的最小值为 ___________．21##12-【分析】如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．由ABE MBD ∽，推出232,903BE AB BAE M DB MB ===∠=∠=︒，设BD m =,则2BE m =,由勾股定理求得DF ，根据两点之间线段最短可得AD 的最小值，进而根据•AD k BD =，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CJ AB ⊥于点J ，过点B 作BM DC ⊥交DC 的延长线于点M ，在AB 的上方构造Rt ABE △，使得ABE MBD ∽，取BE 的中点F ，连接AF DF ，．在Rt ACJ 中，260AC CAJ =∠=︒，，△sin 603CJ AC =⋅︒=，△60ACD BAC ∠=∠=︒，△AB CD ∥， △BM CD CJ AB ⊥⊥，，△四边形BJCM 是矩形，△3BM CJ ==，90MBJ ∠=︒，△ABE MBD ∽，△232,903BE AB BAE M DB MB ===∠=∠=︒，△设BD m =,则2BE m =, △EF FB =，△12AF BE m ==,△ABE MBD ∠=∠，△90EBD ABM ∠=∠=︒，△222DF BF BD m =+=， △2AD DF AF m m ≥-=-，△AD 的最小值为2m m -，△AD kBD =，△k 是最小值为221m m m-=-．故答案为：21-． 【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构造相似三角形解决问题．4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A , B ，所有满足PA PB= k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．【答案】16 3【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC△△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=12AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作△CAP=△ABC，AP与BC的延长线交于点P，△△APC=△BPA，AB= 2AC△△APC△△BPA，△12AP CP ACBP AP AB===△BP=2AP，CP=12AP△BP－CP=BC=4△2AP－12AP=4解得：AP=83△BP=163，CP=43，即点P为定点△点A的轨迹为以点P为圆心，83为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大S△A1BC=12BC·A1P=12×4×83=163即△ABC面积的最大值为163故答案为：163．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在CG的最小值为_____．边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12【答案】5【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI△△CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，△DG＝122EF=，△点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，△DIDG＝DGCD＝12，△△GDI＝△CDG，△△GDI△△CDG，△IG DICG DG=＝12，△IG＝12CG，△BG+12CG＝BG+IG≥BI，△当B、G、I共线时，BG+12CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，△BI＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2PA PC 的最小值是___________．【答案】5 【分析】作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH 为△B 的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC 2=，接着证明△BPD △△BCP 得到PD 22=PC ，所以P A 22+PC ＝P A +PD ，而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到P A 22PC +的最小值． 【详解】解：作BH △AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，△AC 为切线，△BH 为△B 的半径，△△ABC ＝90°，AB ＝CB ＝2，△AC 2=BA ＝22，△BH 12=AC 2=，△BP 2=， △22PB BC =，1222BD BP ==，而△PBD ＝△CBP ，△△BPD △△BCP ， △22PD PB PC BC ==，△PD 22=PC ，△P A 22+PC ＝P A +PD ， 而P A +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD 22215=+=，△P A +PD 的最小值为5，即P A 22PC +的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD22PC．也考查了等腰直角三角形的性质．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，△B的半径为2，点P是△B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．【答案】5【详解】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，△221PBBG==，422BCPB==，△PB BCBG PB=，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△12PG BGPC PB==，△PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝2243+＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．9．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为△O，P是△O2P A ＋PB的最小值为________．【答案】25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB），利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB ＝2r ＝22，取OB 的中点I ，连接PI ，△OI ＝IB ＝2，△222OP OI ==，2222OB OP == ，△OP OB OI OP = ，△O 是公共角，△△BOP △△POI ， △22PI OI PB OP ==，△PI ＝22PB ，△AP ＋22PB ＝AP ＋PI ， △当A 、P 、I 在一条直线上时，AP ＋22PB 最小，作IE △AB 于E ， △△ABO ＝45°，△IE ＝BE ＝22BI ＝1，△AE ＝AB −BE ＝3， △AI ＝223110+=，△AP ＋22PB 最小值＝AI ＝10， △2P A ＋PB ＝2（P A ＋22PB ），△2P A ＋PB 的最小值是2AI ＝21025⨯=．故答案是25． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．【答案】37；2373．【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD△△BCP．可得PD=12BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+12BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD=2216+=37即可；在AC上取CE=23，△PCE△△ACP．可得PE=13AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+13AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=23，CB=4，根据勾股定理BE=2222374=33⎛⎫+⎪⎝⎭即可．【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，△CP=2，BC=4，△CD121=,CP242CPBC==，△CD1=CP2CPBC=，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP．△12PDBP=，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+12BP的值最小，在Rt△ACD中，△CD=1，CA=6，△AD=2216+=37，△AP+12BP的最小值为37．故答案为：37在AC上取CE=23，连接CP，PE△21213==,2363CE CP CP AB ==△13CE CP CP AB == 又△△PCE =△ACP ，△△PCE △△ACP ．△13PE AP =，△PE =13AP ，△BP +13AP =BP +PE ， 当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小， 在Rt △BCE 中，△CE =23，CB =4，△BD =2222374=33⎛⎫+ ⎪⎝⎭， △BP +13AP 的最小值为2373．故答案为：2373． 【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为__，PD ﹣23PC 的最大值为__． （2）如图2，已知菱形ABCD 的边长为4，△B ＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为__，PD ﹣12PC 的最大值为__．【答案】 106 106 37 37【分析】（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得4BG =，先证明PBG CBP ，得到23PG PC =，所以32PD PC PD PG +=+，而PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），从而计算出DG 得到23PD PC +的最小值，32PD PC PD PG -=-，而PD PG DG -≤（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），从而计算出DG 得到23PD PC -的最大值； （2）如图4中，在BC 上取一点G ，使得1BG =，作DF BC ⊥交于点F ，解法同（1）．【详解】（1）如图3中，在BC 上取一点G ，使得4BG =，6342PB BG ==，9362BC PB ==，PBG PBC ∠=∠， PBG CBP ∴，23PG BG PC PB ∴==， 23PG PC ∴=，32PD PC PD PG ∴+=+， PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），PD PG ∴+的最小值为2259106DG =+=，32PD PC +的最小值为106，32PD PC PD PG DG -=-≤， 23PD PC ∴-的最大值为106，故答案为：106，106； （2）如图4中，在BC 上取一点G ，使得1BG =，作DF BC ⊥交于点F ，221PB BG ==，422BC PB ==，PBG PBC ∠=∠， PBG CBP ∴，12PG BG PC PB ∴==，12PG PC ∴=，12PD PC PD PG ∴+=+， PD PG DG +≥（当且仅当G 、P 、D 共线时取等号），PD PG ∴+的最小值为DG ， 12PD PC ∴+的最小值为DG ， 在Rt CDF 中，60DCF ∠=︒，4CD =，sin 6023DF CD ∴=⋅︒=，2CF =，在Rt GDF 中，22(23)537DG =+=，12PD PC ∴+的最小值为37， 12PD PC PD PG DG -=-≤，12PD PC ∴-的最大值为37，故答案为：37，37． 【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，△C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=3，则有CDCP=CPCB=12，又△△PCD=△BCP，△△PCD△△BCP，△PDBP=12，△PD=12BP，△AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，△COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】（1）AP+12BP的最小值为313；（2）13AP+PC的值最小值为52；（3）2PA+PB的最小值为97，见解析.【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=63，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由PB1BFAB3BP==，可证△ABP△△PBF，可得PF=13AP，即13AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，13AP+PC的值最小，由勾股定理可求13AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB△OD于点M，由OA1OPOP2OF==，可得△AOP△△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【详解】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF△CB于点F，△AP+12BP=AP+PD，要使AP+12BP最小，△AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+12BP最小值为AD，△AC=12，AF△BC，△ACB=60°△CF=6，AF=63△DF=CF-CD=6-3=3△AD=22AF DF+=313△AP+12BP的最小值为313（2）如图，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，△AB=9，PB=3，BF=1△PB1BFAB3BP==，且△ABP=△ABP，△△ABP△△PBF，△FP BP1AP AB3==△PF=13AP△13AP+PC=PF+PC，△当点F，点P，点C三点共线时，13AP+PC的值最小，△CF=22BF BC +=149+=52△13AP+PC 的值最小值为52，（3）如图，延长OC ，使CF=4，连接BF ，OP ，PF ，过点F 作FB△OD 于点M ， △OC=4，FC=4，△FO=8，且OP=4，OA=2， △OA 1OPOP 2OF==，且△AOP=△AOP△△AOP△△POF △AP OA 1PF OF 2==△PF=2AP△2PA+PB=PF+PB ， △当点F ，点P ，点B 三点共线时，2AP+PB 的值最小， △△COD=120°，△△FOM=60°，且FO=8，FM△OM △OM=4，FM=43△MB=OM+OB=4+3=7△FB=22FM MB +=97△2PA+PB 的最小值为97．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +24PD PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC+的最小值，23PD PC -的最大值，2PC PD 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．3PC 的最小值【答案】见详解【分析】（1）如图1中，在BC 上取一点G ，使得BG=1．由△PBG△△CBP ，推出12PG BG PC PB ==，推出PG=12PC ，推出PD+12PC=DP+PG ，由DP+PG≥DG ，当D 、G 、P 共线时，PD+12PC 的值最小，最小值为DG=2243+=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD-12PC 的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把24PD PC +转化为4（24PD PC +），这样只需求出24PD PC +的最小值，问题即可解决。
问题8.1与圆有关的最值问题-最新高三数学专题讲解(解析版)
精选问题一与圆有关的最值问题经过对近几年的高考试题的剖析比较发现, 高考对直线与圆的考察, 体现逐年加重的趋向, 与圆有关的最值问题 , 更是高考的热门问题. 因为圆既能与平面几何相联系, 又能与圆锥曲线相联合, 命题方式比较灵巧, 故与圆有关的最值问题备授命题者的喜爱. 本文就此问题从内容和办理方法长进行概括, 以帮助同学们攻陷这个难点 .一、与圆有关的最值问题的联系点与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式 k ＝ tan ( ≠90°) 将直线的斜率与倾斜角密切联系到一同, 经过正切函数的图象能够解决已知斜率的范围探究倾斜角的最值, 或许已经倾斜角的范围探究斜率的最值.办理方法：直线倾斜角的范围是[0, π), 而这个区间不是正切函数的单一区间, 所以依据斜率求倾斜角的范π与π, 当α∈ 0，π＋围时,要分 0，，π 两种状况议论．由正切函数图象能够看出时 , 斜率k∈[0,2 2 2ππ，π时 , 斜率k∈( －∞ ,0)∞) ；当α＝2时 , 斜率不存在；当α∈2 ．【例 1】坐标平面内有相异两点A(cos ,sin 2 ), B(0,1) ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A．, B．0, 3 , C．0, 3 , D ．, 34 4 4 4 4 4 4 4【答案】 C【评论】由斜率取值范围确立直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要擅长利用数形联合的思想, 要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时 , 需依照正切函数y＝ tan x的单一性求k的范围．【小试牛刀】【2017 届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点P 23， 2 的直线与圆 x2 y2 4 有公共点 , 则该直线的倾斜角的取值范围是（）A． 0， B ． 0 ，6 3C. 0， D ． 0 ，6 3【答案】 B【分析】当过点P(23, 2) 的直线与圆 x2 y2 4 相切时,设斜率为k,则此直线方程为y+2=k( x 2 3) ,即 kx y 2 3k 2 0 . 由圆心到直线的距离等于半径可得| 2 3k 2 |, 求得k 221k 0或k 3 ,故直线的倾斜角的取值范围是[0, ] ,所以B选项是正确的.3与距离有关的最值问题在运动变化中 , 动点到直线、圆的距离会发生变化, 在变化过程中 , 就会出现一些最值问题, 如距离最小 , 最大等 . 这些问题经常联系到平面几何知识, 利用数形联合思想可直接获得有关结论, 解题时即可利用这些结论直接确立最值问题. 常有的结论有：（ 1）圆外一点A到圆上距离近来为AO r ,最远为 AO r ；（ 2）过圆内一点的弦最长为圆的直径, 最短为该点为中点的弦；（ 3）直线与圆相离 , 则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离 d r ,近来为 d r ；（ 4）过两定点的全部圆中, 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.（ 5）直线外一点与直线上的点的距离中, 最短的是点到直线的距离；（ 6）两个动点分别在两条平行线上运动, 这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例 2】过点M2y225 交于A,B两点, C为圆心,当ACB 最小时 , 1,2 的直线l与圆C：x 3 4直线 l 的方程是．答案 : x y 3 0分析：要使ACB 最小 , 由余弦定理可知 , 需弦长AB 最短 . 要使得弦长最短 , 借助结论可知当M 1,2 为弦的中点时最短 . 因圆心和M 1,24 21,则所求的直线斜率为1,由点斜式可得所在直线的 k13y 1 (x 2) x y 3 0 .【评论】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般依据长度或距离的几何意义, 利用圆的几何性质数形联合求解．本题经过两次转变, 最后转变为求过定点的弦长最短的问题.【例 3】【 2016-2017 学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆 C ： x2 y 2 2x 4 y 3 0 对于直线 2ax by 6 0 对称,则由点 ( a,b) 向圆C所作的切线长的最小值是（）A．2 B ． 3 C．4 D．6【答案】 C【评论】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题, 解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直, 从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【 2016 届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y 中,圆C1 : x 1 2 225 ,圆 C 2 : x2y 302上存在一点 P ,使得过点 P 可作一y 6 17 r 2．若圆 C2条射线与圆C1挨次交于点, , 知足 2 , 则半径r的取值范围是（）A．5,55 B ． 5,50 C ． 10,50 D ． 10,55【答案】 A【分析】由题 , 知圆C 的圆心为 ( 1,6) ,半径为5,圆 C 的圆心为(17,30) , 半径为r , 两圆圆心距为1 2(17 1)2 (30 6)2 30 ,如图,可知当 AB 为圆 C1的直径时获得最大值, 所以当点P位于点P1所在地点时 r 获得最小值,当点 P 位于点 P2所在地点时 r 获得最大值．因为| AB |max 10 ,|PA| 2|AB|, 所以r min 5 , r max55 ,应选A．[根源: ZXXK]与面积有关的最值问题与圆的面积的最值问题 , 一般转变为追求圆的半径有关的函数关系或许几何图形的关系, 借助函数求最值的方法 , 如配方法 , 基本不等式法等求解, 有时能够经过转变思想 , 利用数形联合思想求解 .【例 4】在平面直角坐标系中, A, B分别是x轴和y轴上的动点 , 若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0 相切,则圆C面积的最小值为（）A. 4B. 3C. (6 2 5)D. 55 4 4【答案】 A【分析】设直线l ：2 x y 4 0.因为|OC| 1| AB | d C l , 所以圆心 C 的轨迹为以 O为焦点 , l为准线的2抛物线 . 圆 C 半径最小值为1d O l 1 4 2 , 圆C面积的最小值为( 2 ) 2 4 .选 A.2 2 5 5 5 5【例 5】动圆 C经过点F (1,0) , 而且与直线x 1 相切 , 若动圆 C 与直线y x 2 2 1总有公共点,则圆C 的面积（）A．有最大值8 B ．有最小值 2 C ．有最小值3 D ．有最小值 4【答案】 D【分析】设圆心为(a,b) ,半径为 r , r |CF | | a 1| ,即 (a 1)2 b2 ( a 1)2,即 a 1b2,∴圆心为4(1b2 , b) , r 1 b2 1,圆心到直线 y x 2 2 1的距离为4 4b2| 4 b 2 2 1| b21,∴ b 2(2 2 3) 或b 2 ,当 b 2d 2 4时 , r min 1 4 1 2 ,∴ S min r 2 4 .4【小试牛刀】【 2016-2017 学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A( 2,0) ,B (0, 2), 点 P是圆(x 1)2 y2 1 上随意一点 , 则PAB 面积的最大值是（）B. 3 2C.3 2【答案】 B二、与圆有关的最值问题的常用的办理方法数形联合法办理与圆有关的最值问题, 应充足考虑圆的几何性质, 并依据代数式的几何意义, 借助数形联合思想求解.2 2【例 6】已知实数x, y 知足方程 x ＋ y －4x＋1＝0,求：y(1)x的最大值和最小值；(2)y－ x 的最大值和最小值；(3)x2＋ y2的最大值和最小值．【剖析】 (1) 利用斜率模型； (2) 利用截距模型； (3) 利用距离模型【分析】原方程变形为( x－ 2) 2＋y2＝ 3, 表示以 (2,0) 为圆心 , 半径r＝3的圆．y(1) 设x＝ k,即 y＝kx,由题知,直线 y＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3.|2 k－ 0| 2 y∴k2＋1 ≤ 3. ∴k ≤3, 即－3≤k≤ 3, ∴x的最大值为3, 最小值为－ 3.(2) 设 y－x＝ b,则当直线 y－ x＝ b 与圆相切时, b 取最值,由|2 － 0＋b|＝3, 得b＝－ 2±6, 2∴y－ x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6.(3) 令d＝x2＋y2表示原点与点 ( x, y) 的距离 ,∵原点与圆心(2,0) 的距离为2, ∴d max＝ 2＋3, d min＝ 2－ 3.∴ x2＋ y2的最大值为(2＋3) 2＝ 7＋ 4 3, 最小值为 (2 －3) 2＝ 7－ 4 3.【评论】研究与圆有关的最值问题时, 可借助图形的性质, 利用数形联合求解．常有的最值问题有以下几种y－ b种类：①形如μ＝x－a形式的最值问题, 可转变为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题 , 可转变为动直线截距的最值问题；③形如 ( x－a) 2＋( y－b) 2形式的最值问题 , 可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【 2017 届河北武邑中学高三周考】已知直线l : x y 6 0 和曲线M : x2 y 2 2x 2 y 2 0 ,点 A 在直线l上,若直线AC与曲线 M 起码有一个公共点 C ,且MAC 300,则点 A 的横坐标的取值范围是（）A．0,5 B ．1,5C．1,3 D ．0,3【答案】 B【分析】设 A x0 ,6 x0 d AM sin30 2 2, 依题意有圆心到直线的距离 2 ,即x0 1 5 x016 ,解得 x0 1,5 .成立函数关系求最值依据题目条件列出对于所求目标函数的关系式, 而后依据关系的特色采用参数法、配方法、鉴别式法等进行求解 .【例 7】设P,Q分别为x2 y 6 2 2 和椭圆x2y2 1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是（）10A.52B.462C. 7 2D.6 2【答案】 D[ 根源:]【分析】依题意P, Q 两点间的最大距离能够转变为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上; 圆的半径 2 .设Q( x, y) . 圆心到椭圆的最大距离dx 2( y 6)29 y 2 12 y 469( x 2 )2 50 5 2.所3以 P,Q 两点间的最大距离是 6 2.应选 D.2.3 利用基本不等式求解最值假如所求的表达式是知足基本不等式的构造特色 , 如 a b 或许 a b 的表达式求最值 , 经常利用题设条件建立两个变量的等量关系 , 从而求解最值 . 同时需要注意 , “一正二定三相等”的考证.【例 8】 设 mR , 过定点 A 的动直线 x my0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0交于点 P( x,y) ,则 |PA | |PB |的最大值是.【剖析】依据 | PA |2 | PB |2 | AB |2 10 , 可用均值不等式求最值【分析】易得 A(0,0), B(1,3) . 设 P( x, y) , 则消去 m 得： x 2y 2x 3 y 0 , 所以点 P 在以 AB 为直径的圆上, PAPB , 所以 | PA|2|PB|2| AB|210, |PA| |PB ||AB |25 .2【小试牛刀】 【 2017 届河北武邑中学高三周考】设 m, nR ,若直线 m 1 xn 1 y2 0 与圆221相切 , 则 m n 的取值范围是（x 1y 1）A ． 1 3,13B． ,1 31 3,C ． 22 2,2 2 2D．,22 22 2 2,【答案】 D【分析】直线与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径 , 即m n1, 化简得 mn m n 2 ,m 1 2n 21m n2由基本不等式得m n2 mn, 令 tm n , 则 t 24t 8 0,解得2t ,2 2 2 2 2 2,.【迁徙运用】1．【 2017 河北优秀结盟上学期月考】由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 (x －3) 2＋ y 2＝ 1 引切线 , 则切线长的最小值为（）B. 2 2C.7【答案】 C3,0 ，r=1 ,圆心到直线x y 1 0 3 1【分析】圆的圆心为的距离为 d 2 2 ,所以由勾股定理可22 212 7知切线长的最小值为 22【． 2017 福建福州外国语上期末模】已知平面上两点 A a,0 , B a,0 a 0 ,若圆2 2x 3 y 44上存在点 P ,使得APB 90 , 则a的取值范围是（）A．3,6 B ．3,7C. 4,6 D ． 0,7【答案】 C3．【 2017 届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】假如直线ax by 7 a 0 ，b 0 和函数f x 1 log m x m 0 ，m 1 的图象恒过同一个定点 , 且该定点一直落在圆x b2y a 121 25 的内部或圆上 , 那么b的取值范围是（）aA．3，4B ． 0，34 ， C. 4 ， D ． 0，3 4 3 4 3 3 4【答案】 A【分析】依据指数函数的性质, 可知函数f x1 log m x ， m 0 ，m 1 恒过定点 1 ，1 , 将点1，1 代入a b 7ax by 7,可得 a b 7 ,因为1，1一直落在所给圆的内部或圆上,所以 a 2 b 2 25 ,由a2 b2 25,解a 3 a 4 b得b4 或 b3, 这说明点 a ，b 在以 3 ，4 和 4，3 为端点的线段上运动, 所以 a 的取值范围是3 ， 443.选A.4．【 2017 届湖南师大附中高三上学期月考四】设直线l ： 3x 4 y a 0 , 圆 C ： ( x 2)2y 22,若在圆C 上存在两点 P , Q , 在直线 l 上存在一点 M , 使得PMQ90 , 则 a 的取值范围是（）A ．C ．18,616,4B ． 6 5 2,6 5 2D．6 5 2, 6 5 2【答案】 C【分析】圆 C 半径为 2 , 从直线上的点向圆上的点连线成角 , 当且仅当两条线均为切线时 , 所成的角最大 ,此时四边形 MPOQ 为正方形 , 边长为2 , 所以对角线 OM2 , 故圆心 C 到直线 l 的距离 d 2 , 所以有3 2 a6 a4,选 C.32422 , 求出 16 a55．【 2017 湖北宜昌葛洲坝中学上期中】 若圆 C ：x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0 上有四个不一样的点到直线 l ：x － y ＋ c ＝0 的距离为 2, 则 c 的取值范围是（）[ 根源: ]A ． [ － 2,2]B ．[ －2 2,2 2 ]C ． （－ 2,2 ） D．（－ 22,2 2）【答案】 D【分析】圆 C ： x 2＋ y 2－ 2 2 x － 2 2 y － 12＝ 0, 配方为：22x2y216 , [根源:]∵圆上有四个不一样的点到直线l ： x-y+c=0 的距离为 2,∴圆心到直线 l 的距离 dc2 ,2解得2 2 c 2 26．【 2017 届重庆市一中高三上学期期中】设A, B在圆x 2y 21 上运动 , 且AB3, 点 P在直线3x 4 y12 0PA PB上运动,则的最小值为（ ）． 3B．4C． 17D． 19A55【答案】 D7．【 2017 届四川省高三高考适应性测试】 已知圆的方程为x 2 y 26x 0 , 过点 1 ，2 的该圆的全部弦中 , 最短的弦长为（ ）A.1B.12【答案】 C【分析】 x2y 2 6x 0 ( x 3) 2 y 29, 最短的弦长为29 (3 1)2222,选 C.8．【 2017 重庆万州二中上期中】已知圆C : x 2 y 2 8x 150, 直线 y kx 2 上起码存在一点P ,使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 则 k 的最小值是（ ）A.4B.534C.3D.553【答案】 A【分析】因为圆 C 的方程为 x 2 y 28x 15 0 , 整理得 ( x4) 2 y 2 1 , 所以圆心为 C (4,0) , 半 径为r 1, 又因为直线 y kx 2 上起码存在一点 P , 使得以点 P 为圆心 , 半径为 1的圆与圆 C 有公共点 , 所以点C 到直线 y kx 2 的距离小于或等于4k 0 22 , 化简 3k2 4k4 k0,所以2,所以 k 2 10,解得3k 的最小值是4,应选 A.39．【 2016 学年四川省雅安中学期中】已知点P （ t,t ）,t∈R,点 m 是圆 x 2 ( y1)21 上的动点 , 点 N 是圆14(x 2) 2 y 2上的动点 , 则 PNPM 的最大值是（）4B．2 C ．3 D ．【答案】 B【分析】如图：圆 x 2( y 1)21 的圆心 E （0,1 ） , 圆的圆心 F （ 2,0 ） , 这两个圆的半径都是 1 4 2要使 |PN||-|PM| 最大 , 需 |PN| 最大 , 且 |PM| 最小 , 由图可得 ,|PN| 最大值为 |PF|+ 1 ,12 PM|的最小值为 |PE|-2PN PM =|PF|-|PE|+1, 点 P （ t,t ）在直线 y=x 上 ,E （ 0,1 ）对于 y=x 的对称点 E ′（ 1,0 ） , 直线 FE ′与 y=x 的交点为原点 O,则|PF|-|PE|=|PF|- |PE ′| ≤|E ′F|=1, 故 |PF|-|PE|+1的最大值为 1+1=2, 故答案为B ．10．【 2016 届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知 P( x, y) 是直线 kx y 4 0(k 0) 上一动点 ,PA 、 PB 是圆 C ： x 2 y 22 y A B 是切点 , 若四边形 PACB 的最小面积是 2, 则 k的0 的两条切线 , 、 值为（）A．3B．21C．22D．2 2【答案】 D【分析】圆 C 的方程可化为x2 ( y 1)2 1 ,因为四边形PACB的最小面积是 2 ,且此时切线长为 2 ,故圆心0,1 到直线kx y 4 0 的距离为 5 ,即 5 5 ,解得k 2 ,又 k 0 ,所以 k 2 ．k 2111．【 2016 湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线3ax by 1(a, b R) 与圆O1: x2 y2 2 订交于A,B 两点 , 且△ AOB是直角三角形（ O是坐标原点） , 则点 P（a,b ）与点（ 0,1 ）之间距离的最大值是A．错误！未找到引用源。
人教备战中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题含答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（235 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．3．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(2632)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）∵点A6，0），点B为（02）∴62∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：2∴M的半径r=122.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=263=∴点E 的坐标为（26，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×3=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.6．如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝2，AC ＝4，BD ＝6，求⊙O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35. 【解析】【分析】 (1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ，从而证明AD 为圆O 的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ，∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝352∴⊙O的半径为352．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移【解析】【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝12平行四边形ABCD的面积，得出12AF×BM＝12CE×BN，证出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四边形的性质得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，由直角三角形的性质得出BP＝12AB＝2x，BQ＝12BE，AP＝BP＝，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝x，CE，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ． （4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP BP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝x ，CE ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解； （3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635TH , ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8； 综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．9．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．连接FC ．由FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ．因为AG AG =，推出∠GFA ＝2∠ACG ，再证明∠ACG ＝∠ABC ．②图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．想办法证明∠GFA ＝120°，求出EF ，OF ，OG 即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC ．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为35； （2）相似，理由见解析， 如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(学生用)(word文档良心出品)
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。
(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。
3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点，∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点，∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE ．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
24/5
DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证
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B yC x A OD B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题引例1：在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________．引例2：如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧»AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b 的最大值.引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ).A ．3B ．6C ．332D ．33一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1．直观感觉，画出图形；2．特殊位置，比较结果；3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.A M D DOC B A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图，A 点的坐标为（﹣2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P （m ，n ）为⊙A 上的一个动点，请探索n+m 的最大值．例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .2．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．2. 如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=8，则PM 长度的最大值是 ．O A B C E B AC OD OD CE A B例四、柯西不等式、配方法1．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x= 时，PD•CD 的值最大，且最大值是为 .2．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).23322 D. 23．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .2．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3 D．2例五、其他知识的综合运用1.（2015•济南）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．2.（2013秋•相城区校级期末）如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．l Q P N M O A D BC E F C AD B Q P O A B D CP 【题型训练】1．如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为 .2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC 相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G.（1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是 ；（2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是 .3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为( ).(A)6； (B)43； (C)3； (D)344．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为( ).(A)4 (B)215 (C)358 (D)1745．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是( ).A ．194B ．245C ．5D ．426．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是( ).A ．2B ．1 C.22- D.22AQC PBO ABxyPO A xyP8．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ).A．3 B．113C．103D．49．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ 切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).7 B.2210．如图∠BAC＝60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 .11．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n-的范围为 .12．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP=2，点B上直线y=x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan ABP m∠=，则m的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．参考答案：引例1. 解：C 在以A 为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC 与圆A 相切（即到C 点）时，∠BOC 最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°， ∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC ，tan ∠BOC=tan ∠OAC==，随着C 的移动，∠BOC 越来越大，∵C 在第一象限，∴C 不到x 轴点，即∠BOC ＜90°， ∴tan ∠BOC ≥，故答案为：m ≥．引例1图引例2图 引例2.2a b +≤；原题：（2013•武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作圆O ，C 为半圆AB 上不与A 、B 重合的一动点，射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ．（1）求证：AE=b+a ；（2）求a+b 的最大值；（3）若m 是关于x 的方程：x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接BE ，由△OAB 为等边三角形，可得∠AOB=60°，又由圆周角定理，可求得∠E 的度数，又由AB 为⊙D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a ；（2）首先过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=1，可得（a+b ） 2= a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH •AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x 2+ax=b 2+ab ，可得（x ﹣b ）（x+b+a ）=0，则可求得x 的值，继而可求得m 的取值范围．【解答】解：（1）连接BE ，∵△OAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°， ∵AB 为直径，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a ，∴BE=2a ，CE=a ，∵AC=b ，∴AE=b+a ；（2）过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC•BC=AB•CH，∴AC•BC=AB•CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值为，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），当m=b时，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，当m=﹣（b+a）时，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范围为0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．引例3.解：连接EP，DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF⊥AC与F，连接AO，如图，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA．当P与A、O共线时，且在O点右侧时，⊙P直径最大．∵⊙O与∠BAC两边均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案为：D。